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第1节　平面向量的概念及线性运算
[学习目标]
1.了解向量的实际背景.2.理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义.3.理解向量的几何表示.4.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义.5.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义.6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
1.向量的有关概念
(1)向量:既有大小又有 的量叫做向量,向量的大小叫做向量的 .
(2)零向量:长度为 的向量,记作0.
(3)单位向量:长度等于 长度的向量.
(4)平行向量:方向相同或 的非零向量,也叫做共线向量.规定:零向量与任意向量平行.
(5)相等向量:长度相等且方向 的向量.
(6)相反向量:长度相等且方向 的向量.
2.向量的线性运算
向量 运算 法则(或几何意义) 运算律
加法 交换律: a+b= ; 结合律: (a+b)+c=
减法 a-b=
数乘 (1)|λa|=|λ||a|,λ∈R. (2)当λ>0时,λa的方向与a的方向 ; 当λ<0时,λa的方向与a的方向 ; 当λ=0时,λa=0 λ(μa)= ; (λ+μ)a= ; λ(a+b)= ,λ,μ∈R
三角形法则适用于任意两个非零向量求和,而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和.
3.向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使b=λa.
虽然a≠0,b=λa,但不能写为λ=.
1.若F为线段AB的中点,O为平面内任意一点,则=(+).
2.若A,B,C是平面内不共线的三点,则++=0 P为△ABC的重心,=(+).
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)|a|与|b|是否相等和a,b的方向无关.(　　)
(2)若a∥b,b∥c,则a∥c.(　　)
(3)向量与向量是共线向量,则A,B,C,D四点在一条直线上.(　　)
(4)当两个非零向量a,b共线时,一定有b=λa,反之成立.(　　)
2.(人教A版必修第二册P23习题6.2 T9改编)如图,D,E,F分别是△ABC各边的中点,则下列结论错误的是(　　)
A.=
B.与共线
C.与是相反向量
D.=||
3.(多选题)(人教A版必修第二册P10练习T4改编)下列各式化简结果正确的是(　　)
A.+=
B.+++=
C.+-=0
D.--=
4.(人教A版必修第二册P16练习T3改编)已知e1,e2为平面内两个不共线的向量,
=2e1-3e2,=λe1+6e2,若M,N,P三点共线,则λ= .
考点一　平面向量的基本概念
[例1] (1)(多选题)下列命题正确的有(　　)
A.方向相反的两个非零向量一定共线
B.零向量是唯一没有方向的向量
C.若两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同
D.“若A,B,C,D是不共线的四点,且=” “四边形ABCD是平行四边形”
(2)设a,b都是非零向量,下列四个条件中,使=成立的充分条件是(　　)
A.a=-b B.a∥b
C.a=2b D.a∥b,且|a|=|b|
关于平面向量概念的几个注意点
(1)单位向量不一定相等.
(2)向量的相等具有传递性,非零向量的平行(共线)具有传递性.
(3)表示与a同向的单位向量.
(4)向量可以任意平移,平移后的向量与原向量是相等向量.
[针对训练]
(1)如图,在等腰梯形ABCD中,对角线AC与BD交于点P,点E,F分别在腰AD,BC上,EF过点P,且EF∥AB,则下列等式中成立的是(　　)
A.= B.=
C.= D.=
(2)给出下列命题:①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量;②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小;③λa=0(λ为实数),则λ必为零;④λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线.其中错误命题的个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
考点二　向量的线性运算
[例2] (1)(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记=m,=n,则=(　　)
A.3m-2n B.-2m+3n
C.3m+2n D.2m+3n
(2)(多选题)P是△ABC所在平面内一点,且满足|-|-|+-2|=0,则△ABC不可能是(　　)
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
[溯源探本] 本例(1)源于人教A版必修第二册P14例6.
(1)向量的线性运算问题的求解策略.
①直接法:结合图形的特征,把待求向量放在三角形或平行四边形中,结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理用已知向量表示未知向量;
②方程法:当直接表示比较困难时,可以首先利用三角形法则或平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系,然后解关于所求向量的方程.
