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第5节　古典概型、概率的基本性质
[学习目标]
1.理解古典概型及其概率公式.2.会计算一些随机事件所包含的样本点个数及事件发生的概率.3.掌握概率的基本性质.
1.古典概型
具有以下两个特征的试验称为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典
概型.
(1)有限性:样本空间的样本点只有 .
(2)等可能性:每个样本点发生的可能性 .
2.古典概型的概率公式
设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率P(A)==.
其中,n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
3.概率的基本性质
性质1:对任意的事件A,都有P(A)≥0.
性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=1,P()=0.
性质3:如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)= .
性质4:如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)= ,P(A)= .
性质5:如果A B,那么P(A)≤P(B).
性质6:设A,B是一个随机试验中的两个事件,我们有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).
(1)由性质5可得,对于任意事件A,因为 A Ω,所以0≤P(A)≤1.
(2)概率的一般加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)中,注意只有当A∩B=,即A,B互斥时,才有P(A∪B)=P(A)+P(B),此时P(A∩B)=0,即性质3是性质6的特殊情况.
当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时,要用到概率加法公式的推广,即P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)“在适宜条件下,种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型,其样本点是“发芽与不发芽”.(　　)
(2)掷一枚质地均匀的硬币两次,出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”,这三个结果是等可能事件.(　　)
(3)“口袋中有大小相同的2个红球、2个白球,每次从中任取一个球,观察颜色后放回,直到取出红球”是古典概型.(　　)
(4)P(A+B)=P(A)+P(B).(　　)
2.(人教A版必修第二册P237例7)单项选择题是标准化考试中常用的题型,一般是从A,B,C,D四个选项中选择一个正确答案.假设考生有一个单项选择题不会做,他随机选择一个答案,答对的概率是(　　)
A.1 B.
C. D.
3.(人教A版必修第二册P247习题10.1 T13改编)某射击运动员的一次射击中,射中10环、9环、8环的概率分别为0.2,0.3,0.1,则此射击运动员在一次射击中命中的环数小于8环的概率为(　　)
A.0.4 B.0.3
C.0.6 D.0.9
4.(人教A版必修第二册P246习题10.1 T8改编)从长度为2,4,6,8,10的5条线段中任取
3条,则这三条线段能构成一个三角形的概率为(　　)
A. B.
C. D.
5.(人教A版必修第二册P245练习T1改编)已知 P(A)=0.4,P(B)=0.3,如果P(AB)=0.1,那么P(A∪B)= .
考点一　古典概型
[例1] (2022·全国甲卷)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张,则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为(　　)
A. B.
C. D.
[典例迁移1] (积问题改为和问题)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取
2张,则抽到的2张卡片上的数字之和是5的倍数的概率为(　　)
A. B.
C. D.
[典例迁移2] (无放回改为有放回)从编号为1,2,3,4,5,6的6张卡片中随机抽取一张,放回后再随机抽取一张,则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为(　　)
A. B.
C. D.
[典例迁移3] (一组数改为两组数)现有两组卡片,第一组卡片上分别写有数字“2,3,4”,第二组卡片上分别写有数字“3,4,5”,现从每组卡片中各随机抽取一张,用抽取的第一组卡片上的数字减去抽取的第二组卡片上的数字,差为负数的概率为(　　)
A. B.
C. D.
古典概型的概率求解步骤
(1)求出所有样本点的个数n(样本点个数的求解方法主要是利用排列组合知识,也可以利用列举法或列表法等).
(2)求出事件A包含的所有样本点的个数k.
(3)代入公式P(A)=求解.
考点二　概率的基本性质
[例2] 从甲地到乙地沿某条公路一共行驶200 km,遇到红灯个数的概率如下表所示:
红灯 个数 0 1 2 3 4 5 6个及 6个以上
概率 0.02 0.1 a 0.35 0.2 0.1 0.03
(1)求表中字母a的值;
(2)求至少遇到4个红灯的概率;
(3)求至多遇到5个红灯的概率.
