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第2节　等差数列
[学习目标]
1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.体会等差数列与一次函数的关系.
1.等差数列的有关概念
(1)定义:如果一个数列从 起,每一项与它的前一项的 都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.用符号表示为 (n∈N*,d为常数).
(2)等差中项:数列a,A,b成等差数列的充要条件是 ,其中A叫做a,b的 .
2.等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)通项公式:an= .
(2)前n项和公式:Sn= =.
(1)当公差d≠0时,等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d=dn+a1-d是关于n的一次函数,且一次项系数为公差d.若公差d>0,则为递增数列;若公差d<0,则为递减数列.
(2)当公差d≠0时,前n项和Sn=na1+d=n2+(a1-) n是关于n的二次函数,且常数项
为0.
3.等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广:an=am+ (n,m∈N*).
(2)若{an}为等差数列,则
①2an=an-1+an+1(n∈N*,n>1);
②2an=an-k+an+k(n,k∈N*,n>k);
③k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则 .
(3)若{an}是等差数列,公差为d,则{a2n}和{a2n+1}也是等差数列,公差为 .
(4)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为 的等差数列.
(5)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列.
(6)公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn,则{}也为等差数列,且公差为.
1.已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定是等差数列,且公差为p.
2.数列{an}是等差数列 Sn=An2+Bn(A,B为常数).
3.若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列.
4.若两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,则=.
5.关于非零等差数列奇数项和与偶数项和的性质.
(1)若项数为2n,则S偶-S奇=nd,=.
(2)若项数为2n-1,则S偶=(n-1)an,S奇=nan,S奇-S偶=an,=.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.(　　)
(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.(　　)
(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其前n项和公式为n的二次函数.(　　)
(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.(　　)
2.(人教A版选择性必修第二册P15练习T2改编)已知实数m是2和8的等差中项,则m=(　　)
A.±4 B.-4 C.4 D.5
3.(苏教版选择性必修第一册P145练习T3(2)改编)已知数列{an}满足a1=5,an+1=an+5,若an=20,则n等于(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
4.(人教A版选择性必修第二册P21例6(2)改编)设数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,若a6=2且S5=30,则S8等于(　　)
A.31 B.32 C.33 D.34
5.(人教A版选择性必修第二册P23练习T3改编)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若S2=4,S4=16,则 S6= .
考点一　等差数列基本量的运算
[例1] (1)(2024·全国甲卷)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S9=1,则a3+a7等于(　　)
A.-2 B. C.1 D.
(2)(2024·新课标Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和,若a3+a4=7,3a2+a5=5,则 S10=
.
等差数列运算问题的通用解法
(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.
(2)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,掌握用方程的思想解决问题的方法.
(3)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用,而a1和d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知量和未知量是常用方法.
[针对训练]
(1)(2025·江苏盐城模拟)在等差数列{an}中,已知a1=2,d=3,Sn+3-Sn=60,则n的值为(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
(2)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若2S3=3S2+6,则公差d= .
考点二　等差数列的判定与证明
[例2] 已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,an=Sn-1+2n(n∈N*,n≥2).
(1)求证:数列{}是等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
等差数列的四个判定方法
(1)定义法:证明对任意正整数n都有an+1-an等于同一个常数.
(2)等差中项法:证明对任意正整数n都有2an+1=an+an+2.
(3)通项公式法:得出an=pn+q后,再根据定义判定数列{an}为等差数列.
(4)前n项和公式法:得出Sn=An2+Bn后,再使用定义法证明数列{an}为等差数列.
[针对训练]
已知数列{an},a1=,nan+1=(n+1)an+n(n+1),试求数列{an}的通项公式.
考点三　等差数列的性质
[例3] (1)若数列{an}满足an+1+an-1=2an,且a3+a15=14,则其前17项和S17=(　　)
A.136 B.119 C.102 D.85
(2)一个正项等差数列前n项的和为3,前3n项的和为21,则前2n项的和为(　　)
A.18 B.12 C.10 D.6
(1)项的性质.