(2)利用向量加、减法的几何意义解决问题的思路.
①根据两个向量的和与差,构造相应的平行四边形或三角形,再结合其他知识求解;
②平面几何中,如果出现平行四边形或可能构造出平行四边形或三角形的问题,那么可考虑利用向量知识来求解.
[针对训练]
(1)如图,在△ABC中,=3,=,则=(　　)
A.+ B.-
C.- D.-+
(2)如图,已知网格小正方形的边长为1,点P是阴影区域内的一个动点(包括边界),O,A在格点上,则|-|的最小值是 ;最大值是 .
考点三　共线定理及其应用
[例3] 设两个非零向量a与b不共线.
(1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b),求证:A,B,D三点共线;
(2)试确定实数k的值,使ka+b和a+kb共线.
(1)证明三点共线问题,可用向量共线解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.
(2)a∥b a=λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.
(3)非零向量a,b不共线,则λ1a+λ2b=0的充要条件是λ1=λ2=0.
(4)=λ+μ(λ,μ为实数),若A,B,C三点共线,则λ+μ=1.注意此结论成立的前提是,不共线.
[针对训练]
(1)(多选题)已知e1,e2是不共线的向量,则下列向量a,b共线的为(　　)
A.a=e1,b=-2e2
B.a=e1-3e2,b=-2e1+6e2
C.a=3e1-e2,b=2e1-e2
D.a=e1+e2,b=e1-3e2
(2)在△ABC中,=,P是直线BD上的一点,若=+t,则实数t的值为(　　)
A. B. C. D.第1节　平面向量的概念及线性运算
[学习目标]
1.了解向量的实际背景.2.理解平面向量的概念,理解两个向量相等的含义.3.理解向量的几何表示.4.掌握向量加法、减法的运算,并理解其几何意义.5.掌握向量数乘的运算及其几何意义,理解两个向量共线的含义.6.了解向量线性运算的性质及其几何意义.
1.向量的有关概念
(1)向量:既有大小又有方向的量叫做向量,向量的大小叫做向量的长度(或称模).
(2)零向量:长度为0的向量,记作0.
(3)单位向量:长度等于1个单位长度的向量.
(4)平行向量:方向相同或相反的非零向量,也叫做共线向量.规定:零向量与任意向量平行.
(5)相等向量:长度相等且方向相同的向量.
(6)相反向量:长度相等且方向相反的向量.
2.向量的线性运算
向量 运算 法则(或几何意义) 运算律
加法 交换律: a+b=b+a; 结合律: (a+b)+c= a+(b+c)
减法 a-b= a+(-b)
数乘 (1)|λa|=|λ||a|,λ∈R. (2)当λ>0时,λa的方向与a的方向相同; 当λ<0时,λa的方向与a的方向相反; 当λ=0时,λa=0 λ(μa)=(λμ)a; (λ+μ)a=λa+μa; λ(a+b)=λa+λb,λ,μ∈R
三角形法则适用于任意两个非零向量求和,而平行四边形法则仅适用于不共线的两个向量求和.
3.向量共线定理
向量a(a≠0)与b共线的充要条件是:存在唯一一个实数λ,使b=λa.
虽然a≠0,b=λa,但不能写为λ=.
1.若F为线段AB的中点,O为平面内任意一点,则=(+).
2.若A,B,C是平面内不共线的三点,则++=0 P为△ABC的重心,=(+).
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)|a|与|b|是否相等和a,b的方向无关.(　　)
(2)若a∥b,b∥c,则a∥c.(　　)
(3)向量与向量是共线向量,则A,B,C,D四点在一条直线上.(　　)
(4)当两个非零向量a,b共线时,一定有b=λa,反之成立.(　　)
【答案】 (1)√　(2)×　(3)×　(4)√
2.(人教A版必修第二册P23习题6.2 T9改编)如图,D,E,F分别是△ABC各边的中点,则下列结论错误的是(　　)
A.=
B.与共线
C.与是相反向量
D.=||
【答案】 D
【解析】 =,故D错误.故选D.
