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第7节　余弦定理、正弦定理及其应用
第一课时　余弦定理、正弦定理
[学习目标]
1.借助向量的运算,通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理、余弦定理,并能运用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.2.能运用余弦定理、正弦定理解决三角形形状的判断问题.
1.正弦定理、余弦定理
在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆半径.
项目 余弦定理 正弦定理
公式 a2= , b2= , c2= ===2R
常见 变形 cos A=, cos B=, cos C= (1)a=2Rsin A, b= , c= ; (2)sin A=, sin B=, sin C=; (3)a∶b∶c= ; (4)asin B=bsin A,bsin C=csin B, asin C=csin A
2.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况
项目 A为锐角 A为钝角 或直角
图形
关系 式 a=bsin A bsin Ab a≤b
解的 个数
3.三角形常用面积公式
(1)S=a·ha(ha表示a边上的高).
(2)S=absin C=acsin B=bcsin A=(R为外接圆半径).
(3)S=r(a+b+c)(r为内切圆半径).
1.三角形中的三角函数关系.
(1)sin(A+B)=sin C;
(2)cos(A+B)=-cos C;
(3)sin=cos;
(4)cos=sin.
2.在△ABC中,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,A>B a>b sin A>sin B
cos A1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)在△ABC中,若sin A>sin B,则A>B.(　　)
(2)当b2+c2-a2>0时,△ABC为锐角三角形.(　　)
(3)在△ABC中,已知a,b,A,则三角形有唯一解.(　　)
(4)在△ABC中,若A∶B∶C=1∶2∶3,则a∶b∶c=1∶2∶3.(　　)
2.(人教A版必修第二册P47 例8改编)在△ABC中,已知a=2,b=3,B=30°,则此三角形(　　)
A.有一解 B.有两解
C.无解 D.无法判断有几解
3.(2025·八省联考)在△ABC中,BC=8,AC=10,cos∠BAC=,则△ABC的面积为(　　)
A.6 B.8 C.24 D.48
4.(人教A版必修第二册P47例8改编)在△ABC中,B=45°,b=2,c=,则C= .
考点一　利用正弦、余弦定理解三角形
[例1] (2025·浙江嘉兴模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知2cos A-
3cos 2A=3.
(1)求cos A的值;
(2)若△ABC为锐角三角形,2b=3c,求sin C的值.
(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素,基本思想是方程思想,即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程(组),通过解方程(组)求得未知元素.
(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化,解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系,也可以把已知条件化为三角形边的关系.
[针对训练]
(2025·山东日照模拟)在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a-
2bsin A=0且a=5,c=4.
(1)求角B及边b的大小;
(2)求sin C的值.
考点二　利用正弦、余弦定理判定三角形的形状
[例2] 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且=2b.判断△ABC的形状.
判断三角形形状的两种途径
[针对训练]
(2025·陕西渭南模拟)已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若bcos C+ccos B=b,且a=ccos B,则△ABC是(　　)
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
考点三　三角形的面积、周长问题
[例3] (2023·全国甲卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知=2.
(1)求bc;
(2)若-=1,求△ABC的面积.
[溯源探本] 本例源于人教A版必修第二册P53习题6.4 T10.
与三角形面积、周长有关问题的解题策略
(1)利用正弦、余弦定理解三角形,求出三角形的相关边、角之后,直接求三角形的面积、周长.
(2)把面积、周长作为已知条件之一,与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量.
[针对训练]
(2024·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A+cos A=2.
(1)求A;
(2)若a=2,bsin C=csin 2B,求△ABC的周长.
微点提能7　射影定理的应用
设△ABC的三边是a,b,c,它们所对的角分别是A,B,C,则有a=bcos C+ccos B,b=ccos A+
acos C,c=acos B+bcos A.
注:以“a=bcos C+ccos B”为例,b,c在a上的射影分别为bcos C,ccos B,故名射影定理.
证明:如图,在△ABC中,
AD⊥BC,则bcos C=CD,
ccos B=BD,
故bcos C+ccos B=CD+BD=BC=a,即a=bcos C+ccos B,
同理可证b=ccos A+acos C,c=acos B+bcos A.
