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第1节　数列的概念
[学习目标]
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类函数.
1.数列的定义
按照确定的顺序排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项.
2.数列的分类
分类原则 类型 满足条件
按项数 分类 有穷数列 项数有限
无穷数列 项数无限
按项与 项间的 大小关 系分类 递增数列 an+1>an 其中n∈N*
递减数列 an+1常数列 an+1=an
摆动数列 从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列
3.数列的表示法
数列有三种表示法,它们分别是列表法、图象法和解析法.
4.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
5.数列中an与Sn的关系
若数列{an}的前n项和为Sn,
则an=
数列与函数的关系
数列是一种特殊的函数,即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数,当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值,就是数列.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.(　　)
(2)1,1,1,1,…,不能构成一个数列.(　　)
(3)任何一个数列不是递增数列,就是递减数列.(　　)
(4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个.(　　)
(5)如果数列{an}的前n项和为Sn,则对任意n∈N*,都有an+1=Sn+1-Sn.(　　)
【答案】 (1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√
2.(人教A版选择性必修第二册P8习题4.1 T3改编)观察下列数列的特点:1,1,2,3,　　　,
8,13,21,….用适当的数填空(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】 C
【解析】 观察可知,数列的前2项都是1,从第3项开始每一项等于它前2项的和,所以空的一项为5.故选C.
3.(人教A版选择性必修第二册P6例5改编)已知首项为1的数列{an}中,an+1=1+,则a5等于(　　)
A. B. C. D.2
【答案】 B
【解析】 因为a1=1,所以a2=1+=2,a3=1+=1+=,a4=1+=1+=,a5=1+=1+=.
故选B.
4.(人教A版选择性必修第二册P8练习T4改编)已知数列{an}的前n项和为Sn=3n2+n,则数列{an}的通项公式an=　　　　.
【答案】 6n-2
【解析】 当n=1时,a1=S1=4;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=3n2+n-3(n-1)2-(n-1)=6n-2.显然n=1时也符合上式,所以an=6n-2.
5.(人教B版选择性必修第三册P15习题5-1B T3改编)在数列{an}中,an=-n2+6n+7,当其前n项和Sn取最大值时,n=　　　　.
【答案】 6或7
【解析】 由题可知n∈N*,令an=-n2+6n+7≥0,得1≤n≤7(n∈N*),所以该数列的第7项为零,且从第8项开始an<0,则S6=S7且最大.
考点一　由数列的前几项归纳数列的通项公式
[例1] 数列-,,-,,…的一个通项公式an=　　　　　.
【答案】 (-1)n
【解析】 这个数列前4项的绝对值可以写为,,,,都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式为an=(-1)n.
由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略
(1)常用方法:观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.
(2)具体策略:①分式中分子、分母的特征;②相邻项的变化特征;③拆项后的特征;④各项的符号特征和绝对值特征;⑤化异为同,对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻找分子、分母之间的关系;⑥对于符号交替出现的情况,可用(-1)n或(-1)n+1,n∈N*处理.
[针对训练]
观察下面数列的特点,用适当的数填空,并写出数列的一个通项公式.
,,,　　　　,,,…,an=　　　　.
【答案】 　
【解析】 设题目中的数列为{an},通过观察可发现 a1==,a2==,a3=,a5=,a6==,所以通过规律可以得到a4==,an=.
考点二　an与Sn的关系的应用
[例2] (1)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,Sn+1=2Sn-1(n∈N*),则a10等于(　　)
A.128 B.256 C.512 D.1 024
(2)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=-,且5an+1+Sn+16=0.则数列{an}的通项公式为　　　　　　　　.
【答案】 (1)B　(2)an=-4·() n
【解析】 (1)因为Sn+1=2Sn-1(n∈N*),
n≥2时,Sn=2Sn-1-1,
所以an+1=2an.
n=1时,a1+a2=2a1-1,a1=2,a2=1.
所以数列{an}从第二项开始为等比数列,公比为2.
则a10=a2×28=1×28=256.故选B.
