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第2节　同角三角函数的基本关系与诱导公式
[学习目标]
1.理解同角三角函数的基本关系:sin2α+cos2α=1,=tan α(α≠+kπ,k∈Z).2.借助单位圆的对称性,利用定义推导出诱导公式(-α,±α,π±α,2kπ+α(k∈Z)的正弦、余弦、正切).
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系:sin2α+cos2α= .
(2)商数关系:=tan α(α≠+kπ,k∈Z).
2.诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ+α(k∈Z) π+α -α π-α -α +α
正弦 sin α -sin α -sin α sin α cos α
余弦 cos α -cos α cos α sin α -sin α
正切 tan α tan α -tan α — —
口诀 函数名不变,符号看象限 函数名改变,符号看象限
诱导公式的记忆口诀可以概括为“奇变偶不变,符号看象限”,这里的奇、偶指的是k·±α(k∈Z)中k是奇数还是偶数,“符号看象限”指的是把α看成锐角时,k·±α(k∈Z)的三角函数值的符号,即原三角函数值的符号.
1.弦切互化变形:sin2α=,cos2α=,sin αcos α=,其中α≠+kπ,k∈Z.
2.
也就是:“负化正,去周期,大化小,全化锐”.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)若α,β为锐角,则sin2α+cos2β=1.(　　)
(2)sin(π+α)=-sin α成立的条件是α为锐角.(　　)
(3)若cos(nπ-θ)=(n∈Z),则cos θ=.(　　)
(4) α∈R,tan α=.(　　)
2.(人教A版必修第一册P185习题5.2 T6改编)若sin α=,<α<π,则tan α等于(　　)
A.-2 B.2 C. D.-
3.(人教A版必修第一册P186习题5.2 T16改编)若角α的终边在第三象限,则+等于(　　)
A.3 B.-3 C.1 D.-1
4.(人教A版必修第一册P194练习T3(1)改编)化简·sin (α-π)·cos (2π-α)的结果为 .
5.(人教A版必修第一册P194习题5.3T4改编)在单位圆中,已知角α的终边与单位圆的交点为P(a,),P在第二象限,则sin(2 026π-α)+cos(2 025π+α)= .
考点一　同角三角函数基本关系的应用
角度一　“知一求二”问题
[例1] 已知α∈(π,2π),tan α=,则sin α-2cos α等于(　　)
A. B. -
C. 或- D. 0
已知sin α,cos α,tan α中的一个值求另外两个的值.解决此类问题时,直接套用公式sin2α+cos2α=1及tan α=(α≠+kπ,k∈Z)即可,但要注意α的取值范围,即三角函数值的符号.
角度二　sin α,cos α的齐次式问题
[例2] 已知tan α=,则= ,sin2α+sin αcos α+2= .
[溯源探本] 本例源于人教A版必修第一册P253复习参考题5 T4.
(1)分式中分子与分母是关于sin α,cos α的齐次式,往往转化为关于tan α的式子求解.
(2)关于sin α,cos α的二次齐次式,要用到“1”代换,即1=sin2α+cos2α.
角度三　“sin α±cos α,sin αcos α”之间的关系
[例3] (2025·山西太原模拟)已知sin α-cos α=,α∈(-,),则等于(　　)
A.- B. C.- D.
对于sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α这三个式子,利用(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α,可以知一求二.
[针对训练]
1.(角度一)已知α∈(0,π),且2cos2α-sin2α-4cos α=3,则sin α等于(　　)
A. B. C. D.
2.(角度三)(2025·山东青岛模拟)若sin θ+cos θ=,则sin4θ+cos4θ等于(　　)
A. B. C. D.
3.(角度二)在平面直角坐标系中,角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(1,2),则7cos2θ-4sin θcos θ= .
考点二　诱导公式的应用
[例4] (1)给出下列各函数值:①sin 1 100°;②cos(-2 500°);③tan 9;④.其中符号为负的是(　　)
A. ① B. ② C. ③ D. ④
(2)若cos(-x)=,则sin(+x)-cos(+x)= .
(1)诱导公式用法的一般思路.
①化负为正,化大为小,化到锐角为止;
②角中含有加或减的整数倍时,用公式去掉的整数倍.
(2)常见的互余、互补的角.
①互余的角:+α与-α,+α与-α等.
②互补的角:+θ与-θ,+θ与-θ等.
[针对训练]
(1)(2025·河北张家口模拟)已知cos(+x)=,则sin(-x)等于(　　)
A.- B. C. D. -
(2)已知sin(53°-α)=,且-270°<α<-90°,则sin(37°+α)等于(　　)
A. B.- C. D.-
考点三　同角三角函数基本关系与诱导公式的综合应用
[例5] 已知函数f(α)=.
(1)化简f(α);
(2)若f(α)=-,求cos α,tan α的值;
(3)若α∈(-,),f(α+)=,求cos(+α)+2cos(-α)的值.
