资源简介

第2节　空间点、直线、平面之间的位置关系
[学习目标]
1.借助长方体模型,在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上,抽象出空间线、面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的基本事实和推论.3.能运用基本事实、推论和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.
1.与平面有关的基本事实及推论
(1)与平面有关的三个基本事实.
基本 事实 内容 图形 符号
基本 事实1 过不在一条直线上的三个点,有且只有一个平面 A,B,C三点不共线 存在唯一的α使A,B,C∈α
基本 事实2 如果一条直线上的两个点在一个平面内,那么这条直线在这个平面内 A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α l α
基本 事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线 P∈α,且P∈β α∩β=l,且P∈l
(2)三个推论.
推论 内容 图形 作用
推论1 经过一条直线和这条直线外一点,有且只有一个平面 确定 平面 的依 据
推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面
推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面
2.空间点、直线、平面之间的位置关系
项目 直线与直线 直线与平面 平面与平面
平 行 关 系 图形 语言
符号 语言 a∥b a∥α α∥β
相 交 关 系 图形 语言
符号 语言 a∩b=A a∩α=A α∩β=l
独 有 关 系 图形 语言 —
符号 语言 a,b是异 面直线 a α —
3.基本事实4和等角定理
(1)基本事实4:平行于同一条直线的两条直线平行.
(2)等角定理:如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角相等或互补.
4.异面直线所成的角
(1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a′∥a,b′∥b,把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)范围:(0,].
1.证明点共线与线共点都需用到基本事实3.
2.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时,容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角,也可能等于其补角.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)若A∈a,a α,则A∈α.(　　)
(2)经过一条直线和一个点,有且只有一个平面.(　　)
(3)两条直线若不是异面直线,则必相交或平行.(　　)
(4)若直线与平面不相交,则直线与平面平行.(　　)
【答案】 (1)√　(2)×　(3)√　(4)×
2.(苏教版必修第二册P173练习T2改编)如果直线a 平面α,直线b 平面β,且α∥β,那么a与b(　　)
A.共面　
B.平行　
C.是异面直线　　
D.可能平行,也可能是异面直线
【答案】 D
【解析】 α∥β,说明a与b无公共点,所以a与b可能平行,也可能是异面直线.故选D.
3.(人教A版必修第二册P132习题8.4 T3改编)下列命题正确的是(　　)
A.两个平面如果有公共点,那么这两个平面一定相交
B.两个平面的公共点一定共线
C.两个平面如果有三个公共点,那么这两个平面一定重合
D.一定有一个平面过空间任意三点
【答案】 D
【解析】 如果两个平面重合,则排除A,B两个选项;若两个平面相交,则有一条交线,交线上任取三个点都是两个平面的公共点,故排除C选项;而D选项中的三点不论共线还是不共线,则一定能找到一个平面过这三个点.故选D.
4.(人教A版必修第二册P147例1改编)如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是AB,AD的中点,则异面直线B1C与EF所成角的大小为(　　)
A.30° B.45°
C.60° D.90°
【答案】 C
【解析】 连接B1D1,D1C(图略),则B1D1∥EF,故∠D1B1C(或其补角)为所求的角,
又B1D1=B1C=D1C,所以∠D1B1C=60°.故选C.
考点一　基本事实的应用
[例1] 如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,AD的中点,G,H分别在BC,CD上,且BG∶GC=DH∶HC=1∶2.则下列说法中正确的个数是(　　)
①E,F,G,H四点共面;②EG∥FH;③若直线EG与直线FH交于点P,则P,A,C三点共线.
A.0 B.1 C.2 D.3
[溯源探本] 本例源于人教A版必修第二册P132习题8.4 T8.
【答案】 C
【解析】 如图所示,
因为E,F分别为AB,AD的中点,所以EF∥BD,EF=BD,
因为G,H分别在BC,CD上,且BG∶GC=DH∶HC=1∶2,所以GH∥BD,GH=BD,
所以EF∥GH,则E,F,G,H四点共面,说法①正确;
因为GH>EF,四边形FEGH是梯形,所以EG∥FH不成立,说法②错误;
若直线EG与直线FH交于点P,则由P∈EG,EG 平面ABC,得P∈平面ABC,
同理P∈平面ACD,又平面ABC∩平面ACD=AC,所以P∈AC,则P,A,C三点共线,说法③正确.
