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第5节　三角函数的图象与性质
[学习目标]
1.能画出y=sin x,y=cos x,y=tan x的图象,了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等),理解正切函数在区间(-,)上的单调性.
1.用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]图象的五个关键点是(0,0),(,1), ,(,-1),(2π,0).
余弦函数y=cos x,x∈[0,2π]图象的五个关键点是(0,1),(,0), ,(,0),(2π,1).
2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质
函数 y=sin x y=cos x y=tan x
图象
定义域 R R {x|x≠+kπ,k∈Z}
值域 R
单调性 递增区间: [-+2kπ,+2kπ](k∈Z); 递减区间: [+2kπ,+2kπ](k∈Z) 递增区间: [-π+2kπ,2kπ](k∈Z); 递减区间: [2kπ,π+2kπ](k∈Z) 　 递增区间: (-+kπ,+kπ)(k∈Z)
奇偶性
对称性 对称中心: (kπ,0)(k∈Z) 对称中心: (+kπ,0)(k∈Z) 对称中心: (,0)(k∈Z)
对称轴: x=+kπ(k∈Z) 对称轴: x=kπ(k∈Z) —
周期性 2π 2π π
1.对称性与周期.
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.
2.要注意求函数y=Asin(ωx+φ)的单调区间时A和ω的符号,尽量化成ω>0,避免出现增减区间混淆的情况.
3.对于y=tan x,不能认为其在定义域上为增函数,而是在每一个区间(-+kπ,+kπ)(k∈Z)上都单调递增.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)y=sin x在第一、第四象限单调递增.(　　)
(2)正切函数图象是中心对称图形,有无数个对称中心.(　　)
(3)由sin(+)=sin ,知是正弦函数y=sin x(x∈R)的一个周期.(　　)
(4)函数f(x)=tan(x+)的定义域为{x|x≠kπ+,k∈Z}.(　　)
(5)函数y=cos |x|和y=cos x周期相同.(　　)
2.(2025·八省联考)函数f(x)=cos(x+)的最小正周期是(　　)
A. B. C.π D.2π
3.(人教A版必修第一册P214习题5.4T10改编)函数y=2cos(x+)在[-,]上的值域是 .
4.(人教A版必修第一册P214习题5.4T16改编)函数 f(x)=sin(2x-),x∈R的单调递增区间是 .
考点一　三角函数的定义域、值域
[例1] (1)(2025·广东珠海模拟)在[0,2π]内,函数f(x)=+ln(sin x-)的定义域是(　　)
A.[,] B.[,]
C.[,) D.[,]
(2)函数y=2sin(-)(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为(　　)
A.2- B.0
C.-1 D.-1-
(3)函数y=-2sin2x+2sin x+1,x∈R的值域为 .
三角函数定义域与值域的求法
(1)求三角函数的定义域实际上就是解简单的三角不等式,常借助三角函数图象来求解.
(2)求三角函数的值域(最值)的常见题型及求解策略:
①形如y=asin x+bcos x+c的三角函数可先化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式,再求最值(值域);
②形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)的三角函数,可先设sin x=t,化为关于t的二次函数,再求值域
(最值).
[针对训练]
(1)函数y=的定义域为 .
(2)函数f(x)=tan2x-tan x,x∈[-,]的最大值与最小值之和为 .
考点二　三角函数的奇偶性、周期性与对称性
[例2] (多选题)(2025·湖北襄阳模拟)下列说法正确的是(　　)
A.若函数f(x)=tan(2ωx-)(ω>0)的最小正周期为,则ω的值为2
B.函数y=3sin(2x+)(x∈R)是偶函数
C.点(-,0)是函数y=cos(2x+)图象的一个对称中心
D.直线x=是函数y=sin(2x+)图象的一条对称轴
有关三角函数的奇偶性、周期性和对称性
问题的解题思路
(1)奇偶性:三角函数中奇函数一般可化为y=Asin ωx或y=Atan ωx的形式,而偶函数一般可化为y=Acos ωx的形式.
若f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0),则有以下结论.
①f(x)为偶函数的充要条件是φ=+kπ(k∈Z);
②f(x)为奇函数的充要条件是φ=kπ(k∈Z).
(2)周期性:函数y=Asin(ωx+φ)与y=Acos(ωx+φ)的最小正周期T=,y=Atan(ωx+φ)的最小正周期T=.
