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第3节　等比数列
[学习目标]
1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系.
1.等比数列的有关概念
(1)定义:一般地,如果一个数列从第 项起,每一项与它的前一项的比都等于 ,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的 ,公比通常用字母q表示(显然q≠0),定义的表达式为=q(n∈N*,q为非零常数).
(2)等比中项:如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么 叫做a与b的等比中项.即G是a与b的等比中项 a,G,b成等比数列 .
只有两个同号的数,才有等比中项,并且等比中项有两个.
2.等比数列的有关公式
等比数列{an}的首项为a1,公比为q.
(1)通项公式:an= .
(2)前n项和公式:
Sn=
3.等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广:an=am· (n,m∈N*).
(2)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am·an= .
(3)若数列{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0),{},{},{an·bn},{}仍然是等比数列.
(4)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,an+k,an+2k,an+3k,…为等比数列,公比为qk.
(5)在等比数列{an}中,若Sn为其前n项和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…也成等比数列(n为偶数且q=-1除外).
(1)an=·qn,当q>0,且q≠1时,可以看成函数y=cqn,是一个不为0的常数与指数函数的乘积,因此数列{an}各项所对应的点都在函数y=cqx的图象上;当q=1时,{an}为非零常数列.
(2)Sn==-qn+(q≠1),若设a=,则Sn=-aqn+a(a≠0,q≠0,q≠1).由此可知,数列{Sn}的图象是函数y=-aqx+a图象上一系列孤立的点.对于常数列的等比数列,即q=1时,因为a1≠0,所以Sn=na1,由此可知,数列{Sn}的图象是函数y=a1x图象上一系列孤立的点.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)满足an+1=qan(n∈N*,q为常数)的数列{an}为等比数列.(　　)
(2)G为a,b的等比中项 G2=ab.(　　)
(3)如果数列{an}为等比数列,bn=a2n-1+a2n,则数列{bn}也是等比数列.(　　)
(4)如果数列{an}为等比数列,则数列{ln an}是等差数列.(　　)
(5)如果数列{an}的通项公式是an=an,则其前n项和为Sn=.(　　)
2.(人教A版选择性必修第二册P35例7(3)改编)已知在等比数列{an}中,a1=2,q=2,前n项和Sn=126,则n等于(　　)
A.9 B.8 C.7 D.6
3.(人教A版选择性必修第二册P34练习T2(1)改编)将公比为q的等比数列a1,a2,a3,a4,…依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2,a2a3,a3a4,….此数列是(　　)
A.公比为q的等比数列
B.公比为q2的等比数列
C.公比为q3的等比数列
D.不一定是等比数列
4.(人教A版选择性必修第二册P34练习T1改编)在1和9中间插入3个数,使这5个数成正项等比数列,则中间3个数的积等于 .
5.(人教A版选择性必修第二册P37练习T1(3)改编)在等比数列{an}中,a3=3,S3=9,则公比q= .
考点一　等比数列基本量的运算
[例1](1)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a3=,a2+a4=,则= .
(2)(2023·全国乙卷)已知{an}为等比数列,a2a4a5=a3a6,a9a10=-8,则a7= .
(1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)便可迎刃而解.
(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论:当q=1时,{an}的前n项和Sn=na1;当q≠1时,{an}的前n项和Sn==.
[针对训练]
(1)(2025·山东青岛模拟)在等比数列{an}中,a2=1,a5=8,则a7等于(　　)
A.32 B.24 C.20 D.16
(2)(2023·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若8S6=7S3,则{an}的公比为 .
考点二　等比数列的判定与证明
[例2](2025·山东济宁模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,且2Sn+1-3Sn=2an+2,n∈N*.求证:{an+1-an}是等比数列.
等比数列常用的四种判定方法
(1)定义法:若=q(q为非零常数,n∈N*),则{an}是等比数列.
(2)等比中项法:若在数列{an}中,an≠0,且=an·an+2(n∈N*),则数列{an}是等比数列.
(3)通项公式法:若数列通项公式可写成an=c·qn,c,q均是不为0的常数,n∈N*,则{an}是等比数列.
(4)前n项和公式法:若数列{an}的前n项和Sn=kqn-k(k为常数且k≠0,q≠0,q≠1),则{an}是等比数列.
说明:前两种方法是证明等比数列的常用方法,后两种方法常用于选择题、填空题中的
判定.
