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第10节　函数模型及其应用
[学习目标]
1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.2.结合现实情境中的具体问题,利用计算工具,比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实意义.
1.常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)
二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
指数函数模型 f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a>0,且a≠1,b≠0)
对数函数模型 f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,a>0,且a≠1,b≠0)
幂函数模型 f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0,n≠0)
2.三种函数模型性质的比较
性质 函数
y=ax (a>1) y=logax (a>1) y=xn(n>0)
在(0,+∞) 上的单调性 单调 单调 单调递增
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图象的变化 随x的增大逐渐表现为与 平行 随x的增大逐渐表现为与 平行 随n值变化而各有不同
值的比较 存在一个x0,当x>x0时,有logax1.“直线上升”是匀速增长,其增长量固定不变;“指数增长”先慢后快,其增长量成倍增加,常用“指数爆炸”来形容;“对数增长”先快后慢,其增长速度缓慢.
2.函数f(x)=x+(a>0)的性质及最值:
(1)该函数在(-∞,-)和(,+∞)上单调递增,在[-,0)和(0,]上单调递减.
(2)当x>0,x=时取最小值2;
当x<0,x=-时取最大值-2.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)某种商品进价为每件100元,按进价增加10%出售,后因库存积压降价,若按九折出售,则每件还能获利.(　　)
(2)函数y=2x的函数值比y=x2的函数值大.(　　)
(3)不存在x0,使<(4)在(0,+∞)上,随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y=xa(a>0)的增长速度.(　　)
2.(人教A版必修第一册P150例5改编)下列选项分别是四种投资方案预期的获益y关于时间x的函数模型,从足够长远的角度看,使得公司获益最大的函数模型是(　　)
A.y=10×1.05x B.y=20+x2
C.y=30+lg(x+1) D.y=50x
3.(人教A版必修第一册P156习题4.5 T14改编)在某个实验中,测量得到变量x和变量y的几组数据,如表:
x 0.50 0.99 2.01 3.98
y -0.99 -0.01 0.98 2.00
则对x,y最适合的函数模型是(　　)
A.y=2x B.y=x2-1
C.y=2x-2 D.y=log2x
4.(人教A版必修第一册P96习题3.4 T3改编)某市为鼓励居民节约用水,作出了以下规定:每户居民每月用水不超过10 m3的,按每立方米m元收费;用水超过10 m3的,超过部分加倍收费.某户居民某月缴水费16m元,则该户居民这个月实际用水为 m3.
考点一　利用图象刻画实际问题
[例1] (多选题)某打车平台欲对收费标准进行改革,现制定了甲、乙两种方案供乘客选择,其支付费用y(单位:元)与打车里程x(单位:km)的函数关系大致如图所示,则下列说法正确的是(　　)
A.当打车距离为8 km时,乘客选择乙方案省钱
B.当打车距离为10 km时,乘客选择甲、乙方案均可
C.当打车距离为3 km以上时,每千米增加的费用甲方案比乙方案多
D.甲方案3 km内(含3 km)付费5元,行程大于3 km 每增加1 km费用增加0.7元
判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的方法
(1)构建函数模型法:当根据题意可以构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选择图象.
(2)验证法:根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际情况的答案,选择符合实际情况的答案.
[针对训练]
水池有两个相同的进水口和一个出水口,每个口进出水的速度如图(1)、(2)所示,某天0时到6时该水池的蓄水量如图(3)所示,给出以下3个论断:
①0时到3时只进水不出水;
②3时到4时不进水只出水;
③4时到5时不进水也不出水.
则一定正确的论断是 .(填序号)
考点二　已知函数模型求解实际问题
[例2] (2025·北京朝阳模拟)假设某飞行器在空中高速飞行时所受的阻力f满足公式 f=ρCSv2,其中ρ是空气密度,S是该飞行器的迎风面积,v是该飞行器相对于空气的速度,C 是空气阻力系数(其大小取决于多种因素),反映该飞行器克服阻力做功快慢程度的物理量为功率P=fv. 当ρ,S不变,v比原来提高10%时,下列说法正确的是(　　)
A.若C不变,则P比原来提高不超过30%
B.若C不变,则P比原来提高超过40%
C.为使P不变,则C比原来降低不超过30%
D.为使P不变,则C比原来降低超过40%
[溯源探本] 本例源于人教A版必修第一册P161复习参考题4 T9.
