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第7节　离散型随机变量及其分布列、数字特征
[学习目标]
1.了解离散型随机变量的概念.2.理解离散型随机变量的分布列及其均值、方差的概念.3.能计算离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题.
1.离散型随机变量
一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有 的实数X(ω)与之对应,我们称X为随机变量.可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量,我们称为离散型随机变量.通常用大写英文字母表示随机变量,例如X,Y,Z;用小写英文字母表示随机变量的取值,例如x,y,z.
2.离散型随机变量的分布列
一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,我们称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n为X的概率分布列,简称分布列.
3.离散型随机变量分布列的性质
(1)pi 0,i=1,2,…,n.
(2)p1+p2+…+pn= .
4.离散型随机变量的均值(数学期望)与方差
一般地,若离散型随机变量X的分布列如表所示,
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
(1)均值(数学期望).
称E(X)= =xipi为随机变量X的均值或数学期望,数学期望简称期望.它反映了随机变量取值的 .
(2)方差.
称D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-E(X))2pn= 为随机变量X的方差,并称为随机变量X的 ,记为σ(X).它们都可以度量随机变量取值与其均值的 .
因为X取每个值的概率不尽相同,所以均值与方差实际都是利用了加权平均数,当p1=p2=…=pn=时,就是公式=(x1+x2+…+xn)与s2=(xi-)2.
5.均值(数学期望)与方差的性质
(1)E(aX+b)= (a,b为常数).
(2)D(aX+b)= (a,b为常数).
1.E(k)=k,D(k)=0,其中k为常数.
2.E(X1+X2)=E(X1)+E(X2).
3.D(X)=E(X2)-(E(X))2.
4.若X1,X2相互独立,则E(X1X2)=E(X1)·E(X2).
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)离散型随机变量的概率分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象.(　　)
(2)离散型随机变量的分布列中,随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(　　)
(3)离散型随机变量的各个可能取值表示的事件是彼此互斥的.(　　)
(4)标准差越大,随机变量取值偏离均值的平均程度越小.(　　)
2.(人教A版选择性必修第三册P60练习T2(1)改编)抛掷两枚骰子,记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为X,则“X>4”表示的试验结果是(　　)
A.第一枚6点,第二枚2点
B.第一枚5点,第二枚1点
C.第一枚1点,第二枚6点
D.第一枚6点,第二枚1点
3.(人教A版选择性必修第三册P63例1)在篮球比赛中,罚球命中1次得1分,不中得0分.如果运动员甲罚球命中的概率是0.8,记运动员甲罚球1次的得分为X,则E(X)等于(　　)
A.0.2 B.0.4
C.0.8 D.1
4.(人教A版选择性必修第三册P70练习T1改编)已知随机变量X的分布列为
X 4 5
P 0.4 0.6
则D(5X-1)=(　　)
A.0.2 B.1.2
C.5 D.6
5.(人教A版选择性必修第三册P66练习T1改编)已知随机变量X的分布列为
X -1 0 1
P a
设Y=2X+3,则E(Y)的值为 .
考点一　离散型随机变量的分布列的性质
[例1] 设X是一个离散型随机变量,则下列不能作为X的分布列的一组概率取值的数据是(　　)
A.,
B.0.1,0.2,0.3,0.4
C.p,1-p(0D.,,…,
离散型随机变量分布列的性质的应用
(1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值.
(2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率.
(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.
[针对训练]
(1)下表是离散型随机变量X的分布列,则常数q的值是(　　)
X 0 1 2
P 0.36 1-2q q2
A.0.1 B.0.2
C.0.3 D.0.4
(2)(多选题)若随机变量X的分布列如下,则(　　)
X 1 2 3 4
P
A.t=10 B.P(X>1)=0.8
C.t=11 D.P(X≥3)=0.6
考点二　离散型随机变量的数字特征
[例2] (2025·江苏扬州模拟)为推广滑雪运动,某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是:滑雪时间不超过1 h免费,超过1 h的部分每小时收费40元(不足1 h的部分按1 h计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动,设甲、乙不超过1 h离开的概率分别为,;1 h以上且不超过2 h离开的概率分别为,;两人滑雪时间都不会超过3 h.
