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第2节　平面向量基本定理及坐标表示
[学习目标]
1.理解平面向量基本定理及其意义.2.借助平面直角坐标系,掌握平面向量的正交分解及坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.4.能用坐标表示平面向量共线的条件.
1.平面向量基本定理
如果e1,e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a,有且只有一对实数λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.
若e1,e2不共线,我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底.
平面内不共线向量都可以作为基底,反之亦然.
2.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个互相垂直的向量,叫做把向量作正交分解.
3.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模.
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=(λx1,λy1),|a|=.
(2)向量坐标的求法.
①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x1,y1),B(x2,y2),则=(x2-x1,y2-y1),||=.
向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量,无论起点在什么位置,它们的坐标都是相同的.
4.平面向量共线的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a∥b x1y2-x2y1=0.
已知P为线段AB的中点,若A(x1,y1),B(x2,y2),则点P的坐标为(,);已知
△ABC的顶点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则△ABC的重心G的坐标为(,).
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一个基底.(　　)
(2)设{a,b}是平面内的一个基底,若实数λ1,μ1,λ2,μ2满足λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,则λ1=λ2,μ1=μ2.(　　)
(3)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件可以表示成=.(　　)
(4)平面向量不论经过怎样的平移变换其坐标不变.(　　)
【答案】 (1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2.(多选题)(人教A版必修第二册P60复习参考题6 T2(6)改编)若{e1,e2}是平面内所有向量的一个基底,则下列四个选项中不能作为平面内所有向量的一个基底的是(　　)
A.{e1+e2,e1-e2}
B.{e1-e2,e2-e1}
C.{2e2-3e1,6e1-4e2}
D.{3e1-e2,e1-e2}
【答案】 BCD
【解析】 对于A,若存在实数λ,使得e1+e2=λ(e1-e2),则无解,所以e1+e2与e1-e2不共线,可以作为平面内所有向量的一个基底,故A不符合题意;对于B,因为e1-e2=-(e2-e1),则e1-e2与e2-e1是共线向量,不能作为平面内所有向量的一个基底,故B符合题意;对于C,因为2e2-3e1=-(6e1-4e2),则2e2-3e1与6e1-4e2是共线向量,不能作为平面内所有向量的一个基底,故C符合题意;对于D,因为3e1-e2=3(e1-e2),则3e1-e2与e1-e2是共线向量,不能作为平面内所有向量的一个基底,故D符合题意.故选BCD.
3.(人教A版必修第二册P29例4改编)已知a=(3,6),b=(x,y),若a+3b=0,则b=(　　)
A.(1,2) B.(-1,-2)
C.(-1,2) D.(1,-2)
【答案】 B
【解析】 由a+3b=0,得b=-a=-(3,6)=(-1,-2).故选B.
4.(人教A版必修第二册P31例7)已知a=(4,2),b=(6,y),且a∥b,则y=　　　　.
【答案】 3
【解析】 因为a∥b,所以4y-2×6=0,解得y=3.
5.(人教A版必修第二册P30例5改编)已知平行四边形ABCD的顶点A(-1,-2),B(3,-1),
C(5,6),则顶点D的坐标为　　　　.
【答案】 (1,5)
【解析】 设D(x,y),则=,得(3-(-1),-1-(-2))=(4,1)=(5-x,6-y),即解得即D(1,5).
考点一　平面向量基本定理的应用
[例1] (1)(多选题)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=2AD=2DC,E为BC边上一点,且=3,F为AE的中点,选取{,}作为基底,则(　　)
A.=+
B.=-+
C.=-
D.=-+
(2)如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别为边AB,BC的中点,连接CE,DF,交于点G.若=λ+μ (λ,μ∈R),则=　　　　　　.
【答案】 (1)ABD　(2)
【解析】 (1)由向量加法的三角形法则得=+=+(-+)=+,又F为AE的中点,则==+,故A正确;=++=-++=
-+,故B正确;=+=-++=-+,故D正确;=+=
-=-+-(-+)=--,故C错误.故选ABD.