已知函数模型解决实际问题的关键
(1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数.
(2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数.
(3)利用该函数模型,借助函数的性质、导数等求解实际问题,并进行检验.
[针对训练]
(2025·江苏南通模拟)某灭活疫苗的有效保存时间T(单位:h)与储藏的温度t(单位:℃)满足的函数关系为T=ekt+b(k,b为常数,其中e=2.718 28 …,是一个和π类似的无理数,叫自然对数的底数),超过有效保存时间,疫苗将不能使用.若在0 ℃时的有效保存时间是1 080 h,在10 ℃时的有效保存时间是120 h,则该疫苗在15 ℃时的有效保存时间为(　　)
A.15 h B.30 h C.40 h D.60 h
考点三　建立数学模型解决实际问题
[例3] (2025·河南许昌模拟)某生产合作社组建加工毛线玩具的分厂,需要每年投入固定成本10万元,每加工x万件玩具,需要流动成本C(x)万元.当年加工量不足15万件时,C(x)=12x-12ln(x+1);当年加工量不低于15万件时,C(x)=21x+-200.通过市场分析,加工后的玩具以每件20元的价格,全部由总厂收购.
(1)求年利润f(x)(单位:万元)关于年加工量x(单位:万件)的解析式;(年利润=年销售收入-流动成本-年固定成本)
(2)当年加工量为多少万件时,该合作社的年利润最大 最大年利润是多少
(参考数据:ln 2≈0.69)
构建函数模型解决实际问题的步骤
(1)建模:抽象出实际问题的数学模型.
(2)推理、演算:对数学模型进行逻辑推理或数学运算,得到问题在数学意义上的解.
(3)评价、解释:对求得的数学结果进行深入讨论,作出评价、解释,然后返回到原来的实际问题中去,得到实际问题的解.
[针对训练]
某农业合作社生产了一种绿色蔬菜共14吨,如果在市场上直接销售,每吨可获利0.2万元;如果进行精加工后销售,每吨可获利0.6万元,但需另外支付一定的加工费,总的加工费P(单位:万元)与精加工的蔬菜质量x(单位:吨)有如下关系:P=设该农业合作社将x吨蔬菜进行精加工后销售,其余在市场上直接销售,所得总利润(扣除加工费)为y(单位:万元).
(1)写出y关于x的函数解析式;
(2)当精加工蔬菜多少吨时,总利润最大 并求出最大利润.第10节　函数模型及其应用
[学习目标]
1.理解函数模型是描述客观世界中变量关系和规律的重要数学语言和工具.在实际情境中,会选择合适的函数类型刻画现实问题的变化规律.2.结合现实情境中的具体问题,利用计算工具,比较对数函数、一元一次函数、指数函数增长速度的差异,理解“对数增长”“直线上升”“指数爆炸”等术语的现实意义.
1.常见的函数模型
函数模型 函数解析式
一次函数模型 f(x)=ax+b(a,b为常数,a≠0)
二次函数模型 f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数,a≠0)
指数函数模型 f(x)=bax+c(a,b,c为常数,a>0,且a≠1,b≠0)
对数函数模型 f(x)=blogax+c(a,b,c为常数,a>0,且a≠1,b≠0)
幂函数模型 f(x)=axn+b(a,b,n为常数,a≠0,n≠0)
2.三种函数模型性质的比较
性质 函数
y=ax (a>1) y=logax (a>1) y=xn(n>0)
在(0,+∞) 上的单调性 单调递增 单调递增 单调递增
增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳
图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同
值的比较 存在一个x0,当x>x0时,有logax1.“直线上升”是匀速增长,其增长量固定不变;“指数增长”先慢后快,其增长量成倍增加,常用“指数爆炸”来形容;“对数增长”先快后慢,其增长速度缓慢.
2.函数f(x)=x+(a>0)的性质及最值:
(1)该函数在(-∞,-)和(,+∞)上单调递增,在[-,0)和(0,]上单调递减.