(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率;
(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ,求ξ的分布列与均值E(ξ),方差D(ξ).
计算均值与方差的基本方法
(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差,可直接用定义公式求.
(2)已知随机变量X的均值、方差,求X的线性函数Y=aX+b的均值、方差和标准差,可直接用均值及方差的性质求.
[针对训练]
在一次班级联欢晚会上,某班设计了一个摸球表演节目的游戏:在一个纸盒中装有红球、黄球、白球、黑球各1个,这些球除颜色外完全相同,要求不放回地每次摸出1个球,若摸到黑球,则停止摸球,否则就要将纸盒中的球全部摸出才停止.规定摸到红球表演2个节目,摸到白球或黄球表演1个节目,摸到黑球不用表演节目.
(1)求甲同学摸球三次后停止摸球的概率;
(2)记X为甲同学摸球后表演节目的个数,求随机变量X的分布列、数学期望和方差.
考点三　数字特征在决策中的应用
[例3] (2025·河北石家庄模拟)某投资公司在明年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上,现有两个项目供选择.
项目一:新能源汽车.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利30%,也可能亏损15%,且这两种情况发生的概率分别为和.
项目二:通信设备.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利50%,可能损失30%,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为,和 .
针对以上两个投资项目,请你为该投资公司选择一个合理的项目,并说明理由.
[溯源探本] 本例源于人教A版选择性必修第三册P69例6.
利用均值、方差进行决策的方法
(1)当均值不同时,直接在均值意义下根据两个随机变量取值的平均水平,对问题作出判断.
(2)若两随机变量均值相同或相差不大,则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度.
[针对训练]
(2025·江苏盐城模拟)随着假期的到来,各大旅游景点热闹非凡,为了解A,B两个旅游景点游客的满意度,某研究性学习小组采用随机抽样的方法,获得关于A旅游景点的问卷
100份,关于B旅游景点的问卷80份.问卷中,对景点的满意度等级分为非常满意、满意、一般、不满意,对应分数分别为4分、3分、2分、1分,数据统计如下:
项目 非常满意 满意 一般 不满意
A旅游景点 50 30 5 15
B旅游景点 35 30 7 8
假设用频率估计概率,且游客对A,B两个旅游景点的满意度评价相互独立.
(1)从所有(人数足够多)在A旅游景点的游客中随机抽取2人,从所有(人数足够多)在B旅游景点的游客中随机抽取2人,估计这4人中恰有2人给出“非常满意”的概率;
(2)根据上述数据,你若旅游,你会选择A,B哪个旅游景点 说明理由.第7节　离散型随机变量及其分布列、数字特征
[学习目标]
1.了解离散型随机变量的概念.2.理解离散型随机变量的分布列及其均值、方差的概念.3.能计算离散型随机变量的均值、方差,并能解决一些实际问题.
1.离散型随机变量
一般地,对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω,都有唯一的实数X(ω)与之对应,我们称X为随机变量.可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量,我们称为离散型随机变量.通常用大写英文字母表示随机变量,例如X,Y,Z;用小写英文字母表示随机变量的取值,例如x,y,z.
2.离散型随机变量的分布列
一般地,设离散型随机变量X的可能取值为x1,x2,…,xn,我们称X取每一个值xi的概率P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n为X的概率分布列,简称分布列.
3.离散型随机变量分布列的性质
(1)pi≥0,i=1,2,…,n.
(2)p1+p2+…+pn=1.
4.离散型随机变量的均值(数学期望)与方差
一般地,若离散型随机变量X的分布列如表所示,
X x1 x2 … xn
P p1 p2 … pn
(1)均值(数学期望).
称E(X)=x1p1+x2p2+…+xnpn=xipi为随机变量X的均值或数学期望,数学期望简称期望.它反映了随机变量取值的平均水平.