[典例] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若2acos C+b=2ccos A,c=a,则A=(　　)
A. B. C. D.
射影定理由a=bcos C+ccos B,b=ccos A+acos C,c=acos B+bcos A三个等式构成,应尽量整体使用,减少运算.
[拓展演练] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC为锐角三角形,且满足
sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是(　　)
A.a=2b B.b=2a
C.A=2B D.B=2A第二课时　解三角形的综合问题
考点一　以多个三角形为载体的解三角形问题
[例1] 如图,在△ABC中,∠A,∠ABC,∠C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,且=a2cos B+abcos A.
(1)求角B的大小.
(2)若AB=2,BC=,点D在边AC上.
①若AD=DC,求BD的长;
②若∠DBC=∠DBA,求BD的长.
【解】 (1)因为=a2cos B+abcos A,所以=a2cos B+abcos A,
所以2accos B=a2cos B+abcos A,即2ccos B=acos B+bcos A.
由正弦定理,得2sin Ccos B=sin Acos B+sin Bcos A,所以2sin Ccos B=sin(A+B)=sin C.
因为C∈(0,π),所以sin C≠0,所以cos B=.
又B∈(0,π),所以B=.
(2)①法一(两次余弦定理法)　在△ABC中,由余弦定理,得
AC2=AB2+BC2-2AB·BC·cos B=22+()2-2×2××cos =,
所以AC=,所以AD=DC=.
在△ABD中,由余弦定理,得AB2=BD2+DA2-2BD·DA·cos∠ADB,
即4=BD2+-BD·cos∠ADB.
在△DBC中,由余弦定理,得BC2=BD2+DC2-2BD·DC·cos∠CDB,
即=BD2+-BD·cos∠CDB.
又∠ADB+∠CDB=π,所以cos∠ADB+cos∠CDB=0,所以4+=2BD2+,所以BD=.
法二(向量法)　因为AD=DC,所以D为AC的中点,所以=(+),
所以=(++2·)=×(4++2×2×cos 60°)=.
所以||=,即BD=.
②法一(等面积法)　在△ABC中,S△ABC=S△ABD+S△CBD,
即BA·BC·sin =BA·BD·sin +BD·BC·sin ,
即×2××=×2×BD×+×BD××,解得BD=.
法二(向量法)　由角平分线定理得=,所以=,所以=+,
所以=++·=×4+×+×2×cos 60°=.
所以||=,即BD=.
(1)解三角形中线、角平分线问题的求解思路.
①在△ABC中,若D是BC边上的点,则∠BDA+∠CDA=π cos∠BDA+cos∠CDA=0;
②在△ABC中,若AD平分∠BAC,可用内角平分线定理:=,也可用S△ABD+S△ACD=S△ABC,得到(b+c)AD=2bccos,即AD=(角平分线长公式).
(2)多边形背景解三角形问题的求解思路.
①把所提供的平面图形拆分成若干个三角形,然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理
求解;
②寻找各个三角形之间的联系,交叉使用公共条件,求出结果.解题时,有时要用到平面几何中的一些知识点,如相似三角形的边角关系、平行四边形的性质,要把这些知识与正弦、余弦定理有机结合,才能顺利解决问题.
[针对训练]
如图,△ABC的内角∠A,∠ABC,∠C所对的边分别为a,b,c,且sin(B+)-sin(B-)=0.
(1)求B的值;
(2)若a=3,S△ABC=,BD为∠ABC的平分线,BE为中线,求的值.
【解】 (1)由题意知△ABC中,sin(B+)-sin(B-)=0,
即(sin Bcos +cos Bsin )-(sin Bcos -cos Bsin )=0,
即sin B+cos B=0,即tan B=-,而B∈(0,π),故B=.
(2)由于a=3,S△ABC=,故acsin B=c=,所以c=5,
又BD为∠ABC的平分线,且S△ABC=S△ABD+S△BCD,
即=c·BD·sin +a·BD·sin =(a+c)·BD=2BD,所以BD=,
又BE为中线,故=(+),
故||==
==,
故==.
考点二　解三角形中的最值与范围问题
[例2] (2025·广西河池模拟)已知△ABC中角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2ccos A=
acos B+bcos A.
(1)求角A;
(2)若a=,求△ABC的周长的最大值,并求出此时B,C的大小.