3.(多选题)(人教A版必修第二册P10练习T4改编)下列各式化简结果正确的是(　　)
A.+=
B.+++=
C.+-=0
D.--=
【答案】 BC
【解析】 -=,故A错误;--=-=,故D错误.故选BC.
4.(人教A版必修第二册P16练习T3改编)已知e1,e2为平面内两个不共线的向量,
=2e1-3e2,=λe1+6e2,若M,N,P三点共线,则λ=　　　　.
【答案】 -4
【解析】 因为M,N,P三点共线,所以存在实数k使得=k,即2e1-3e2=k(λe1+6e2),整理得(2-kλ)e1=(6k+3)e2,又e1,e2为平面内两个不共线的向量,可得2-kλ=6k+3=0,解得λ=-4.
考点一　平面向量的基本概念
[例1] (1)(多选题)下列命题正确的有(　　)
A.方向相反的两个非零向量一定共线
B.零向量是唯一没有方向的向量
C.若两个向量相等,则它们的起点相同,终点相同
D.“若A,B,C,D是不共线的四点,且=” “四边形ABCD是平行四边形”
(2)设a,b都是非零向量,下列四个条件中,使=成立的充分条件是(　　)
A.a=-b B.a∥b
C.a=2b D.a∥b,且|a|=|b|
【答案】 (1)AD　(2)C
【解析】 (1)方向相反的两个非零向量必定平行,所以方向相反的两个非零向量一定共线,故A正确;零向量是有方向的,其方向是任意的,故B错误;两个向量起点相同,终点相同,则两个向量相等,但两个向量相等,不一定有相同的起点和终点,故C错误;A,B,C,D是不共线的四个点,=,即模相等且方向相同,即平行四边形ABCD中的一组对边AB与DC平行且相等,反之也成立,故D正确.故选AD.
(2)因为向量的方向与向量a方向相同,向量的方向与向量b方向相同,且=,所以向量a与向量b方向相同,故可排除A,B,D;
当a=2b时,==,故a=2b是=成立的充分条件.故选C.
关于平面向量概念的几个注意点
(1)单位向量不一定相等.
(2)向量的相等具有传递性,非零向量的平行(共线)具有传递性.
(3)表示与a同向的单位向量.
(4)向量可以任意平移,平移后的向量与原向量是相等向量.
[针对训练]
(1)如图,在等腰梯形ABCD中,对角线AC与BD交于点P,点E,F分别在腰AD,BC上,EF过点P,且EF∥AB,则下列等式中成立的是(　　)
A.= B.=
C.= D.=
(2)给出下列命题:①两个具有公共终点的向量,一定是共线向量;②两个向量不能比较大小,但它们的模能比较大小;③λa=0(λ为实数),则λ必为零;④λ,μ为实数,若λa=μb,则a与b共线.其中错误命题的个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】 (1)D　(2)C
【解析】 (1)由题意易知P是EF的中点,所以=.故选D.
(2)①错误,两向量共线要看其方向而不是起点与终点;②正确,因为向量既有大小,又有方向,故它们不能比较大小,但它们的模均为实数,故可以比较大小;③错误,当a=0时,不论λ为何值,λa=0;④错误,当λ=μ=0时,λa=μb,此时a与b可以是任意向量.故选C.
考点二　向量的线性运算
[例2] (1)(2022·新高考Ⅰ卷)在△ABC中,点D在边AB上,BD=2DA.记=m,=n,则=(　　)
A.3m-2n B.-2m+3n
C.3m+2n D.2m+3n
(2)(多选题)P是△ABC所在平面内一点,且满足|-|-|+-2|=0,则△ABC不可能是(　　)
A.钝角三角形 B.直角三角形
C.等腰三角形 D.等边三角形
[溯源探本] 本例(1)源于人教A版必修第二册P14例6.