(2)方差.
称D(X)=(x1-E(X))2p1+(x2-E(X))2p2+…+(xn-E(X))2pn=(xi-E(X))2pi为随机变量X的方差,并称为随机变量X的标准差,记为σ(X).它们都可以度量随机变量取值与其均值的偏离程度.
因为X取每个值的概率不尽相同,所以均值与方差实际都是利用了加权平均数,当p1=p2=…=pn=时,就是公式=(x1+x2+…+xn)与s2=(xi-)2.
5.均值(数学期望)与方差的性质
(1)E(aX+b)=aE(X)+b(a,b为常数).
(2)D(aX+b)=a2D(X)(a,b为常数).
1.E(k)=k,D(k)=0,其中k为常数.
2.E(X1+X2)=E(X1)+E(X2).
3.D(X)=E(X2)-(E(X))2.
4.若X1,X2相互独立,则E(X1X2)=E(X1)·E(X2).
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)离散型随机变量的概率分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象.(　　)
(2)离散型随机变量的分布列中,随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(　　)
(3)离散型随机变量的各个可能取值表示的事件是彼此互斥的.(　　)
(4)标准差越大,随机变量取值偏离均值的平均程度越小.(　　)
【答案】 (1)√　(2)×　(3)√　(4)×
2.(人教A版选择性必修第三册P60练习T2(1)改编)抛掷两枚骰子,记第一枚骰子掷出的点数与第二枚骰子掷出的点数之差为X,则“X>4”表示的试验结果是(　　)
A.第一枚6点,第二枚2点
B.第一枚5点,第二枚1点
C.第一枚1点,第二枚6点
D.第一枚6点,第二枚1点
【答案】 D
【解析】 抛掷两枚骰子,第一枚骰子和第二枚骰子点数之差是一个随机变量X,
则“X>4”表示的实验结果只能是X=5,即第一枚6点,第二枚1点.故选D.
3.(人教A版选择性必修第三册P63例1)在篮球比赛中,罚球命中1次得1分,不中得0分.如果运动员甲罚球命中的概率是0.8,记运动员甲罚球1次的得分为X,则E(X)等于(　　)
A.0.2 B.0.4
C.0.8 D.1
【答案】 C
【解析】 由题意得X的可能取值为0,1,P(X=0)=1-0.8=0.2,P(X=1)=0.8,
所以E(X)=0×0.2+1×0.8=0.8.故选C.
4.(人教A版选择性必修第三册P70练习T1改编)已知随机变量X的分布列为
X 4 5
P 0.4 0.6
则D(5X-1)=(　　)
A.0.2 B.1.2
C.5 D.6
【答案】 D
【解析】 因为E(X)=4×0.4+5×0.6=4.6,
所以D(X)=(4-4.6)2×0.4+(5-4.6)2×0.6=0.24,
所以D(5X-1)=25D(X)=25×0.24=6.故选D.
5.(人教A版选择性必修第三册P66练习T1改编)已知随机变量X的分布列为
X -1 0 1
P a
设Y=2X+3,则E(Y)的值为　　　　.
【答案】
【解析】 由离散型随机变量分布列的性质可得++a=1,得a=,
所以E(X)=-1×+0×+1×=-,
因此,E(Y)=E(2X+3)=2E(X)+3=.
考点一　离散型随机变量的分布列的性质
[例1] 设X是一个离散型随机变量,则下列不能作为X的分布列的一组概率取值的数据是(　　)
A.,
B.0.1,0.2,0.3,0.4
C.p,1-p(0D.,,…,
【答案】 D
【解析】 根据分布列的性质可知,所有的概率之和等于1,且0≤pk≤1,k=1,2,…,n.
对于A,因为+=1,满足0≤pk≤1,所以A选项能作为X的分布列的一组概率取值的数据;
对于B,因为0.1+0.2+0.3+0.4=1,且满足0≤pk≤1,所以B选项能作为X的分布列的一组概率取值的数据;
对于C,因为p+1-p=1,且满足0≤pk≤1,所以C选项能作为X的分布列的一组概率取值的
数据;
对于D,因为++…+=1-=,所以D选项不能作为X的分布列的一组概率取值的数据.故选D.
