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第1节　任意角、弧度制及任意角的三角函数
[学习目标]
1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
1.角的概念的推广
(1)定义:角可以看成一条射线绕着它的 旋转所成的图形.
(2)分类
(3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S= .
2.弧度制
(1)定义:长度等于 长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度单位用符号 rad表示,读作弧度.正角的弧度数是一个 ,负角的弧度数是一个 ,零角的弧度数是 .
(2)角α的弧度数公式:在半径为r的圆中,弧长为l的弧所对的圆心角为α rad,则|α|=.
(3)角度制和弧度制的互化:180°= rad,1°= rad≈0.017 45 rad,1 rad=()°≈57.30°=57°18′.
(4)扇形的弧长公式:l= ;
扇形的面积公式:S=lr=|α|·r2.
3.任意角的三角函数
(1)定义.
设α是一个任意角,α∈R,它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y),那么sin α= ,cos α= ,tan α=(x≠0).
(2)三角函数值的符号规律.
三角函数值在各象限内的符号:一全正、二正弦、三正切、四余弦.
(3)定义的推广.
设P(x,y)是角α终边上异于原点O的任一点,其到原点O的距离为r,则sin α=,cos α=,tan α=(x≠0).
1.象限角.
2.轴线角.
3.若角α∈(0,),则sin α<α1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)锐角是第一象限角,第一象限角也都是锐角.(　　)
(2)将表的分针拨快5分钟,则分针转过的角度是.(　　)
(3)不相等的角终边一定不相同.(　　)
(4)三角形的内角必是第一、第二象限角.(　　)
(5)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.(　　)
2.(人教A版必修第一册P180练习T3改编)已知角θ的终边过点P(-12,5),则sin θ+cos θ等于(　　)
A. B.- C. D.-
3.(人教A版必修第一册P176习题5.1T11改编)某次考试时间为120分钟,则从开始到结束,墙上时钟的分针旋转了 弧度.
4.(人教A版必修第一册P175习题5.1T1改编)在0到2π范围内,与角-终边相同的角是 .
5.(人教A版必修第一册P175练习T6改编)在单位圆中,200°的圆心角所对的弧长为 ,由该弧及半径围成的扇形的面积为 .
考点一　象限角与终边相同的角
[例1] (1)(2025·湖北宜昌模拟)若角α的顶点为坐标原点,始边在x轴的非负半轴上,终边在直线y=x上,则角α的取值集合是(　　)
A.{α|α=2kπ+,k∈Z}
B. {α|α=2kπ+,k∈Z}
C. {α|α=kπ+,k∈Z}
D.{α|α=kπ+,k∈Z}
(2)(多选题)如图,若角α的终边落在阴影部分(含边界),则角的终边可能在(　　)
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
(1)判定象限角的两种方法.
①图象法:在平面直角坐标系中,作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角.
②转化法:先将已知角化为k·360°+α(0°≤α<360°,k∈Z)的形式,即找出与已知角终边相同的角α,再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角.
(2)确定kα,(k∈N*)终边位置的方法:先写出kα或的取值范围,然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在位置.
(3)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角,方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角.
[针对训练]
(1)如图,终边落在阴影部分(包括边界)的角α的集合是(　　)
A.{α|+2kπ≤α≤(2k+1)π,k∈Z}
B.{α|+kπ≤α≤(k+1)π,k∈Z}
C.{α|-+2kπ≤α≤(2k-1)π,k∈Z}
D.{α|-+2kπ≤α≤2kπ,k∈Z}
(2)(2025·海南陵水模拟)若α是第一象限角,则下列各角为第四象限角的是(　　)
A.90°-α B. 90°+α
C. 360°-α D. 360°+α
考点二　弧度制、扇形的弧长和面积公式
[例2] 已知一扇形的圆心角α=,半径R=10 cm,求该扇形的面积.
[典例迁移1] (求弧长和弓形面积)若本例条件不变,求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积.
[典例迁移2] (变条件,求面积最值)若将本例已知条件改为“扇形周长为20 cm”,则当扇形的圆心角α(0<α<2π)为多少弧度时,这个扇形的面积最大
[典例迁移3] (变条件,求周长最值)若扇形的面积为S,当扇形的圆心角α(0<α<2π)为多少弧度时,这个扇形的周长最小
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位应是弧度.
(2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为求二次函数的最值问题,利用配方法使问题得到解决.
(3)求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量.
考点三　任意角三角函数的定义及应用
角度一　三角函数定义的应用
[例3] (2025·福建福州模拟)已知角α的顶点在坐标原点,始边与x轴非负半轴重合,cos α=,P(m,2)为其终边上一点,则m等于(　　)
A.-4 B. 4 C. -1 D. 1
利用三角函数定义求三角函数值的方法
(1)已知角α终边上一点P的坐标,可先求出点P到原点的距离r,然后用三角函数的定义求解.
(2)已知角α的终边所在的直线方程,可先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点的距离,然后用三角函数的定义求解.
