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第6节　函数y=Asin(ωx+φ)
[学习目标]
1.了解函数y=Asin(ωx+φ)的物理意义,能画出y=Asin(ωx+φ)的图象,了解参数A,ω,φ对函数图象变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单的实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.
1.简谐运动的有关概念
y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0),x∈[0,+∞) 振幅 周期 频率 相位 初相
A T= f==
2.“五点法”画y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)一个周期内的简图的五个关键点
ωx+φ
x
y=Asin(ωx+φ) 0 A 0 -A 0
3.函数y=sin x的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的两种途径
1.函数y=Asin(ωx+φ)+k图象平移的规律:“左加右减,上加下减”.
2.先平移变换再周期变换(伸缩变换),平移的量是|φ|个单位长度;先周期变换(伸缩变换)再平移变换,平移的量是(ω>0)个单位长度.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)将函数y=sin x的图象向左平移个单位长度,得到函数y=cos x的图象.(　　)
(2)将y=sin(-2x)的图象向右平移个单位长度,得到y=sin(-2x-)的图象.(　　)
(3)利用图象变换作图时,可以“先平移,后伸缩”,也可以“先伸缩,后平移”,平移的长度一致.(　　)
(4)y=2sin(x-)的初相为-.(　　)
2.(人教A版必修第一册P254复习参考题5 T10改编)已知函数s=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0)表示一个振动量,振幅是2,频率是,初相是,则这个函数为(　　)
A.s=2sin(-)(t≥0)
B.s=sin(+)(t≥0)
C.s=2sin(3t+)(t≥0)
D.s=sin(3t+)(t≥0)
3.(人教A版必修第一册P239练习T2改编)为了得到函数y=sin(x-)的图象,只要把函数y=sin x的图象(　　)
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
4.(人教A版必修第一册P245例1改编)如图,某港口某天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=4sin(x+φ)+k,据此图象可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为 .
考点一　函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
[例1] (1)为了得到函数f(x)=sin 2x的图象,可以把g(x)=cos 2x的图象(　　)
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
(2)(多选题)若要得到函数y=sin(2x+)的图象,可将函数y=sin x的图象(　　)
A.向左平移个单位长度,再将所得图象上所有点的纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍
B.向左平移个单位长度,再将所得图象上所有点的纵坐标不变,横坐标变为原来的
C.纵坐标不变,横坐标变为原来的,再将所得图象上所有点向左平移个单位长度
D.纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,再将所得图象上所有点向左平移个单位长度
(1)由y=sin ωx的图象到y=sin(ωx+φ)(ω>0,φ>0)的图象的变换:向左平移个单位长度而非φ个单位长度.
(2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致,那么应先利用诱导公式化为同名函数,ω为负值时应先变成正值.
[针对训练]
(1)为了得到函数y=cos(x+)的图象,只需将函数y=sin(x+)的图象(　　)
A.向左平移个单位长度
B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后,再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得到函数y=2sin(4x-)的图象,则f(x)= .
考点二　根据图象确定函数y=Asin(ωx+φ)的解析式
[例2] 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,将f(x)的图象向右平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,则(　　)
A.g(x)=-2sin B.g(x)=-2cos
C.g(x)=2sin D.g(x)=2cos
确定y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的步骤和方法
(1)求A,b.确定函数的最大值M和最小值m,则A=,b=.
(2)求ω.确定函数的最小正周期T,则ω=.
(3)求φ.常用方法如下:把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.
[针对训练]
已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<0)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式为 .
考点三　函数y=Asin(ωx+φ)图象与性质的综合问题
角度一　图象与性质的综合应用
[例3] (多选题)(2025·云南曲靖模拟)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,|φ|≤)的部分图象如图所示,则下列说法正确的是(　　)
A.f(0)=-1
B.函数f(x)的最小正周期是2π
C.函数f(x)的图象关于直线x= 对称
D.将函数f(x)的图象向左平移 个单位长度后,所得的函数图象关于原点对称
研究y=Asin(ωx+φ)的性质时可将ωx+φ视为一个整体,利用换元法和数形结合思想进行
解题.
角度二　零点或方程根
[例4] 已知关于x的方程sin(2x+)-=0在(,π)上有两个不同的实数根,则m的取值范围是 .
方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数,与三角函数有关的零点个数问题,常用数形结合思想求解.