离散型随机变量分布列的性质的应用
(1)利用“概率之和为1”可以求相关参数的值.
(2)利用“在某个范围内的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和”求某些特定事件的概率.
(3)可以根据性质判断所得分布列结果是否正确.
[针对训练]
(1)下表是离散型随机变量X的分布列,则常数q的值是(　　)
X 0 1 2
P 0.36 1-2q q2
A.0.1 B.0.2
C.0.3 D.0.4
(2)(多选题)若随机变量X的分布列如下,则(　　)
X 1 2 3 4
P
A.t=10 B.P(X>1)=0.8
C.t=11 D.P(X≥3)=0.6
【答案】 (1)B　(2)AD
【解析】 (1)由已知得0.36+1-2q+q2=1,解得q=0.2或q=1.8(舍去).故选B.
(2)因为(1+2+3+4)=1,解得t=10,故A正确,C错误;
由分布列可知P(X>1)=1-P(X=1)=1-0.1=0.9,故B错误;P(X≥3)=0.4+0.2=0.6,故D正确.
故选AD.
考点二　离散型随机变量的数字特征
[例2] (2025·江苏扬州模拟)为推广滑雪运动,某滑雪场开展滑雪促销活动.该滑雪场的收费标准是:滑雪时间不超过1 h免费,超过1 h的部分每小时收费40元(不足1 h的部分按1 h计算).有甲、乙两人相互独立地来该滑雪场运动,设甲、乙不超过1 h离开的概率分别为,;1 h以上且不超过2 h离开的概率分别为,;两人滑雪时间都不会超过3 h.
(1)求甲、乙两人所付滑雪费用相同的概率;
(2)设甲、乙两人所付的滑雪费用之和为随机变量ξ,求ξ的分布列与均值E(ξ),方差D(ξ).
【解】 (1)两人所付费用相同,相同的费用可能为0元、40元、80元,
甲、乙两人2 h以上且不超过3 h离开的概率分别为1--=,1--=.
两人都付0元的概率为P1=×=,
两人都付40元的概率为P2=×=,
两人都付80元的概率为P3=×=,
则两人所付费用相同的概率为P=P1+P2+P3=++=.
(2)ξ的所有可能取值为0,40,80,120,160,
则P(ξ=0)=×=,
P(ξ=40)=×+×=,
P(ξ=80)=×+×+×=,
P(ξ=120)=×+×=,
P(ξ=160)=×=.
所以随机变量ξ的分布列为
ξ 0 40 80 120 160
P
E(ξ)=0×+40×+80×+120×+160×=80,
D(ξ)=(0-80)2×+(40-80)2×+(80-80)2×+(120-80)2×+(160-80)2×=.
计算均值与方差的基本方法
(1)已知随机变量的分布列求它的均值、方差和标准差,可直接用定义公式求.
(2)已知随机变量X的均值、方差,求X的线性函数Y=aX+b的均值、方差和标准差,可直接用均值及方差的性质求.
[针对训练]
在一次班级联欢晚会上,某班设计了一个摸球表演节目的游戏:在一个纸盒中装有红球、黄球、白球、黑球各1个,这些球除颜色外完全相同,要求不放回地每次摸出1个球,若摸到黑球,则停止摸球,否则就要将纸盒中的球全部摸出才停止.规定摸到红球表演2个节目,摸到白球或黄球表演1个节目,摸到黑球不用表演节目.
(1)求甲同学摸球三次后停止摸球的概率;
(2)记X为甲同学摸球后表演节目的个数,求随机变量X的分布列、数学期望和方差.
【解】 (1)设“甲同学摸球三次后停止摸球”为事件E,则P(E)==,
故甲同学摸球三次后停止摸球的概率为.
(2)随机变量X的可能取值为0,1,2,3,4.