【答案】 (1)B　(2)AD
【解析】 (1)如图,=+=+=+(-)=+-,
所以=-,即=3-2=3n-2m.故选B.
(2)设D为边BC的中点,则+=2,由已知有||=|2-2|=2||,
所以△ABC为直角三角形.故选AD.
(1)向量的线性运算问题的求解策略.
①直接法:结合图形的特征,把待求向量放在三角形或平行四边形中,结合向量的三角形法则或平行四边形法则及向量共线定理用已知向量表示未知向量;
②方程法:当直接表示比较困难时,可以首先利用三角形法则或平行四边形法则建立关于所求向量和已知向量的等量关系,然后解关于所求向量的方程.
(2)利用向量加、减法的几何意义解决问题的思路.
①根据两个向量的和与差,构造相应的平行四边形或三角形,再结合其他知识求解;
②平面几何中,如果出现平行四边形或可能构造出平行四边形或三角形的问题,那么可考虑利用向量知识来求解.
[针对训练]
(1)如图,在△ABC中,=3,=,则=(　　)
A.+ B.-
C.- D.-+
(2)如图,已知网格小正方形的边长为1,点P是阴影区域内的一个动点(包括边界),O,A在格点上,则|-|的最小值是　　　　　　;最大值是　　　　　　.
【答案】 (1)B　(2)　2
【解析】 (1)=-=-=(+)-=(+) -=+(-)-=-.故选B.
(2)|-|=||,本题即求点A到阴影区域中的点距离的最值,如图,
于是最小值为AB=,最大值为AC=2.
考点三　共线定理及其应用
[例3] 设两个非零向量a与b不共线.
(1)若=a+b,=2a+8b,=3(a-b),求证:A,B,D三点共线;
(2)试确定实数k的值,使ka+b和a+kb共线.
(1)【证明】 因为=a+b,=2a+8b,=3(a-b),所以=+=(2a+8b)+3(a-b)=
2a+8b+3a-3b=5(a+b)=5,所以与共线,又它们有公共点B,所以A,B,D三点共线.
(2)【解】 因为ka+b和a+kb共线,所以存在实数λ,使ka+b=λ(a+kb),即ka+b=λa+λkb,所以(k-λ)a=(λk-1)b.因为a,b是两个不共线的非零向量,所以k-λ=λk-1=0,所以k2-1=0,所以k=±1.
(1)证明三点共线问题,可用向量共线解决,但应注意向量共线与三点共线的区别与联系,当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线.
(2)a∥b a=λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.
(3)非零向量a,b不共线,则λ1a+λ2b=0的充要条件是λ1=λ2=0.
(4)=λ+μ(λ,μ为实数),若A,B,C三点共线,则λ+μ=1.注意此结论成立的前提是,不共线.
[针对训练]
(1)(多选题)已知e1,e2是不共线的向量,则下列向量a,b共线的为(　　)
A.a=e1,b=-2e2
B.a=e1-3e2,b=-2e1+6e2
C.a=3e1-e2,b=2e1-e2
D.a=e1+e2,b=e1-3e2
(2)在△ABC中,=,P是直线BD上的一点,若=+t,则实数t的值为(　　)
A. B. C. D.
【答案】 (1)BC　(2)B
【解析】 (1)因为e1,e2是不共线的向量,所以e1,e2都不是零向量.A中,若a与b共线,则e1,e2共线,这与已知矛盾,所以a与b不共线;B中,因为b=-2e1+6e2=-2(e1-3e2)=-2a,所以a与b共线;C中,因为b=2e1-e2=(3e1-e2) =a,所以a与b共线;D中,若a与b共线,则存在实数λ∈R,使a=λb,即e1+e2=λ(e1-3e2),所以(1-λ)e1+(1+3λ)e2=0,因为e1,e2是不共线向量,所以方程组无解,所以a与b不共线.故选BC.
(2)因为=,所以=,则有=+t=+,又P是直线BD上的一点,所以+=1,解得t=.故选B.

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