(3)对称性:①对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)(或f(x)=Acos(ωx+φ))形式的函数,如果求f(x)图象的对称轴,只需令ωx+φ=+kπ(k∈Z)(或令ωx+φ=kπ(k∈Z)),求x即可;如果求f(x)图象的对称中心的横坐标,只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)(或令ωx+φ=+kπ(k∈Z)),求x即可.②对于可化为f(x)=Atan(ωx+φ)形式的函数,如果求f(x)图象的对称中心的横坐标,只需令ωx+φ=(k∈Z),求x即可.
[针对训练]
(多选题)已知函数f(x)=2sin(2x-),则下列结论正确的是(　　)
A.函数f(x)的最小正周期是π
B.函数f(x)图象的一条对称轴为直线x=
C.函数f(x)的图象关于点(-,0)对称
D.函数f(x-)的图象关于y轴对称
考点三　三角函数的单调性
角度一　求三角函数的单调区间、比较大小
[例3] (1)(2025·山东日照模拟)在下列区间中,函数f(x)=5sin(-x+)单调递减的是(　　)
A.[-π,-] B.[,π]
C.[,2π] D.[2π,]
(2)(2025·安徽宣城模拟)若f(x)=sin(2x-),则(　　)
A.f(1)>f(2)>f(3)
B.f(3)>f(2)>f(1)
C.f(2)>f(1)>f(3)
D.f(1)>f(3)>f(2)
[溯源探本] 本例(1)源于人教A版必修第一册P207练习T5.
(1)利用三角函数单调性比较大小,需将待比较的角转化到同一个单调区间.
(2)求y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))(ω≠0)的单调区间,需将ωx+φ看作一个整体,结合相应函数单调性求解,当ω<0时,要利用诱导公式将x系数化为正数再确定其单调性.
角度二　根据三角函数的单调性求参数
[例4] (2025·湖南永州模拟)已知函数f(x)=sin(3x+φ)(0<φ<2π)在区间[,]上单调递增,则φ=(　　)
A. B. C. D.π
已知函数y=Asin(ωx+φ)的单调性求参数,可先求出t=ωx+φ的取值范围(a,b),再根据(a,b)是函数y=Asin t的单调区间的子区间列不等式(组)求解.另外,若是选择题利用特值验证排除法求解更为方便.
[针对训练]
1.(角度一)函数f(x)=-3cos(2x+)的单调递增区间为(　　)
A.[kπ-,kπ+],k∈Z
B.[kπ+,kπ+],k∈Z
C.[kπ-,kπ-],k∈Z
D.[kπ-,kπ+],k∈Z
2.(角度一)(多选题)下列不等式成立的是(　　)
A.tan 2 025°>tan 2 026°
B.sin 1C.cos 2 026°>cos 2 025°
D.cos 1>sin 3
3.(角度二)(2025·福建漳州模拟)已知函数f(x)=2cos(3x+)在[0,]上单调递减,则实数a的最大值为(　　)
A. B. C. D.第5节　三角函数的图象与性质
[学习目标]
1.能画出y=sin x,y=cos x,y=tan x的图象,了解三角函数的周期性.2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0,2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x轴的交点等),理解正切函数在区间(-,)上的单调性.
1.用“五点法”作正弦函数和余弦函数的简图
正弦函数y=sin x,x∈[0,2π]图象的五个关键点是(0,0),(,1),(π,0),(,-1),(2π,0).
余弦函数y=cos x,x∈[0,2π]图象的五个关键点是(0,1),(,0),(π,-1),(,0),(2π,1).
2.正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质
函数 y=sin x y=cos x y=tan x
图象
定义域 R R {x|x≠+kπ,k∈Z}
值域 [-1,1] [-1,1] R
单调性 递增区间: [-+2kπ,+2kπ](k∈Z); 递减区间: [+2kπ,+2kπ](k∈Z) 递增区间: [-π+2kπ,2kπ](k∈Z); 递减区间: [2kπ,π+2kπ](k∈Z) 　 递增区间: (-+kπ,+kπ)(k∈Z)
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数
对称性 对称中心: (kπ,0)(k∈Z) 对称中心: (+kπ,0)(k∈Z) 对称中心: (,0)(k∈Z)
对称轴: x=+kπ(k∈Z) 对称轴: x=kπ(k∈Z) —
周期性 2π 2π π
1.对称性与周期.
