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第8节　二项分布、超几何分布与正态分布
[学习目标]
1.了解伯努利试验,掌握二项分布及其数字特征,并能解决简单的实际问题.2.了解超几何分布,理解超几何分布与二项分布的区别与联系,并能解决简单的实际问题.3.了解正态分布的意义,理解正态曲线的性质,会用正态分布解决实际问题.
1.两点分布
对于只有两个可能结果的随机试验,用A表示“成功”,表示“失败”,定义X=如果P(A)=p,则P()=1-p,那么X的分布列如下表所示.
X 0 1
P 1-p p
我们称X服从两点分布或0—1分布.
一般地,如果随机变量X服从两点分布,那么E(X)=p,D(X)=p(1-p).
2.二项分布
(1)n重伯努利试验.
①我们把只包含两个可能结果的试验叫做伯努利试验.
②我们将一个伯努利试验独立地重复进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.显然,n重伯努利试验具有如下共同特征:
同一个伯努利试验重复做n次;各次试验的结果相互独立.
(2)二项分布.
一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p).
(3)二项分布的均值与方差.
如果X~B(n,p),那么E(X)=np,D(X)=np(1-p).
(1)两点分布是二项分布的特殊情况.
(2)二项分布是放回抽样问题(独立重复).
3.超几何分布
(1)超几何分布.
一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为
P(X=k)=,k=m,m+1,m+2,…,r.
其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.
(2)超几何分布的均值.
设随机变量X服从超几何分布,则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中,不放回地随机抽取n件产品中的次品数.令p=,则p是N件产品的次品率,而是抽取的n件产品的次品率,则E()=p,即E(X)==np.
(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征:①考察对象分两类;②已知各类对象的个数;③从中抽取若干个个体,考查某类个体数X的概率分布.
(2)“二项分布”与“超几何分布”的区别:放回抽取问题对应二项分布,不放回抽取问题对应超几何分布,当总体容量很大时,超几何分布可近似为二项分布来处理.
(3)在实际应用中,往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼,这表明试验可视为n重伯努利试验,进而判定是否服从二项分布.
4.正态分布
(1)连续型随机变量.
大量问题中的随机变量不是离散型的,它们的取值往往充满某个区间甚至整个实轴,但取一点的概率为0,我们称这类随机变量为连续型随机变量.
(2)正态密度函数.
①f(x)=,x∈R.其中μ∈R,σ>0为参数.
对任意的x∈R,f(x)>0,它的图象在x轴的上方.我们称f(x)为正态密度函数,称它的图象为正态密度曲线,简称正态曲线.
②若随机变量X的概率分布密度函数为f(x),则称随机变量X服从正态分布,记为X~N(μ,σ2).特别地,当μ=0,σ=1时,称随机变量X服从标准正态分布.
③若X~N(μ,σ2),则如图所示,X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域A的面积,而P(a≤X≤b)为图中区域B的面积.
(3)正态曲线的特点.
①曲线是单峰的,它关于直线x=μ对称;
②曲线在x=μ处达到峰值;
③当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴;
④当参数σ取固定值时,正态曲线的位置由μ确定,且随着μ的变化而沿x轴平移,如图
所示.
当μ取定值时,因为正态曲线的峰值与σ成反比,而且对任意的σ>0,正态曲线与x轴之间的区域的面积总为1.因此,当σ较小时,峰值高,正态曲线“瘦高”,表示随机变量X的分布比较集中;当σ较大时,峰值低,正态曲线“矮胖”,表示随机变量X的分布比较分散,如图所示.
(4)正态分布的均值与方差.
若X~N(μ,σ2),则E(X)=μ,D(X)=σ2.
(5)正态分布在三个特殊区间内的概率.
P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,
P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,
P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
上述结果可用下图表示.
在实际应用中,通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ-3σ,μ+3σ]中的值,这在统计学中称为3σ原则.