综上,说法正确的有2个.故选C.
(1)判断、证明点或线共面问题的两种方法.
①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面,然后再证其余的线(或点)在这个平面内;
②将所有条件分为两部分,然后分别确定平面,再证两平面重合.
(2)判断、证明点共线问题的两种方法.
①先由两点确定一条直线,再证其他各点都在这条直线上;
②直接证明这些点都在同一条特定直线上.
(3)判断、证明线共点问题的常用方法.
先证其中两条直线相交于一点,再证其他直线经过该点.
[针对训练]
如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,P,Q分别是棱AA1,CC1的中点,平面D1PQ∩平面ABCD=l,则下列结论错误的是(　　)
A.l过点B
B.l不一定过点B
C.D1P的延长线与DA的延长线的交点在l上
D.D1Q的延长线与DC的延长线的交点在l上
【答案】 B
【解析】 如图,连接PB,QB,因为P,Q分别是棱AA1,CC1的中点,由勾股定理得D1P=
D1Q=QB=PB,所以四边形D1PBQ是菱形,所以D1,P,B,Q四点共面,
即B∈平面D1PBQ.又B∈平面ABCD,所以B∈l,故A正确,B错误;
设D1P的延长线与DA的延长线交于点F,D1Q的延长线与DC的延长线交于点E,
因为D1F 平面D1PBQ,所以F∈平面D1PBQ,因为DF 平面ABCD,所以F∈平面ABCD,所以F∈l,同理E∈l,故C,D正确.故选B.
考点二　空间中两条直线的位置关系
[例2] (多选题)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,则下列结论中正确的有(　　)
A.直线AM与CC1是相交直线
B.直线BN与MB1是异面直线
C.AM与BN平行
D.直线A1M与BN共面
【答案】 BD
【解析】 M,C,C1三点在平面CDD1C1内,M点不在直线CC1上,A点不在平面CDD1C1上,
A,M,C,C1四点不共面,根据异面直线的定义可得直线AM与CC1是异面直线,故选项A错误;
B,N,B1三点在平面BCC1B1内,B1点不在直线BN上,M点不在平面BCC1B1内,B,N,M,B1四点不共面,根据异面直线的定义可得直线BN与MB1是异面直线,故选项B正确;
如图,取DD1的中点E,连接AE,EN,又N为C1C的中点,则有AB∥EN,AB=EN,所以四边形ABNE是平行四边形,所以AE∥BN,AM∩AE=A,则AM与BN不平行,故选项C错误;
连接MN,BA1,D1C,因为M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,所以MN∥D1C,由正方体的性质可知BA1∥D1C,所以MN∥BA1,则有A1,B,M,N四点共面,所以直线A1M与BN共面,故选项D正确.故选BD.
判断空间直线的位置关系一般有两种方法:一是构造几何体(如长方体、空间四边形等)模型来判断;二是排除法.特别地,对于异面直线的判定常用到结论:“平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线”.
[针对训练]
(2025·湖北荆门模拟)若空间中四条不同的直线l1,l2,l3,l4满足l1⊥l2,l2∥l3,l1∥l4,则下面结论正确的是(　　)
A.l2⊥l4
B.l2∥l4
C.l2,l4既不垂直也不平行
D.l2,l4的位置关系不确定
【答案】 A
【解析】 构造如图所示的正方体ABCDA1B1C1D1,
取l1为AD,l2为AB,l3为A1B1,l4为B1C1,
则l2⊥l4.故选A.
考点三　求异面直线所成的角
[例3] 如图,直三棱柱ABCA1B1C1中,AC⊥BC,若AA1=AC=BC=1,则异面直线A1C与AB所成角的大小是(　　)
A. B.
C. D.
【答案】 C
【解析】 法一(平行线平移)　如图所示,连接B1C,因为A1B1∥AB,所以∠B1A1C即为异面直线A1C与AB所成的角或其补角.因为AA1=AC=BC=1,所以A1C=,B1C=.又因为AC⊥BC,所以AB=A1B1=.在△B1A1C中,A1B1=A1C=B1C=,所以△B1A1C是正三角形,所以∠B1A1C=.即异面直线A1C与AB所成角的大小为.故选C.