角度三　实际应用
[例5] (多选题)如图(1),筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图(2),一个筒车按照逆时针方向旋转,设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d(单位:m)(在水面下则d为负数),若以盛水筒P刚浮出水面的开始计算时间,d与时间t(单位:s)之间的关系为d=3sin(t-)+,则下列说法正确的是(　　)
A.筒车的半径为3 m,旋转一周用时60 s
B.筒车的轴心O距离水面的高度为1 m
C.盛水筒P出水后至少经过20 s才可以达到最高点
D.t∈(40,50)时,盛水筒P处于向上运动状态
[溯源探本]本例源于人教A版必修第一册P241习题5.6T7.
三角函数的应用体现在两方面:一是已知函数模型求解数学问题;二是把实际问题抽象转化成数学问题,利用三角函数的有关知识解决问题.
[针对训练]
1.(角度一)(多选题)如图,函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的图象与y轴交于点(0,-),且(,1)为该图象的一个最高点,则(　　)
A.f(x)=sin(2x-)
B.f(x)图象的一个对称中心为(,0)
C.将函数f(x)的图象向右平移个单位长度可得y=sin(2x-)的图象
D.直线x=是函数f(x)图象的一条对称轴
2.(角度三)如图,质点P在半径为2的圆周上逆时针运动,其初始位置为P0(,-),角速度为1,那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为(　　)
A B
C D
3.(角度二)已知函数f(x)=cos(2x-),x∈[0,],若方程f(x)=m有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是(　　)
A.[-,] B.[,1)
C.[,1] D.[-,1]
微点提能6　三角函数中ω的求解
类型一　三角函数的单调性与ω
[典例1] (2025·广东湛江模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)在区间(,)上单调递增,则ω的取值范围是(　　)
A.[2,5] B.[1,14]
C.[9,10] D.[10,11]
确定函数的单调区间,根据区间之间的包含关系建立不等式,即可求ω的取值范围.
[拓展演练] (2025·湖北黄冈模拟)已知函数y=f(x)的图象是由函数y=cos ωx(ω>0)的图象向左平移个单位长度所得,若函数y=f(x)在区间(π,2π)上单调,则ω的取值范围是
.
类型二　三角函数的对称性与ω
[典例2] 已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)的图象在区间(0,1)上恰有一条对称轴和一个对称中心,则ω的取值范围为(　　)
A.(,) B.[,]
C.(,] D.[,)
三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为,相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为,这就说明,我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性,解决问题的关键在于运用整体代换的思想,建立关于ω的不等式组,进而可以研究ω的取值范围.
[拓展演练] 已知函数f(x)=cos(ωx+)(ω>0)的图象在区间[0,π]上有且仅有3个对称中心,则ω的取值范围是 .
类型三　三角函数的零点与ω
[典例3] 已知函数f(x)=cos(2ωx+)+1(ω>0)在区间[0,π]上有且仅有2个零点,则ω的取值范围是 .
三角函数两个零点之间的“水平间隔”为,根据三角函数的零点个数,可以研究ω的取值.
[拓展演练] 已知函数f(x)=sin(ωx-)(ω>0),若f(x)在区间(π,2π]内没有零点,则ω的取值范围是 .
类型四　三角函数的最值(极值)与ω
[典例4] (2025·四川成都模拟)将函数f(x)=sin(ωx-)(ω>0)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象.若g(x)在(0,)上有且仅有3个极值点,则ω的取值范围为(　　)
A.(,] B.(,4]
C.(4,] D.(,7]
利用三角函数的最值(极值)与对称轴或周期的关系,可以列出关于ω的不等式(组),进而求出ω的值或取值范围.
[拓展演练] 已知f(x)=sin ωx,其中ω>0.若函数y=f(x)在区间[-,]上有且只有一个最大值点和一个最小值点,则ω的取值范围为 . 第6节　函数y=Asin(ωx+φ)
[学习目标]
1.了解函数y=Asin(ωx+φ)的物理意义,能画出y=Asin(ωx+φ)的图象,了解参数A,ω,φ对函数图象变化的影响.2.会用三角函数解决一些简单的实际问题,体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.
1.简谐运动的有关概念
y=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0),x∈[0,+∞) 振幅 周期 频率 相位 初相
A T= f== ωx+φ φ
2.“五点法”画y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)一个周期内的简图的五个关键点
ωx+φ 0 π 2π
x
y=Asin(ωx+φ) 0 A 0 -A 0
3.函数y=sin x的图象经变换得到y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象的两种途径
1.函数y=Asin(ωx+φ)+k图象平移的规律:“左加右减,上加下减”.