对于X~N(μ,σ2),由直线x=μ是正态曲线的对称轴知:
(1)对任意的a有P(X<μ-a)=P(X>μ+a).
(2)P(X(3)P(a1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)两点分布是二项分布当n=1时的特殊情形.(　　)
(2)8道四选一的单选题,随机猜结果,猜对答案的题目数X~B(8,0.25).(　　)
(3)从4名男生和3名女生中选出4人,其中女生的人数X服从超几何分布.(　　)
(4)当μ取定值时,正态曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“矮胖”.(　　)
【答案】 (1)√　(2)√　(3)√　(4)×
2.(人教A版选择性必修第三册P76练习T1节选)将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次,记X为“正面朝上”出现的次数,则随机变量X的均值E(X)=(　　)
A.2 B.1
C. D.
【答案】 A
【解析】 由题意可知,X~B(4,),所以E(X)=4×=2.故选A.
3.(人教A版选择性必修第三册P87练习T1改编)已知随机变量X服从正态分布N(3,1),且P(X>2c-1)=P(XA. B.4
C. D.1
【答案】 A
【解析】 因为随机变量X服从正态分布N(3,1),且P(X>2c-1)=P(X4.(人教A版选择性必修第三册P79例6改编)袋中装有除颜色外完全相同的5个球,其中有2个红球,3个黄球,有放回地抽取3次,每次抽取1个球,则3次中恰有2次抽到黄球的概率是(　　)
A. B.
C. D.
【答案】 D
【解析】 袋中装有2个红球,3个黄球,有放回地抽取3次,每次抽取1个球,每次取到黄球的概率P1=,所以3次中恰有2次抽到黄球的概率是P=·()2(1-)=.故选D.
5.(人教A版选择性必修第三册P78例5改编)从一批含有13件合格品、2件不合格品的产品中,不放回地任取3件,设取得的不合格品数为X,则P(X<1)=　　　　.
【答案】
【解析】 由题意知X服从超几何分布,则P(X=0)==,所以P(X<1)=P(X=0)=.
考点一　n重伯努利试验与二项分布
角度一　n重伯努利试验
[例1] 甲、乙两名同学进行象棋比赛,采用五局三胜制(当一人赢得三局时,此人获胜,比赛结束).根据以往比赛成绩,每局比赛中甲获胜的概率都是p(0[溯源探本] 本例源于人教A版选择性必修第三册P75例3.
【答案】 [,1)
【解析】 由题意可得,甲以3∶1获胜的概率为P1=p2(1-p)p=3(1-p)p3,
甲以3∶2获胜的概率P2=p2(1-p)2p=6(1-p)2p3.
因为P1≥P2,所以3(1-p)p3≥6(1-p)2p3,解得1≥p≥.又因为0即p的取值范围为[,1).
在求n重伯努利试验中事件恰好发生k次的概率时,首先要确定好n和k的值,再准确利用公式求概率.
角度二　二项分布
[例2] (2025·安徽池州模拟)学校组织某项劳动技能测试,每名学生最多有3次测试机会.一旦某次测试通过,便可获得证书,不再参加以后的测试,否则就继续参加测试,直到用完3次机会.如果每名学生在3次测试中通过的概率依次为0.5,0.6,0.8,且每次测试是否通过相互独立.现某小组有3名学生参加测试,回答下列问题.
(1)求该小组学生甲参加考试次数X的分布列及数学期望E(X);
(2)规定:在2次以内测试通过(包含2次)获得优秀证书,超过2次测试通过获得合格证书.记该小组3名学生中获得优秀证书的人数为Y,求使得P(Y=k)取得最大值的整数k.
【解】 (1)由题意知,X所有可能的取值为1,2,3,
因为P(X=1)=0.5,P(X=2)=(1-0.5)×0.6=0.3,P(X=3)=(1-0.5)×(1-0.6)=0.2,
所以X的分布列为
X 1 2 3
P 0.5 0.3 0.2
所以E(X)=1×0.5+2×0.3+3×0.2=1.7.
