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6.3 对数函数
1.理解对数函数的概念.
2.掌握对数函数的图象和性质.
3.会利用对数函数的图象和性质解决问题.
下面是两个我们熟悉的指数函数的例子：
问题1：以上两个函数，若已知y，如何确定x？是否能用y表达出x呢？

①细胞个数y与分裂次数x的关系式为：y＝2x
②某放射性物质，经过的时间x(单位：年)与物质剩留量y的关系式为y＝0.84x.

用y表达出x：
y＝2x
y＝0.84x
x＝log2y
x＝log0.84y
问题2：上述关系式中吗，x是y的函数吗？

x
y＝2x
y
x
y
x＝log2y
x是y的函数
通常，我们习惯用????表示自变量，用????表示因变量.故而，我们将上式中????与????的位置进行调换，它们有什么共同特征？
?
实例
解析式
共同特征
①
②
是对数形式
自变量在真数位置
底数是常量
①x＝log2y
②x＝log0.84y
对数函数的概念：
一般地，函数y＝logax(a>0，a≠1)叫作对数函数，它的定义域是__________.
(0，＋∞)
想一想：为什么y=logax(a>0,且a≠1)定义域是0，+∞？
?
????=logax?????=????????，根据指数函数性质可得，????????>0，即????>0.
所以，对数函数y=logax(a>0,且a≠1)定义域是0，+∞
?
例1：下列函数是对数函数的是(　　)
A.y=log a(2x)
B.y=log 22x
C.y=log 2x+1
D.y=lg x
D
判断是否是对数函数三个要点：
①????????????????????系数是1；
②底数????为大于0且不等于1的常数；
③对数的真数仅有自变量????.
?
练1：判断下列函数是否是对数函数?
①y=logax2(a>0,a≠1);
②y=log2x-1;
③y=2log8x;
④y=logxa(x>0,且x≠1);
⑤y=log5x.

答案：只有⑤是对数函数，其余都不是对数函数
练一练

(-??4)
(2)要使函数有意义，必须 >0,所以 >0，
即函数的定义域为
(1?+?)
例2: 求下列函数的定义域:
(1) y=log0.2 ； (2) y=loga
解：(1)要使函数有意义，必须4- x>0,所以x<4,
即函数的定义域为

练2.求下列函数的定义域:
(1) y=logax2 (2) y=loga(1-x2)
解：(1)要使函数有意义，必须x2>0,所以x≠?,
即函数的定义域为
?-???? ? (0,+??
(2)要使函数有意义，必须1-x2>0,所以-1 即函数的定义域为
(-1?1)
练一练
想一想：回顾研究指数函数的过程，你认为我们应该如何研究指数函数？
解析式（定义）
图象
性质
应用
数形结合
分类讨论
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}y=log2x
x
y
0.25
-2
0.5
-1
1
0
2
1
4
6
8
12
试一试1：使用描点法画出y=log2x的图像
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}图象特征
代数表述
定义域 （0,+∞）
值 域 : R
在(0,+∞)上递增
图象位于????轴右方
?
图象向上、向下无限延伸
自左向右看图象逐渐上升
o
x
y
-
1
.
.
.
.
y=log2x
试一试2：在同一坐标系中作出函数????=????????????12????的图象.你有什么发现？
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}y=lo????12x
x
y
0.25
2
0.5
1
1
0
2
-1
4
6
8
12
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
x
y
0.25
2
0.5
1
1
0
2
-1
4
6
8
12
=
= -log2x
log2 x
-1
2
1
-1
-2
1
2
4
0
y
x
3
y=lo????????????x
?
y=log2x
底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称
底数互为倒数的两个对数函数的图象关于什么对称？
(x, y)
(x, -y)
试一试3：类似的，你能画出????=????????????3????和????=????????????13????的图象吗？
?
????=????????????2????
?
????=????????????12????
?
????=????????????3????
?
????=????????????13????
?
????>1时，底大图低
?
议一议：在同一坐标系中观察这些图象的位置、公共点和变化趋势，它们有哪些共性？由此你能概括出对数函数的值域和性质吗？
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}对数函数的图象特征
对数函数的相关性质
a＞1
0＜a＜1
a＞1
0＜a＜1


