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第3节　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
[学习目标]
1.经历推导两角差的余弦公式的过程,知道两角差的余弦公式的意义.2.能由两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式,并会简单应用.
1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α-β):cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.
(2)公式C(α+β):cos(α+β)=cos αcos β-sin αsin β.
(3)公式S(α-β):sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β.
(4)公式S(α+β):sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β.
(5)公式T(α-β):tan(α-β)=.
(6)公式T(α+β):tan(α+β)=.
2.辅助角公式
asin α+bcos α=sin(α+φ),其中sin φ=,cos φ=.
1.两角和与差的公式的常用变形.
(1)sin αsin β+cos(α+β)=cos αcos β.
(2)cos αsin β+sin(α-β)=sin αcos β.
(3)tan α±tan β=tan(α±β)(1 tan αtan β).
(4)tan αtan β=1-=-1.
2.辅助角公式的常用变形.
sin α±cos α=sin(α±),sin α±cos α=2sin(α±).
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)对于任意实数α,β,cos(α-β)=cos α-cos β都不成立.(　　)
(2)对任意α,β∈R,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β 都成立.(　　)
(3)sin α+cos α=sin(α+).(　　)
(4)存在α,β∈R,使tan(α+β)=tan α+tan β成立.(　　)
(5)公式asin x+bcos x=sin(x+φ)中φ的取值与a,b的值无关.(　　)
【答案】 (1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)×
2.(人教A版必修第一册P220练习T3改编)sin 24°·cos 36°+cos 24°sin 36°的值为(　　)
A. B. C. D.-
【答案】 C
【解析】 sin 24°cos 36°+cos 24°sin 36°=sin(24°+36°)=sin 60°=.故选C.
3.(人教A版必修第一册P220练习T2改编)若 cos α=-,α是第三象限角,则sin(α+)=(　　)
A.　 B.-　 C.-　 D.
【答案】 B
【解析】 因为α是第三象限角,所以sin α<0,
sin α=-=-=-,
所以sin(α+)=sin αcos +cos αsin =(-)×+(-)×=-.故选B.
4.(人教A版必修第一册P219例4(3)改编)计算:=　　　 　　.
【答案】
【解析】 ==tan(45°-15°)=tan 30°=.
考点一　三角函数公式的直接应用
[例1] (1)(2024·全国甲卷)已知=,则 tan(α+)等于(　　)
A.2+1 B.2-1
C. D.1-
(2)(2024·新课标Ⅰ卷)已知cos(α+β)=m,tan αtan β=2,则cos(α-β)等于(　　)
A.-3m B.- C. D.3m
[溯源探本] 本例(1)源于人教A版必修第一册P220练习T2(3);本例(2)源于人教A版必修第一册P255复习参考题5 T15.
【答案】 (1)B　(2)A
【解析】 (1)因为=,
所以=,
所以1-tan α=,即tan α=1-,
所以tan(α+)====2-1.故选B.
(2)因为cos(α+β)=m,所以cos αcos β-sin α·sin β=m,
而tan αtan β=2,所以sin αsin β=2cos αcos β,
故cos αcos β-2cos αcos β=m,即cos αcos β=-m,
从而sin αsin β=-2m,故cos(α-β)=-3m.故选A.
直接利用两角和与差公式化简求值的策略
(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律.例如两角和与差的余弦公式可简记为“同名相乘,符号反”.
(2)注意同角三角函数的基本关系与诱导公式的综合应用.
(3)注意配方法、因式分解、整体代换思想的应用.
[针对训练]
(1)已知单位圆x2+y2=1上一点A(,),现将点A绕圆心逆时针旋转到点B,则点B的横坐标为(　　)
A.　 B.　　　
C.　 D.
(2)cos(70°+α)sin(170°-α)-sin(70°+α)·cos(10°+α)等于(　　)
A. B.- C. D.-
【答案】 (1)C　(2)B
【解析】 (1)令坐标原点为O,以射线OA为终边的角为α,则以射线OB为终边的角为α+,点B的横坐标为cos(α+),由三角函数定义得,sin α=,cos α=,
所以cos(α+)=×-×=,所以点B的横坐标为.故选C.
(2)原式=cos(70°+α)sin(170°-α)+sin(70°+α)·cos(170°-α)=sin(170°-α+70°+α)=sin 240°
=-sin 60°=-.故选B.