(2)由题图可设=x (0因为=λ+μ,与不共线,
所以λ=,μ=x,
所以=.
平面向量基本定理的实质及应用思路
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路:先选择一个基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决.
[针对训练]
(1)(多选题)已知等边三角形ABC内接于☉O,D为线段OA的中点,E为BC的中点,则=(　　)
A.+ B.-
C.+ D.+
(2)若在△ABC中,AB=,∠ABC=,BC=3,AD为BC边上的高,O为AD上靠近点A的三等分点,且=λ+μ,其中λ,μ∈R,则λ-2μ=　　　　.
【答案】 (1)AC　(2)0
【解析】 (1)=+=+=+(+)=-+×=+.故选AC.
(2)如图,由题意可知,在Rt△ABD中,AB=,∠ABC=,所以BD=1,所以BD=BC,
所以==(+)=(+)=+(-)=+,又因为=λ+μ,
,不共线,所以λ=,μ=,所以λ-2μ=-=0.
考点二　平面向量的坐标运算
[例2] (1)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥DC,AD=DC=2AB,E为AD的中点,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值为(　　)
A. B. C.2 D.
(2)已知O为坐标原点,A(6,3),若点P在直线OA上,且||=||,P是OB的中点,则点B的坐标为　　　　　　　　　.
[溯源探本] 本例(2)源于人教A版必修第二册P37习题6.3 T13.
【答案】 (1)B　(2)(4,2)或(-12,-6)
【解析】 (1)建立如图所示的平面直角坐标系,则D(0,0).
不妨设AB=1,则DC=AD=2,所以C(2,0),A(0,2),B(1,2),E(0,1),
所以=(-2,2),=(-2,1),=(1,2),
因为=λ+μ,
所以(-2,2)=λ(-2,1)+μ(1,2),
所以
解得则λ+μ=.故选B.
(2)因为点P在直线OA上,所以∥,又因为||=||,所以=±,设点P(m,n),则=(m,n),=(6-m,3-n).若=,则(m,n)=(6-m,3-n),所以解得所以P(2,1),因为P是OB的中点,所以B(4,2);若=-,则(m,n)=-(6-m,3-n),所以解得所以P(-6,-3),因为P是OB的中点,所以B(-12,-6).
综上所述,点B的坐标为(4,2)或(-12,-6).
(1)巧借方程思想求坐标:若已知向量两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,解题过程中注意方程思想的应用.
(2)向量问题坐标化:向量的坐标运算,使得向量的线性运算都可以用坐标来进行,实现了向量运算的代数化,将数与形结合起来,使几何问题转化为数量运算问题.
[针对训练]
(1)如图,在7×5的正方形网格中,向量a,b满足a⊥b,则-+=(　　)
A.2a+b B.-2a-b
C.-3a+b D.3a-b
(2)在△ABC中,点P在BC上,且=2,点Q是AC的中点,若=(4,3),=(1,5),则=　　　　,=　　　　.
【答案】 (1)C　(2)(-3,2)　(-6,21)
【解析】 (1)以a的起点为坐标原点,a的方向为x轴正方向,b的方向为y轴正方向建立平面直角坐标系(图略),则a=(1,0),b=(0,2),A(1,3),B(3,1),C(2,5),D(5,4).-+=+=
=(-3,1).令=xa+yb,则(-3,1)=x(1,0)+y(0,2),解得x=-3,y=.所以-+=-3a+b.故选C.
(2)=-=(1,5)-(4,3)=(-3,2),=+=+2=(4,3)+2(-3,2)=(-2,7),=3=
3(-2,7)=(-6,21).
考点三　平面向量共线的坐标表示
[例3](1)(2025·广西南宁模拟)已知向量m=(2,λ),n=(2-λ,-4),若m与n方向相反,则实数λ的值为(　　)
A.4 B.2或-4
C.-2 D.-2或4
(2)在平面直角坐标系中,已知点O(0,0),A(0,5),B(4,3),=,=,AD与BC交于点M,则点M的坐标为　　　　.