(2)由5an+1+Sn+16=0,①
当n≥2时,5an+Sn-1+16=0,②
①-②得5an+1=4an,由a1=-≠0得an≠0,所以=,所以{an}是首项为-,公比为的等比数列,所以an=-·() n-1=-4·() n.
an与Sn的关系的应用
(1)已知Sn求an的步骤.
①先利用a1=S1求出a1;
②用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系,利用an=Sn-Sn-1便可求出当n≥2时an的表达式;
③注意检验n=1时的表达式是否可以与n≥2时的表达式合并.
(2)Sn与an关系问题的求解思路.
根据所求结果的不同要求,将问题向两个不同的方向转化.
①利用an=Sn-Sn-1(n≥2)转化为只含Sn,Sn-1的关系式,再求解;
②利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为只含an,an-1的关系式,再求解.
[针对训练]
(1)已知数列{an}满足a1+++…+=3n,则an=(　　)
A.3n B.3n-1
C.3n-1 D.3n-1-1
(2)设数列{an}的前n项和为Sn,若a1=3且当n≥2时,2an=Sn·Sn-1,则{an}的通项公式an=　　　　　　　　　　.
【答案】 (1)A　(2)
【解析】 (1)由a1+++…+=3n,①
当n=1时,a1=3,
当n≥2时,a1+++…+=3(n-1),②
由①-②得,=3,即得an=3n,当n=1时,满足上式,故an=3n.故选A.
(2)当n≥2时,由2an=Sn·Sn-1可得2Sn-2Sn-1=Sn·Sn-1,故该式可化为-=-,
因为==,所以{}是首项为,公差为 - 的等差数列,
所以=-(n-1)=-n+,所以 Sn=,
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=,
又a1=3,不符合上式,
故an=
考点三　由数列的递推关系求通项公式
角度一　累加法
[例3] 若数列{an}满足a1=1,an+1=an+2n,则数列{an}的通项公式为an=　　　　.
[溯源探本] 本例源于人教A版选择性必修第二册P8练习T2.
【答案】 2n-1
【解析】 由an+1=an+2n,得an+1-an=2n,所以当 n≥2时,an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2n-1+2n-2+…+2+1==2n-1,而a1=1满足上式,所以 an=2n-1.
已知a1且an-an-1=f(n)(n≥2),可用“累加法”求an,即an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1(n≥2).
角度二　累乘法
[例4] 已知数列{an}满足a1=1,(2n-1)an+1=(2n+1)an.则{an}的通项公式为　　　　　　.
【答案】 an=2n-1
【解析】 由(2n-1)an+1=(2n+1)an及a1=1,得 an≠0,所以=,
当n≥2时,有an=··…····a1=××…××××1=2n-1.
当n=1时,a1=1=2×1-1,符合上式,所以an=2n-1.
形如=f(n)的数列,常令n分别为1,2,3,…,n-1,代入=f(n),再把所得的(n-1)个等式相乘,利用an=a1···…·(n≥2)即可求出数列{an}的通项公式.
[针对训练]
1.(角度一)在数列{an}中,a1=2,且an+1=an+ln(1+),则数列{an}的通项公式为　 .
【答案】 an=2+ln n
【解析】 由题设an+1-an=ln ,所以当n≥2时,an=(an-an-1)+…+(a2-a1)+a1=ln +…+
ln +2=2+ln n.显然a1=ln 1+2=2满足上式,所以an=2+ln n.
2.(角度二)已知数列{an}中,若a1=1,an+1=2nan,则an=　　　　.
【答案】
【解析】 因为an+1=2nan,又a1=1≠0,所以an≠0,所以=2n,所以··…·=2n-1·2n-2·…·2,
所以=,又a1=1,所以an=.
考点四　数列的函数特征
[例5] (1)已知数列{an}满足an=若数列{an}为递增数列,则实数a的取值范围为(　　)
A.(1,7) B.(2,7)
C.(2,6) D.(6,7)
(2)已知数列{an}的通项公式为an=n·() n,则数列{an}中的最大项的项数为(　　)
A.2 B.3
C.2或3 D.4
(3)(2025·山东济宁模拟)已知数列{an}中,a1=2,a2=1,an+1=an-an-1(n≥2,n∈N*),则a2 024=(　　)
A.-2 B.-1 C.1 D.2
【答案】 (1)C　(2)C　(3)C
【解析】 (1)因为数列{an}为递增数列,
所以必有
解得a∈(2,6).故选C.