2.先平移变换再周期变换(伸缩变换),平移的量是|φ|个单位长度;先周期变换(伸缩变换)再平移变换,平移的量是(ω>0)个单位长度.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)将函数y=sin x的图象向左平移个单位长度,得到函数y=cos x的图象.(　　)
(2)将y=sin(-2x)的图象向右平移个单位长度,得到y=sin(-2x-)的图象.(　　)
(3)利用图象变换作图时,可以“先平移,后伸缩”,也可以“先伸缩,后平移”,平移的长度一致.(　　)
(4)y=2sin(x-)的初相为-.(　　)
【答案】 (1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2.(人教A版必修第一册P254复习参考题5 T10改编)已知函数s=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0)表示一个振动量,振幅是2,频率是,初相是,则这个函数为(　　)
A.s=2sin(-)(t≥0)
B.s=sin(+)(t≥0)
C.s=2sin(3t+)(t≥0)
D.s=sin(3t+)(t≥0)
【答案】 C
【解析】 因为函数s=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)表示一个振动量,振幅为2,频率为,初相为,所以A=2,T=,所以ω=3,φ=,所以函数的解析式为s=2sin(3t+)(t≥0).故选C.
3.(人教A版必修第一册P239练习T2改编)为了得到函数y=sin(x-)的图象,只要把函数y=sin x的图象(　　)
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
【答案】 B
【解析】 要得到函数y=sin(x-)的图象,可以将函数y=sin x的图象向右平移个单位长度.故选B.
4.(人教A版必修第一册P245例1改编)如图,某港口某天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=4sin(x+φ)+k,据此图象可知,这段时间水深(单位:m)的最大值为　　　　.
【答案】 10
【解析】 某港口某天6时到18时的水深变化曲线近似满足函数y=4sin(x+φ)+k,
据题图可知,这段时间水深的最小值为-4+k=2,所以k=6,
故这段时间水深的最大值为4+6=10(m).
考点一　函数y=Asin(ωx+φ)的图象及变换
[例1] (1)为了得到函数f(x)=sin 2x的图象,可以把g(x)=cos 2x的图象(　　)
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
(2)(多选题)若要得到函数y=sin(2x+)的图象,可将函数y=sin x的图象(　　)
A.向左平移个单位长度,再将所得图象上所有点的纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍
B.向左平移个单位长度,再将所得图象上所有点的纵坐标不变,横坐标变为原来的
C.纵坐标不变,横坐标变为原来的,再将所得图象上所有点向左平移个单位长度
D.纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,再将所得图象上所有点向左平移个单位长度
【答案】 (1)D　(2)BC
【解析】 (1)f(x)=sin 2x=cos(2x-),g(x)的图象平移φ个单位长度得到y=cos[2(x+φ)]=
cos(2x+2φ)的图象,
所以2φ=-+2kπ,k∈Z,所以φ=-+kπ,k∈Z,φ的一个取值可以为-,
所以向右平移个单位长度可以得到f(x)=sin 2x 的图象.故选D.
(2)对于A,所得解析式为y=sin(x+),A错误;对于B,所得解析式为y=sin(2x+),B正确;对于C,所得解析式为y=sin[2(x+)]=sin(2x+),C正确;对于D,所得解析式为y=sin[(x+)]=
sin(x+),D错误.故选BC.
(1)由y=sin ωx的图象到y=sin(ωx+φ)(ω>0,φ>0)的图象的变换:向左平移个单位长度而非φ个单位长度.
(2)如果平移前后两个图象对应的函数的名称不一致,那么应先利用诱导公式化为同名函数,ω为负值时应先变成正值.
[针对训练]
(1)为了得到函数y=cos(x+)的图象,只需将函数y=sin(x+)的图象(　　)
A.向左平移个单位长度
B.向左平移个单位长度
C.向右平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位长度后,再将得到的图象上各点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得到函数y=2sin(4x-)的图象,则f(x)=　　　　　　.
【答案】 (1)B　(2)2sin(2x+)
【解析】 (1)y=sin(x+)=cos[-(x+)]=cos(-x+)=cos(x-),
将其图象向左平移个单位长度后得到y=cos(x-+)=cos(x+)的图象.故选B.