(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期,相邻的对称中心与对称轴之间的距离是个周期.
(2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.
2.要注意求函数y=Asin(ωx+φ)的单调区间时A和ω的符号,尽量化成ω>0,避免出现增减区间混淆的情况.
3.对于y=tan x,不能认为其在定义域上为增函数,而是在每一个区间(-+kπ,+kπ)(k∈Z)上都单调递增.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)y=sin x在第一、第四象限单调递增.(　　)
(2)正切函数图象是中心对称图形,有无数个对称中心.(　　)
(3)由sin(+)=sin ,知是正弦函数y=sin x(x∈R)的一个周期.(　　)
(4)函数f(x)=tan(x+)的定义域为{x|x≠kπ+,k∈Z}.(　　)
(5)函数y=cos |x|和y=cos x周期相同.(　　)
【答案】 (1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√
2.(2025·八省联考)函数f(x)=cos(x+)的最小正周期是(　　)
A. B. C.π D.2π
【答案】 D
【解析】 f(x)的最小正周期T==2π.故选D.
3.(人教A版必修第一册P214习题5.4T10改编)函数y=2cos(x+)在[-,]上的值域是　　　　.
【答案】 [0,]
【解析】 因为x∈[-,],
所以x+∈[,],
cos(x+)∈[0,],
所以y=2cos(x+)∈[0,],
故函数y=2cos (x+)在[-,]上的值域是[0,].
4.(人教A版必修第一册P214习题5.4T16改编)函数 f(x)=sin(2x-),x∈R的单调递增区间是　　　　　　　　　　　　.
【答案】 [-+kπ,+kπ](k∈Z)
【解析】 函数f(x)=sin(2x-).
由-+2kπ≤2x-≤+2kπ(k∈Z),
得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),
故函数f(x)=sin(2x-),x∈R的单调递增区间为[-+kπ,+kπ](k∈Z).
考点一　三角函数的定义域、值域
[例1] (1)(2025·广东珠海模拟)在[0,2π]内,函数f(x)=+ln(sin x-)的定义域是(　　)
A.[,] B.[,]
C.[,) D.[,]
(2)函数y=2sin(-)(0≤x≤9)的最大值与最小值之和为(　　)
A.2- B.0
C.-1 D.-1-
(3)函数y=-2sin2x+2sin x+1,x∈R的值域为　　　　.
【答案】 (1)C　(2)A　(3)[-3,]
【解析】 (1)函数f(x)=+ln(sin x-)有意义,
需满足其中x∈[0,2π],即其中x∈[0,2π],
解得≤x<,即函数f(x)的定义域为[,).故选C.
(2)因为0≤x≤9,所以-≤-≤,
所以sin(-)∈[-,1].
所以y∈[-,2],所以ymax+ymin=2-.故选A.
(3)令t=sin x,t∈[-1,1],
则y=-2t2+2t+1=-2(t-)2+,t∈[-1,1].
当t=时,y取最大值;
当t=-1时,y取最小值-3.
故值域为[-3,].
三角函数定义域与值域的求法
(1)求三角函数的定义域实际上就是解简单的三角不等式,常借助三角函数图象来求解.
(2)求三角函数的值域(最值)的常见题型及求解策略:
①形如y=asin x+bcos x+c的三角函数可先化为y=Asin(ωx+φ)+k的形式,再求最值(值域);
②形如y=asin2x+bsin x+c(a≠0)的三角函数,可先设sin x=t,化为关于t的二次函数,再求值域
(最值).
[针对训练]
(1)函数y=的定义域为　　　　　　　　　　　　.
(2)函数f(x)=tan2x-tan x,x∈[-,]的最大值与最小值之和为　　　　.
【答案】 (1){x|+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z}　(2)
【解析】 (1)法一　要使函数有意义,必须使sin x-cos x≥0.在同一平面直角坐标系中画出[0,2π]上y=sin x和y=cos x的图象,如图所示.
在[0,2π]内,满足sin x=cos x的x的值为,,再结合正弦、余弦函数的周期是2π,所以函数y=的定义域为{x|+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z}.