考点二　三角函数公式的逆用与变形
[例2] (1)(2025·江苏如皋模拟)已知0<β<α<,sin(α-β)=,tan α-tan β=2,则 sin αsin β=(　　)
A. B. C. D.
(2)(2025·四川宜宾模拟)若cos(α-)+cos α=-1,则cos(α-)=(　　)
A.- B. C. D.-
(3)(1+tan 13°)(1+tan 32°)=　　　　.
[溯源探本] 本例(3)源于人教A版必修第一册P254复习参考题5 T12.
【答案】 (1)B　(2)A　(3)2
【解析】 (1)因为0<β<α<,所以0<α-β<,因为sin(α-β)=,所以cos(α-β)==,
因为2=tan α-tan β=-==,所以cos α·cos β=,
因为cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β=+sin αsin β=,所以sin αsin β=.故选B.
(2)因为cos(α-)+cos α=cos α+sin α+cos α=cos α+sin α=cos(α-)=-1,
所以cos(α-)=-.故选A.
(3)因为tan 45°=tan(13°+32°)==1,
整理得tan 13°+tan 32°+tan 13°tan 32°=1,
所以(1+tan 13°)(1+tan 32°)=1+tan 32°+tan 13°+tan 32°tan 13°=1+1=2.
(1)正切公式变形:tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β),tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan α·tan β)等.
(2)在辅助角公式asin x+bcos x=sin(x+φ)中,当|a|=|b|时,一般可引入辅助角φ=;当||=或||=时,一般可引入辅助角φ=或.
(3)注意特殊角的应用,当式子中出现,,,1,等这些数值时,一定要考虑引入特殊角,进行代换,把“值”变“角”.
[针对训练]
(1)(多选题)下列说法正确的是(　　)
A.在△ABC中,若sin Asin BB.cos 15°-sin 15°=
C.=
D.若tan α+tan β=-tan αtan β,则α+β的值可能为或-
(2)已知sin θ+sin(θ+)=1,则sin(θ+)等于(　　)
A. B. C. D.
【答案】 (1)ACD　(2)B
【解析】 (1)对于A,若sin Asin B0,即cos(A+B)>0,
即cos C<0,所以C∈(,π),所以△ABC是钝角三角形,故A正确;
对于B,cos 15°-sin 15°=(cos 45°cos 15°-sin 45°sin 15°)=cos(45°+15°)=,故B错误;
对于C,=tan(24°+36°)=tan 60°=,故C正确;
对于D,由题意得tan(α+β)==,所以α+β=+kπ(k∈Z),所以α+β的值可能为,-,故D正确.故选ACD.
(2)sin θ+sin(θ+)=sin θ+sin θ+cos θ=sin θ+cos θ=sin(θ+)=1 sin(θ+)=.故选B.
考点三　角的变换问题
[例3] 已知α,β均为锐角,sin(α-)=,sin(-+β)=,则cos 的值为(　　)
A.- B. C. D.-
【答案】 B
【解析】 因为α,β均为锐角,即0<α<,0<β<,所以α-∈(-,),-+β∈(-,),
又sin(α-)=,sin(-+β)=,所以cos(α-)==,cos(-+β)==,
所以cos =cos[(α-)+(-+β)]
=cos(α-)·cos(-+β)-sin(α-)sin(-+β)
=×-×=.故选B.
(1)三角函数求值中变角的原则.
①当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;
②当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
(2)常用的拆角、配角技巧.
2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β=(α-β)+β,β=-=(α+2β)-(α+β),α=+,=(α+)-(+β),α-β=(α-γ)+(γ-β),15°=45°-30°,+α=-(-α)等.
[针对训练]
(2025·河北石家庄模拟)已知角α,β满足tan α=,2sin β=cos(α+β)sin α,则tan β=(　　)
A. B. C. D.2
【答案】 C
【解析】 因为2sin β=cos(α+β)sin α,即 2sin[(α+β)-α]=cos(α+β)sin α,所以2sin(α+β)cos α-2cos(α+β)sin α=cos(α+β)sin α,整理得 2sin(α+β)cos α=3cos(α+β)sin α,变形得tan(α+β)=tan α=,所以tan β=tan[(α+β)-α]==.故选C.第3节　两角和与差的正弦、余弦和正切公式
[学习目标]
1.经历推导两角差的余弦公式的过程,知道两角差的余弦公式的意义.2.能由两角差的余弦公式推导出两角和与差的正弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系.3.掌握两角和与差的正弦、余弦、正切公式,并会简单应用.
1.两角和与差的余弦、正弦、正切公式
(1)公式C(α-β): .
(2)公式C(α+β): .
(3)公式S(α-β): .
(4)公式S(α+β): .
(5)公式T(α-β):tan(α-β)=.