复杂事件概率的求解方法
(1)对于一个较复杂的事件,一般将其分解成几个简单的事件,当这些事件彼此互斥时,原事件的概率就是这些简单事件的概率的和.
(2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时,常常考虑其对立事件,通过求其对立事件的概率,转化为所求问题.
[针对训练]
一只袋子中装有7个红玻璃球,3个绿玻璃球,从中无放回地任意抽取两次,每次只取一个,取得两个红玻璃球的概率为,取得两个绿玻璃球的概率为,则取得两个同色玻璃球的概率为 ;至少取得一个红玻璃球的概率为 .
考点三　古典概型与统计的综合问题
[例3] 某校有教师400人,对他们进行年龄状况和学历的调查,其结果如下:
学历 35岁以下 35~55岁 55岁及以上
本科 x 60 40
研究生 80 40 y
(1)若随机抽取一人,年龄是35岁以下的概率为,求x,y的值;
(2)在35~55岁年龄段的教师中,按学历状况用分层随机抽样的方法,抽取一个样本容量为5的样本,然后在这5名教师中任选2人,求两人中至多有1人的学历为本科的概率.
[溯源探本] 本例源于人教A版必修第二册P267复习参考题10 T4.
有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型.概率与统计的结合题,无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图等给出的信息,准确从题中提炼信息是解题的关键.
[针对训练]
下图是某地5月1日至15日日平均温度变化的折线图,日平均温度高于20 ℃低于27 ℃时适宜户外活动,某人随机选择5月1日至5月14日中的某一天到达该地停留两天(包括到达当日).
(1)求这15天日平均温度的极差和均值;
(2)求此人停留期间只有一天的日平均温度适宜户外活动的概率.第5节　古典概型、概率的基本性质
[学习目标]
1.理解古典概型及其概率公式.2.会计算一些随机事件所包含的样本点个数及事件发生的概率.3.掌握概率的基本性质.
1.古典概型
具有以下两个特征的试验称为古典概型试验,其数学模型称为古典概率模型,简称古典
概型.
(1)有限性:样本空间的样本点只有有限个.
(2)等可能性:每个样本点发生的可能性相等.
2.古典概型的概率公式
设试验E是古典概型,样本空间Ω包含n个样本点,事件A包含其中的k个样本点,则定义事件A的概率P(A)==.
其中,n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数.
3.概率的基本性质
性质1:对任意的事件A,都有P(A)≥0.
性质2:必然事件的概率为1,不可能事件的概率为0,即P(Ω)=1,P()=0.
性质3:如果事件A与事件B互斥,那么P(A∪B)=P(A)+P(B).
性质4:如果事件A与事件B互为对立事件,那么P(B)=1-P(A),P(A)=1-P(B).
性质5:如果A B,那么P(A)≤P(B).
性质6:设A,B是一个随机试验中的两个事件,我们有P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B).
(1)由性质5可得,对于任意事件A,因为 A Ω,所以0≤P(A)≤1.
(2)概率的一般加法公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)中,注意只有当A∩B=,即A,B互斥时,才有P(A∪B)=P(A)+P(B),此时P(A∩B)=0,即性质3是性质6的特殊情况.
当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时,要用到概率加法公式的推广,即P(A1∪A2∪…∪An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An).
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)“在适宜条件下,种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型,其样本点是“发芽与不发芽”.(　　)
(2)掷一枚质地均匀的硬币两次,出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”,这三个结果是等可能事件.(　　)
(3)“口袋中有大小相同的2个红球、2个白球,每次从中任取一个球,观察颜色后放回,直到取出红球”是古典概型.(　　)
(4)P(A+B)=P(A)+P(B).(　　)
【答案】 (1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2.(人教A版必修第二册P237例7)单项选择题是标准化考试中常用的题型,一般是从A,B,C,D四个选项中选择一个正确答案.假设考生有一个单项选择题不会做,他随机选择一个答案,答对的概率是(　　)
A.1 B.
C. D.
【答案】 D
【解析】 该考生选择的答案可以为A,B,C,D,其中正确答案只有一个,答对的概率是.故选D.
