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第4节　简单的三角恒等变换
[学习目标]
1.能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角、半角的正弦、余弦、正切公式,并进行简单的恒等变换.2.会根据相关公式进行化简和求值.3.会利用三角函数式的化简与求值解决一些简单的问题.
1.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α:sin 2α=2sin αcos α.
(2)公式C2α:cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α.
(3)公式T2α:tan 2α=(α≠kπ+,α≠+,k∈Z).
2.半角公式
sin=±,
cos=±,
tan=±==.
1.降幂公式.
cos2α=,
sin2α=,
tan2α=.
2.升幂公式.
1+sin 2α=(sin α+cos α)2,
1-sin 2α=(sin α-cos α)2.
3.万能公式.
sin α=,cos α=,
tan α=.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角.(　　)
(2)存在角α,使得sin 2α=2sin α成立.(　　)
(3)对于任意的角α,cos 2α=2cos α都不成立.(　　)
(4)sin 3αcos 3α=sin 6α.(　　)
【答案】 (1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2.(人教A版必修第一册P223练习T5改编)等于(　　)
A. B.- C. D.-
【答案】 B
【解析】 =×=×tan 150°=-.故选B.
3.(人教A版必修第一册P223练习T2改编)已知cos(-x)=,则cos 2x的值为(　　)
A. B. C. D.
【答案】 A
【解析】 因为cos(-x)=sin x=,
所以cos 2x=1-2sin2x=.故选A.
4.sin 2α=-,则cos2(α-)的值为　　　　.
【答案】
【解析】 cos2(α-)=====.
考点一　三角函数式的化简
[例1] (1)+的化简结果为(　　)
A.-sin 20° B.-cos 20°　　
C.cos 20°　 D.sin 20°
(2)化简:(1+tan αtan )=　 　　　.
【答案】 (1)C　(2)tan α
【解析】 (1)原式=+=|sin 20°-cos 20°|+
=cos 20°-sin 20°+sin 20°=cos 20°.故选C.
(2)因为tan ===,
所以(1+tan αtan )=(1+·)
=sin α(1+)=sin α·==tan α.
(1)三角函数式的化简要遵循的“三看”原则.
(2)三角函数式化简的方法:弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂或升幂.在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律,根号中含有三角函数式时,一般需要
升次.
[针对训练]
(1)化简:tan(+)+tan(-)=　　　　 .
(2)化简:=　　　 　.
【答案】 (1)2tan x　(2)sin 4α
【解析】 (1)原式=+==2×=2tan x.
(2)=2cos2α·(-cos 2α)·=cos2α·cos 2α·=cos2α·cos 2α·tan α=
cos α·cos 2α·sin α=sin 2α·cos 2α=sin 4α.
考点二　三角函数式的求值
角度一　给角求值问题
[例2] (1)(2025·山西吕梁模拟)的值为(　　)
A. B. C.2 D.4
(2)cos 20°cos 40°cos 60°cos 80°=　 .
[溯源探本] 本例(2)源于人教B版必修第三册P103练习BT3.
【答案】 (1)D　(2)
【解析】 (1)原式=
=
====4.故选D.
(2)cos 20°cos 40°cos 60°cos 80°
=·
=·=·=·=.
给角求值问题中一般给出的角都是非特殊角,求解时,需要观察分析所给角与特殊角的关系、分析函数名称的关系,通过公式的正用、逆用、变形,使得式子中的角以及式子的结构发生变换,从而达到化简计算的目的,通常有以下三种思路:
(1)通过变换,化为特殊角的三角函数值.
(2)通过变换,产生正负抵消的项消去求值.
(3)通过变换,产生分子分母约分的项约分求值.
角度二　给值求值问题
[例3] (2025·广西贵港模拟)已知cos(α-)-cos α=,则sin(2α+)=(　　)
A.- B. C.- D.
【答案】 A
【解析】 因为cos(α-)-cos α=sin α-cos α=sin(α-)=,
所以sin(2α+)=sin[2(α-)+]=cos[2(α-)]=1-2sin2(α-)=-.故选A.
给值求值问题关键在于“变角”,使待求角与已知角相同或具有某种关系,解题步骤如下:
(1)化简所求式子或已知条件.
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手).
(3)将已知条件代入所求式子,化简求值.
角度三　给值求角问题
[例4] 已知α,β都为锐角,且sin α=,cos β=,则α-β等于(　　)
A.- B. C.- D.