(2)把函数y=2sin(4x-)的图象上的点的横坐标伸长为原来的2倍,纵坐标不变,得到函数y=2sin(2x-)的图象,再向左平移个单位长度,得到函数f(x)=2sin[2(x+)-],
即f(x)=2sin(2x+)的图象.
考点二　根据图象确定函数y=Asin(ωx+φ)的解析式
[例2] 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示,将f(x)的图象向右平移个单位长度,得到函数g(x)的图象,则(　　)
A.g(x)=-2sin B.g(x)=-2cos
C.g(x)=2sin D.g(x)=2cos
【答案】 D
【解析】 依题意A=2,=-=π,所以T=4π=,解得ω=,所以f(x)=2sin(x+φ),又f(-)=
2sin(-+φ)=2,则-+φ=+2kπ,k∈Z,解得φ=+2kπ,k∈Z,又0<φ<π,所以φ=,
所以f(x)=2sin(x+),将f(x)的图象向右平移个单位长度得到g(x)=2sin[·(x-)+]=
2sin(x+)=2cos 的图象.故选D.
确定y=Asin(ωx+φ)+b(A>0,ω>0)的步骤和方法
(1)求A,b.确定函数的最大值M和最小值m,则A=,b=.
(2)求ω.确定函数的最小正周期T,则ω=.
(3)求φ.常用方法如下:把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.
[针对训练]
已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<0)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式为　　　　　　　　　.
【答案】 f(x)=2cos(2x-)
【解析】 由题图可知f(x)的最小正周期T=2×(+)=π,则T==π,解得ω=2.
因为f(x)的图象经过点(-,0),所以f(-)=Acos(-+φ)=0,解得φ=kπ+(k∈Z),
因为-π<φ<0,所以φ=-.因为f(x)的图象经过点(0,1),所以f(0)=Acos(0-)=1,所以A=2.故f(x)=2cos(2x-).
考点三　函数y=Asin(ωx+φ)图象与性质的综合问题
角度一　图象与性质的综合应用
[例3] (多选题)(2025·云南曲靖模拟)函数f(x)=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,|φ|≤)的部分图象如图所示,则下列说法正确的是(　　)
A.f(0)=-1
B.函数f(x)的最小正周期是2π
C.函数f(x)的图象关于直线x= 对称
D.将函数f(x)的图象向左平移 个单位长度后,所得的函数图象关于原点对称
【答案】 AC
【解析】 由题图可知,A===2,函数f(x)的最小正周期T满足=-(-)=,则T=π,ω===2,B错误;所以f(x)=2sin(2x+φ),f(-)=2sin[2×(-)+φ]=
2sin(φ-)=-2,可得sin(φ-)=-1,因为-≤φ≤,所以-≤φ-≤,则φ-=-,可得φ=-,所以f(x)=2sin(2x-),则f(0)=2sin(-)=-1,A正确;
f()=2sin(2×-)=2sin=2=f(x)max,所以函数f(x)的图象关于直线x=对称,C正确;将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后,得到函数y=2sin[2(x+)-]=2sin(2x+)的图象,所得函数为非奇非偶函数,D错误.故选AC.
研究y=Asin(ωx+φ)的性质时可将ωx+φ视为一个整体,利用换元法和数形结合思想进行
解题.
角度二　零点或方程根
[例4] 已知关于x的方程sin(2x+)-=0在(,π)上有两个不同的实数根,则m的取值范围是　　　　.
【答案】 (-2,-1)
【解析】 方程sin(2x+)-=0可转化为=sin(2x+).
设2x+=t,则由x∈(,π)可知t∈(,),
所以题目条件可转化为=sin t,t∈(,)有两个不同的实数根.
即直线y=和函数y=sin t,t∈(,)的图象有两个不同交点,作出y=,y=sin t的图象,如图中实线部分所示.
由图象观察知,的取值范围是(-1,-),
故m的取值范围是(-2,-1).
方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数,与三角函数有关的零点个数问题,常用数形结合思想求解.
角度三　实际应用
[例5] (多选题)如图(1),筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具.如图(2),一个筒车按照逆时针方向旋转,设筒车上的某个盛水筒P到水面的距离为d(单位:m)(在水面下则d为负数),若以盛水筒P刚浮出水面的开始计算时间,d与时间t(单位:s)之间的关系为d=3sin(t-)+,则下列说法正确的是(　　)
A.筒车的半径为3 m,旋转一周用时60 s
B.筒车的轴心O距离水面的高度为1 m
C.盛水筒P出水后至少经过20 s才可以达到最高点
D.t∈(40,50)时,盛水筒P处于向上运动状态
[溯源探本]本例源于人教A版必修第一册P241习题5.6T7.