(2)a1=1×=;a2=2×=;a3=3×==a2,a4=4×=(3)由a1=2,a2=1,an+1=an-an-1(n≥2,n∈N*),得a3=a2-a1=-1,a4=a3-a2=-2,a5=a4-a3=-1,
a6=a5-a4=1,a7=a6-a5=2,a8=a7-a6=1,….
则{an}是以6为周期的周期数列,所以a2 024=a337×6+2=a2=1.故选C.
数列的函数特征
(1)单调性.由an+1-an的符号判断数列是递增数列、递减数列还是常数列.
(2)最值.求最值一般有两种方法.
①函数法,利用函数的单调性求最值;
②利用(n≥2)的解确定最大项,利用(n≥2)的解确定最小项.
(3)周期性.先根据已知条件求出数列的前几项,确定数列的周期,再根据周期性求值.
[针对训练]
(1)在数列{an}中,若a1=1,an+1=,则a2 026=(　　)
A.-2 B.4 C.1 D.-
(2)已知数列{an}中,an=2n2-18n+5,它的最小项是(　　)
A.第4项 B.第5项
C.第6项 D.第4项或第5项
(3)已知数列{an}的通项公式为an=,若数列{an}为递减数列,则实数k的取值范围为(　　)
A.(3,+∞) B.(2,+∞)
C.(1,+∞) D.(0,+∞)
【答案】 (1)C　(2)D　(3)D
【解析】 (1)因为数列{an}中,a1=1,an+1=,所以a2===4,a3===-2,
a4===1=a1,a5===4=a2,所以数列{an}是以3为周期的周期数列,
所以a2 026=a3×675+1=a1=1.故选C.
(2)因为an=2n2-18n+5,所以设f(x)=2x2-18x+5,其图象的对称轴为直线x=-=,且开口向上,又n∈N*,所以{an}的最小项为第4项或第5项.故选D.
(3)因为an+1-an=-=,由数列{an}为递减数列知,对任意n∈N*,an+1-an=
<0,
所以k>3-3n对任意n∈N*恒成立,
所以k∈(0,+∞).故选D.第1节　数列的概念
[学习目标]
1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类函数.
1.数列的定义
按照 排列的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的 .
2.数列的分类
分类原则 类型 满足条件
按项数 分类 有穷数列 项数
无穷数列 项数
按项与 项间的 大小关 系分类 递增数列 an+1 an 其中n∈N*
递减数列 an+1 an
常数列 an+1=an
摆动数列 从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列
3.数列的表示法
数列有三种表示法,它们分别是 、 和 .
4.数列的通项公式
如果数列{an}的第n项an与它的 之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
5.数列中an与Sn的关系
若数列{an}的前n项和为Sn,
则an=
数列与函数的关系
数列是一种特殊的函数,即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数,当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值,就是数列.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列.(　　)
(2)1,1,1,1,…,不能构成一个数列.(　　)
(3)任何一个数列不是递增数列,就是递减数列.(　　)
(4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个.(　　)
(5)如果数列{an}的前n项和为Sn,则对任意n∈N*,都有an+1=Sn+1-Sn.(　　)
2.(人教A版选择性必修第二册P8习题4.1 T3改编)观察下列数列的特点:1,1,2,3, ,
8,13,21,….用适当的数填空(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
3.(人教A版选择性必修第二册P6例5改编)已知首项为1的数列{an}中,an+1=1+,则a5等于(　　)
A. B. C. D.2
4.(人教A版选择性必修第二册P8练习T4改编)已知数列{an}的前n项和为Sn=3n2+n,则数列{an}的通项公式an= .
5.(人教B版选择性必修第三册P15习题5-1B T3改编)在数列{an}中,an=-n2+6n+7,当其前n项和Sn取最大值时,n= .
考点一　由数列的前几项归纳数列的通项公式
[例1] 数列-,,-,,…的一个通项公式an= .
由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略
(1)常用方法:观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.