【答案】 C
【解析】 因为α,β都为锐角,
且sin α=,cos β=,
所以cos α=,sin β=,
由sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=×-×=-=-,
因为sin α给值求角问题实质上是转化为给值求值问题,先求角的某一三角函数值,再求角的取值范围,最后确定角.遵照以下原则:
(1)已知正切函数值,选正切函数.
(2)已知正弦、余弦函数值,若角的取值范围是(0,),选正弦、余弦皆可;若角的取值范围是(0,π),选余弦较好;若角的取值范围为(-,),选正弦较好.
[针对训练]
1.(角度一)-2cos 10°=(　　)
A. B. C. D.-
【答案】 B
【解析】 原式=-2cos 10°
==
=
=
=
=
==.故选B.
2.(角度二)(2023·新课标Ⅰ卷)已知sin(α-β)=,cos αsin β=,则cos(2α+2β)等于(　　)
A. B. C.- D.-
【答案】 B
【解析】 因为sin(α-β)=sin αcos β-cos αsin β=,而cos αsin β=,因此sin αcos β=,
则sin(α+β)=sin αcos β+cos αsin β=,
所以cos(2α+2β)=cos[2(α+β)]=1-2sin2(α+β)=1-2×()2=.故选B.
3.(角度三)(2025·湖北武汉模拟)已知α,β均为锐角,cos α=,sin β=,则cos 2α=
　　 　　,2α-β=　　 　　.
【答案】 　
【解析】 因为cos α=,
所以cos 2α=2cos2α-1=.
又因为α,β均为锐角,sin β=,
所以sin α=,cos β=,
因此sin 2α=2sin αcos α=,
所以sin(2α-β)=sin 2αcos β-cos 2αsin β=×-×=.
因为α为锐角,所以0<2α<π.
又cos 2α>0,所以0<2α<,
又β为锐角,所以-<2α-β<,
又sin(2α-β)=,所以2α-β=.
考点三　三角恒等变换的综合应用
[例5] (2025·河南郑州模拟)已知函数f(x)=4cos x·cos(x+)-.
(1)求f()的值;
(2)若α∈[0,],且f(α)=,求cos 2α.
【解】 (1)f(x)=4cos xcos(x+)-
=4cos x(cos x-sin x)-
=2cos2x-2sin xcos x-
=(2cos2x-1)-2sin xcos x
=cos 2x-sin 2x=2cos(2x+),
f()=2cos=2×(-)=-.
(2)因为f(α)=2cos(2α+)=,
所以cos(2α+)=,
因为0≤α≤,所以≤2α+≤,
则≤2α+≤,
所以sin(2α+)=,
则cos 2α=cos[(2α+)-]
=cos(2α+)cos+sin(2α+)sin
=×+×
=.
三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合,通过变换把函数化为 f(x)=Asin(ωx+φ)+b的形式再研究其性质,解题时注意观察角、函数名、结构等特征,注意利用整体思想解决相关问题.
[针对训练]
已知向量a=(cos x,sin x),b=(cos x+2sin x,-sin x),设函数f(x)=a·b.若α,β均为锐角,f(α+)=,sin(α-β)=-,求sin(α+β)的值.
【解】 因为f(x)=a·b=cos2x+2sin xcos x-sin2x=sin 2x+cos 2x=2sin(2x+),
所以f(α+)=2sin(2α+)=2cos 2α=,所以cos 2α=,
因为α∈(0,),β∈(0,),
所以2α∈(0,π),α-β∈(-,),所以sin 2α=,因为sin(α-β)=-<0,所以α-β∈(-,0),所以cos(α-β)=,
所以sin(α+β)=sin[2α-(α-β)]=sin 2αcos(α-β)-cos 2αsin(α-β)=×+×=.第4节　简单的三角恒等变换
[学习目标]
1.能运用两角和与差的正弦、余弦、正切公式推导二倍角、半角的正弦、余弦、正切公式,并进行简单的恒等变换.2.会根据相关公式进行化简和求值.3.会利用三角函数式的化简与求值解决一些简单的问题.
1.二倍角的正弦、余弦、正切公式
(1)公式S2α:sin 2α= .
(2)公式C2α:cos 2α= = = .
(3)公式T2α:tan 2α=(α≠kπ+,α≠+,k∈Z).
2.半角公式
sin=±,
cos=±,
tan=±==.