[溯源探本] 本例源于人教A版必修第二册P54习题6.4 T22.
【解】 (1)由2ccos A=acos B+bcos A,则有2sin Ccos A=sin Acos B+sin Bcos A,
即2sin Ccos A=sin(A+B)=sin C,由C∈(0,π),故sin C>0,则有2cos A=1,即cos A=,即A=.
(2)法一(基本不等式法)　由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,可得3=b2+c2-bc,则3=(b+c)2-3bc,故(b+c)2-3=3bc≤3·()2,当且仅当b=c时,等号成立,即(b+c)2≤12,即b+c≤2,即△ABC的周长的最大值为3,此时a=b=c=,即B=C=.
法二(函数法)　根据正弦定理==,a=,由A=,得B+C=,
所以====2,得b=2sin B,c=2sin C,所以周长为a+b+c=+2sin B+2sin C=
+2[sin(-C)+sin C]=+3sin C+cos C=+2sin(C+),因为C∈(0,),所以[典例迁移1] (求面积最值)若本例(2)的条件不变,试求△ABC面积的最大值.
【解】 法一(基本不等式法)　由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A,可得3=b2+c2-bc,
则b2+c2=3+bc,因为b2+c2≥2bc,故3+bc≥2bc,所以bc≤3(当且仅当b=c=时,等号成立).因为△ABC的面积S=bcsin A=bcsin =bc≤(当且仅当b=c=时,等号成立),所以△ABC面积的最大值为,此时B=C=.
法二(三角函数法)　根据正弦定理==,a=,由A=,得B+C=,所以B=-C,
所以====2,得b=2sin B,c=2sin C,
所以△ABC的面积为S=bcsin A=·2sin B·2sin C·sin =sin Bsin C=sin(-C)·sin C=
sin 2C-cos 2C+=sin(2C-)+,
因为C∈(0,),所以-<2C-<,所以-[典例迁移2] (变条件,求周长范围)若本例(2)的条件改为锐角三角形ABC,试求△ABC周长的取值范围.
【解】 由(1)得周长为a+b+c=+2[sin(-C)+sin C]=+2sin(C+),
由于△ABC是锐角三角形,所以
即得[典例迁移3] (变条件,求面积范围)若本例(2)的条件改为“b=”,求锐角三角形ABC面积的取值范围.
【解】 法一(三角函数法)　由正弦定理得=,故c====
==+,由典例迁移2得锐角三角形ABC中,,所以0<<,所以法二 (不等式+余弦定理)　由B,C都为锐角,得即(*)
由余弦定理a2=b2+c2-2bccos A=c2-c+3,代入(*)得(1)求解三角形中的最值(范围)问题时,常利用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式,建立a+b,ab,a2+b2之间的等量关系与不等关系,然后利用函数或基本不等式求解.
(2)解决三角形中的某个量的最值或范围问题,除了利用基本不等式外,另一个思路就是利用正弦定理、余弦定理,把该量转化为关于某个角的三角函数,利用函数思想求解,此时要特别注意题目隐含条件的应用,如锐角三角形、钝角三角形、三角形内角和为π等.第7节　余弦定理、正弦定理及其应用
第一课时　余弦定理、正弦定理
[学习目标]
1.借助向量的运算,通过对任意三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理、余弦定理,并能运用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题.2.能运用余弦定理、正弦定理解决三角形形状的判断问题.
1.正弦定理、余弦定理
在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,R为△ABC外接圆半径.
项目 余弦定理 正弦定理
公式 a2=b2+c2-2bc·cos A, b2=c2+a2-2ca·cos B, c2=a2+b2-2ab·cos C ===2R
常见 变形 cos A=, cos B=, cos C= (1)a=2Rsin A, b=2Rsin B, c=2Rsin C; (2)sin A=, sin B=, sin C=; (3)a∶b∶c=sin A∶sin B∶sin C; (4)asin B=bsin A,bsin C=csin B, asin C=csin A
2.在△ABC中,已知a,b和A时,解的情况
项目 A为锐角 A为钝角 或直角
图形
关系 式 a=bsin A bsin Ab a≤b
解的 个数 一解 两解 一解 一解 无解
3.三角形常用面积公式
(1)S=a·ha(ha表示a边上的高).