角度二　三角函数值的符号判定
[例4] 若sin αtan α<0,且>0,则角α是(　　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
[溯源探本] 本例源于人教A版必修第一册P185习题5.2 T10.
三角函数值在各个象限内的符号与角的终边上的点的坐标密切相关.sin θ在第一、第二象限为正,cos θ在第一、第四象限为正,tan θ在第一、第三象限为正.特别地,三角函数值的正、负有时还要考虑坐标轴上的角,如sin =1>0,cos π=-1<0.
[针对训练]
1.(角度二)已知P(cos 2,tan 1),则点P所在的象限为(　　)
A.第一象限 B. 第二象限
C.第三象限 D. 第四象限
2.(角度一)已知角α的终边在直线y=2x上,则 sin α= . 第1节　任意角、弧度制及任意角的三角函数
[学习目标]
1.了解任意角的概念和弧度制的概念.2.能进行弧度与角度的互化.3.理解任意角的三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
1.角的概念的推广
(1)定义:角可以看成一条射线绕着它的端点旋转所成的图形.
(2)分类
(3)终边相同的角:所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}.
2.弧度制
(1)定义:长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角,弧度单位用符号 rad表示,读作弧度.正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0.
(2)角α的弧度数公式:在半径为r的圆中,弧长为l的弧所对的圆心角为α rad,则|α|=.
(3)角度制和弧度制的互化:180°=π rad,1°= rad≈0.017 45 rad,1 rad=()°≈57.30°=57°18′.
(4)扇形的弧长公式:l=|α|·r;
扇形的面积公式:S=lr=|α|·r2.
3.任意角的三角函数
(1)定义.
设α是一个任意角,α∈R,它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y),那么sin α=y,cos α=x,tan α=(x≠0).
(2)三角函数值的符号规律.
三角函数值在各象限内的符号:一全正、二正弦、三正切、四余弦.
(3)定义的推广.
设P(x,y)是角α终边上异于原点O的任一点,其到原点O的距离为r,则sin α=,cos α=,tan α=(x≠0).
1.象限角.
2.轴线角.
3.若角α∈(0,),则sin α<α1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)锐角是第一象限角,第一象限角也都是锐角.(　　)
(2)将表的分针拨快5分钟,则分针转过的角度是.(　　)
(3)不相等的角终边一定不相同.(　　)
(4)三角形的内角必是第一、第二象限角.(　　)
(5)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.(　　)
【答案】 (1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)√
2.(人教A版必修第一册P180练习T3改编)已知角θ的终边过点P(-12,5),则sin θ+cos θ等于(　　)
A. B.- C. D.-
【答案】 D
【解析】 |OP|==13,所以sin θ=,cos θ=-,所以sin θ+cos θ=-.故选D.
3.(人教A版必修第一册P176习题5.1T11改编)某次考试时间为120分钟,则从开始到结束,墙上时钟的分针旋转了　　　　弧度.
【答案】 -4π
【解析】 120分钟为2小时,时钟的分针旋转了-720°,即-4π.
4.(人教A版必修第一册P175习题5.1T1改编)在0到2π范围内,与角-终边相同的角是　 .
【答案】
【解析】 与角-终边相同的角是2kπ+(-)(k∈Z),令k=1,可得与角-终边相同的角是.
5.(人教A版必修第一册P175练习T6改编)在单位圆中,200°的圆心角所对的弧长为　 　,由该弧及半径围成的扇形的面积为　 　　　.
【答案】 　
【解析】 单位圆的半径r=1,200°的弧度数是200×=,由弧度数的定义得=,所以弧长l=,S扇形=lr=××1=.
考点一　象限角与终边相同的角
[例1] (1)(2025·湖北宜昌模拟)若角α的顶点为坐标原点,始边在x轴的非负半轴上,终边在直线y=x上,则角α的取值集合是(　　)
A.{α|α=2kπ+,k∈Z}
B. {α|α=2kπ+,k∈Z}
C. {α|α=kπ+,k∈Z}
D.{α|α=kπ+,k∈Z}
(2)(多选题)如图,若角α的终边落在阴影部分(含边界),则角的终边可能在(　　)
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】 (1)D　(2)AC
【解析】 (1)根据题意,角α的终边在直线y=x上,当α为第一象限角时,α=+2kπ(k∈Z);当α为第三象限角时,α=+2kπ(k∈Z).综上,角α的取值集合是{α|α=+kπ,k∈Z}.故选D.
(2)依题意,得k·360°+40°≤α≤k·360°+100°,k∈Z,所以k·180°+20°≤≤k·180°+50°,k∈Z,当k为偶数时,的终边在第一象限;当k为奇数时,的终边在第三象限.故选AC.
(1)判定象限角的两种方法.
①图象法:在平面直角坐标系中,作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角.
②转化法:先将已知角化为k·360°+α(0°≤α<360°,k∈Z)的形式,即找出与已知角终边相同的角α,再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角.
