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6.2 第2课时 指数函数的实际应用
1.了解几种常见的指数函数模型，并能利用指数函数解决实际问题.
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
????????>????
图象
定义域
????
值域
(0,+∞)
性质
过定点(0,1)，即????=0时，????=1
减函数
增函数
当????>0时，0当????<0时，????>1.
当????>0时，????>1；
当????<0时，0????=????????与????=(1????)????的图象关于????轴对称
{5940675A-B579-460E-94D1-54222C63F5DA}
图象
定义域
值域
性质
减函数
增函数
指数函数的图象和性质
例1：某种放射性物质不断变化为其他物质，每经过1年，这种物质剩留的质量是原来的84%. 写出这种物质的剩留量关于时间的函数关系式.
?
解：设该物质最初的质量是1，经过????年剩留量是????。
经过1年，剩留量????=1×0.84=0.841；
经过2年，剩留量????=0.84×0.84=0.842；
......
一般地，经过????年，剩留量????=0.84????????>0，????∈?????
?
变式：当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比例衰减（称为衰减率），大约每经过5730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”，则按照上述变化，生物体内的碳14含量????与死亡年数????之间有怎样的关系？
?
死亡年数
1年
2年
3年
······
5730年
????年
?
碳14含量
问题1:将衰减率设为p，把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，完成表格.
?
······
(?????????) ????
?
(?????????) ????
?
(?????????) ????
?
(?????????) ????????????????
?
(?????????) ????
?
问题2:若死亡生物体内碳14含量记为????，死亡年数记为????，那么试写出死亡生物体内碳14含量与死亡年数间的关系式.
?
????=(1?????)???? ( ????∈[0,+∞) )
?
我们把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，经过5730年衰减为原来的一半，
即 (1?p) 5730=12，那么1?p=573012=(12)15730，p=1?(12)15730，
则(1?p)x=[1?(1?(12)15730)]x=((12)15730)x (x∈[0,+∞)).
?
问题3:你能求出p的值吗？
?
????=((12)15730)???? (????∈[0,+∞))
?
像这样，衰减率为常数的变化方式，我们称之为指数衰减。
????=(1?????)???? ( ????∈[0,+∞) )
?
复利思维：
例2：某种储蓄按复利计算利息，若本金为????元，每期利率为????，设存期是????????∈?????，本利和（本金加上利息）为????元。
（1）写出本利和????随存期????变化的函数关系式；
（2）已知存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后的本利和.
?
解：已知本金为????元，利率为????，则
1期后的本利和为，????=????+????????=????1+????；
2期后的本利和为，????=????1+????+????1+????????=????1+????2；
3期后的本利和为，????=????1+????3；
......
一般地，????期后的本利和为????=????1+????????????∈?????
?
(1)指数增长模型：
设原有量为N，每次的增长率为p，则经过x次增长，该量增长到y，则
y＝N(1＋p)x(x∈N*)．
(2)指数减少模型：
设原有量为N，每次的减少率为p，则经过x次减少，该量减少到y，则
y＝N(1－p)x(x∈N*)．
(3)指数型函数：
把形如y＝kax(k≠0，a>0，且a≠1)的函数称为指数型函数，这是非常有用
的函数模型．
归纳总结
实际问题中常见的几类指数函数模型
练1：某化工原料厂原来月产量为100吨,一月份增产20%,二月份比一月份减产10%,则二月份产量为(　　)
A.106吨 B.108吨 C.110吨 D.112吨
解析：因为化工原料厂原来月产量为100吨,一月份增产20%,
所以一月份的产量为100×(1+20%)=120(吨).
又因为二月份比一月份减产10%,
所以二月份的产量为120×(1-10%)=108(吨).
故选????.
?
????
?
练一练
练2：春天来了，某池塘中的荷花枝繁叶茂，已知每一天新长出荷叶覆盖水面的面积是前一天的2倍，若荷叶20天可以完全长满池塘水面，则当荷叶刚好覆盖水面面积一半时，荷叶已生长了________天.
解：假设第一天荷叶覆盖水面面积为1，则荷叶覆盖水面面积y与生长时间x的函数关系为y＝2x－1，当x＝20时，长满水面，所以生长19天时，荷叶刚好覆盖水面面积一半.
19
练一练
练3：目前某县有100万人，经过????年后为????万人.如果年平均增长率是1.2% ，请回答下列问题.(参考数据：1.01210≈1.1267，1.01211≈1.1402).
写出????关于????的函数解析式；
计算10年后该县的人口总数(精确到0.1万人)；
?
解：(1)当 ????=1 时， ????=100+100×1.2%=1001+1.2% ；
当 ????=2 时， ????=1001+1.2%+1001+1.2%×1.2%=1001+1.2%2 ；
当 ????=3 时， ????=1001+1.2%2+1001+1.2%2×1.2%=1001+1.2%3 ； … .
故 ???? 关于 ???? 的函数解析式为 ????=1001+1.2%????????∈?????.
(2) 当 ????=10 时， ????=100×1+1.2%10=100×1.01210≈112.7 .
故10年后该县约有 112.7 万人.
?
练4：一片森林原来的面积为????,计划每年砍伐一些树,且每年砍伐面积的百分比相等,当砍伐到面积的一半时,所用时间是10年,为保护生态环境,森林面积至少要保留原面积的14,已知到今年为止,森林剩余面积为原来的22.
(1)求每年砍伐面积的百分比.
(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年?
(3)今后最多还能砍伐多少年?
?
练一练
(2)到今年为止,该森林已砍伐了多少年?
(3)今后最多还能砍伐多少年?
本节课你学到了哪些知识？
(1)指数增长模型：
设原有量为N，每次的增长率为p，则经过x次增长，该量增长到y，则
y＝N(1＋p)x(x∈N*)．
(2)指数减少模型：
设原有量为N，每次的减少率为p，则经过x次减少，该量减少到y，则
y＝N(1－p)x(x∈N*)．
(3)指数型函数：
把形如y＝kax(k≠0，a>0，且a≠1)的函数称为指数型函数，这是非常有用
的函数模型．
实际问题中常见的几类指数函数模型

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