利用同角三角函数基本关系和诱导公式求值或化简时,关键是寻求条件、结论间的联系,灵活使用公式进行变形.注意角的取值范围对三角函数值的符号的影响.
[针对训练]
(2025·安徽黄山模拟)已知tan(-x)=,则sin x等于(　　)
A. B.
C. D.第2节　同角三角函数的基本关系与诱导公式
[学习目标]
1.理解同角三角函数的基本关系:sin2α+cos2α=1,=tan α(α≠+kπ,k∈Z).2.借助单位圆的对称性,利用定义推导出诱导公式(-α,±α,π±α,2kπ+α(k∈Z)的正弦、余弦、正切).
1.同角三角函数的基本关系
(1)平方关系:sin2α+cos2α=1.
(2)商数关系:=tan α(α≠+kπ,k∈Z).
2.诱导公式
公式 一 二 三 四 五 六
角 2kπ+α(k∈Z) π+α -α π-α -α +α
正弦 sin α -sin α -sin α sin α cos α cos α
余弦 cos α -cos α cos α -cos α sin α -sin α
正切 tan α tan α -tan α -tan α — —
口诀 函数名不变,符号看象限 函数名改变,符号看象限
诱导公式的记忆口诀可以概括为“奇变偶不变,符号看象限”,这里的奇、偶指的是k·±α(k∈Z)中k是奇数还是偶数,“符号看象限”指的是把α看成锐角时,k·±α(k∈Z)的三角函数值的符号,即原三角函数值的符号.
1.弦切互化变形:sin2α=,cos2α=,sin αcos α=,其中α≠+kπ,k∈Z.
2.
也就是:“负化正,去周期,大化小,全化锐”.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)若α,β为锐角,则sin2α+cos2β=1.(　　)
(2)sin(π+α)=-sin α成立的条件是α为锐角.(　　)
(3)若cos(nπ-θ)=(n∈Z),则cos θ=.(　　)
(4) α∈R,tan α=.(　　)
【答案】 (1)×　(2)×　(3)×　(4)×
2.(人教A版必修第一册P185习题5.2 T6改编)若sin α=,<α<π,则tan α等于(　　)
A.-2 B.2 C. D.-
【答案】 D
【解析】 因为<α<π,所以cos α=-=-,所以tan α==-.故选D.
3.(人教A版必修第一册P186习题5.2 T16改编)若角α的终边在第三象限,则+等于(　　)
A.3 B.-3 C.1 D.-1
【答案】 B
【解析】 由角α的终边在第三象限,得sin α<0,cos α<0,
故原式=+=+=-1-2=-3.故选B.
4.(人教A版必修第一册P194练习T3(1)改编)化简·sin (α-π)·cos (2π-α)的结果为　　　 　.
【答案】 -sin2α
【解析】 原式=·(-sin α)·cos α=-sin2α.
5.(人教A版必修第一册P194习题5.3T4改编)在单位圆中,已知角α的终边与单位圆的交点为P(a,),P在第二象限,则sin(2 026π-α)+cos(2 025π+α)=　　　　.
【答案】
【解析】 由=1,得a=±,因为P在第二象限,所以a=-,
故点P的坐标为(-,).
由三角函数定义得sin α=,cos α=-,
所以sin(2 026π-α)+cos(2 025π+α)=sin(-α)+cos(π+α)=-sin α-cos α=-+=.
考点一　同角三角函数基本关系的应用
角度一　“知一求二”问题
[例1] 已知α∈(π,2π),tan α=,则sin α-2cos α等于(　　)
A. B. -
C. 或- D. 0
【答案】 A
【解析】 因为α∈(π,2π),tan α=,所以α∈(π,),又解得(舍去)或
所以sin α-2cos α=(-)-2×(-)=.故选A.
已知sin α,cos α,tan α中的一个值求另外两个的值.解决此类问题时,直接套用公式sin2α+cos2α=1及tan α=(α≠+kπ,k∈Z)即可,但要注意α的取值范围,即三角函数值的符号.
角度二　sin α,cos α的齐次式问题
[例2] 已知tan α=,则=　　　　,sin2α+sin αcos α+2=　　　　.
[溯源探本] 本例源于人教A版必修第一册P253复习参考题5 T4.
【答案】 　
【解析】 因为tan α=,
所以======.
sin2α+sin αcos α+2=+2=+2=+2=.
(1)分式中分子与分母是关于sin α,cos α的齐次式,往往转化为关于tan α的式子求解.
(2)关于sin α,cos α的二次齐次式,要用到“1”代换,即1=sin2α+cos2α.
角度三　“sin α±cos α,sin αcos α”之间的关系
[例3] (2025·山西太原模拟)已知sin α-cos α=,α∈(-,),则等于(　　)
A.- B. C.- D.