在等差数列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq.因此,若出现am-n,am,am+n等项时,可以利用此性质将已知条件转化为与am(或其他项)有关的条件;若求am项,可由am=(am-n+am+n)转化为求am-n,am+n或am-n+am+n的值.
(2)和的性质.
在等差数列{an}中,Sn为其前n项和,则有以下结论.
①S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1);
②S2n-1=(2n-1)an;
③依次k项和成等差数列,即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等差数列.
[针对训练]
(1)已知{an}是等差数列,ak=10,a3k=20 (k∈N*),则a9k= .
(2)等差数列{an},{bn}的前n项和分别是Sn,Tn,若=,则= .
考点四　等差数列前n项和的最值问题
[例4] 若等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=13,S3=S11,则当Sn最大时,n的值为(　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
[溯源探本] 本例源于人教A版选择性必修第二册P23例9.
求等差数列前n项和的最值常用的方法
(1)邻项变号法:利用等差数列的单调性,求出其正负转折项,或者利用性质求其正负转折项,便可求得和的最值.
(2)函数法(或图象法):利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn=An2+Bn(A≠0)为二次函数,通过二次函数的性质(或图象)求最值.
[针对训练]
在等差数列{an}中,<-1,且它的前n项和Sn有最小值,则当Sn<0时,n的最大值为(　　)
A.7 B.8 C.13 D.14第2节　等差数列
[学习目标]
1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.体会等差数列与一次函数的关系.
1.等差数列的有关概念
(1)定义:如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列.这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d表示.用符号表示为an+1-an=d(n∈N*,d为常数).
(2)等差中项:数列a,A,b成等差数列的充要条件是 A=,其中A叫做a,b的等差中项.
2.等差数列的通项公式与前n项和公式
(1)通项公式:an=a1+(n-1)d.
(2)前n项和公式:Sn=na1+d=.
(1)当公差d≠0时,等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d=dn+a1-d是关于n的一次函数,且一次项系数为公差d.若公差d>0,则为递增数列;若公差d<0,则为递减数列.
(2)当公差d≠0时,前n项和Sn=na1+d=n2+(a1-) n是关于n的二次函数,且常数项
为0.
3.等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广:an=am+(n-m)d(n,m∈N*).
(2)若{an}为等差数列,则
①2an=an-1+an+1(n∈N*,n>1);
②2an=an-k+an+k(n,k∈N*,n>k);
③k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则ak+al=am+an.
(3)若{an}是等差数列,公差为d,则{a2n}和{a2n+1}也是等差数列,公差为2d.
(4)若{an}是等差数列,公差为d,则ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈N*)是公差为md的等差数列.
(5)数列Sm,S2m-Sm,S3m-S2m,…也是等差数列.
(6)公差为d的等差数列{an}的前n项和为Sn,则{}也为等差数列,且公差为.
1.已知数列{an}的通项公式是an=pn+q(其中p,q为常数),则数列{an}一定是等差数列,且公差为p.
2.数列{an}是等差数列 Sn=An2+Bn(A,B为常数).
3.若{an},{bn}是等差数列,则{pan+qbn}也是等差数列.
4.若两个等差数列{an},{bn}的前n项和分别为Sn,Tn,则=.
5.关于非零等差数列奇数项和与偶数项和的性质.
(1)若项数为2n,则S偶-S奇=nd,=.
(2)若项数为2n-1,则S偶=(n-1)an,S奇=nan,S奇-S偶=an,=.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数,则这个数列是等差数列.(　　)
(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.(　　)
(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其前n项和公式为n的二次函数.(　　)
(4)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数.(　　)
【答案】 (1)×　(2)√　(3)×　(4)×
2.(人教A版选择性必修第二册P15练习T2改编)已知实数m是2和8的等差中项,则m=(　　)
A.±4 B.-4 C.4 D.5
【答案】 D
【解析】 由题意得m==5.故选D.
3.(苏教版选择性必修第一册P145练习T3(2)改编)已知数列{an}满足a1=5,an+1=an+5,若an=20,则n等于(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
【答案】 B
【解析】 由an+1=an+5可得,an+1-an=5,则数列{an}为等差数列,且公差d为5,所以an=a1+(n-1)d=5n,由an=5n=20,得n=4.故选B.