法二(补形法)　
如图,将直三棱柱补形为正方体ACBDA1C1B1D1,连接BD1,AD1,
则BD1∥A1C,所以异面直线A1C与AB所成的角即为直线BD1与AB所成的角或其补角,
在△D1AB中,AD1=BD1=AB=,所以∠D1BA=,即异面直线A1C与AB所成角的大小是.
故选C.
求异面直线所成角的方法
(1)求异面直线所成角的常用方法是平移法.平移的方法一般有三种类型:利用图中已有的平行线平移;利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平移.
(2)求异面直线所成角的三步曲:“一作、二证、三求”.
①一作:根据定义作平行线,作出异面直线所成的角.
②二证:证明作出的角(或其补角)是异面直线所成的角.
③三求:解三角形,求出作出的角.如果求出的角是锐角或直角,则它就是要求的角;如果求出的角是钝角,则它的补角才是要求的角.
[针对训练]
如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是平行四边形,M,N分别是AB,PC的中点,若MN=BC=4,PA=4,则异面直线PA与MN所成角的大小是　　　　　　.
【答案】
【解析】 如图,取PD的中点E,连接AE,EN,
因为M,N分别是AB,PC的中点,底面ABCD是平行四边形,故EN∥DC且EN=DC,
又AM∥DC且AM=DC,故四边形AMNE是平行四边形,
则AE∥MN,故∠PAE是异面直线PA与MN所成的角或其补角.
由=(+),两边取平方,=(++2·),
设AP,AD的夹角为θ,把PA=4,AE=MN=AD=4,代入上式,
整理可得,cos θ=0,即θ=90°,故PD==8,则PE=4,
在△PAE中,设∠PAE=α,cos α==,因为0<α<π,故∠PAE=.则异面直线PA与MN所成角的大小是.第2节　空间点、直线、平面之间的位置关系
[学习目标]
1.借助长方体模型,在直观认识和理解空间点、线、面的位置关系的基础上,抽象出空间线、面位置关系的定义.2.了解可以作为推理依据的基本事实和推论.3.能运用基本事实、推论和已获得的结论证明一些空间位置关系的简单命题.
1.与平面有关的基本事实及推论
(1)与平面有关的三个基本事实.
基本 事实 内容 图形 符号
基本 事实1 过 的三个点,有且只有一个平面 A,B,C三点不共线 存在唯一的α使A,B,C∈α
基本 事实2 如果一条直线上的 在一个平面内,那么这条直线在这个平面内 A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α l α
基本 事实3 如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条 P∈α,且P∈β α∩β=l,且P∈l
(2)三个推论.
推论 内容 图形 作用
推论1 经过 和这条直线外一点,有且只有一个平面 确定 平面 的依 据
推论2 经过 直线,有且只有一个平面
推论3 经过 直线,有且只有一个平面
2.空间点、直线、平面之间的位置关系
项目 直线与直线 直线与平面 平面与平面
平 行 关 系 图形 语言
符号 语言 a∥b a∥α α∥β
相 交 关 系 图形 语言
符号 语言 a∩b=A a∩α=A α∩β=l
独 有 关 系 图形 语言 —
符号 语言 a,b是异 面直线 a α —
3.基本事实4和等角定理
(1)基本事实4:平行于同一条直线的两条直线 .
(2)等角定理:如果空间中两个角的两条边分别对应平行,那么这两个角 .
4.异面直线所成的角
(1)定义:已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O分别作直线a′∥a,b′∥b,把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角).
(2)范围: .
1.证明点共线与线共点都需用到基本事实3.