[针对训练]
(2025·八省联考节选)已知数列{an}中,a1=3,an+1=.
(1)证明:数列{1-}为等比数列;
(2)求{an}的通项公式.
考点三　等比数列的性质
[例3](1)(2025·四川成都模拟)已知数列{an}是等比数列,若a2,a48是方程2x2-7x+6=0的两个根,则a1·a2·a25·a48·a49的值为(　　)
A. B.9
C.±9 D.243
(2)(2023·新课标Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若S4=-5,S6=21S2,则S8=(　　)
A.120 B.85
C.-85 D.-120
(3)已知等比数列{an}共有2n项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q= .
[溯源探本] 本例(2)源于人教A版选择性必修第二册P37例9.
(1)在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质“若m+n=p+q,则am·an=ap·aq”,可以减少运算量,提高解题速度.
(2)在等比数列{an}中,设公比为q,所有奇数项之和S奇与所有偶数项之和S偶具有如下性质.
①若共有2n项,则=q;
②若共有2n+1项,=q.
(3)在等比数列{an}中,Sk表示它的前k项和.数列Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…也成等比数列(k为偶数,且q=-1除外),公比为qk.
[针对训练]
(1)已知等比数列{an},且a6+a8=4,则a8(a4+2a6+a8)的值为(　　)
A.2 B.4 C.8 D.16
(2)已知项数为奇数的等比数列{an}的首项为1,奇数项之和为21,偶数项之和为10,则这个等比数列的项数为(　　)
A.5 B.7 C.9 D.11
(3)(2025·湖北恩施模拟)设Sn是等比数列{an}的前n项和,若S3=4,a4+a5+a6=8,则=(　　)
A. B. C.5 D.第3节　等比数列
[学习目标]
1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系,并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等比数列与指数函数的关系.
1.等比数列的有关概念
(1)定义:一般地,如果一个数列从第 2项起,每一项与它的前一项的比都等于同一个常数,那么这个数列叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示(显然q≠0),定义的表达式为=q(n∈N*,q为非零常数).
(2)等比中项:如果在a与b中间插入一个数G,使a,G,b成等比数列,那么G叫做a与b的等比中项.即G是a与b的等比中项 a,G,b成等比数列 G2=ab.
只有两个同号的数,才有等比中项,并且等比中项有两个.
2.等比数列的有关公式
等比数列{an}的首项为a1,公比为q.
(1)通项公式:an=a1qn-1.
(2)前n项和公式:
Sn=
3.等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广:an=am·qn-m(n,m∈N*).
(2)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),则am·an=ap·aq.
(3)若数列{an},{bn}(项数相同)是等比数列,则{λan}(λ≠0),{},{},{an·bn},{}仍然是等比数列.
(4)在等比数列{an}中,等距离取出若干项也构成一个等比数列,即an,an+k,an+2k,an+3k,…为等比数列,公比为qk.
(5)在等比数列{an}中,若Sn为其前n项和,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…也成等比数列(n为偶数且q=-1除外).
(1)an=·qn,当q>0,且q≠1时,可以看成函数y=cqn,是一个不为0的常数与指数函数的乘积,因此数列{an}各项所对应的点都在函数y=cqx的图象上;当q=1时,{an}为非零常数列.
(2)Sn==-qn+(q≠1),若设a=,则Sn=-aqn+a(a≠0,q≠0,q≠1).由此可知,数列{Sn}的图象是函数y=-aqx+a图象上一系列孤立的点.对于常数列的等比数列,即q=1时,因为a1≠0,所以Sn=na1,由此可知,数列{Sn}的图象是函数y=a1x图象上一系列孤立的点.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)满足an+1=qan(n∈N*,q为常数)的数列{an}为等比数列.(　　)
(2)G为a,b的等比中项 G2=ab.(　　)
(3)如果数列{an}为等比数列,bn=a2n-1+a2n,则数列{bn}也是等比数列.(　　)
(4)如果数列{an}为等比数列,则数列{ln an}是等差数列.(　　)
(5)如果数列{an}的通项公式是an=an,则其前n项和为Sn=.(　　)
【答案】(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)×
2.(人教A版选择性必修第二册P35例7(3)改编)已知在等比数列{an}中,a1=2,q=2,前n项和Sn=126,则n等于(　　)
A.9 B.8 C.7 D.6
【答案】 D
【解析】 因为a1=2,q=2,且Sn==2n+1-2=126,所以n=6.故选D.