法二　由题意知sin x-cos x=sin(x-)≥0,将x-视为一个整体,由正弦函数y=sin x的图象和性质可知2kπ≤x-≤π+2kπ,k∈Z,解得+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z,所以函数y=的定义域为{x|+2kπ≤x≤+2kπ,k∈Z}.
(2)令tan x=t,因为x∈[-,],所以t∈[-1,1],则y=t2-t=(t-)2-,因为函数图象的对称轴为直线t=,所以y=t2-t在t∈[-1,]上单调递减,在t∈(,1]上单调递增,所以当t=-1时,ymax=2,当t=时,ymin=-,函数f(x)=tan2x-tan x的最大值与最小值之和为2-=.
考点二　三角函数的奇偶性、周期性与对称性
[例2] (多选题)(2025·湖北襄阳模拟)下列说法正确的是(　　)
A.若函数f(x)=tan(2ωx-)(ω>0)的最小正周期为,则ω的值为2
B.函数y=3sin(2x+)(x∈R)是偶函数
C.点(-,0)是函数y=cos(2x+)图象的一个对称中心
D.直线x=是函数y=sin(2x+)图象的一条对称轴
【答案】 BCD
【解析】 由已知得,T==,即ω=1,故A错误; 函数y=3sin(2x+)=-3cos 2x(x∈R)是偶函数,故B正确;
(法一)令2x+=kπ+,k∈Z,得x=-,k∈Z,当k=0时,x=-,故点(-,0)是函数y=cos(2x+)图象的一个对称中心,故C正确;(法二)当x=-时,y=cos[2×(-)+]=cos =0,故点(-,0)是函数y=cos(2x+)图象的一个对称中心,故C正确;
(法一)令2x+=kπ+,k∈Z,得x=+,k∈Z,当k=0时,x=,故直线x=是函数y=sin(2x+)图象的一条对称轴,故D正确;(法二)当x=时,y=sin(2×+)=sin =1,故直线x=是函数y=sin(2x+)图象的一条对称轴,故D正确.故选BCD.
有关三角函数的奇偶性、周期性和对称性
问题的解题思路
(1)奇偶性:三角函数中奇函数一般可化为y=Asin ωx或y=Atan ωx的形式,而偶函数一般可化为y=Acos ωx的形式.
若f(x)=Asin(ωx+φ)(A,ω≠0),则有以下结论.
①f(x)为偶函数的充要条件是φ=+kπ(k∈Z);
②f(x)为奇函数的充要条件是φ=kπ(k∈Z).
(2)周期性:函数y=Asin(ωx+φ)与y=Acos(ωx+φ)的最小正周期T=,y=Atan(ωx+φ)的最小正周期T=.
(3)对称性:①对于可化为f(x)=Asin(ωx+φ)(或f(x)=Acos(ωx+φ))形式的函数,如果求f(x)图象的对称轴,只需令ωx+φ=+kπ(k∈Z)(或令ωx+φ=kπ(k∈Z)),求x即可;如果求f(x)图象的对称中心的横坐标,只需令ωx+φ=kπ(k∈Z)(或令ωx+φ=+kπ(k∈Z)),求x即可.②对于可化为f(x)=Atan(ωx+φ)形式的函数,如果求f(x)图象的对称中心的横坐标,只需令ωx+φ=(k∈Z),求x即可.
[针对训练]
(多选题)已知函数f(x)=2sin(2x-),则下列结论正确的是(　　)
A.函数f(x)的最小正周期是π
B.函数f(x)图象的一条对称轴为直线x=
C.函数f(x)的图象关于点(-,0)对称
D.函数f(x-)的图象关于y轴对称
【答案】 ACD
【解析】 对于选项A,可知函数f(x)的最小正周期是T==π,故A正确;对于选项B,因为f()=2sin(2×-)=2sin 0=0,不是最值,所以直线x=不是函数f(x)图象的一条对称轴,故B错误;对于选项C,因为f(-)=2sin[2×(-)-]=2sin(-π)=0,所以函数f(x)的图象关于点(-,0)对称,故C正确;对于选项D,函数f(x-)=2sin[2(x-)-]=2sin(2x-)=-2cos 2x,为偶函数,故图象关于y轴对称,故D正确.故选ACD.