(2)S=absin C=acsin B=bcsin A=(R为外接圆半径).
(3)S=r(a+b+c)(r为内切圆半径).
1.三角形中的三角函数关系.
(1)sin(A+B)=sin C;
(2)cos(A+B)=-cos C;
(3)sin=cos;
(4)cos=sin.
2.在△ABC中,两边之和大于第三边,两边之差小于第三边,A>B a>b sin A>sin B
cos A1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)在△ABC中,若sin A>sin B,则A>B.(　　)
(2)当b2+c2-a2>0时,△ABC为锐角三角形.(　　)
(3)在△ABC中,已知a,b,A,则三角形有唯一解.(　　)
(4)在△ABC中,若A∶B∶C=1∶2∶3,则a∶b∶c=1∶2∶3.(　　)
【答案】 (1)√　(2)×　(3)×　(4)×
2.(人教A版必修第二册P47 例8改编)在△ABC中,已知a=2,b=3,B=30°,则此三角形(　　)
A.有一解 B.有两解
C.无解 D.无法判断有几解
【答案】 A
【解析】 在△ABC中,a=2,b=3,B=30°,由正弦定理,得sin A===,而a3.(2025·八省联考)在△ABC中,BC=8,AC=10,cos∠BAC=,则△ABC的面积为(　　)
A.6 B.8 C.24 D.48
【答案】 C
【解析】 由余弦定理得BC2=AB2+AC2-2AB·ACcos∠BAC,即64=AB2+100-2AB·10× ,
解得AB=6.所以AB2+BC2=AC2,即AB⊥BC.S△ABC=AB·BC=×6×8=24.故选C.
4.(人教A版必修第二册P47例8改编)在△ABC中,B=45°,b=2,c=,则C=　　　　.
【答案】 30°
【解析】 由正弦定理得sin C===,因为b>c,B=45°,所以C=30°.
考点一　利用正弦、余弦定理解三角形
[例1] (2025·浙江嘉兴模拟)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知2cos A-
3cos 2A=3.
(1)求cos A的值;
(2)若△ABC为锐角三角形,2b=3c,求sin C的值.
【解】 (1)由题可得2cos A-3(2cos2A-1)=3,即3cos2A-cos A=0,解得cos A=或cos A=0.
(2)法一(正弦定理+三角恒等变换)　因为2b=3c,由正弦定理得2sin B=3sin C,即2sin(A+C)=3sin C,即2sin Acos C+2sin Ccos A=3sin C,因为cos A=,所以sin A=,
所以cos C+sin C=3sin C,又sin2C+cos2C=1,且△ABC为锐角三角形,解得sin C=.
法二(余弦定理+正弦定理)　由余弦定理得cos A==,因为2b=3c,所以=,即c2=a2,所以c=a,所以sin C=sin A,又cos A=,所以sin A=,所以sin C=sin A=.
(1)正弦定理、余弦定理的作用是在已知三角形部分元素的情况下求解其余元素,基本思想是方程思想,即根据正弦定理、余弦定理列出关于未知元素的方程(组),通过解方程(组)求得未知元素.
(2)正弦定理、余弦定理的另一个作用是实现三角形边角关系的互化,解题时可以把已知条件化为角的三角函数关系,也可以把已知条件化为三角形边的关系.
[针对训练]
(2025·山东日照模拟)在锐角三角形ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c.已知a-
2bsin A=0且a=5,c=4.
(1)求角B及边b的大小;
(2)求sin C的值.
【解】 (1)依题意,a-2bsin A=0,由正弦定理得sin A-2sin Bsin A=0,
由于锐角三角形中00,所以-2sin B=0,sin B=,
而B是锐角,所以B=.
由余弦定理得b===.
(2)法一　由(1)及正弦定理得=,即sin C=sin B=sin=×=,故sin C的值为.
法二　由余弦定理得cos C===,所以sin C===,
故sin C的值为.
考点二　利用正弦、余弦定理判定三角形的形状
[例2] 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别是a,b,c,且=2b.判断△ABC的形状.
【解】 法一(边化角)　由正弦定理并结合已知得sin A=2sin B·cos C,即sin Bcos C+
sin Ccos B=2sin Bcos C.故sin Bcos C=sin Ccos B,从而sin(B-C)=0.