3.(人教A版必修第二册P247习题10.1 T13改编)某射击运动员的一次射击中,射中10环、9环、8环的概率分别为0.2,0.3,0.1,则此射击运动员在一次射击中命中的环数小于8环的概率为(　　)
A.0.4 B.0.3
C.0.6 D.0.9
【答案】 A
【解析】 因为该射击运动员的一次射击中,射中10环、9环、8环的概率分别为0.2,0.3,0.1,
所以在一次射击中命中的环数小于8环的概率为1-0.2-0.3-0.1=0.4.故选A.
4.(人教A版必修第二册P246习题10.1 T8改编)从长度为2,4,6,8,10的5条线段中任取
3条,则这三条线段能构成一个三角形的概率为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】 B
【解析】 从长度为2,4,6,8,10的5条线段中任取3条,共有=10(种)取法,
而取出的三条线段能构成一个三角形的情况有4,6,8和4,8,10以及6,8,10,共3种,
故这三条线段能构成一个三角形的概率为P=.故选B.
5.(人教A版必修第二册P245练习T1改编)已知 P(A)=0.4,P(B)=0.3,如果P(AB)=0.1,那么P(A∪B)=　　　　.
【答案】 0.6
【解析】 因为P(A)=0.4,P(B)=0.3,且P(AB)=0.1,
所以P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.4+0.3-0.1=0.6.
考点一　古典概型
[例1] (2022·全国甲卷)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取2张,则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】 C
【解析】 从写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回地随机抽取2张,共有15种取法,它们分别是(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6),其中
2张卡片上的数字之积是4的倍数的是(1,4),(2,4),(2,6),(3,4),(4,5),(4,6),共6种取法,所以所求概率是P==.故选C.
[典例迁移1] (积问题改为和问题)从分别写有1,2,3,4,5,6的6张卡片中无放回随机抽取
2张,则抽到的2张卡片上的数字之和是5的倍数的概率为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】 A
【解析】 从6张卡片中无放回地随机抽取2张,有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,3),(2,4),
(2,5),(2,6),(3,4),(3,5),(3,6),(4,5),(4,6),(5,6)共15种情况,其中数字之和为5的倍数的有(1,4),(2,3),(4,6)共3种情况,所以所求的概率为=.故选A.
[典例迁移2] (无放回改为有放回)从编号为1,2,3,4,5,6的6张卡片中随机抽取一张,放回后再随机抽取一张,则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】 A
【解析】 从编号为1,2,3,4,5,6的6张卡片中随机抽取一张,放回后再随机抽取一张,有6×6=36(个)样本点,抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数有如下样本点(第一次抽到卡片1,第二次抽到卡片2用(1,2)表示):(1,4),(4,1),(2,2),(2,4),(4,2),(2,6),(6,2),(3,4),(4,3),(4,4),
(4,5),(5,4),(4,6),(6,4),(6,6),共15个,所以抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为P==.故选A.
[典例迁移3] (一组数改为两组数)现有两组卡片,第一组卡片上分别写有数字“2,3,4”,第二组卡片上分别写有数字“3,4,5”,现从每组卡片中各随机抽取一张,用抽取的第一组卡片上的数字减去抽取的第二组卡片上的数字,差为负数的概率为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】 D
【解析】 从每组卡片中各随机抽取一张,共有3×3=9(种)方法,用抽取的第一组卡片上的数字减去抽取的第二组卡片上的数字,差为负数的事件为(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),共 6种方法,因此概率为=.故选D.
古典概型的概率求解步骤
(1)求出所有样本点的个数n(样本点个数的求解方法主要是利用排列组合知识,也可以利用列举法或列表法等).
(2)求出事件A包含的所有样本点的个数k.
(3)代入公式P(A)=求解.
考点二　概率的基本性质
[例2] 从甲地到乙地沿某条公路一共行驶200 km,遇到红灯个数的概率如下表所示:
红灯 个数 0 1 2 3 4 5 6个及 6个以上
概率 0.02 0.1 a 0.35 0.2 0.1 0.03
(1)求表中字母a的值;
(2)求至少遇到4个红灯的概率;
(3)求至多遇到5个红灯的概率.