【答案】 D
【解析】 由题意可得,(sin α-cos α)2=1-2sin αcos α=,整理得sin αcos α=>0,
且α∈(-,),可得α∈(0,),即sin α>0,cos α>0,可得sin α+cos α>0,
因为(sin α+cos α)2=1+2sin αcos α=,
可得sin α+cos α=,
所以==.故选D.
对于sin α+cos α,sin α-cos α,sin αcos α这三个式子,利用(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α,可以知一求二.
[针对训练]
1.(角度一)已知α∈(0,π),且2cos2α-sin2α-4cos α=3,则sin α等于(　　)
A. B. C. D.
【答案】 A
【解析】 因为2cos2α-sin2α-4cos α=3,所以3cos2α-4cos α-4=0,解得cos α=-或cos α=2(舍去).又因为α∈(0,π),所以sin α===.故选A.
2.(角度三)(2025·山东青岛模拟)若sin θ+cos θ=,则sin4θ+cos4θ等于(　　)
A. B. C. D.
【答案】 B
【解析】 由sin θ+cos θ=,平方得1+2sin θcos θ=,所以sin θcos θ=,
所以sin4θ+cos4θ=(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ=1-2×()2=.故选B.
3.(角度二)在平面直角坐标系中,角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴重合,终边经过点P(1,2),则7cos2θ-4sin θcos θ=　　 　　.
【答案】 -
【解析】 由题意可知,tan θ=2,所以7cos2θ-4sin θcos θ====-.
考点二　诱导公式的应用
[例4] (1)给出下列各函数值:①sin 1 100°;②cos(-2 500°);③tan 9;④.其中符号为负的是(　　)
A. ① B. ② C. ③ D. ④
(2)若cos(-x)=,则sin(+x)-cos(+x)=　　　　.
【答案】 (1)C　(2)
【解析】 (1)对于①,sin 1 100°=sin(3×360°+20°)=sin 20°>0;对于②,cos(-2 500°)=cos(-7×360°+20°)=cos 20°>0;对于③,tan 9=tan(9-2π),因为<9-2π<π,所以tan 9<0;对于④,=0.综上所述,符号为负的是③.故选C.
(2)因为cos(-x)=,所以sin(+x)=sin[-(-x)]=cos(-x)=,
cos(+x)=cos[π-(-x)]=-cos(-x)=-,所以sin(+x)-cos(+x)=-(-)=.
(1)诱导公式用法的一般思路.
①化负为正,化大为小,化到锐角为止;
②角中含有加或减的整数倍时,用公式去掉的整数倍.
(2)常见的互余、互补的角.
①互余的角:+α与-α,+α与-α等.
②互补的角:+θ与-θ,+θ与-θ等.
[针对训练]
(1)(2025·河北张家口模拟)已知cos(+x)=,则sin(-x)等于(　　)
A.- B. C. D. -
(2)已知sin(53°-α)=,且-270°<α<-90°,则sin(37°+α)等于(　　)
A. B.- C. D.-
【答案】 (1)A　(2)D
【解析】 (1)sin(-x)=sin[-(+x)]=-cos(+x)=-.故选A.
(2)设53°-α=β,则α=53°-β,所以sin(37°+α)=sin(90°-β)=cos β.又因为-270°<α<-90°,
所以143°<β<323°,又sin β>0,所以143°<β<180°,所以cos β=-=-.故选D.
考点三　同角三角函数基本关系与诱导公式的综合应用
[例5] 已知函数f(α)=.
(1)化简f(α);
(2)若f(α)=-,求cos α,tan α的值;
(3)若α∈(-,),f(α+)=,求cos(+α)+2cos(-α)的值.
【解】 (1)f(α)===sin α.
(2)因为f(α)=sin α=-,所以α为第三象限角或第四象限角.
当α为第三象限角时,cos α=-=-,tan α==;
当α为第四象限角时,cos α==,tan α==-.
(3)因为f(α)=sin α,所以f(α+)=sin(α+)=.cos(+α)=cos[+(α+)]=-sin(α+)=-,
cos(-α)=cos[π-(α+)]=-cos(α+).
因为α∈(-,),所以α+∈(0,),cos(α+)=,故cos(-α)=-.
因此cos(+α)+2cos(-α)=-.
利用同角三角函数基本关系和诱导公式求值或化简时,关键是寻求条件、结论间的联系,灵活使用公式进行变形.注意角的取值范围对三角函数值的符号的影响.
[针对训练]
(2025·安徽黄山模拟)已知tan(-x)=,则sin x等于(　　)
A. B.
C. D.
【答案】 B
【解析】 由tan(-x)=,得=,即=,则cos2x=sin x,所以sin2x+sin x-1=0,而sin x∈(-1,1),且sin x≠0,解得sin x=.故选B.

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