由于B,C∈(0,π),从而B-C∈(-π,π),故由sin(B-C)=0可知B=C,所以△ABC是等腰三角形.
法二(角化边)　由题知a=2bcos C,根据余弦定理,a=2b·,化简得b2-c2=0,即b2=c2,所以b=c,所以△ABC是等腰三角形.
判断三角形形状的两种途径
[针对训练]
(2025·陕西渭南模拟)已知△ABC中,角A,B,C所对的边分别是a,b,c,若bcos C+ccos B=b,且a=ccos B,则△ABC是(　　)
A.锐角三角形 B.钝角三角形
C.等边三角形 D.等腰直角三角形
【答案】 D
【解析】 法一(边化角)　因为bcos C+ccos B=b,由正弦定理得,sin Bcos C+sin Ccos B=sin B,所以sin(B+C)=sin B,即sin A=sin B,故a=b.又a=ccos B,则sin A=sin Ccos B,即sin(B+C)=sin Ccos B,所以sin Bcos C+cos Bsin C=sin C·cos B,即sin Bcos C=0,因为B∈(0,π),所以sin B≠0,故cos C=0,因为C∈(0,π),所以C=,故△ABC为等腰直角三角形.故选D.
法二(角化边)　由余弦定理得b·+c·=b,化简得2a2=2ab,即a=b.又a=ccos B,则a=c·,化简得a2+b2=c2.故△ABC为等腰直角三角形.故选D.
考点三　三角形的面积、周长问题
[例3] (2023·全国甲卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知=2.
(1)求bc;
(2)若-=1,求△ABC的面积.
[溯源探本] 本例源于人教A版必修第二册P53习题6.4 T10.
【解】 (1)因为a2=b2+c2-2bccos A,
所以==2bc=2,解得bc=1.
(2)由正弦定理可得-=-=-==1,
变形可得sin(A-B)-sin(A+B)=sin B,
即-2cos Asin B=sin B,
又因为B为△ABC的内角,所以sin B≠0,所以cos A=-,又0故△ABC的面积S△ABC=bcsin A=×1×=.
与三角形面积、周长有关问题的解题策略
(1)利用正弦、余弦定理解三角形,求出三角形的相关边、角之后,直接求三角形的面积、周长.
(2)把面积、周长作为已知条件之一,与正弦、余弦定理结合求出三角形的其他量.
[针对训练]
(2024·新课标Ⅱ卷)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知sin A+cos A=2.
(1)求A;
(2)若a=2,bsin C=csin 2B,求△ABC的周长.
【解】 (1)法一(辅助角公式)　由sin A+cos A=2可得sin A+cos A=1,即sin(A+)=1,
由于A∈(0,π) A+∈(,),故A+=,解得A=.
法二(同角三角函数的基本关系)　由sin A+cos A=2,
又sin2A+cos2A=1,
联立消去sin A可得4cos2A-4cos A+3=0,即(2cos A-)2=0,解得cos A=,
又A∈(0,π),故A=.
(2)由题设条件和正弦定理,
bsin C=csin 2B sin Bsin C=2sin C·
sin Bcos B,
又B,C∈(0,π),则sin Bsin C≠0,
进而cos B=,得B=,
于是C=π-A-B=,
sin C=sin(A+B)=sin Acos B+sin Bcos A=,
由正弦定理可得,==,
即==,
解得b=2,c=+,
故△ABC的周长为2+3+.
微点提能7　射影定理的应用
设△ABC的三边是a,b,c,它们所对的角分别是A,B,C,则有a=bcos C+ccos B,b=ccos A+
acos C,c=acos B+bcos A.
注:以“a=bcos C+ccos B”为例,b,c在a上的射影分别为bcos C,ccos B,故名射影定理.
证明:如图,在△ABC中,
AD⊥BC,则bcos C=CD,
ccos B=BD,
故bcos C+ccos B=CD+BD=BC=a,即a=bcos C+ccos B,
同理可证b=ccos A+acos C,c=acos B+bcos A.