(2)由题意知,每名学生获得优秀证书的概率P=P(X=1)+P(X=2)=0.5+0.3=0.8=.
法一　因为Y所有可能的取值为0,1,2,3,且Y~B(3,),
所以P(Y=0)=×()0×(1-)3=,
P(Y=1)=×()1×(1-)2=,
P(Y=2)=×()2×(1-)1=,
P(Y=3)=×()3×(1-)0=,
所以P(Y=0)法二　由Y~B(3,)得P(Y=k)=×()k×()3-k,k=0,1,2,3,
所以===4(-1)≥4×(-1)=>1,k=1,2,3,
所以P(Y=3)>P(Y=2)>P(Y=1)>P(Y=0),所以使得P(Y=k)取得最大值的整数k的值为3.
(1)判断某随机变量是否服从二项分布的关键点.
①在每一次试验中,事件发生的概率相同;
②各次试验中的事件是相互独立的;
③在每一次试验中,试验的结果只有两个,即发生与不发生;
④确定二项分布中的两个参数n和p,即试验进行的次数和每次试验中事件发生的概率.
(2)求随机变量X的期望与方差时,如果X~B(n,p),则用公式E(X)=np,D(X)=np(1-p)求解,可大大减少计算量.
[针对训练]
1.(角度一)篮球爱好者小张练习定点投篮,分别在 5个不同位置投篮,每个位置投篮2次,每个位置进球1次得1分,进球2次共得3分.若小张每次投篮进球的概率都是,则小张投篮10次后总得分不低于12分的概率为　　　　.
【答案】
【解析】 小张投篮10次后总得分不低于12分可以分为以下3种情况:
4个位置都投进2球,1个位置没投进球,得12分;
4个位置都投进2球,1个位置只投进1球,即9次投进球,1次没投进球,得13分;
5个位置都投进2球,即10次全部投进球,得15分.
所以小张投球10次后得分不低于12分的概率为
P=×()8×(1-)2+×()9×(1-)+×()10=.
2.(角度二)在一次国际大型体育运动会上,某运动员报名参加了其中3个项目的比赛.已知该运动员在这3个项目中,每个项目能打破世界纪录的概率都是,那么在本次运动会上,
(1)求该运动员至少能打破2项世界纪录的概率;
(2)若该运动员能打破世界纪录的项目数为X,求X的分布列及期望.
【解】 (1)依题意,该运动员在每个项目上“能打破世界纪录”为独立事件,并且每个事件发生的概率相同.
设其能打破世界纪录的项目数为随机变量ξ,“该运动员至少能打破2项世界纪录”为事件A,则有P(A)=P(ξ=2)+P(ξ=3)=()2()1+()3=.
(2)设该运动员能打破世界纪录的项目数为X,由(1)可知,X~B(3,),
则P(X=0)=(1-)3=,
P(X=1)=(1-)2=,
P(X=2)=()2(1-)1=,
P(X=3)=()3=,
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
E(X)=3×=2.
考点二　超几何分布
角度一　超几何分布及概率计算
[例3] 盒中有10个灯泡,其中有3个是坏的,现从盒中随机抽取4个,那么概率是的事件为(　　)
A.恰有1个是坏的
B.4个全是好的
C.恰有2个是坏的
D.至多有2个是坏的
【答案】 C
【解析】 盒中有10个灯泡,现从盒中随机抽取4个的总数为=210.
盒中有10个灯泡,现从盒中随机抽取4个,恰有1个是坏的概率为=,故A错误;
盒中有10个灯泡,现从盒中随机抽取4个,4个全是好的概率为=,故B错误;
盒中有10个灯泡,现从盒中随机抽取4个,恰有2个是坏的概率为=,故C正确;
盒中有10个灯泡,现从盒中随机抽取4个,至多2个是坏的概率为=,故D错误.故选C.
超几何分布的本质是古典概型,要从古典概型的角度加以理解公式P(X=k)=,即恰取了k件次品的概率=,超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型.
