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第3节　等式性质与不等式性质
[学习目标]
1.掌握等式的性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质,并能简单应用.
1.两个实数比较大小的方法
作差法(a,b∈R)
2.等式的性质
性质1　对称性:如果a=b,那么b=a;
性质2　传递性:如果a=b,b=c,那么a=c;
性质3　可加(减)性:如果a=b,那么a±c=b±c;
性质4　可乘性:如果a=b,那么ac=bc;
性质5　可除性:如果a=b,c≠0,那么=.
3.不等式的性质
性质1　对称性:a>b b性质2　传递性:a>b,b>c a>c;
性质3　可加性:a>b a+c>b+c;
性质4　可乘性:a>b,c>0 ac>bc;a>b,c<0 ac性质5　同向可加性:a>b,c>d a+c>b+d;
性质6　同向同正可乘性:a>b>0,c>d>0 ac>bd;
性质7　同正可乘方性:a>b>0 an>bn(n∈N,n≥2).
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)同向不等式相加与相乘的条件是一致的.(　　)
(2)若a+c>b+d,则a>b,c>d.(　　)
(3)两个实数a,b之间,有且只有a>b,a=b,a(4)设a=x2+2,b=2x,则a>b.(　　)
【答案】 (1)×　(2)×　(3)√　(4)√
2.(人教A版必修第一册P43习题2.1T8)下列命题为真命题的是(　　)
A.若a>b>0,则ac2>bc2
B.若a>b>0,则a2>b2
C.若aD.若a【答案】 B
【解析】 对于A,若a>b>0,则当c=0时,ac2=bc2,所以A错误;对于B,若a>b>0,则a2-b2=
(a+b)(a-b)>0,所以a2>b2,所以B正确;对于C,若a0,所以a2>ab,所以C错误;对于D,若a0,所以>,所以D错误.故选B.
3.(人教A版必修第一册P43习题2.1T10改编)设a,b,m均为正数,且aA.<
B.=
C.>
D.与的大小随m变化而变化
【答案】 C
【解析】 由-==,因为a0,即->0,所以>.故选C.
4.(多选题)(人教A版必修第一册P43习题2.1T5改编)已知实数x,y满足1A.3C.2【答案】 ACD
【解析】 因为1考点一　比较数与式的大小
[例1] (1)已知a,b,c为不全相等的实数,P=a2+b2+c2+3,Q=2(a+b+c),那么P与Q的大小关系是(　　)
A.P>Q B.P≥Q
C.P(2)若实数m,n,p满足m=4,n=5,p=,则(　　)
A.pC.m[溯源探本] 本例(1)源于人教A版必修第一册P43习题2.1 T3.
【答案】 (1)A　(2)A
【解析】 (1)因为P=a2+b2+c2+3,Q=2(a+b+c),
所以P-Q=a2+b2+c2+3-2(a+b+c)=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2≥0,当且仅当a=b=c=1时,等号成立,因为a,b,c为不全相等的实数,因此等号不成立,即P-Q>0,所以P>Q.故选A.
(2)因为实数m,n,p满足m=4,n=5,p=,均大于0,又==·<1,所以m=·>1,所以m>p.所以p比较大小的常用方法
(1)作差法:①作差;②变形;③定号;④得出结论.
(2)作商法:①作商;②变形;③判断商与1的大小关系;④得出结论.
注意:作商法的适用范围为同号两数比较大小或同号的乘积式、指数式比较大小.
[针对训练]
(1)已知实数x,y,z满足x2=4x+z-y-4且x+y2+2=0,则下列关系成立的是(　　)
A.y>x≥z B.z≥x>y
C.y>z≥x D.z≥y>x
(2)已知P=a2+a+1,Q=(a∈R),则P,Q的大小关系为P　　　　Q.