3.(人教A版选择性必修第二册P34练习T2(1)改编)将公比为q的等比数列a1,a2,a3,a4,…依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2,a2a3,a3a4,….此数列是(　　)
A.公比为q的等比数列
B.公比为q2的等比数列
C.公比为q3的等比数列
D.不一定是等比数列
【答案】 B
4.(人教A版选择性必修第二册P34练习T1改编)在1和9中间插入3个数,使这5个数成正项等比数列,则中间3个数的积等于　　　　.
【答案】 27
【解析】 因为a1=1,a5=9,所以a1a5=a2a4==9,所以a3=3或a3=-3(舍去),所以a2a3a4=27.
5.(人教A版选择性必修第二册P37练习T1(3)改编)在等比数列{an}中,a3=3,S3=9,则公比q=　　　　.
【答案】 1或-
【解析】 设等比数列的公比为q,因为a3=3,S3=9,所以得2q2-q-1=0,(2q+1)(q-1)=0,解得q=-或q=1.
考点一　等比数列基本量的运算
[例1](1)已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且a1+a3=,a2+a4=,则=　　　　.
(2)(2023·全国乙卷)已知{an}为等比数列,a2a4a5=a3a6,a9a10=-8,则a7=　　　　.
【答案】 (1)2n-1　(2)-2
【解析】 (1)设等比数列{an}的公比为q,
因为所以
由①除以②可得=2,
解得q=,代入①得a1=2,
所以an=2×()n-1=,Sn==4(1-),所以==2n-1.
(2)法一(方程法)　设{an}的公比为q(q≠0),则由题意
解得所以a7=a1q·q5=q5=-2.
法二(性质法)　设{an}的公比为q(q≠0),则a2a4a5=a3a6=a2q·a5q,显然an≠0,则a4=q2,即a1q3=q2,则a1q=1,因为a9a10=-8,所以a1q8·a1q9=-8,则q15==-8=(-2)3,则q5=-2,则a7=a1q·q5=q5=-2.
(1)等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题,等比数列中有五个量a1,n,q,an,Sn,一般可以“知三求二”,通过列方程(组)便可迎刃而解.
(2)等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论:当q=1时,{an}的前n项和Sn=na1;当q≠1时,{an}的前n项和Sn==.
[针对训练]
(1)(2025·山东青岛模拟)在等比数列{an}中,a2=1,a5=8,则a7等于(　　)
A.32 B.24 C.20 D.16
(2)(2023·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和.若8S6=7S3,则{an}的公比为　　　　.
【答案】 (1)A　(2)-
【解析】 (1)法一(方程法)　由题意得解得所以a7=×26=32.故选A.
法二(性质法)　因为a5=a2q3,所以8=q3,所以q=2,a7=a5q2=8×4=32.故选A.
(2)若q=1,
则由8S6=7S3得8×6a1=7×3a1,则a1=0,不符合题意,所以q≠1.
当q≠1时,因为8S6=7S3,
所以8·=7·,
即8·(1-q6)=7·(1-q3),
即8·(1+q3)(1-q3)=7·(1-q3),
即8·(1+q3)=7,解得q=-.
考点二　等比数列的判定与证明
[例2](2025·山东济宁模拟)已知数列{an}的前n项和为Sn,a1=2,且2Sn+1-3Sn=2an+2,n∈N*.求证:{an+1-an}是等比数列.
【证明】由2Sn+1-3Sn=2an+2,得2Sn-3Sn-1=2an-1+2(n≥2),两式相减,得2an+1-3an=2an-2an-1,即an+1=an-an-1(n≥2).又2S2-3S1=2a1+2,a1=2,所以a2=4.因为an+1-an=2(an-an-1)(n≥2),且a2-a1=3≠0,所以{an+1-an}是首项为3,公比为2的等比数列.
等比数列常用的四种判定方法
(1)定义法:若=q(q为非零常数,n∈N*),则{an}是等比数列.
(2)等比中项法:若在数列{an}中,an≠0,且=an·an+2(n∈N*),则数列{an}是等比数列.
(3)通项公式法:若数列通项公式可写成an=c·qn,c,q均是不为0的常数,n∈N*,则{an}是等比数列.