角度二　超几何分布的分布列
[例4] 某大学生志愿者协会有6名男同学,4名女同学.在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学到某小学进行志愿服务活动(每名同学被选到的可能性相同).
(1)求选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率;
(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列及期望.
【解】 (1)从这10名同学中随机选取3名同学到某小学进行志愿服务活动,样本点总数n=,
设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A,事件A包含的样本点个数m=+,
则选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率为P(A)==.
(2)随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3,
P(X=0)==,P(X=1)==,
P(X=2)==,P(X=3)==,
所以随机变量X的分布列为
X 0 1 2 3
P
E(X)=0×+1×+2×+3×=.
(1)求超几何分布的分布列的步骤.
第一步,验证随机变量服从超几何分布,并确定参数N,M,n的值;
第二步,根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率;
第三步,用表格的形式列出分布列.
(2)超几何分布在计算出均值后,可以用进行验证.
[针对训练]
1.(角度一)一批零件共有10个,其中有3个不合格品,从这批零件中随机抽取2个进行检测,则恰有 1个不合格品的概率为(　　)
A. B.
C. D.
【答案】 C
【解析】 由题意可知,恰有1个不合格品的概率为P==.故选C.
2.(角度二)据调查,目前对于已经近视的高中学生,有两种佩戴眼镜的选择,一种是佩戴传统的框架眼镜;另一种是佩戴角膜塑形镜.某市从该地区高中学生中随机抽取容量为100的样本,其中因近视佩戴眼镜的有24人(其中佩戴角膜塑形镜的有8人,其中2名是男生,
6名是女生).
(1)若从样本中选一名学生,已知这名高中生戴眼镜,那么,其戴的是角膜塑形镜的概率是
多大
(2)从这8名戴角膜塑形镜的学生中,选出3个人,求其中男生人数X的分布列及期望.
【解】 (1)根据题中样本数据,设“这名高中学生佩戴眼镜”为事件A,则P(A)==0.24,“这名高中学生佩戴的眼镜是角膜塑形镜”为事件B,则“这名高中生佩戴眼镜,且眼镜是角膜塑形镜”为事件AB,
则P(AB)==0.08,
故所求的概率为P(B|A)===,
所以从样本中选一名学生,已知这名高中生戴眼镜,则其戴的是角膜塑形镜的概率是.
(2)依题意,佩戴角膜塑形镜的有8人,其中2名是男生,6名是女生,故从中抽3人,男生人数X的所有可能取值为0,1,2,
其中P(X=0)====;
P(X=1)====;
P(X=2)====.
所以男生人数X的分布列为
X 0 1 2
P
所以E(X)=0×+1×+2×==0.75.
考点三　正态分布
[例5] (1)某市组织了一次高二调研考试,考试后统计的数学成绩服从正态分布,其正态密度函数为f(x)=,则下列命题不正确的是(　　)
A.该市这次考试的数学平均成绩为80分
B.分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同
C.分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同
D.该市这次考试的数学成绩标准差为10
(2)(2025·安徽合肥模拟)已知某地区高中生的身高X近似服从正态分布N(169,σ2),若P(X≥175)=0.2,则P(163A.0.3 B.0.4
C.0.5 D.0.6
(3)(多选题)(2024·新课标Ⅰ卷)为了解推动出口后的亩收入(单位:万元)情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值=2.1,样本方差s2=0.01,已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8,0.12),假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(,s2),则(　　)
(若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),P(Z<μ+σ)≈0.841 3)
A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5
C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8
【答案】 (1)B　(2)D　(3)BC
【解析】 (1)因为正态密度函数f(x)=·,所以该市这次考试的数学平均成绩为80分,该市这次考试的数学成绩标准差为10,正态曲线关于直线x=80对称,且50与110也关于直线x=80对称,故分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同.故选B.