【答案】 (1)D　(2)≥
【解析】 (1)由x2=4x+z-y-4知z-y=x2-4x+4=(x-2)2≥0,即z≥y;
由x+y2+2=0知,x=-(y2+2),则y-x=y2+2+y=(y+)2+>0,即y>x.
综上所述,z≥y>x.故选D.
(2)因为P=a2+a+1=(a+)2+>0,a2-a+1=(a-)2+>0,则P>0,Q>0.由=(a2+a+1)(a2-a+1)=(a2+1)2-a2=a4+a2+1≥1,所以P≥Q.
考点二　不等式基本性质的应用
[例2] (多选题)(2025·湖南长沙模拟)设a,b,c,d为实数,且a>b>0>c>d,则下列不等式正确的有(　　)
A.c2C.ac0
[溯源探本] 本例源于人教A版必修第一册P43习题2.1 T7.
【答案】 AD
【解析】 对于A,由0>c>d和不等式性质可得c2b>0>c>d,若取a=2,b=1,c=-1,d=-2,则a-c=b-d=3,故B错误;对于C,因为a>b>0>c>d,若取a=2,b=1,
c=-1,d=-2,则ac=bd=-2,故C错误;对于D,因为a>b>0,则0<<,又因为0>c>d,则0<-c<-d,由不等式的同向同正可乘性得,-<-,故->0,故D正确.故选AD.
利用不等式性质判断命题真假的方法
(1)直接运用不等式的性质进行推理验证,注意不等式性质成立的前提条件.
(2)取特殊值验证,排除错误选项从而得到答案,取值注意三个原则:一是特殊值要符合题设条件;二是取值尽量要简单,便于计算;三是取值要有代表性.
[针对训练]
(2025·安徽淮北模拟)已知a,b∈R,下列命题正确的是(　　)
A.若ab=1,则a+b≥2
B.若<,则a>b
C.若a>b,则ln(a-b)>0
D.若a>b>0,则a+>b+
【答案】 D
【解析】 当a=-1,b=-1时,ab=1,但a+b=-2,所以A错误;当a<0,b>0时,<,但ab,但ln(a-b)=0,所以C错误;若a>b>0,则>>0,则a+>b+成立,所以D正确.故选D.
考点三　不等式性质的综合应用
[例3] (1)(2025·河南郑州模拟)已知2A.(,) B.(,)
C.(,1) D.(,2)
(2)已知a>b>c,2a+b+c=0,则的取值范围是　　　　　.
【答案】 (1)B　(2)(-3,-1)
【解析】 (1)由题意,2由条件得2<-2y<6,<<,所以<-<3,
所以<1-<4,所以<<.故选B.
(2)因为a>b>c,2a+b+c=0,
所以a>0,c<0,b=-2a-c.
因为a>b>c,
所以-2a-c-c,得>-3,
将b=-2a-c代入b>c中,得-2a-c>c,即c<-a,得<-1,
所以-3<<-1.
求代数式的取值范围,通过已知和结论之间的关系充分利用不等式的性质变形求解,求解时常利用整体思想,通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围.
[针对训练]
(1)已知1A.(-5,) B.(-5,)
C.(-4,7) D.(-4,)
(2)(2025·浙江杭州模拟)已知正数a,b,c满足a2+c2=16,b2+c2=25,则k=a2+b2的取值范围为　　　　.
【答案】 (1)C　(2)(9,41)
【解析】 (1)因为8a+b=2(a+2b)+3(2a-b),1-6<3(2a-b)<3,所以-4<8a+b<7,故8a+b的取值范围是(-4,7).故选C.
(2)因为正数a,b,c满足a2+c2=16,b2+c2=25,所以c2=16-a2,a2>0,所以025-b2得00,则-32<-2c2<0,所以9<41-2c2<41,即9[学习目标]
1.掌握等式的性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质,并能简单应用.