P(X=0)=,P(X=1)==,P(X=2)=+=,P(X=3)==,P(X=4)==.
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3 4
P
所以E(X)=0×+1×+2×+3×+4×=2,
D(X)=(0-2)2×+(1-2)2×+(2-2)2×+(3-2)2×+(4-2)2×=.
考点三　数字特征在决策中的应用
[例3] (2025·河北石家庄模拟)某投资公司在明年年初准备将1 000万元投资到“低碳”项目上,现有两个项目供选择.
项目一:新能源汽车.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利30%,也可能亏损15%,且这两种情况发生的概率分别为和.
项目二:通信设备.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利50%,可能损失30%,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为,和 .
针对以上两个投资项目,请你为该投资公司选择一个合理的项目,并说明理由.
[溯源探本] 本例源于人教A版选择性必修第三册P69例6.
【解】 对于项目一,该项目到年底可能获利30%,也可能亏损15%,且这两种情况发生的概率分别为和,设按该项目投资,获利为ξ万元,
则随机变量ξ的分布列为
ξ 300 -150
P
所以E(ξ)=300×-150×=200(万元),
D(ξ)=(300-200)2×+(-150-200)2×=35 000.
对于项目二,该项目到年底可能获利50%,可能损失30%,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为,和,设按该项目投资,获利为η万元,
则随机变量η的分布列为
η 500 0 -300
P
所以E(η)=500×+0×-300×=200(万元),
D(η)=(500-200)2×+(0-200)2×+(-300-200)2×=140 000.
因为E(ξ)=E(η),D(ξ)所以说明虽然项目一、项目二获利相等,但项目一更稳妥.
综上所述,建议该公司选择项目一投资.
利用均值、方差进行决策的方法
(1)当均值不同时,直接在均值意义下根据两个随机变量取值的平均水平,对问题作出判断.
(2)若两随机变量均值相同或相差不大,则可通过分析两变量的方差来研究随机变量的离散程度或者稳定程度.
[针对训练]
(2025·江苏盐城模拟)随着假期的到来,各大旅游景点热闹非凡,为了解A,B两个旅游景点游客的满意度,某研究性学习小组采用随机抽样的方法,获得关于A旅游景点的问卷
100份,关于B旅游景点的问卷80份.问卷中,对景点的满意度等级分为非常满意、满意、一般、不满意,对应分数分别为4分、3分、2分、1分,数据统计如下:
项目 非常满意 满意 一般 不满意
A旅游景点 50 30 5 15
B旅游景点 35 30 7 8
假设用频率估计概率,且游客对A,B两个旅游景点的满意度评价相互独立.
(1)从所有(人数足够多)在A旅游景点的游客中随机抽取2人,从所有(人数足够多)在B旅游景点的游客中随机抽取2人,估计这4人中恰有2人给出“非常满意”的概率;
(2)根据上述数据,你若旅游,你会选择A,B哪个旅游景点 说明理由.
【解】 (1)设“这4人中恰有2人给出′非常满意′的评价”为事件C,由题表中数据可知,在A旅游景点的游客给出“非常满意”评价的概率为=,
在B旅游景点的游客给出“非常满意”评价的概率为=,
则P(C)=()2×(1-)2+××(1-)×××(1-)+(1-)2×()2=.
(2)设一位游客对A旅游景点的满意度评分为X,一位游客对B旅游景点的满意度评分
为Y,
由题表中数据得X的分布列为
X 1 2 3 4
P
Y的分布列为
Y 1 2 3 4
P
则E(X)=4×0.5+3×0.3+2×0.05+1×0.15=3.15,
D(X)=0.852×0.5+(-0.15)2×0.3+(-1.15)2×0.05+(-2.15)2×0.15=1.127 5,
E(Y)=4×+3×+2×+1×=3.15,
D(Y)=0.852×+(-0.15)2×+(-1.15)2×+(-2.15)2×=0.902 5,
显然E(X)=E(Y),D(X)>D(Y),所以选择B旅游景点.

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