4.(人教A版选择性必修第二册P21例6(2)改编)设数列{an}是等差数列,其前n项和为Sn,若a6=2且S5=30,则S8等于(　　)
A.31 B.32 C.33 D.34
【答案】 B
【解析】 由已知可得
解得所以S8=8a1+d=32.故选B.
5.(人教A版选择性必修第二册P23练习T3改编)设Sn为等差数列{an}的前n项和,若S2=4,S4=16,则 S6=　　　　.
【答案】 36
【解析】 由题知S2,S4-S2,S6-S4也成等差数列,即4,12,S6-16成等差数列,所以2×12=S6-16+4,解得S6=36.
考点一　等差数列基本量的运算
[例1] (1)(2024·全国甲卷)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,若S9=1,则a3+a7等于(　　)
A.-2 B. C.1 D.
(2)(2024·新课标Ⅱ卷)记Sn为等差数列{an}的前n项和,若a3+a4=7,3a2+a5=5,则 S10=
　　　　.
【答案】 (1)D　(2)95
【解析】 (1)法一(等差数列的基本量法)　由S9=1,根据等差数列的求和公式,S9=9a1+d=1 9a1+36d=1,
又a3+a7=a1+2d+a1+6d=2a1+8d=(9a1+36d)=.故选D.
法二(等差数列的性质法)　根据等差数列的性质,a1+a9=a3+a7,由S9=1,根据等差数列的求和公式,
S9===1,故a3+a7=.故选D.
法三(特殊值法)　不妨取等差数列公差d=0,则S9=1=9a1 a1=,则a3+a7=2a1=.故选D.
(2)因为数列{an}为等差数列,则由题意得解得
则S10=10a1+d=10×(-4)+45×3=95.
等差数列运算问题的通用解法
(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a1和公差d,然后由通项公式或前n项和公式转化为方程(组)求解.
(2)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1,an,d,n,Sn,知其中三个就能求另外两个,掌握用方程的思想解决问题的方法.
(3)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换的作用,而a1和d是等差数列的两个基本量,用它们表示已知量和未知量是常用方法.
[针对训练]
(1)(2025·江苏盐城模拟)在等差数列{an}中,已知a1=2,d=3,Sn+3-Sn=60,则n的值为(　　)
A.3 B.4 C.5 D.6
(2)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若2S3=3S2+6,则公差d=　　　　.
【答案】 (1)C　(2)2
【解析】 (1)法一(等差数列的基本量法)　
由题知Sn+3-Sn=(n+3)a1+(n+3)(n+2)d-na1-n(n-1)d=60,
所以2(n+3)+(n+3)(n+2)-2n-n(n-1)=60,解得n=5.故选C.
法二(Sn与an的关系法)　由题意得an=a1+(n-1)d=2+(n-1)×3=3n-1,Sn+3-Sn=an+1+an+2+an+3=60,
即3(n+1)-1+3(n+2)-1+3(n+3)-1=60,解得n=5.故选C.
(2)由2S3=3S2+6可得2(a1+a2+a3)=3(a1+a2)+6,化简得2a3=a1+a2+6,
即2(a1+2d)=2a1+d+6,解得d=2.
考点二　等差数列的判定与证明
[例2] 已知数列{an}的前n项和为Sn,且a1=2,an=Sn-1+2n(n∈N*,n≥2).
(1)求证:数列{}是等差数列;
(2)求数列{an}的通项公式.
(1)【证明】 因为a1=2,an=Sn-1+2n(n∈N*,n≥2),所以Sn-Sn-1=Sn-1+2n,整理得-=1,而==1,
所以{}是首项和公差都为1的等差数列.
(2)【解】 由(1)得Sn=n·2n,当n=1时,a1=S1=2;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=n·2n-(n-1)·2n-1=(n+1)·2n-1.当n=1时,满足上式,所以an=(n+1)·2n-1,n∈N*.
等差数列的四个判定方法
(1)定义法:证明对任意正整数n都有an+1-an等于同一个常数.
(2)等差中项法:证明对任意正整数n都有2an+1=an+an+2.