(2)当x>0,x=时取最小值2;
当x<0,x=-时取最大值-2.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)某种商品进价为每件100元,按进价增加10%出售,后因库存积压降价,若按九折出售,则每件还能获利.(　　)
(2)函数y=2x的函数值比y=x2的函数值大.(　　)
(3)不存在x0,使<(4)在(0,+∞)上,随着x的增大,y=ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y=xa(a>0)的增长速度.(　　)
【答案】 (1)×　(2)×　(3)×　(4)√
2.(人教A版必修第一册P150例5改编)下列选项分别是四种投资方案预期的获益y关于时间x的函数模型,从足够长远的角度看,使得公司获益最大的函数模型是(　　)
A.y=10×1.05x B.y=20+x2
C.y=30+lg(x+1) D.y=50x
【答案】 A
【解析】 因为指数函数y=1.05x的底数大于1,其增长速度随着时间的推移会越来越快,比幂函数y=x2,对数型函数y=lg(x+1),一次函数y=50x的增长速度都要快,所以从足够长远的角度看,使得公司获益最大的函数模型是y=10×1.05x.故选A.
3.(人教A版必修第一册P156习题4.5 T14改编)在某个实验中,测量得到变量x和变量y的几组数据,如表:
x 0.50 0.99 2.01 3.98
y -0.99 -0.01 0.98 2.00
则对x,y最适合的函数模型是(　　)
A.y=2x B.y=x2-1
C.y=2x-2 D.y=log2x
【答案】 D
【解析】 根据x=0.50,y=-0.99,代入计算,可以排除A;根据x=2.01,y=0.98,代入计算,可以排除B,C;将各数据代入函数y=log2x,可知满足题意.故选D.
4.(人教A版必修第一册P96习题3.4 T3改编)某市为鼓励居民节约用水,作出了以下规定:每户居民每月用水不超过10 m3的,按每立方米m元收费;用水超过10 m3的,超过部分加倍收费.某户居民某月缴水费16m元,则该户居民这个月实际用水为　　　　m3.
【答案】 13
【解析】 设该户居民用水x m3时,缴纳的水费为y元,
由题意得y=
则10m+(x-10)·2m=16m,解得x=13.
考点一　利用图象刻画实际问题
[例1] (多选题)某打车平台欲对收费标准进行改革,现制定了甲、乙两种方案供乘客选择,其支付费用y(单位:元)与打车里程x(单位:km)的函数关系大致如图所示,则下列说法正确的是(　　)
A.当打车距离为8 km时,乘客选择乙方案省钱
B.当打车距离为10 km时,乘客选择甲、乙方案均可
C.当打车距离为3 km以上时,每千米增加的费用甲方案比乙方案多
D.甲方案3 km内(含3 km)付费5元,行程大于3 km 每增加1 km费用增加0.7元
【答案】 BC
【解析】 对于A,当打车距离为3判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的方法
(1)构建函数模型法:当根据题意可以构建函数模型时,先建立函数模型,再结合模型选择图象.
(2)验证法:根据实际问题中两变量的变化快慢等特点,结合图象的变化趋势,验证是否吻合,从中排除不符合实际情况的答案,选择符合实际情况的答案.
[针对训练]
水池有两个相同的进水口和一个出水口,每个口进出水的速度如图(1)、(2)所示,某天0时到6时该水池的蓄水量如图(3)所示,给出以下3个论断:
①0时到3时只进水不出水;
②3时到4时不进水只出水;
③4时到5时不进水也不出水.
则一定正确的论断是　　　　.(填序号)
【答案】 ①
【解析】 由题图(1)(2)可得进水速度为1,出水速度为2,结合题图(3)中直线的斜率可知,只进水不出水时,蓄水量增加的速度是2,故①正确;
不进水只出水时,蓄水量减少的速度为2,故②不正确;
两个进水,一个出水时,蓄水量也不变,故③不正确.
考点二　已知函数模型求解实际问题
[例2] (2025·北京朝阳模拟)假设某飞行器在空中高速飞行时所受的阻力f满足公式 f=ρCSv2,其中ρ是空气密度,S是该飞行器的迎风面积,v是该飞行器相对于空气的速度,C 是空气阻力系数(其大小取决于多种因素),反映该飞行器克服阻力做功快慢程度的物理量为功率P=fv. 当ρ,S不变,v比原来提高10%时,下列说法正确的是(　　)
A.若C不变,则P比原来提高不超过30%
B.若C不变,则P比原来提高超过40%
C.为使P不变,则C比原来降低不超过30%
D.为使P不变,则C比原来降低超过40%
[溯源探本] 本例源于人教A版必修第一册P161复习参考题4 T9.