【答案】 AC
【解析】 对于A,因为d=3sin(t-)+的振幅为筒车的半径,所以筒车的半径为3 m,
因为d=3sin(t-)+的最小正周期T==60,所以旋转一周用时60 s,A正确;
对于B,因为dmax=3+=,筒车的半径r=3,所以筒车的轴心O距离水面的高度为dmax-r=
m,B错误;
对于C,令3sin(t-)+=3+,
所以sin(t-)=1,
所以t-=+2kπ(k∈Z),
解得t=20+60k(k∈Z),又t≥0,
所以当k=0时,tmin=20 s,即盛水筒P出水后至少经过20 s才可以达到最高点,C正确;
对于D,当t∈(40,50)时,t-∈(,),此时d单调递减,所以盛水筒P处于向下运动状态,D错误.故选AC.
三角函数的应用体现在两方面:一是已知函数模型求解数学问题;二是把实际问题抽象转化成数学问题,利用三角函数的有关知识解决问题.
[针对训练]
1.(角度一)(多选题)如图,函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的图象与y轴交于点(0,-),且(,1)为该图象的一个最高点,则(　　)
A.f(x)=sin(2x-)
B.f(x)图象的一个对称中心为(,0)
C.将函数f(x)的图象向右平移个单位长度可得y=sin(2x-)的图象
D.直线x=是函数f(x)图象的一条对称轴
【答案】 AB
【解析】 因为(,1)为该图象的一个最高点,所以A=1,又函数f(x)的图象与y轴交于点(0,-),则f(0)=sin φ=-,又<,所以φ=-,则f(x)=sin(ωx-),f()=sin(ω-)=1,
则ω-=+2kπ,k∈Z,所以ω=2+6k,k∈Z,由题图可知=>,所以0<ω<3,所以ω=2,
所以f(x)=sin(2x-),故A正确;对于B,因为f()=sin 0=0,所以f(x)图象的一个对称中心为(,0),故B正确;对于C,将函数f(x)的图象向右平移个单位长度可得y=sin[2(x-)-]=
sin(2x-)的图象,故C错误;对于D,f()=sin(-)=0不是最值,所以直线x=不是函数f(x)图象的一条对称轴,故D错误.故选AB.
2.(角度三)如图,质点P在半径为2的圆周上逆时针运动,其初始位置为P0(,-),角速度为1,那么点P到x轴的距离d关于时间t的函数图象大致为(　　)
A B
C D
【答案】 C
【解析】 因为P0(,-),所以∠P0Ox=.按逆时针转时间t后得∠POP0=t,∠POx=t-,此时P点纵坐标为2sin(t-)(t≥0),所以d=2|sin(t-)|.当t=0时,d=,排除A,D;当t=时,d=0,排除B.故选C.
3.(角度二)已知函数f(x)=cos(2x-),x∈[0,],若方程f(x)=m有两个不相等的实数根,则实数m的取值范围是(　　)
A.[-,] B.[,1)
C.[,1] D.[-,1]
【答案】 B
【解析】 因为x∈[0,],所以t=2x-∈[-,],f(x)=m有两个不相等的实数根等价于函数y=cos t的图象与直线y=m有两个交点,函数y=cos t的图象与直线y=m的位置如图所示,由图可得实数m的取值范围是[,1),故选B.
微点提能6　三角函数中ω的求解
类型一　三角函数的单调性与ω
[典例1] (2025·广东湛江模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)在区间(,)上单调递增,则ω的取值范围是(　　)
A.[2,5] B.[1,14]
C.[9,10] D.[10,11]
【答案】 D
【解析】 法一　当x∈(,)时,ωx+∈(ω+,ω+),
因为f(x)在(,)上单调递增,所以(k∈Z),
解得(k∈Z),又ω>0,所以解得法二　由-+2kπ≤ωx+≤+2kπ(k∈Z),得-+≤x≤-+(k∈Z),由函数f(x)=sin(ωx+)
(ω>0)在区间(,)上单调递增,得(,) [-+,-+](k∈Z),所以所以24k-14≤ω≤12k-1,又k∈Z,ω>0,所以k=1,所以10≤ω≤11,即ω的取值范围为[10,11].
故选D.
确定函数的单调区间,根据区间之间的包含关系建立不等式,即可求ω的取值范围.