考点三　三角函数的单调性
角度一　求三角函数的单调区间、比较大小
[例3] (1)(2025·山东日照模拟)在下列区间中,函数f(x)=5sin(-x+)单调递减的是(　　)
A.[-π,-] B.[,π]
C.[,2π] D.[2π,]
(2)(2025·安徽宣城模拟)若f(x)=sin(2x-),则(　　)
A.f(1)>f(2)>f(3)
B.f(3)>f(2)>f(1)
C.f(2)>f(1)>f(3)
D.f(1)>f(3)>f(2)
[溯源探本] 本例(1)源于人教A版必修第一册P207练习T5.
【答案】(1)B　(2)A
【解析】 (1)f(x)=5sin(-x+)=-5sin(x-),令2kπ-≤x-≤2kπ+(k∈Z),
得4kπ-≤x≤4kπ+(k∈Z),
令k=0,得-≤x≤,
因为[,π] [-,],
所以函数f(x)在[,π]上单调递减.故选B.
(2)由≤2x-≤,可得≤x≤,所以函数f(x)在区间[,]上单调递减,由于1<<2,且-1<2-,故f(1)>f(2),由于<2<<3,且-2>3-,故f(2)>f(3),所以f(1)>f(2)>f(3).故选A.
(1)利用三角函数单调性比较大小,需将待比较的角转化到同一个单调区间.
(2)求y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))(ω≠0)的单调区间,需将ωx+φ看作一个整体,结合相应函数单调性求解,当ω<0时,要利用诱导公式将x系数化为正数再确定其单调性.
角度二　根据三角函数的单调性求参数
[例4] (2025·湖南永州模拟)已知函数f(x)=sin(3x+φ)(0<φ<2π)在区间[,]上单调递增,则φ=(　　)
A. B. C. D.π
【答案】 D
【解析】 当x∈[,]时,3x+φ∈[+φ,+φ],由于函数f(x)=sin(3x+φ)(0<φ<2π)在区间[,]上单调递增,故k∈Z,即2kπ-π≤φ≤2kπ-π,k∈Z,即φ=2kπ-π,k∈Z,又0<φ<2π,则φ=π.故选D.
已知函数y=Asin(ωx+φ)的单调性求参数,可先求出t=ωx+φ的取值范围(a,b),再根据(a,b)是函数y=Asin t的单调区间的子区间列不等式(组)求解.另外,若是选择题利用特值验证排除法求解更为方便.
[针对训练]
1.(角度一)函数f(x)=-3cos(2x+)的单调递增区间为(　　)
A.[kπ-,kπ+],k∈Z
B.[kπ+,kπ+],k∈Z
C.[kπ-,kπ-],k∈Z
D.[kπ-,kπ+],k∈Z
【答案】 D
【解析】 因为f(x)=-3cos(2x+),令2kπ≤2x+≤2kπ+π,k∈Z,得kπ-≤x≤kπ+,k∈Z,故函数f(x)的单调递增区间为[kπ-,kπ+],k∈Z.故选D.
2.(角度一)(多选题)下列不等式成立的是(　　)
A.tan 2 025°>tan 2 026°
B.sin 1C.cos 2 026°>cos 2 025°
D.cos 1>sin 3
【答案】 BCD
【解析】 tan2 025°=tan(360°×5+225°)=tan 225°=tan(180°+45°)=tan 45°,
tan 2 026°=tan(360°×5+226°)=tan 226°=tan(180°+46°)=tan 46°,
因为0°<45°<46°<90°,且y=tan x在(0,)上单调递增,所以tan 45°tan 2 026°,故A错误;
因为y=sin x在(0,)上单调递增,在(,π)上单调递减,所以sin 1sin =,
所以sin 1cos 2 025°=cos(360°×5+225°)=cos 225°=cos(180°+45°)=-cos 45°,
cos 2 026°=cos(360°×5+226°)=cos 226°=cos(180°+46°)=-cos 46°,
因为cos 45°>cos 46°,所以-cos 45°<-cos 46°,所以cos 2 026°>cos 2 025°,故C正确;
因为cos 1>cos=,sin 3sin 3,故D正确.故选BCD.
3.(角度二)(2025·福建漳州模拟)已知函数f(x)=2cos(3x+)在[0,]上单调递减,则实数a的最大值为(　　)
A. B. C. D.
【答案】 C
【解析】 因为x∈[0,],所以3x+∈[,+],由题意可得<+≤π,解得0

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