(3)通项公式法:得出an=pn+q后,再根据定义判定数列{an}为等差数列.
(4)前n项和公式法:得出Sn=An2+Bn后,再使用定义法证明数列{an}为等差数列.
[针对训练]
已知数列{an},a1=,nan+1=(n+1)an+n(n+1),试求数列{an}的通项公式.
【解】 由已知可得=+1,即-=1,
又a1=,所以{}是以=为首项,1为公差的等差数列,
所以=+(n-1)·1=n-,
所以an=n2-n.
考点三　等差数列的性质
[例3] (1)若数列{an}满足an+1+an-1=2an,且a3+a15=14,则其前17项和S17=(　　)
A.136 B.119 C.102 D.85
(2)一个正项等差数列前n项的和为3,前3n项的和为21,则前2n项的和为(　　)
A.18 B.12 C.10 D.6
【答案】 (1)B　(2)C
【解析】 (1)因为an+1+an-1=2an,所以数列{an}是等差数列,利用等差数列性质得a3+a15=a1+a17,则其前17项和S17=a1+a2+…+a16+a17==119.故选B.
(2)因为{an}是等差数列,所以Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等差数列,
即2(S2n-Sn)=Sn+(S3n-S2n),
因为Sn=3,S3n=21,
所以2(S2n-3)=3+21-S2n,解得S2n=10.故选C.
(1)项的性质.
在等差数列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am+an=ap+aq.因此,若出现am-n,am,am+n等项时,可以利用此性质将已知条件转化为与am(或其他项)有关的条件;若求am项,可由am=(am-n+am+n)转化为求am-n,am+n或am-n+am+n的值.
(2)和的性质.
在等差数列{an}中,Sn为其前n项和,则有以下结论.
①S2n=n(a1+a2n)=…=n(an+an+1);
②S2n-1=(2n-1)an;
③依次k项和成等差数列,即Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…成等差数列.
[针对训练]
(1)已知{an}是等差数列,ak=10,a3k=20 (k∈N*),则a9k=　　　　.
(2)等差数列{an},{bn}的前n项和分别是Sn,Tn,若=,则=　　　　.
【答案】 (1)50　(2)
【解析】 (1)ak,a3k,a5k,a7k,a9k构成等差数列,设公差为m,则m=a3k-ak=10, a9k=ak+(5-1)m=50.
(2)======.
考点四　等差数列前n项和的最值问题
[例4] 若等差数列{an}的前n项和为Sn,已知a1=13,S3=S11,则当Sn最大时,n的值为(　　)
A.5 B.6 C.7 D.8
[溯源探本] 本例源于人教A版选择性必修第二册P23例9.
【答案】 C
【解析】 法一(邻项变号法)　由S3=S11,得a4+a5+…+a11=0,根据等差数列的性质,可得a7+a8=0.根据a1=13可推知这个数列为递减数列,从而得到a7>0,a8<0,故n=7时Sn最大.故选C.
法二(函数法)　设等差数列{an}的公差为d,由S3=S11,可得3a1+3d=11a1+55d,把a1=13代入,得d=-2,
故Sn=13n-n(n-1)=-n2+14n.根据二次函数的性质,知当n=7时,Sn最大.故选C.
求等差数列前n项和的最值常用的方法
(1)邻项变号法:利用等差数列的单调性,求出其正负转折项,或者利用性质求其正负转折项,便可求得和的最值.
(2)函数法(或图象法):利用公差不为零的等差数列的前n项和Sn=An2+Bn(A≠0)为二次函数,通过二次函数的性质(或图象)求最值.
[针对训练]
在等差数列{an}中,<-1,且它的前n项和Sn有最小值,则当Sn<0时,n的最大值为(　　)
A.7 B.8 C.13 D.14
【答案】 C
【解析】 设等差数列{an}的公差为d,因为等差数列{an}的前n项和Sn有最小值,所以d>0,又<-1,所以a7<0,a8>0,且a7+a8>0,又S13==13a7<0,S14==7(a7+a8)>0,所以当Sn<0时,n的最大值为13.故选C.

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