1.降幂公式.
cos2α=,
sin2α=,
tan2α=.
2.升幂公式.
1+sin 2α=(sin α+cos α)2,
1-sin 2α=(sin α-cos α)2.
3.万能公式.
sin α=,cos α=,
tan α=.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)二倍角的正弦、余弦、正切公式的适用范围是任意角.(　　)
(2)存在角α,使得sin 2α=2sin α成立.(　　)
(3)对于任意的角α,cos 2α=2cos α都不成立.(　　)
(4)sin 3αcos 3α=sin 6α.(　　)
2.(人教A版必修第一册P223练习T5改编)等于(　　)
A. B.- C. D.-
3.(人教A版必修第一册P223练习T2改编)已知cos(-x)=,则cos 2x的值为(　　)
A. B. C. D.
4.sin 2α=-,则cos2(α-)的值为 .
考点一　三角函数式的化简
[例1] (1)+的化简结果为(　　)
A.-sin 20° B.-cos 20°　　
C.cos 20°　 D.sin 20°
(2)化简:(1+tan αtan )= 　.
(1)三角函数式的化简要遵循的“三看”原则.
(2)三角函数式化简的方法:弦切互化,异名化同名,异角化同角,降幂或升幂.在三角函数式的化简中“次降角升”和“次升角降”是基本的规律,根号中含有三角函数式时,一般需要
升次.
[针对训练]
(1)化简:tan(+)+tan(-)= .
(2)化简:= .
考点二　三角函数式的求值
角度一　给角求值问题
[例2] (1)(2025·山西吕梁模拟)的值为(　　)
A. B. C.2 D.4
(2)cos 20°cos 40°cos 60°cos 80°= .
[溯源探本] 本例(2)源于人教B版必修第三册P103练习BT3.
给角求值问题中一般给出的角都是非特殊角,求解时,需要观察分析所给角与特殊角的关系、分析函数名称的关系,通过公式的正用、逆用、变形,使得式子中的角以及式子的结构发生变换,从而达到化简计算的目的,通常有以下三种思路:
(1)通过变换,化为特殊角的三角函数值.
(2)通过变换,产生正负抵消的项消去求值.
(3)通过变换,产生分子分母约分的项约分求值.
角度二　给值求值问题
[例3] (2025·广西贵港模拟)已知cos(α-)-cos α=,则sin(2α+)=(　　)
A.- B. C.- D.
给值求值问题关键在于“变角”,使待求角与已知角相同或具有某种关系,解题步骤如下:
(1)化简所求式子或已知条件.
(2)观察已知条件与所求式子之间的联系(从三角函数名及角入手).
(3)将已知条件代入所求式子,化简求值.
角度三　给值求角问题
[例4] 已知α,β都为锐角,且sin α=,cos β=,则α-β等于(　　)
A.- B. C.- D.
给值求角问题实质上是转化为给值求值问题,先求角的某一三角函数值,再求角的取值范围,最后确定角.遵照以下原则:
(1)已知正切函数值,选正切函数.
(2)已知正弦、余弦函数值,若角的取值范围是(0,),选正弦、余弦皆可;若角的取值范围是(0,π),选余弦较好;若角的取值范围为(-,),选正弦较好.
[针对训练]
1.(角度一)-2cos 10°=(　　)
A. B. C. D.-
2.(角度二)(2023·新课标Ⅰ卷)已知sin(α-β)=,cos αsin β=,则cos(2α+2β)等于(　　)
A. B. C.- D.-
3.(角度三)(2025·湖北武汉模拟)已知α,β均为锐角,cos α=,sin β=,则cos 2α=
,2α-β= .
考点三　三角恒等变换的综合应用
[例5] (2025·河南郑州模拟)已知函数f(x)=4cos x·cos(x+)-.
(1)求f()的值;
(2)若α∈[0,],且f(α)=,求cos 2α.
三角恒等变换的综合应用主要是将三角变换与三角函数的性质相结合,通过变换把函数化为 f(x)=Asin(ωx+φ)+b的形式再研究其性质,解题时注意观察角、函数名、结构等特征,注意利用整体思想解决相关问题.
[针对训练]
已知向量a=(cos x,sin x),b=(cos x+2sin x,-sin x),设函数f(x)=a·b.若α,β均为锐角,f(α+)=,sin(α-β)=-,求sin(α+β)的值.

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