【答案】 (1)A　(2)(,2)
【解析】 (1)因为m∥n,所以2×(-4)=λ(2-λ),解得λ=4或λ=-2.当λ=4时,m=(2,4),n=(-2,-4),
m=-n,m与n的方向相反,符合题意;当λ=-2时,m=(2,-2),n=(4,-4),m=n,m与n的方向相同,不符合题意.所以λ=4.故选A.
(2)因为点O(0,0),A(0,5),B(4,3),所以点C(0,),同理点D(2,).设点M的坐标为(x,y),则=(x,y-5),而=(2,-),因为A,M,D三点共线,所以与共线,所以-x-2(y-5)=0,即7x+4y=20,而=(x,y-),=(4-0,3-)=(4,),因为C,M,B三点共线,所以与共线,所以x-4(y-)=0,即7x-16y=-20.
由得
所以点M的坐标为(,2).
(1)向量共线的两种表示形式.
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则有以下结论:①a∥b a=λb(b≠0);②a∥b x1y2-x2y1=0.至于使用哪种形式,应视题目的具体条件而定,一般情况涉及坐标的应用②.
(2)两向量共线的充要条件的作用.
判断两向量是否共线(平行),可解决三点共线的问题;另外,利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组),求出未知数的值.
[针对训练]
(1)已知向量=(3,-4),=(6,-3),=(5-m,-3-m).若点A,B,C能构成三角形,则实数m应满足的条件为(　　)
A.m= B.m≠
C.m≠ D.m≠
(2)已知向量e1=(1,1),e2=(0,1),若a=e1+λe2与b=-(2e1-3e2)共线,则实数λ=　　　　.
【答案】 (1)B　(2)-
【解析】 (1)若点A,B,C能构成三角形,则这三点不共线,即与不共线,因为=(3,-4),
=(6,-3),=(5-m,-3-m),所以=-=(3,1),=-=(2-m,1-m),
所以3(1-m)-(2-m)≠0,解得m≠.故选B.
(2)由题意知a=e1+λe2=(1,1+λ),b=-(2e1-3e2)=(-2,1).由于a∥b,所以1×1+2(1+λ)=0,解得λ=-.第2节　平面向量基本定理及坐标表示
[学习目标]
1.理解平面向量基本定理及其意义.2.借助平面直角坐标系,掌握平面向量的正交分解及坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算.4.能用坐标表示平面向量共线的条件.
1.平面向量基本定理
如果e1,e2是同一平面内的两个 向量,那么对于这一平面内的任一向量a, 一对实数λ1,λ2,使a= .
若e1,e2不共线,我们把{e1,e2}叫做表示这一平面内所有向量的一个 .
平面内不共线向量都可以作为基底,反之亦然.
2.平面向量的正交分解
把一个向量分解为两个 的向量,叫做把向量作正交分解.
3.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘运算及向量的模.
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b= ,a-b= ,λa= ,|a|=.
(2)向量坐标的求法.
①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x1,y1),B(x2,y2),则= ,||=.
向量的坐标与表示向量的有向线段的起点、终点的相对位置有关系.两个相等的向量,无论起点在什么位置,它们的坐标都是相同的.
4.平面向量共线的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,则a∥b .
已知P为线段AB的中点,若A(x1,y1),B(x2,y2),则点P的坐标为(,);已知
△ABC的顶点A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3),则△ABC的重心G的坐标为(,).
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)平面内的任何两个向量都可以作为一个基底.(　　)
(2)设{a,b}是平面内的一个基底,若实数λ1,μ1,λ2,μ2满足λ1a+μ1b=λ2a+μ2b,则λ1=λ2,μ1=μ2.(　　)
(3)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件可以表示成=.(　　)
(4)平面向量不论经过怎样的平移变换其坐标不变.(　　)
2.(多选题)(人教A版必修第二册P60复习参考题6 T2(6)改编)若{e1,e2}是平面内所有向量的一个基底,则下列四个选项中不能作为平面内所有向量的一个基底的是(　　)
A.{e1+e2,e1-e2}
B.{e1-e2,e2-e1}
C.{2e2-3e1,6e1-4e2}
D.{3e1-e2,e1-e2}
3.(人教A版必修第二册P29例4改编)已知a=(3,6),b=(x,y),若a+3b=0,则b=(　　)
A.(1,2) B.(-1,-2)
C.(-1,2) D.(1,-2)
4.(人教A版必修第二册P31例7)已知a=(4,2),b=(6,y),且a∥b,则y= .