[拓展演练] (2025·湖北黄冈模拟)已知函数y=f(x)的图象是由函数y=cos ωx(ω>0)的图象向左平移个单位长度所得,若函数y=f(x)在区间(π,2π)上单调,则ω的取值范围是
　 .
【答案】 (0,]∪[,]
【解析】 y=f(x)的图象是由y=cos ωx(ω>0)的图象向左平移个单位长度所得,故f(x)=cos(ωx+),因为当x∈(π,2π),即ωx+∈(ωπ+,2ωπ+)时,函数y=f(x)单调,
所以kπ≤ωπ+<2ωπ+≤kπ+π,k∈Z,
所以
所以
由+≥k-且+>0,得-又k∈Z,所以k=0或k=1,
所以0<ω≤或≤ω≤.
综上,ω的取值范围为(0,]∪[,].
类型二　三角函数的对称性与ω
[典例2] 已知函数f(x)=sin(ωx+)(ω>0)的图象在区间(0,1)上恰有一条对称轴和一个对称中心,则ω的取值范围为(　　)
A.(,) B.[,]
C.(,] D.[,)
【答案】 C
【解析】 如图,由x∈(0,1),设t=ωx+,则t∈(,ω+),由图可知t=ω+在线段AB之间,不含点A,所以π<ω+≤,得<ω≤.故ω的取值范围为(,].故选C.
三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为,相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为,这就说明,我们可根据三角函数的对称性来研究其周期性,解决问题的关键在于运用整体代换的思想,建立关于ω的不等式组,进而可以研究ω的取值范围.
[拓展演练] 已知函数f(x)=cos(ωx+)(ω>0)的图象在区间[0,π]上有且仅有3个对称中心,则ω的取值范围是　　　　.
【答案】 [,)
【解析】 因为x∈[0,π],所以t=ωx+∈[,ωπ+](ω>0),又因为f(x)=cos(ωx+)(ω>0)的图象在区间[0,π]上有且仅有3个对称中心,则y=cos t的图象在[,ωπ+]上有且仅有3个对称中心,结合余弦函数图象知,≤ωπ+<,解得≤ω<.故ω的取值范围为[,).
类型三　三角函数的零点与ω
[典例3] 已知函数f(x)=cos(2ωx+)+1(ω>0)在区间[0,π]上有且仅有2个零点,则ω的取值范围是　　　　.
【答案】 [,)
【解析】 由0≤x≤π,得≤2ωx+≤2πω+,又函数f(x)在[0,π]上有且仅有2个零点,即y=cos(2ωx+)的图象与直线y=-1有两个交点,所以3π≤2ωπ+<5π,解得≤ω<,即ω的取值范围为[,).
三角函数两个零点之间的“水平间隔”为,根据三角函数的零点个数,可以研究ω的取值.
[拓展演练] 已知函数f(x)=sin(ωx-)(ω>0),若f(x)在区间(π,2π]内没有零点,则ω的取值范围是　　　　　　　.
【答案】 (0,)∪[,)
【解析】 由x∈(π,2π]可得ωπ-<ωx-≤2ωπ-,因为f(x)在区间(π,2π]内没有零点,所以k∈Z,解得k+≤ω<+,k∈Z,又k∈Z,解得-类型四　三角函数的最值(极值)与ω
[典例4] (2025·四川成都模拟)将函数f(x)=sin(ωx-)(ω>0)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象.若g(x)在(0,)上有且仅有3个极值点,则ω的取值范围为(　　)
A.(,] B.(,4]
C.(4,] D.(,7]
【答案】 C
【解析】 由题可知,g(x)=sin(2ωx-),当0因为g(x)在(0,)上有且仅有3个极值点,所以<-≤,解得4<ω≤,
所以ω的取值范围为(4,].故选C.
利用三角函数的最值(极值)与对称轴或周期的关系,可以列出关于ω的不等式(组),进而求出ω的值或取值范围.
[拓展演练] 已知f(x)=sin ωx,其中ω>0.若函数y=f(x)在区间[-,]上有且只有一个最大值点和一个最小值点,则ω的取值范围为　　　　.
【答案】 [3,)
【解析】 f(x)=sin ωx,由x∈[-,],得ωx∈[-,],若函数y=f(x)在区间[-,]上有且仅有一个最大值点和一个最小值点,则只需解得3≤ω<.故ω的取值范围为[3,).

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