(2)依题意,P(163(3)依题可知,=2.1,s2=0.01,
所以Y~N(2.1,0.12),
故P(Y>2)=P(Y>2.1-0.1)=P(Y<2.1+0.1)≈0.841 3>0.5,C正确,D错误;
因为X~N(1.8,0.12),所以P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1),
因为P(X<1.8+0.1)≈0.841 3,所以P(X≥1.8+0.1)≈1-0.841 3≈0.158 7<0.2,
而P(X>2)=P(X>1.8+2×0.1)1.8+0.1)<0.2,P(X>2)1.8)=0.5,B正确,A错误.故选BC.
(1)正态曲线在已知区间上的概率求解问题,可利用正态曲线关于直线x=μ对称的特征,结合正态曲线及正态曲线的性质如P(Xμ+a)等求解.
(2)利用正态分布结合样本总体估计样本落在某一区间的频数时,首先应计算出样本落在该区间的频(概)率,再根据频(概)率的意义求解,此类问题要注意3σ原则的应用.
(3)利用正态分布求解实际问题,首先应根据题目特征计算随机变量的均值与方差,进而计算标准差,将问题转化为正态分布问题,结合正态分布的有关性质求解.计算时要注意计算结果的准确性(若已知题目中告诉相应的数据,则在计算中应出现并利用相应的数据).
[针对训练]
(1)(2025·山东泰安模拟)已知随机变量X的正态密度函数为f(x)=,若P(X>2a+1)=P(X<1-a),则a=(　　)
A.-2 B.0
C.1 D.2
(2)(2025·湖南长沙模拟)已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),且P(X<2-k)=P(X>2+k)=0.3,
k>0,则P(2A.0.2 B.0.3
C.0.7 D.0.8
(3)某市教育部门为了解本市高三学生的身高状况,从本市全体高三学生中随机抽查了
1 200人,经统计后发现样本的身高(单位:cm)近似服从正态分布N(172,σ2),且身高在
168 cm到176 cm之间的人数占样本量的75%,则样本中身高不低于176 cm的约有(　　)
A.150人 B.300人
C.600人 D.900人
【答案】 (1)D　(2)A　(3)A
【解析】 (1)依题意,可得2a+1+1-a=4,解得a=2.故选D.
(2)根据正态曲线的对称性,由P(X<2-k)=P(X>2+k),得μ==2,
因为P(X<2-k)=P(X>2+k)=0.3,k>0,所以P(2(3)因为X~N(172,σ2),P(168所以P(172所以样本中身高不低于176 cm的约有0.125×1 200=150(人).故选A.第8节　二项分布、超几何分布与正态分布
[学习目标]
1.了解伯努利试验,掌握二项分布及其数字特征,并能解决简单的实际问题.2.了解超几何分布,理解超几何分布与二项分布的区别与联系,并能解决简单的实际问题.3.了解正态分布的意义,理解正态曲线的性质,会用正态分布解决实际问题.
1.两点分布
对于只有两个可能结果的随机试验,用A表示“成功”,表示“失败”,定义X=如果P(A)=p,则P()=1-p,那么X的分布列如下表所示.
X 0 1
P 1-p p
我们称X服从 或0—1分布.
一般地,如果随机变量X服从两点分布,那么E(X)= ,D(X)= .
2.二项分布
(1)n重伯努利试验.
①我们把只包含 个可能结果的试验叫做伯努利试验.
②我们将一个伯努利试验 进行n次所组成的随机试验称为n重伯努利试验.显然,n重伯努利试验具有如下共同特征:
同一个伯努利试验重复做n次;各次试验的结果 .
(2)二项分布.
一般地,在n重伯努利试验中,设每次试验中事件A发生的概率为p(0如果随机变量X的分布列具有上式的形式,则称随机变量X服从二项分布,记作 .
(3)二项分布的均值与方差.
如果X~B(n,p),那么E(X)= ,D(X)= .
(1)两点分布是二项分布的特殊情况.
(2)二项分布是放回抽样问题(独立重复).
3.超几何分布
(1)超几何分布.