2.两异面直线所成的角归结到一个三角形的内角时,容易忽视这个三角形的内角可能等于两异面直线所成的角,也可能等于其补角.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)若A∈a,a α,则A∈α.(　　)
(2)经过一条直线和一个点,有且只有一个平面.(　　)
(3)两条直线若不是异面直线,则必相交或平行.(　　)
(4)若直线与平面不相交,则直线与平面平行.(　　)
2.(苏教版必修第二册P173练习T2改编)如果直线a 平面α,直线b 平面β,且α∥β,那么a与b(　　)
A.共面　
B.平行　
C.是异面直线　　
D.可能平行,也可能是异面直线
3.(人教A版必修第二册P132习题8.4 T3改编)下列命题正确的是(　　)
A.两个平面如果有公共点,那么这两个平面一定相交
B.两个平面的公共点一定共线
C.两个平面如果有三个公共点,那么这两个平面一定重合
D.一定有一个平面过空间任意三点
4.(人教A版必修第二册P147例1改编)如图所示,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是AB,AD的中点,则异面直线B1C与EF所成角的大小为(　　)
A.30° B.45°
C.60° D.90°
考点一　基本事实的应用
[例1] 如图所示,在空间四边形ABCD中,E,F分别为AB,AD的中点,G,H分别在BC,CD上,且BG∶GC=DH∶HC=1∶2.则下列说法中正确的个数是(　　)
①E,F,G,H四点共面;②EG∥FH;③若直线EG与直线FH交于点P,则P,A,C三点共线.
A.0 B.1 C.2 D.3
[溯源探本] 本例源于人教A版必修第二册P132习题8.4 T8.
(1)判断、证明点或线共面问题的两种方法.
①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面,然后再证其余的线(或点)在这个平面内;
②将所有条件分为两部分,然后分别确定平面,再证两平面重合.
(2)判断、证明点共线问题的两种方法.
①先由两点确定一条直线,再证其他各点都在这条直线上;
②直接证明这些点都在同一条特定直线上.
(3)判断、证明线共点问题的常用方法.
先证其中两条直线相交于一点,再证其他直线经过该点.
[针对训练]
如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,P,Q分别是棱AA1,CC1的中点,平面D1PQ∩平面ABCD=l,则下列结论错误的是(　　)
A.l过点B
B.l不一定过点B
C.D1P的延长线与DA的延长线的交点在l上
D.D1Q的延长线与DC的延长线的交点在l上
考点二　空间中两条直线的位置关系
[例2] (多选题)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M,N分别为棱C1D1,C1C的中点,则下列结论中正确的有(　　)
A.直线AM与CC1是相交直线
B.直线BN与MB1是异面直线
C.AM与BN平行
D.直线A1M与BN共面
判断空间直线的位置关系一般有两种方法:一是构造几何体(如长方体、空间四边形等)模型来判断;二是排除法.特别地,对于异面直线的判定常用到结论:“平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过点B的直线是异面直线”.
[针对训练]
(2025·湖北荆门模拟)若空间中四条不同的直线l1,l2,l3,l4满足l1⊥l2,l2∥l3,l1∥l4,则下面结论正确的是(　　)
A.l2⊥l4
B.l2∥l4
C.l2,l4既不垂直也不平行
D.l2,l4的位置关系不确定
考点三　求异面直线所成的角
[例3] 如图,直三棱柱ABCA1B1C1中,AC⊥BC,若AA1=AC=BC=1,则异面直线A1C与AB所成角的大小是(　　)
A. B.
C. D.
求异面直线所成角的方法
(1)求异面直线所成角的常用方法是平移法.平移的方法一般有三种类型:利用图中已有的平行线平移;利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移;补形平移.
(2)求异面直线所成角的三步曲:“一作、二证、三求”.
①一作:根据定义作平行线,作出异面直线所成的角.
②二证:证明作出的角(或其补角)是异面直线所成的角.
③三求:解三角形,求出作出的角.如果求出的角是锐角或直角,则它就是要求的角;如果求出的角是钝角,则它的补角才是要求的角.
[针对训练]
如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是平行四边形,M,N分别是AB,PC的中点,若MN=BC=4,PA=4,则异面直线PA与MN所成角的大小是 .

展开更多......

收起↑