1.两个实数比较大小的方法
作差法(a,b∈R)
2.等式的性质
性质1　对称性:如果a=b,那么 ;
性质2　传递性:如果a=b,b=c,那么 ;
性质3　可加(减)性:如果a=b,那么a±c=b±c;
性质4　可乘性:如果a=b,那么ac=bc;
性质5　可除性:如果a=b,c≠0,那么=.
3.不等式的性质
性质1　对称性:a>b ;
性质2　传递性:a>b,b>c ;
性质3　可加性:a>b a+c>b+c;
性质4　可乘性:a>b,c>0 ;a>b,c<0 ;
性质5　同向可加性:a>b,c>d ;
性质6　同向同正可乘性:a>b>0,c>d>0 ;
性质7　同正可乘方性:a>b>0 an>bn(n∈N,n≥2).
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)同向不等式相加与相乘的条件是一致的.(　　)
(2)若a+c>b+d,则a>b,c>d.(　　)
(3)两个实数a,b之间,有且只有a>b,a=b,a(4)设a=x2+2,b=2x,则a>b.(　　)
2.(人教A版必修第一册P43习题2.1T8)下列命题为真命题的是(　　)
A.若a>b>0,则ac2>bc2
B.若a>b>0,则a2>b2
C.若aD.若a3.(人教A版必修第一册P43习题2.1T10改编)设a,b,m均为正数,且aA.<
B.=
C.>
D.与的大小随m变化而变化
4.(多选题)(人教A版必修第一册P43习题2.1T5改编)已知实数x,y满足1A.3C.2考点一　比较数与式的大小
[例1] (1)已知a,b,c为不全相等的实数,P=a2+b2+c2+3,Q=2(a+b+c),那么P与Q的大小关系是(　　)
A.P>Q B.P≥Q
C.P(2)若实数m,n,p满足m=4,n=5,p=,则(　　)
A.pC.m[溯源探本] 本例(1)源于人教A版必修第一册P43习题2.1 T3.
比较大小的常用方法
(1)作差法:①作差;②变形;③定号;④得出结论.
(2)作商法:①作商;②变形;③判断商与1的大小关系;④得出结论.
注意:作商法的适用范围为同号两数比较大小或同号的乘积式、指数式比较大小.
[针对训练]
(1)已知实数x,y,z满足x2=4x+z-y-4且x+y2+2=0,则下列关系成立的是(　　)
A.y>x≥z B.z≥x>y
C.y>z≥x D.z≥y>x
(2)已知P=a2+a+1,Q=(a∈R),则P,Q的大小关系为P Q.
考点二　不等式基本性质的应用
[例2] (多选题)(2025·湖南长沙模拟)设a,b,c,d为实数,且a>b>0>c>d,则下列不等式正确的有(　　)
A.c2C.ac0
[溯源探本] 本例源于人教A版必修第一册P43习题2.1 T7.
利用不等式性质判断命题真假的方法
(1)直接运用不等式的性质进行推理验证,注意不等式性质成立的前提条件.
(2)取特殊值验证,排除错误选项从而得到答案,取值注意三个原则:一是特殊值要符合题设条件;二是取值尽量要简单,便于计算;三是取值要有代表性.
[针对训练]
(2025·安徽淮北模拟)已知a,b∈R,下列命题正确的是(　　)
A.若ab=1,则a+b≥2
B.若<,则a>b
C.若a>b,则ln(a-b)>0
D.若a>b>0,则a+>b+
考点三　不等式性质的综合应用
[例3] (1)(2025·河南郑州模拟)已知2A.(,) B.(,)
C.(,1) D.(,2)
(2)已知a>b>c,2a+b+c=0,则的取值范围是 .
求代数式的取值范围,通过已知和结论之间的关系充分利用不等式的性质变形求解,求解时常利用整体思想,通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围.
[针对训练]
(1)已知1A.(-5,) B.(-5,)
C.(-4,7) D.(-4,)
(2)(2025·浙江杭州模拟)已知正数a,b,c满足a2+c2=16,b2+c2=25,则k=a2+b2的取值范围为 .

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