一般地,假设一批产品共有N件,其中有M件次品.从N件产品中随机抽取n件(不放回),用X表示抽取的n件产品中的次品数,则X的分布列为
P(X=k)=,k=m,m+1,m+2,…,r.
其中n,N,M∈N*,M≤N,n≤N,m=max{0,n-N+M},r=min{n,M}.如果随机变量X的分布列具有上式的形式,那么称随机变量X服从超几何分布.
(2)超几何分布的均值.
设随机变量X服从超几何分布,则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中,不放回地随机抽取n件产品中的次品数.令p=,则p是N件产品的 ,而是抽取的n件产品的 ,则E()=p,即E(X)== .
(1)超几何分布描述的是不放回抽样问题,随机变量为抽到的某类个体的个数.超几何分布的特征:①考察对象分两类;②已知各类对象的个数;③从中抽取若干个个体,考查某类个体数X的概率分布.
(2)“二项分布”与“超几何分布”的区别:放回抽取问题对应二项分布,不放回抽取问题对应超几何分布,当总体容量很大时,超几何分布可近似为二项分布来处理.
(3)在实际应用中,往往出现数量“较大”“很大”“非常大”等字眼,这表明试验可视为n重伯努利试验,进而判定是否服从二项分布.
4.正态分布
(1)连续型随机变量.
大量问题中的随机变量不是离散型的,它们的取值往往充满某个 甚至 ,但取一点的概率为 ,我们称这类随机变量为连续型随机变量.
(2)正态密度函数.
①f(x)=,x∈R.其中μ∈R,σ>0为参数.
对任意的x∈R,f(x)>0,它的图象在x轴的上方.我们称f(x)为正态密度函数,称它的图象为 ,简称正态曲线.
②若随机变量X的概率分布密度函数为f(x),则称随机变量X服从 分布,记为 .特别地,当 , 时,称随机变量X服从标准正态分布.
③若X~N(μ,σ2),则如图所示,X取值不超过x的概率P(X≤x)为图中区域 的面积,而P(a≤X≤b)为图中区域 的面积.
(3)正态曲线的特点.
①曲线是单峰的,它关于直线 对称;
②曲线在x=μ处达到峰值;
③当|x|无限增大时,曲线无限接近x轴;
④当参数σ取固定值时,正态曲线的位置由μ确定,且随着μ的变化而沿x轴平移,如图
所示.
当μ取定值时,因为正态曲线的峰值与σ成反比,而且对任意的σ>0,正态曲线与x轴之间的区域的面积总为1.因此,当σ较小时,峰值高,正态曲线“ ”,表示随机变量X的分布比较 ;当σ较大时,峰值低,正态曲线“ ”,表示随机变量X的分布比较 ,如图所示.
(4)正态分布的均值与方差.
若X~N(μ,σ2),则E(X)= ,D(X)= .
(5)正态分布在三个特殊区间内的概率.
P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.682 7,
P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.954 5,
P(μ-3σ≤X≤μ+3σ)≈0.997 3.
上述结果可用下图表示.
在实际应用中,通常认为服从于正态分布N(μ,σ2)的随机变量X只取[μ-3σ,μ+3σ]中的值,这在统计学中称为3σ原则.
对于X~N(μ,σ2),由直线x=μ是正态曲线的对称轴知:
(1)对任意的a有P(X<μ-a)=P(X>μ+a).