(2)确定kα,(k∈N*)终边位置的方法:先写出kα或的取值范围,然后根据k的可能取值确定kα或的终边所在位置.
(3)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角,方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数k(k∈Z)赋值来求得所需的角.
[针对训练]
(1)如图,终边落在阴影部分(包括边界)的角α的集合是(　　)
A.{α|+2kπ≤α≤(2k+1)π,k∈Z}
B.{α|+kπ≤α≤(k+1)π,k∈Z}
C.{α|-+2kπ≤α≤(2k-1)π,k∈Z}
D.{α|-+2kπ≤α≤2kπ,k∈Z}
(2)(2025·海南陵水模拟)若α是第一象限角,则下列各角为第四象限角的是(　　)
A.90°-α B. 90°+α
C. 360°-α D. 360°+α
【答案】 (1)B　(2)C
【解析】 (1)终边落在阴影部分的角为+kπ≤α≤(k+1)π,k∈Z,即终边落在阴影部分(包括边界)的角α的集合是{α|+kπ≤α≤(k+1)π,k∈Z}.故选B.
(2)因为α是第一象限角,所以-α是第四象限角,则90°-α是第一象限角,故A错误;90°+α是第二象限角,故B错误;360°-α是第四象限角,故C正确;360°+α是第一象限角,故D错误.故选C.
考点二　弧度制、扇形的弧长和面积公式
[例2] 已知一扇形的圆心角α=,半径R=10 cm,求该扇形的面积.
【解】 由已知得α=,R=10 cm,所以S扇形=α·R2=××102=(cm2).
[典例迁移1] (求弧长和弓形面积)若本例条件不变,求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积.
【解】 l=α·R=×10=(cm),S弓形=S扇形-S三角形=-·R2·sin =-×102×=(cm2).
[典例迁移2] (变条件,求面积最值)若将本例已知条件改为“扇形周长为20 cm”,则当扇形的圆心角α(0<α<2π)为多少弧度时,这个扇形的面积最大
【解】 由已知,得l+2R=20,
则l=20-2R(所以S=lR=(20-2R)R=10R-R2=-(R-5)2+25,
所以当R=5 cm时,S取得最大值25 cm2,此时l=10 cm,α=2 rad.
所以当扇形的圆心角α=2 rad时,这个扇形的面积最大.
[典例迁移3] (变条件,求周长最值)若扇形的面积为S,当扇形的圆心角α(0<α<2π)为多少弧度时,这个扇形的周长最小
【解】 由已知得,S=lR,所以lR=2S,又周长=l+2R≥2=2=4(当且仅当l=2R时,等号成立),此时α==2.所以当扇形的圆心角α=2 rad时,这个扇形的周长最小,最小值为4.
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位应是弧度.
(2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为求二次函数的最值问题,利用配方法使问题得到解决.
(3)求扇形面积的关键是求扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量.
考点三　任意角三角函数的定义及应用
角度一　三角函数定义的应用
[例3] (2025·福建福州模拟)已知角α的顶点在坐标原点,始边与x轴非负半轴重合,cos α=,P(m,2)为其终边上一点,则m等于(　　)
A.-4 B. 4 C. -1 D. 1
【答案】 D
【解析】 因为cos α=,P(m,2)为角α终边上一点,所以=,且m>0,解得m=1.
故选D.
利用三角函数定义求三角函数值的方法
(1)已知角α终边上一点P的坐标,可先求出点P到原点的距离r,然后用三角函数的定义求解.
(2)已知角α的终边所在的直线方程,可先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点的距离,然后用三角函数的定义求解.
角度二　三角函数值的符号判定
[例4] 若sin αtan α<0,且>0,则角α是(　　)
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
[溯源探本] 本例源于人教A版必修第一册P185习题5.2 T10.
【答案】 B
【解析】 由sin αtan α<0,知角α是第二象限或第三象限角,由>0,知角α是第一象限或第二象限角,所以角α是第二象限角.故选B.
三角函数值在各个象限内的符号与角的终边上的点的坐标密切相关.sin θ在第一、第二象限为正,cos θ在第一、第四象限为正,tan θ在第一、第三象限为正.特别地,三角函数值的正、负有时还要考虑坐标轴上的角,如sin =1>0,cos π=-1<0.
[针对训练]
1.(角度二)已知P(cos 2,tan 1),则点P所在的象限为(　　)
A.第一象限 B. 第二象限
C.第三象限 D. 第四象限
【答案】 B
【解析】 1=()°≈57.3°,故tan 1>0;2=(2×)°≈114.6°,故cos 2<0,故点P在第二象限.
故选B.
2.(角度一)已知角α的终边在直线y=2x上,则 sin α=　　　　.
【答案】 ±
【解析】 由题意可知,角α的终边落在第一或第三象限,且tan α=2,若在第一象限,可在角α终边上任取一点(1,2),所以sin α==,若在第三象限,可在角α终边上任取一点(-1,-2),所以sin α==-.综上,sin α=±.

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