(4)前n项和公式法:若数列{an}的前n项和Sn=kqn-k(k为常数且k≠0,q≠0,q≠1),则{an}是等比数列.
说明:前两种方法是证明等比数列的常用方法,后两种方法常用于选择题、填空题中的
判定.
[针对训练]
(2025·八省联考节选)已知数列{an}中,a1=3,an+1=.
(1)证明:数列{1-}为等比数列;
(2)求{an}的通项公式.
(1)【证明】 由题知==+,
则==.
又1-=1-=,
故{1-}是首项为,公比为的等比数列.
(2)【解】 由(1)知1-=·()n-1=()n,
所以=1-()n,所以an==.
考点三　等比数列的性质
[例3](1)(2025·四川成都模拟)已知数列{an}是等比数列,若a2,a48是方程2x2-7x+6=0的两个根,则a1·a2·a25·a48·a49的值为(　　)
A. B.9
C.±9 D.243
(2)(2023·新课标Ⅱ卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若S4=-5,S6=21S2,则S8=(　　)
A.120 B.85
C.-85 D.-120
(3)已知等比数列{an}共有2n项,其和为-240,且奇数项的和比偶数项的和大80,则公比q=　　　　.
[溯源探本] 本例(2)源于人教A版选择性必修第二册P37例9.
【答案】 (1)C　(2)C　(3)2
【解析】 (1)若a2,a48是方程2x2-7x+6=0的两个根,则a2·a48==3,
因为数列{an}是等比数列,所以a2·a48==3,所以a25=±,a1·a2·a25·a48·a49==±9.故选C.
(2)法一(性质法)　设等比数列{an}的公比为q,因为S4=-5,S6=21S2,所以q≠-1,否则S4=0,
从而S2,S4-S2,S6-S4,S8-S6成等比数列,所以(-5-S2)2=S2(21S2+5),解得S2=-1或S2=,
当S2=-1时,S2,S4-S2,S6-S4,S8-S6即为-1,-4,-16,S8+21,易知S8+21=-64,即S8=-85;
当S2=时,S4=a1+a2+a3+a4=(a1+a2)(1+q2)=(1+q2)S2>0,与S4=-5矛盾,舍去.故选C.
法二(基本运算量法)　设等比数列{an}的公比为q,首项为a1,
若q=1,则S6=6a1=3×2a1=3S2,与题意不符,所以q≠1;
由S4=-5,S6=21S2可得=-5,=21·,①
由①可得,1+q2+q4=21,解得q2=4,所以S8==·(1+q4)=-5×(1+16)=-85.故选C.
(3)由题意,设奇数项的和为S奇,偶数项的和为S偶,得 故公比q===2.
(1)在解决等比数列的有关问题时,要注意挖掘隐含条件,利用性质“若m+n=p+q,则am·an=ap·aq”,可以减少运算量,提高解题速度.
(2)在等比数列{an}中,设公比为q,所有奇数项之和S奇与所有偶数项之和S偶具有如下性质.
①若共有2n项,则=q;
②若共有2n+1项,=q.
(3)在等比数列{an}中,Sk表示它的前k项和.数列Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,…也成等比数列(k为偶数,且q=-1除外),公比为qk.
[针对训练]
(1)已知等比数列{an},且a6+a8=4,则a8(a4+2a6+a8)的值为(　　)
A.2 B.4 C.8 D.16
(2)已知项数为奇数的等比数列{an}的首项为1,奇数项之和为21,偶数项之和为10,则这个等比数列的项数为(　　)
A.5 B.7 C.9 D.11
(3)(2025·湖北恩施模拟)设Sn是等比数列{an}的前n项和,若S3=4,a4+a5+a6=8,则=(　　)
A. B. C.5 D.
【答案】 (1)D　(2)A　(3)A
【解析】 (1)因为a6+a8=4,所以a8(a4+2a6+a8)=a8a4+2a8a6+=+2a8a6+=(a6+a8)2=16.故选D.
(2)设等比数列{an}的首项为a1,公比为q,则an=a1·qn-1=qn-1,
由数列{an}的奇数项之和为21,偶数项之和为10,得q==2,
故Sn=21+10=,即2n-1=31,解得n=5.故选A.
(3)由题意及S3=4,S6-S3=8,可得===2,S6=4+8=12,
所以S9=2×8+12=28,S12=2×16+28=60,则==.故选A.

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