【答案】 C
【解析】 由题意,f=ρCSv2,P=fv,所以P=ρCSv3,C=.当ρ,S,C不变,v比原来提高10%时,
P1=ρCS(1+10%)3v3=ρCS(1.1)3v3=1.331×ρCSv3,所以P比原来提高超过30%,故A错误;由选项A的分析知,P1=1.331×ρCSv3,所以P比原来提高不超过40%,故B错误;当ρ,S,P不变,v比原来提高10%时,C1==≈0.75·,所以C比原来降低不超过30%,故C正确;由选项C的分析知,C比原来降低不超过40%,故D错误.故选C.
已知函数模型解决实际问题的关键
(1)认清所给函数模型,弄清哪些量为待定系数.
(2)根据已知利用待定系数法,确定模型中的待定系数.
(3)利用该函数模型,借助函数的性质、导数等求解实际问题,并进行检验.
[针对训练]
(2025·江苏南通模拟)某灭活疫苗的有效保存时间T(单位:h)与储藏的温度t(单位:℃)满足的函数关系为T=ekt+b(k,b为常数,其中e=2.718 28 …,是一个和π类似的无理数,叫自然对数的底数),超过有效保存时间,疫苗将不能使用.若在0 ℃时的有效保存时间是1 080 h,在10 ℃时的有效保存时间是120 h,则该疫苗在15 ℃时的有效保存时间为(　　)
A.15 h B.30 h C.40 h D.60 h
【答案】 C
【解析】 T=ekt+b,当t=0时,T=eb=1 080(h),当t=10时,120=e10k·eb=e10k×1 080,解得e5k=,
当t=15时,T=e15k·eb=(e5k)3·eb=×1 080=40(h).故选C.
考点三　建立数学模型解决实际问题
[例3] (2025·河南许昌模拟)某生产合作社组建加工毛线玩具的分厂,需要每年投入固定成本10万元,每加工x万件玩具,需要流动成本C(x)万元.当年加工量不足15万件时,C(x)=12x-12ln(x+1);当年加工量不低于15万件时,C(x)=21x+-200.通过市场分析,加工后的玩具以每件20元的价格,全部由总厂收购.
(1)求年利润f(x)(单位:万元)关于年加工量x(单位:万件)的解析式;(年利润=年销售收入-流动成本-年固定成本)
(2)当年加工量为多少万件时,该合作社的年利润最大 最大年利润是多少
(参考数据:ln 2≈0.69)
【解】 (1)当0当x≥15时,f(x)=20x-10-(21x+-200)=190-x-,
所以年利润f(x)关于年加工量x的解析式为
f(x)=
(2)当00恒成立,所以f(x)在区间(0,15)上单调递增,
所以f(x)<8×15+12ln 16-10=110+48ln 2≈143.12;
当x≥15时,f(x)=188-[(x-2)+]≤188-2=156,
当且仅当x-2=,即x=18时,等号成立.
因为156>143.12,
所以当年加工量为18万件时,该合作社获得的年利润最大,且最大年利润为156万元.
构建函数模型解决实际问题的步骤
(1)建模:抽象出实际问题的数学模型.
(2)推理、演算:对数学模型进行逻辑推理或数学运算,得到问题在数学意义上的解.
(3)评价、解释:对求得的数学结果进行深入讨论,作出评价、解释,然后返回到原来的实际问题中去,得到实际问题的解.
[针对训练]
某农业合作社生产了一种绿色蔬菜共14吨,如果在市场上直接销售,每吨可获利0.2万元;如果进行精加工后销售,每吨可获利0.6万元,但需另外支付一定的加工费,总的加工费P(单位:万元)与精加工的蔬菜质量x(单位:吨)有如下关系:P=设该农业合作社将x吨蔬菜进行精加工后销售,其余在市场上直接销售,所得总利润(扣除加工费)为y(单位:万元).
(1)写出y关于x的函数解析式;
(2)当精加工蔬菜多少吨时,总利润最大 并求出最大利润.
【解】 (1)由题意知,当0≤x≤8时,
y=0.6x+0.2(14-x)-x2=-x2+x+,
当8y=0.6x+0.2(14-x)-=x+2,
即y=
(2)当0≤x≤8时,y=-x2+x+=-(x-4)2+,
所以当x=4时,ymax=.
当8所以当x=14时,ymax=.
因为 >,所以当x=4时,ymax=.
所以当精加工蔬菜4吨时,总利润最大,且最大利润为 万元.

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