【解】 (1)由题意可得0.02+0.1+a+0.35+0.2+0.1+0.03=1,解得a=0.2.
(2)设事件A为“遇到红灯的个数为4”,事件B为“遇到红灯的个数为5”,事件C为“遇到红灯的个数为6个及6个以上”,则事件“至少遇到4个红灯”为A∪B∪C,因为事件A,B,C两两互斥,所以P(A∪B∪C)=P(A)+P(B)+P(C)=0.2+0.1+0.03=0.33,即至少遇到4个红灯的概率为0.33.
(3)设事件D为“遇到6个及6个以上红灯”,则至多遇到5个红灯为事件,
则P()=1-P(D)=1-0.03=0.97.
复杂事件概率的求解方法
(1)对于一个较复杂的事件,一般将其分解成几个简单的事件,当这些事件彼此互斥时,原事件的概率就是这些简单事件的概率的和.
(2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时,常常考虑其对立事件,通过求其对立事件的概率,转化为所求问题.
[针对训练]
一只袋子中装有7个红玻璃球,3个绿玻璃球,从中无放回地任意抽取两次,每次只取一个,取得两个红玻璃球的概率为,取得两个绿玻璃球的概率为,则取得两个同色玻璃球的概率为　　　　;至少取得一个红玻璃球的概率为　　　　.
【答案】 　
【解析】 由于“取得两个红玻璃球”与“取得两个绿玻璃球”是互斥事件,取得两个同色玻璃球,只需两互斥事件有一个发生即可,因而取得两个同色玻璃球的概率为+=.
由于事件“至少取得一个红玻璃球”与事件“取得两个绿玻璃球”是对立事件,则至少取得一个红玻璃球的概率为1-=.
考点三　古典概型与统计的综合问题
[例3] 某校有教师400人,对他们进行年龄状况和学历的调查,其结果如下:
学历 35岁以下 35~55岁 55岁及以上
本科 x 60 40
研究生 80 40 y
(1)若随机抽取一人,年龄是35岁以下的概率为,求x,y的值;
(2)在35~55岁年龄段的教师中,按学历状况用分层随机抽样的方法,抽取一个样本容量为5的样本,然后在这5名教师中任选2人,求两人中至多有1人的学历为本科的概率.
[溯源探本] 本例源于人教A版必修第二册P267复习参考题10 T4.
【解】 (1)由题意可知=,解得x=160,
故y=400-(160+80+60+40+40)=20.
(2)由分层随机抽样的规则可知,样本中学历为研究生的人数为×5=2,记为A1,A2,
学历为本科的人数为×5=3,记为B1,B2,B3,
从中任选2人所有的基本事件为(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),
(B1,B2),(B1,B3),(B2,B3),共10个,
设“至多有1人的学历为本科”为事件A,则事件A包含的基本事件为(A1,A2),(A1,B1),(A1,B2),
(A1,B3),(A2,B1),(A2,B2),(A2,B3),共7个.
所以P(A)=.
有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型.概率与统计的结合题,无论是直接描述还是利用频率分布表、频率分布直方图等给出的信息,准确从题中提炼信息是解题的关键.
[针对训练]
下图是某地5月1日至15日日平均温度变化的折线图,日平均温度高于20 ℃低于27 ℃时适宜户外活动,某人随机选择5月1日至5月14日中的某一天到达该地停留两天(包括到达当日).
(1)求这15天日平均温度的极差和均值;
(2)求此人停留期间只有一天的日平均温度适宜户外活动的概率.
【解】 (1)由折线图最高日平均温度为40 ℃,最低日平均温度为21 ℃,得日平均温度的极差为40-21=19(℃),
设日平均温度的均值为,
则=×(21+23+26+33+36+32+39+25+40+38+30+26+22+25+28)=29.6(℃).
(2)由题意此人停留的可能时间有14种情况,
只有一天的日平均温度适宜户外活动共有3~4日,7~8日,8~9日,11~12日,14~15日这5种情况,故概率P=.

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