函数定义域为(0,+∞)
非奇非偶函数
函数的值域为????，渐近线为????轴
?
loga1=0?过定点1,0
?
当x>1时，y>0
当00
当0当x>1时，y<0
增函数
减函数
例3: (1)函数的 ???? (????)=log????(????－2)的图象必经过定点 ．
(2)函数的 ???? (????)=log????(????－2)－2????的图象必经过定点 ．　　　　　
?
解析：令x－2=1，得x = 3，
(1)f (3)=loga(3－2)=0
即函数的 f (x)=loga(x－2)的图象必经过定点(3，0)
(2) f (3)=loga(3－2)－2×3=－6，
即函数的 f (x)=loga(x－2)－2x的图象必经过定点(3，－6)．
根据loga1=0，知无论a(a>0，且a≠1)取何值，对数函数y=logax的图象恒过定点(1，0).
解：(1)∵????=????????????2????在定义域上单调递增
而3.4<8.5，∴????????????23.4(2)∵????=????????????0.3????在定义域上单调递减
而1.8????????????0.32.7.
(3)∵????=????????????????????
∴当????>1时，????=????????????????????在定义域上单调递增
而5.1>5.9,∴????????????????5.1 当0 而5.1<5.9,∴????????????????5.1>????????????????5.9
?
例4：比较下列各题中两个值的大小：
(1)????????????23.4，????????????28.5； (2)????????????0.31.8，????????????0.32.7； (3)????????????????5.1，????????????????5.9.
?
构造相应函数，再根据单调比较
1）当底数相同，
利用对数函数y=logax的单调性证明；
2）当真数相同，
利用函数图像或换底公式；
3）当底数、真数都不同，
利用中间量（多数利用1和0）；
对数比较大小
方法归纳
练3:比较下列各组数中两个数的大小：
<
<
>
（4）
>
练一练
对数函数????=2????
定义域：????
值域：(0,+∞)
?
对数函数????=????????????2????
定义域：(0,+∞)
值域：????
?
它们的定义域与值域正好互换，函数图象关于直线y=x对称.
说一说：对于指数函数????=2????与对数函数????=????????????2????，它们的定义域和值域
之间有何关系？
?
一般地，指数函数????=????????(????>0,且????≠1)与对数函数????=????????????????????
(????>0,且????≠1)互为反函数，它们
的定义域与值域正好互换.且图象
关于直线????=????对称.
?
如果函数y＝f(x)存在反函数，那么它的反函数记作y＝f－1(x).
反函数的概念：
练4 若函数y＝f(x)是函数y＝2x的反函数，则f(f(2))的值为( )
A.16 B.0 C.1 D.2
B
解析：函数y＝2x的反函数是y＝log2x，
即f(x)＝log2x.
∴f(f(2))＝f(log22)＝f(1)＝log21＝0.
练一练
1.平移变换
当 时，将 的图象向 平移 个单位，得到 的
图象；向 平移 个单位，得到 的图象．
当 时，将 的图象向 平移 个单位，得到 的图象，将 的图象向 平移 个单位，得到 的图象．
2．对称变换
要得到 的图象，应将 的图象关于 对称．
对数函数图象的变换规律
例5 作出函数y=|lg(x-1)|的图象，并根据图象写出函数的定义域、值域以及单调区间.
解:先画出函数y=lg x的图象(如图1)，
再将该函数图象向右平移1个单位长度得到函数y=lg(x-1)的图象(如图2).
由图易知其定义域为(1，+∞)，值域为[0，+∞)，
单调递减区间为(1，2]，单调递增区间为(2，+∞).
最后把y=lg(x-1)的图象在x轴下方的部分对称翻折到x轴上方(原来在x轴上方的部分不变)，即得出函数y=|lg(x-1)|的图象(如图3).
练5.函数f(x)＝loga|x|＋1(a>1)的图象大致为( )
C
练一练
本节课你学到了哪些知识？
1.下列函数表达式中，对数函数的个数为(　　)
①y=logx2；②y=logax(a∈R)；③y=log8x；④y=lnx；⑤y=logx(x+2)；⑥y=2log4x；⑦y=log2(x+1).
A.1 B.2 C.3 D.4
2.函数f(x)＝log2(x－1)的定义域是(　　)
A.[1，＋∞) B.(1，＋∞)
C.(－∞，1) D.(－∞，1]
B
B
3.若a＝20.2，b＝log43.2，c＝log20.5，则( )
A.a>b>c B.b>a>c
C.c>a>b D.b>c>a
4.不等式 的解集为( )
A
D
5.已知函数y=f(x)是函数y=10x的反函数，则f(10)=(　　)
A.1 B.2
C.10 D.1010
6.若函数f(x)=-5loga(x-1)+2(a>0，且a≠1)的图象恒过定点P，则点P的坐标是　　　　　 .?
(2，2)
A

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