(2)P(X(3)P(a1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)两点分布是二项分布当n=1时的特殊情形.(　　)
(2)8道四选一的单选题,随机猜结果,猜对答案的题目数X~B(8,0.25).(　　)
(3)从4名男生和3名女生中选出4人,其中女生的人数X服从超几何分布.(　　)
(4)当μ取定值时,正态曲线的形状由σ确定,σ越小,曲线越“矮胖”.(　　)
2.(人教A版选择性必修第三册P76练习T1节选)将一枚质地均匀的硬币连续抛掷4次,记X为“正面朝上”出现的次数,则随机变量X的均值E(X)=(　　)
A.2 B.1
C. D.
3.(人教A版选择性必修第三册P87练习T1改编)已知随机变量X服从正态分布N(3,1),且P(X>2c-1)=P(XA. B.4
C. D.1
4.(人教A版选择性必修第三册P79例6改编)袋中装有除颜色外完全相同的5个球,其中有2个红球,3个黄球,有放回地抽取3次,每次抽取1个球,则3次中恰有2次抽到黄球的概率是(　　)
A. B.
C. D.
5.(人教A版选择性必修第三册P78例5改编)从一批含有13件合格品、2件不合格品的产品中,不放回地任取3件,设取得的不合格品数为X,则P(X<1)= .
考点一　n重伯努利试验与二项分布
角度一　n重伯努利试验
[例1] 甲、乙两名同学进行象棋比赛,采用五局三胜制(当一人赢得三局时,此人获胜,比赛结束).根据以往比赛成绩,每局比赛中甲获胜的概率都是p(0[溯源探本] 本例源于人教A版选择性必修第三册P75例3.
在求n重伯努利试验中事件恰好发生k次的概率时,首先要确定好n和k的值,再准确利用公式求概率.
角度二　二项分布
[例2] (2025·安徽池州模拟)学校组织某项劳动技能测试,每名学生最多有3次测试机会.一旦某次测试通过,便可获得证书,不再参加以后的测试,否则就继续参加测试,直到用完3次机会.如果每名学生在3次测试中通过的概率依次为0.5,0.6,0.8,且每次测试是否通过相互独立.现某小组有3名学生参加测试,回答下列问题.
(1)求该小组学生甲参加考试次数X的分布列及数学期望E(X);
(2)规定:在2次以内测试通过(包含2次)获得优秀证书,超过2次测试通过获得合格证书.记该小组3名学生中获得优秀证书的人数为Y,求使得P(Y=k)取得最大值的整数k.
(1)判断某随机变量是否服从二项分布的关键点.
①在每一次试验中,事件发生的概率相同;
②各次试验中的事件是相互独立的;
③在每一次试验中,试验的结果只有两个,即发生与不发生;
④确定二项分布中的两个参数n和p,即试验进行的次数和每次试验中事件发生的概率.
(2)求随机变量X的期望与方差时,如果X~B(n,p),则用公式E(X)=np,D(X)=np(1-p)求解,可大大减少计算量.
[针对训练]
1.(角度一)篮球爱好者小张练习定点投篮,分别在 5个不同位置投篮,每个位置投篮2次,每个位置进球1次得1分,进球2次共得3分.若小张每次投篮进球的概率都是,则小张投篮10次后总得分不低于12分的概率为 .
2.(角度二)在一次国际大型体育运动会上,某运动员报名参加了其中3个项目的比赛.已知该运动员在这3个项目中,每个项目能打破世界纪录的概率都是,那么在本次运动会上,
(1)求该运动员至少能打破2项世界纪录的概率;
(2)若该运动员能打破世界纪录的项目数为X,求X的分布列及期望.
P(X=2)=()2(1-)1=,
P(X=3)=()3=,
所以X的分布列为
X 0 1 2 3
P
E(X)=3×=2.
考点二　超几何分布
角度一　超几何分布及概率计算
[例3] 盒中有10个灯泡,其中有3个是坏的,现从盒中随机抽取4个,那么概率是的事件为(　　)
A.恰有1个是坏的
B.4个全是好的
C.恰有2个是坏的
D.至多有2个是坏的
超几何分布的本质是古典概型,要从古典概型的角度加以理解公式P(X=k)=,即恰取了k件次品的概率=,超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型.
角度二　超几何分布的分布列
[例4] 某大学生志愿者协会有6名男同学,4名女同学.在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学到某小学进行志愿服务活动(每名同学被选到的可能性相同).
(1)求选出的3名同学是来自互不相同的学院的概率;
(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列及期望.