(6)公式T(α+β):tan(α+β)=.
2.辅助角公式
asin α+bcos α=sin(α+φ),其中sin φ=,cos φ=.
1.两角和与差的公式的常用变形.
(1)sin αsin β+cos(α+β)=cos αcos β.
(2)cos αsin β+sin(α-β)=sin αcos β.
(3)tan α±tan β=tan(α±β)(1 tan αtan β).
(4)tan αtan β=1-=-1.
2.辅助角公式的常用变形.
sin α±cos α=sin(α±),sin α±cos α=2sin(α±).
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)对于任意实数α,β,cos(α-β)=cos α-cos β都不成立.(　　)
(2)对任意α,β∈R,cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β 都成立.(　　)
(3)sin α+cos α=sin(α+).(　　)
(4)存在α,β∈R,使tan(α+β)=tan α+tan β成立.(　　)
(5)公式asin x+bcos x=sin(x+φ)中φ的取值与a,b的值无关.(　　)
2.(人教A版必修第一册P220练习T3改编)sin 24°·cos 36°+cos 24°sin 36°的值为(　　)
A. B. C. D.-
3.(人教A版必修第一册P220练习T2改编)若 cos α=-,α是第三象限角,则sin(α+)=(　　)
A.　 B.-　 C.-　 D.
4.(人教A版必修第一册P219例4(3)改编)计算:= .
考点一　三角函数公式的直接应用
[例1] (1)(2024·全国甲卷)已知=,则 tan(α+)等于(　　)
A.2+1 B.2-1
C. D.1-
(2)(2024·新课标Ⅰ卷)已知cos(α+β)=m,tan αtan β=2,则cos(α-β)等于(　　)
A.-3m B.- C. D.3m
[溯源探本] 本例(1)源于人教A版必修第一册P220练习T2(3);本例(2)源于人教A版必修第一册P255复习参考题5 T15.
直接利用两角和与差公式化简求值的策略
(1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律.例如两角和与差的余弦公式可简记为“同名相乘,符号反”.
(2)注意同角三角函数的基本关系与诱导公式的综合应用.
(3)注意配方法、因式分解、整体代换思想的应用.
[针对训练]
(1)已知单位圆x2+y2=1上一点A(,),现将点A绕圆心逆时针旋转到点B,则点B的横坐标为(　　)
A.　 B.　　　
C.　 D.
(2)cos(70°+α)sin(170°-α)-sin(70°+α)·cos(10°+α)等于(　　)
A. B.- C. D.-
考点二　三角函数公式的逆用与变形
[例2] (1)(2025·江苏如皋模拟)已知0<β<α<,sin(α-β)=,tan α-tan β=2,则 sin αsin β=(　　)
A. B. C. D.
(2)(2025·四川宜宾模拟)若cos(α-)+cos α=-1,则cos(α-)=(　　)
A.- B. C. D.-
(3)(1+tan 13°)(1+tan 32°)= .
[溯源探本] 本例(3)源于人教A版必修第一册P254复习参考题5 T12.
(1)正切公式变形:tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β),tan α-tan β=tan(α-β)(1+tan α·tan β)等.
(2)在辅助角公式asin x+bcos x=sin(x+φ)中,当|a|=|b|时,一般可引入辅助角φ=;当||=或||=时,一般可引入辅助角φ=或.
(3)注意特殊角的应用,当式子中出现,,,1,等这些数值时,一定要考虑引入特殊角,进行代换,把“值”变“角”.
[针对训练]
(1)(多选题)下列说法正确的是(　　)
A.在△ABC中,若sin Asin BB.cos 15°-sin 15°=
C.=
D.若tan α+tan β=-tan αtan β,则α+β的值可能为或-
(2)已知sin θ+sin(θ+)=1,则sin(θ+)等于(　　)
A. B. C. D.
考点三　角的变换问题
[例3] 已知α,β均为锐角,sin(α-)=,sin(-+β)=,则cos 的值为(　　)
A.- B. C. D.-
(1)三角函数求值中变角的原则.
①当“已知角”有两个时,“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式;
②当“已知角”有一个时,此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系,再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”.
(2)常用的拆角、配角技巧.
2α=(α+β)+(α-β),α=(α+β)-β=(α-β)+β,β=-=(α+2β)-(α+β),α=+,=(α+)-(+β),α-β=(α-γ)+(γ-β),15°=45°-30°,+α=-(-α)等.
[针对训练]
(2025·河北石家庄模拟)已知角α,β满足tan α=,2sin β=cos(α+β)sin α,则tan β=(　　)
A. B. C. D.2

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