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(共25张PPT)
大单元复习
第五单元 四边形
第3节
第1节
四边形
第2节
第2节
多边形与正多边形
（特殊）平行四边形的性质
（特殊）平行四边形的判定
（特殊）平行四边形的判定
单元复习规划
目
录
以题练考点
考向精练
课堂小结
问题1 有一块四边形的铁皮，有什么办法检验它是平行四边形吗？
你知道怎么做吗？
四边形
平行
四边形
边：两组对边分别平行；
两组对边分别相等；
一组对边平行且相等.
角：两组对角分别相等.
对角线：互相平分.
以题练考点
问题2 如图是一个窗框，工人师傅要检验其是否符合标准（矩形形状），有哪些办法呢？和同伴说一说.
判定一个四边形是矩形的思路
四边形
平行
四边形
矩形
两组对边
分别平行
有一个角是直角
或对角线相等
有三个角是直角
问题3 观察下图，四边形ABCD是什么形状？根据什么方法判定的？
D
A
B
C
O
∟
判定一个四边形是菱形的思路
四边形
平行
四边形
两组对边
分别平行
一组邻边相等或
对角线互相垂直
四条边都相等
菱形
问题4 观察下图你发现了什么？它们之间有什么关系？
A
B
C
D
E
F
四边形ABEF为正方形
一个角为90°
菱形
正方形
G1
H
M
N1
四边形MN1G1H为正方形
邻边相等
矩形
正方形
N
G
判定正方形的思路
矩形
正方形
边：一组邻边相等.
对角线：互相垂直.
菱形
正方形
角：有一个角是直角(90°).
对角线：相等.
根据上面的内容解决下列问题.
证明：∵E是CD的中点，F是BD的中点，
∴EF是△BDC的中位线，
∴EF∥BC，∴AE∥BC，
∵AB∥CD，∴四边形ABCE是平行四边形；
如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是CD的中点，连接AE交BD于点F，若F是AE的中点．
(1)①如图1，若F是BD的中点，求证：四边形ABCE是平行四边形；
图1
点拨：由双中点，得中位线证明.
A
B
C
E
D
F
证明：∵AB∥CD，
∴∠ABF＝∠EDF，
∵F是AE的中点，
∴AF＝EF，
∵∠AFB＝∠EFD，
∴△AFB≌△EFD，
∴AB＝ED，
∴四边形ADEB是平行四边形；
如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是CD的中点，连接AE交BD于点F，若F是AE的中点．
(1)②如图1，连接BE，求证：四边形ADEB是平行四边形；
图1
点拨：证明 △AFB≌△EFD
得AB＝ED即可.
如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是CD的中点，连接AE交BD于点F，若F是AE的中点．
(2)如图2，连接BE，若AE⊥BD，求证：四边形ADEB为菱形；
图2
证明：由(1)②得四边形ADEB是平行四边形，
∵AE⊥BD，
∴平行四边形ADEB是菱形；
证明：∵E，G，M，N分别为CD，DA，AB，BC的中点，
∴GM是△ABD的中位线，
∴GM∥BD，GM＝ BD，
同理可得EN∥BD，EN＝ BD，
∴GM∥EN，GM＝EN，
∴四边形EGMN是平行四边形；
如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是CD的中点，连接AE交BD于点F，若F是AE的中点．
(3)如图3，点G，M，N分别为AD，AB，BC的中点，连接GE，GM，MN，EN.求证：四边形EGMN为平行四边形；
图3
点拨：判断中点四边形形状要用中位线性质.
∵四边形AECB是矩形，
∴∠AEC＝∠BAE＝90°，AB＝CE，
∵F是AE的中点，∴AF＝ AE，
又∵AE＝ AB，∴ ，
∴△ABF∽△EAC，∴∠ABF＝∠EAC，
如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，E是CD的中点，连接AE交BD于点F，若F是AE的中点．
(4)如图4，点G，M，N分别为AD，AB，BC的中点，连接GE，GM，MN，EN.若四边形AECB是矩形，且AE＝ AB，求证：四边形EGMN为矩形．
图4
O
证明：如图，连接AC，交BD于点O，
点拨：①证明△ABF∽△EAC；
②∠EGM＝90°.
∵∠BAE＝∠BAC＋∠CAE＝90°，
∴∠BAC＋∠ABF＝90°，
∴∠AOB＝90°，∴AC⊥BD，
∵点E，G分别为CD，AD的中点，
∴GE是△ADC的中位线，∴GE⊥BD，
由(3)得GM∥BD，且四边形EGMN为平行四边形，
∴GE⊥GM，
∴∠EGM＝90°，
∴四边形EGMN是矩形．
图4
O
原四边形 中点四边形
任意四边形
对角线相等的四边形(如矩形)
对角线垂直的四边形(如菱形)
对角线垂直且相等的四边形(如正方形)
平行四边形
菱形
正方形
矩形
中点四边形的形状
1.(2025四川泸州)矩形具有而菱形不具有的性质是( )
A.对角线相等
B.对角线互相平分
C.对角线互相垂直
D.对角相等
A
考向精练
2.（2025四川乐山）如图，在 ABCD中，对角线AC与BD相交于点O.小乐同学欲添加两个条件使得四边形ABCD是正方形，现有三个条件可供选择：①AC⊥BD；②AC=BD；③∠ADC=90°.则正确的组合是_____________(只需填一种组合即可).
A
C
D
O
B
A
B
C
D
①②(或①③)
3.（2025青海）如图，在△ABC中，点O，D分别是边AB，BC的中点，过点A作AE∥BC交DO的延长线于点E，连接AD，BE.
(1)求证：四边形AEBD是平行四边形；
证明:∵点O为AB的中点，∴OA=OB，
∵AE∥BC，∴∠AEO=∠BDO，∠EAO=∠DBO,
在△AEO和△BDO中，
∴△AEO≌△BDO(AAS)， ∴AE=BD，
∵AE∥BD，∴四边形AEBD是平行四边形；
(2)若AB=AC，试判断四边形AEBD的形状，并证明.
解：当AB=AC时，四边形AEBD是矩形，
证明：∵AB=AC，点D是BC边上的中点，
∴AD⊥BC，即∠ADB=90°，
由(1)得四边形AEBD是平行四边形，
∴四边形AEBD是矩形.
点拨：利用等腰三角形“三线合一”证明∠ADB=90°.
4.（2025贵州）如图，在 ABCD中，E为对角线 AC 上的中点，连接BE， 且 BE⊥AC，垂足为E.延长BC 至 F，使 CF=CE，连接EF，FD，且EF交CD于点 G.
(1) 求证: ABCD是菱形；
证明：∵E是AC的中点，BE⊥AC，
∴BE是AC的垂直平分线，∴AB=BC，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是菱形；
(2)若 BE=EF，EC=4，求△DCF的面积.
解：∵CE=CF，∴∠CFE=∠CEF，
∴∠ACB=∠CFE+∠CEF=2∠CFE，
∵BE=EF，∴∠CBE=∠CFE，
∵BE⊥AC，
∴∠CBE+∠ACB=∠CFE+2∠CFE=3∠CFE=90°，
∴∠CFE=∠CEF=∠CBE=30°，
∵CE=4，∴CF=4，AE=4，
∴AC=8，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB∥CD，AB=BC=CD，∠ABC=2∠CBE=60°，
∴∠DCF=60°，△ABC是等边三角形，
∴∠DCF+∠CFE=90°，AB=CD=AC=8，
∴∠CGF=90°，
∴GF=CF·cos 30°=4×=2，
∴S△DCF=CD·GF=×8×2=8.
课堂小结

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