(2)具体策略:①分式中分子、分母的特征;②相邻项的变化特征;③拆项后的特征;④各项的符号特征和绝对值特征;⑤化异为同,对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻找分子、分母之间的关系;⑥对于符号交替出现的情况,可用(-1)n或(-1)n+1,n∈N*处理.
[针对训练]
观察下面数列的特点,用适当的数填空,并写出数列的一个通项公式.
,,, ,,,…,an= .
考点二　an与Sn的关系的应用
[例2] (1)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,Sn+1=2Sn-1(n∈N*),则a10等于(　　)
A.128 B.256 C.512 D.1 024
(2)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=-,且5an+1+Sn+16=0.则数列{an}的通项公式为 .
an与Sn的关系的应用
(1)已知Sn求an的步骤.
①先利用a1=S1求出a1;
②用n-1替换Sn中的n得到一个新的关系,利用an=Sn-Sn-1便可求出当n≥2时an的表达式;
③注意检验n=1时的表达式是否可以与n≥2时的表达式合并.
(2)Sn与an关系问题的求解思路.
根据所求结果的不同要求,将问题向两个不同的方向转化.
①利用an=Sn-Sn-1(n≥2)转化为只含Sn,Sn-1的关系式,再求解;
②利用Sn-Sn-1=an(n≥2)转化为只含an,an-1的关系式,再求解.
[针对训练]
(1)已知数列{an}满足a1+++…+=3n,则an=(　　)
A.3n B.3n-1
C.3n-1 D.3n-1-1
(2)设数列{an}的前n项和为Sn,若a1=3且当n≥2时,2an=Sn·Sn-1,则{an}的通项公式an= .
考点三　由数列的递推关系求通项公式
角度一　累加法
[例3] 若数列{an}满足a1=1,an+1=an+2n,则数列{an}的通项公式为an= .
[溯源探本] 本例源于人教A版选择性必修第二册P8练习T2.
已知a1且an-an-1=f(n)(n≥2),可用“累加法”求an,即an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+(a2-a1)+a1(n≥2).
角度二　累乘法
[例4] 已知数列{an}满足a1=1,(2n-1)an+1=(2n+1)an.则{an}的通项公式为 .
形如=f(n)的数列,常令n分别为1,2,3,…,n-1,代入=f(n),再把所得的(n-1)个等式相乘,利用an=a1···…·(n≥2)即可求出数列{an}的通项公式.
[针对训练]
1.(角度一)在数列{an}中,a1=2,且an+1=an+ln(1+),则数列{an}的通项公式为 .
2.(角度二)已知数列{an}中,若a1=1,an+1=2nan,则an= .
考点四　数列的函数特征
[例5] (1)已知数列{an}满足an=若数列{an}为递增数列,则实数a的取值范围为(　　)
A.(1,7) B.(2,7)
C.(2,6) D.(6,7)
(2)已知数列{an}的通项公式为an=n·() n,则数列{an}中的最大项的项数为(　　)
A.2 B.3
C.2或3 D.4
(3)(2025·山东济宁模拟)已知数列{an}中,a1=2,a2=1,an+1=an-an-1(n≥2,n∈N*),则a2 024=(　　)
A.-2 B.-1 C.1 D.2
数列的函数特征
(1)单调性.由an+1-an的符号判断数列是递增数列、递减数列还是常数列.
(2)最值.求最值一般有两种方法.
①函数法,利用函数的单调性求最值;
②利用(n≥2)的解确定最大项,利用(n≥2)的解确定最小项.
(3)周期性.先根据已知条件求出数列的前几项,确定数列的周期,再根据周期性求值.
[针对训练]
(1)在数列{an}中,若a1=1,an+1=,则a2 026=(　　)
A.-2 B.4 C.1 D.-
(2)已知数列{an}中,an=2n2-18n+5,它的最小项是(　　)
A.第4项 B.第5项
C.第6项 D.第4项或第5项
(3)已知数列{an}的通项公式为an=,若数列{an}为递减数列,则实数k的取值范围为(　　)
A.(3,+∞) B.(2,+∞)
C.(1,+∞) D.(0,+∞)

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