(1)求超几何分布的分布列的步骤.
第一步,验证随机变量服从超几何分布,并确定参数N,M,n的值;
第二步,根据超几何分布的概率计算公式计算出随机变量取每一个值时的概率;
第三步,用表格的形式列出分布列.
(2)超几何分布在计算出均值后,可以用进行验证.
[针对训练]
1.(角度一)一批零件共有10个,其中有3个不合格品,从这批零件中随机抽取2个进行检测,则恰有 1个不合格品的概率为(　　)
A. B.
C. D.
2.(角度二)据调查,目前对于已经近视的高中学生,有两种佩戴眼镜的选择,一种是佩戴传统的框架眼镜;另一种是佩戴角膜塑形镜.某市从该地区高中学生中随机抽取容量为100的样本,其中因近视佩戴眼镜的有24人(其中佩戴角膜塑形镜的有8人,其中2名是男生,
6名是女生).
(1)若从样本中选一名学生,已知这名高中生戴眼镜,那么,其戴的是角膜塑形镜的概率是
多大
(2)从这8名戴角膜塑形镜的学生中,选出3个人,求其中男生人数X的分布列及期望.
考点三　正态分布
[例5] (1)某市组织了一次高二调研考试,考试后统计的数学成绩服从正态分布,其正态密度函数为f(x)=,则下列命题不正确的是(　　)
A.该市这次考试的数学平均成绩为80分
B.分数在120分以上的人数与分数在60分以下的人数相同
C.分数在110分以上的人数与分数在50分以下的人数相同
D.该市这次考试的数学成绩标准差为10
(2)(2025·安徽合肥模拟)已知某地区高中生的身高X近似服从正态分布N(169,σ2),若P(X≥175)=0.2,则P(163A.0.3 B.0.4
C.0.5 D.0.6
(3)(多选题)(2024·新课标Ⅰ卷)为了解推动出口后的亩收入(单位:万元)情况,从该种植区抽取样本,得到推动出口后亩收入的样本均值=2.1,样本方差s2=0.01,已知该种植区以往的亩收入X服从正态分布N(1.8,0.12),假设推动出口后的亩收入Y服从正态分布N(,s2),则(　　)
(若随机变量Z服从正态分布N(μ,σ2),P(Z<μ+σ)≈0.841 3)
A.P(X>2)>0.2 B.P(X>2)<0.5
C.P(Y>2)>0.5 D.P(Y>2)<0.8
(1)正态曲线在已知区间上的概率求解问题,可利用正态曲线关于直线x=μ对称的特征,结合正态曲线及正态曲线的性质如P(Xμ+a)等求解.
(2)利用正态分布结合样本总体估计样本落在某一区间的频数时,首先应计算出样本落在该区间的频(概)率,再根据频(概)率的意义求解,此类问题要注意3σ原则的应用.
(3)利用正态分布求解实际问题,首先应根据题目特征计算随机变量的均值与方差,进而计算标准差,将问题转化为正态分布问题,结合正态分布的有关性质求解.计算时要注意计算结果的准确性(若已知题目中告诉相应的数据,则在计算中应出现并利用相应的数据).
[针对训练]
(1)(2025·山东泰安模拟)已知随机变量X的正态密度函数为f(x)=,若P(X>2a+1)=P(X<1-a),则a=(　　)
A.-2 B.0
C.1 D.2
(2)(2025·湖南长沙模拟)已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),且P(X<2-k)=P(X>2+k)=0.3,
k>0,则P(2A.0.2 B.0.3
C.0.7 D.0.8
(3)某市教育部门为了解本市高三学生的身高状况,从本市全体高三学生中随机抽查了
1 200人,经统计后发现样本的身高(单位:cm)近似服从正态分布N(172,σ2),且身高在
168 cm到176 cm之间的人数占样本量的75%,则样本中身高不低于176 cm的约有(　　)
A.150人 B.300人
C.600人 D.900人

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