[典例] 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若2acos C+b=2ccos A,c=a,则A=(　　)
A. B. C. D.
【答案】 A
【解析】 法一　已知c=a,由正弦定理得sin C=sin A,所以sin2C=3sin2A,所以cos2C=
1-sin2C=1-3sin2A.由2acos C+b=2ccos A,得2sin Acos C+sin B=2sin Ccos A,2sin Acos C+
sin(A+C)=2sin Ccos A,3sin Acos C=sin Ccos A,则9sin2Acos2C=sin2Ccos2A,
所以9sin2A(1-3sin2A)=3sin2A(1-sin2A),由sin A≠0,解得sin A=±.又0法二　由射影定理,得b=acos C+ccos A代入2acos C+b=2ccos A,得3acos C=ccos A,又c=a,所以cos A=cos C,①
由c=a及正弦定理得sin A=sin C,②
①2+②2,可得cos2A+3sin2A=1,即sin A=,又由①得A∈(0,),故A=.故选A.
射影定理由a=bcos C+ccos B,b=ccos A+acos C,c=acos B+bcos A三个等式构成,应尽量整体使用,减少运算.
[拓展演练] 在△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若△ABC为锐角三角形,且满足
sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,则下列等式成立的是(　　)
A.a=2b B.b=2a
C.A=2B D.B=2A
【答案】 A
【解析】 由正弦定理及sin B(1+2cos C)=2sin Acos C+cos Asin C,
得b+2bcos C=2acos C+ccos A=acos C+(acos C+ccos A)=acos C+b,
即2bcos C=acos C,
又因为△ABC为锐角三角形,
所以cos C≠0,则2b=a.故选A.第二课时　解三角形的综合问题
考点一　以多个三角形为载体的解三角形问题
[例1] 如图,在△ABC中,∠A,∠ABC,∠C的对边分别为a,b,c,△ABC的面积为S,且=a2cos B+abcos A.
(1)求角B的大小.
(2)若AB=2,BC=,点D在边AC上.
①若AD=DC,求BD的长;
②若∠DBC=∠DBA,求BD的长.
(1)解三角形中线、角平分线问题的求解思路.
①在△ABC中,若D是BC边上的点,则∠BDA+∠CDA=π cos∠BDA+cos∠CDA=0;
②在△ABC中,若AD平分∠BAC,可用内角平分线定理:=,也可用S△ABD+S△ACD=S△ABC,得到(b+c)AD=2bccos,即AD=(角平分线长公式).
(2)多边形背景解三角形问题的求解思路.
①把所提供的平面图形拆分成若干个三角形,然后在各个三角形内利用正弦、余弦定理
求解;
②寻找各个三角形之间的联系,交叉使用公共条件,求出结果.解题时,有时要用到平面几何中的一些知识点,如相似三角形的边角关系、平行四边形的性质,要把这些知识与正弦、余弦定理有机结合,才能顺利解决问题.
[针对训练]
如图,△ABC的内角∠A,∠ABC,∠C所对的边分别为a,b,c,且sin(B+)-sin(B-)=0.
(1)求B的值;
(2)若a=3,S△ABC=,BD为∠ABC的平分线,BE为中线,求的值.
考点二　解三角形中的最值与范围问题
[例2] (2025·广西河池模拟)已知△ABC中角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2ccos A=
acos B+bcos A.
(1)求角A;
(2)若a=,求△ABC的周长的最大值,并求出此时B,C的大小.
[溯源探本] 本例源于人教A版必修第二册P54习题6.4 T22.
[典例迁移1] (求面积最值)若本例(2)的条件不变,试求△ABC面积的最大值.
[典例迁移2] (变条件,求周长范围)若本例(2)的条件改为锐角三角形ABC,试求△ABC周长的取值范围.
[典例迁移3] (变条件,求面积范围)若本例(2)的条件改为“b=”,求锐角三角形ABC面积的取值范围.
(1)求解三角形中的最值(范围)问题时,常利用正弦定理、余弦定理与三角形面积公式,建立a+b,ab,a2+b2之间的等量关系与不等关系,然后利用函数或基本不等式求解.
(2)解决三角形中的某个量的最值或范围问题,除了利用基本不等式外,另一个思路就是利用正弦定理、余弦定理,把该量转化为关于某个角的三角函数,利用函数思想求解,此时要特别注意题目隐含条件的应用,如锐角三角形、钝角三角形、三角形内角和为π等.

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