5.(人教A版必修第二册P30例5改编)已知平行四边形ABCD的顶点A(-1,-2),B(3,-1),
C(5,6),则顶点D的坐标为 .
考点一　平面向量基本定理的应用
[例1] (1)(多选题)如图,在四边形ABCD中,AB∥CD,AB⊥AD,AB=2AD=2DC,E为BC边上一点,且=3,F为AE的中点,选取{,}作为基底,则(　　)
A.=+
B.=-+
C.=-
D.=-+
(2)如图,在平行四边形ABCD中,E,F分别为边AB,BC的中点,连接CE,DF,交于点G.若=λ+μ (λ,μ∈R),则= .
平面向量基本定理的实质及应用思路
(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.
(2)用平面向量基本定理解决问题的一般思路:先选择一个基底,并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式,再通过向量的运算来解决.
[针对训练]
(1)(多选题)已知等边三角形ABC内接于☉O,D为线段OA的中点,E为BC的中点,则=(　　)
A.+ B.-
C.+ D.+
(2)若在△ABC中,AB=,∠ABC=,BC=3,AD为BC边上的高,O为AD上靠近点A的三等分点,且=λ+μ,其中λ,μ∈R,则λ-2μ= .
考点二　平面向量的坐标运算
[例2] (1)如图,在直角梯形ABCD中,AB∥DC,AD⊥DC,AD=DC=2AB,E为AD的中点,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ的值为(　　)
A. B. C.2 D.
(2)已知O为坐标原点,A(6,3),若点P在直线OA上,且||=||,P是OB的中点,则点B的坐标为 .
[溯源探本] 本例(2)源于人教A版必修第二册P37习题6.3 T13.
(1)巧借方程思想求坐标:若已知向量两端点的坐标,则应先求出向量的坐标,解题过程中注意方程思想的应用.
(2)向量问题坐标化:向量的坐标运算,使得向量的线性运算都可以用坐标来进行,实现了向量运算的代数化,将数与形结合起来,使几何问题转化为数量运算问题.
[针对训练]
(1)如图,在7×5的正方形网格中,向量a,b满足a⊥b,则-+=(　　)
A.2a+b B.-2a-b
C.-3a+b D.3a-b
(2)在△ABC中,点P在BC上,且=2,点Q是AC的中点,若=(4,3),=(1,5),则= ,= .
考点三　平面向量共线的坐标表示
[例3](1)(2025·广西南宁模拟)已知向量m=(2,λ),n=(2-λ,-4),若m与n方向相反,则实数λ的值为(　　)
A.4 B.2或-4
C.-2 D.-2或4
(2)在平面直角坐标系中,已知点O(0,0),A(0,5),B(4,3),=,=,AD与BC交于点M,则点M的坐标为 .
(1)向量共线的两种表示形式.
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则有以下结论:①a∥b a=λb(b≠0);②a∥b x1y2-x2y1=0.至于使用哪种形式,应视题目的具体条件而定,一般情况涉及坐标的应用②.
(2)两向量共线的充要条件的作用.
判断两向量是否共线(平行),可解决三点共线的问题;另外,利用两向量共线的充要条件可以列出方程(组),求出未知数的值.
[针对训练]
(1)已知向量=(3,-4),=(6,-3),=(5-m,-3-m).若点A,B,C能构成三角形,则实数m应满足的条件为(　　)
A.m= B.m≠
C.m≠ D.m≠
(2)已知向量e1=(1,1),e2=(0,1),若a=e1+λe2与b=-(2e1-3e2)共线,则实数λ= .

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