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第5节　空间向量及空间位置关系
[学习目标]
1.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示,掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能判断向量的共线和垂直.
1.空间向量及其有关概念
(1)空间向量的有关概念.
名称 概念 表示
零向量 长度为 的向量 0
单位向量 模为 的向量 —
相等向量 方向 且模 的向量
相反向量 方向 而长度 的向量 a的相反 向量-a
共线向量 (平行向量) 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相 的向量
共面向量 平行于同一个 的向量 —
(2)空间向量中的有关结论.
①任意两个空间向量a与b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使得a=λb;
②如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb;
③空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.{a,b,c}叫做空间的一个 .
2.空间向量的数量积及坐标运算
(1)两个非零空间向量的数量积.
①a·b= ;
②a⊥b ;
③设a=(x,y,z),
则a2=|a|2,|a|=.
(2)空间向量的坐标运算.
项目 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)
向量和 a+b=
向量差 a-b=
数量积 a·b=
共线 a∥b a=λb a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R,b≠0)
垂直 a⊥b a·b=0
夹角 公式 cos=
1.空间向量基本定理.
(1)空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
(2)由于0与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共面,故0不能作为基向量.
(3)基底选定后,空间的所有向量均可由基底唯一表示.
2.证明空间任意三点共线的方法.
对空间任意三点P,A,B可通过证明下列结论成立来证明三点共线:
(1)=λ(λ∈R).
(2)对空间任一点O,=+t(t∈R).
(3)对空间任一点O,=x+y(x+y=1).
3.证明空间任意四点共面的方法.
对空间任意四点P,M,A,B除空间向量基本定理外,也可通过证明下列结论成立来证明四点
共面:
(1)=x+y(x,y∈R).
(2)对空间任一点O,=+x+y(x,y∈R).
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)对于非零向量b,若a·b=b·c,则a=c.(　　)
(2)对空间任意两个向量a,b,a∥b 存在λ∈R,使a=λb.(　　)
(3)若{a,b,c}是空间的一个基底,则a,b,c中至多有一个零向量.(　　)
(4)在空间直角坐标系中,在Oyz平面上的点的坐标一定是(0,b,c)(b,c∈R).(　　)
(5)若A,B,C,D是空间任意四点,则有+++=0.(　　)
2.(人教A版选择性必修第一册P22练习T1改编)已知a=(2,-3,1),则下列向量中与a平行的是(　　)
A.(1,1,1) B.(-4,6,-2)
C.(2,-3,-1) D.(-2,-3,1)
3.(人教B版选择性必修第一册P12练习B T3改编)如图,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,AC与BD交于点M,设=a,=b,=c,则下列向量中与相等的向量是(　　)
A.-a+b+c
B.a+b+c
C.-a-b-c
D.-a-b+c
4.(人教B版选择性必修第一册P16练习A T3改编)已知O为空间中任意一点,A,B,C三点不共线,且=++t,若P,A,B,C四点共面,则实数t= .
5.(人教A版选择性必修第一册P15习题1.2 T5改编)已知正四面体ABCD的棱长为2,E,F分别为BC,AD的中点,则EF的长为 .
考点一　空间向量的线性运算
[例1] (多选题)如图,M是四面体OABC的棱BC的中点,点N在线段OM上,点P在线段AN上,且AP=3PN,=,设=a,=b,=c,则下列等式成立的是(　　)
A.=b-c
B.=b+c-a
C.=b-c-a
D.=a+b+c
用基向量表示指定向量的方法
(1)结合已知向量和所求向量观察图形.
(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中.
(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来.
[针对训练]
(多选题)如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,下列各式运算结果为 的是(　　)
A.--
B.+-
C.-+
D.-+
考点二　共线定理、共面定理的应用
[例2] (1)如图所示,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,=,=.试运用向量方法证明E,F,B三点共线.
(2)如图所示,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,点E,F分别在B1B和D1D上,且=,=.求证:A,E,C1,F四点共面.
(1)利用共线向量定理可以判断、证明直线的平行与三点共线问题.
(2)利用共面向量定理可以判定空间四点是否共面以及证明线面平行问题.
[针对训练]
(1)已知向量=(1,m,-3),=(-3,6,9),若A,B,C三点共线,则m=(　　)
A.-3 B.-2 C.2 D.3
(2)(多选题)已知向量a=(2,-1,4),b=(-1,5,λ),c=(1,4,μ),若a,b,c三个向量共面,则实数λ,μ可能的取值有(　　)
A.-2,2 B.2,2
C.-5,1 D.1,5
考点三　空间向量的数量积及其应用
[例3] (1)设O为坐标原点,向量=(1,2,3),=(2,1,2),=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则·的最小值为(　　)
A. B.- C. D.-
(2)如图,在所有棱长均为1的平行六面体ABCDA1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点,
∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°,则BM的长为(　　)
A. B. C. D.
[溯源探本] 本例(2)源于人教A版选择性必修第一册P15习题1.2 T5.
(1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系,也可以利用垂直关系,通过向量共线确定点在线段上的位置.
(2)利用夹角公式,可以求空间角.
(3)可以通过|a|=,将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解.
[针对训练]
如图,在斜三棱柱ABCA1B1C1中,AC=BC=CC1=4,∠BCC1=∠ACC1=,∠ACB=,则·(+)=(　　)
A.48 B.32
C.32+8 D.32-8第5节　空间向量及空间位置关系
[学习目标]
1.了解空间向量的概念,了解空间向量的基本定理及其意义,掌握空间向量的正交分解及其坐标表示.2.掌握空间向量的线性运算及其坐标表示,掌握空间向量的数量积及其坐标表示,能判断向量的共线和垂直.
1.空间向量及其有关概念
(1)空间向量的有关概念.
名称 概念 表示
零向量 长度为0的向量 0
单位向量 模为1的向量 —
相等向量 方向相同且模相等的向量 a=b
相反向量 方向相反而长度相等的向量 a的相反 向量-a
共线向量 (平行向量) 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量 a∥b
共面向量 平行于同一个平面的向量 —
(2)空间向量中的有关结论.
①任意两个空间向量a与b(b≠0),a∥b的充要条件是存在实数λ,使得a=λb;
②如果两个向量a,b不共线,那么向量p与向量a,b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x,y),使p=xa+yb;
③空间向量基本定理:如果三个向量a,b,c不共面,那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,y,z),使得p=xa+yb+zc.{a,b,c}叫做空间的一个基底.
2.空间向量的数量积及坐标运算
(1)两个非零空间向量的数量积.
①a·b=|a||b|cos;
②a⊥b a·b=0;
③设a=(x,y,z),
则a2=|a|2,|a|=.
(2)空间向量的坐标运算.
项目 a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3)
向量和 a+b=(a1+b1,a2+b2,a3+b3)
向量差 a-b=(a1-b1,a2-b2,a3-b3)
数量积 a·b=a1b1+a2b2+a3b3
共线 a∥b a=λb a1=λb1,a2=λb2,a3=λb3(λ∈R,b≠0)
垂直 a⊥b a·b=0 a1b1+a2b2+a3b3=0
夹角 公式 cos=
1.空间向量基本定理.
(1)空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底.
(2)由于0与任意一个非零向量共线,与任意两个非零向量共面,故0不能作为基向量.
(3)基底选定后,空间的所有向量均可由基底唯一表示.
2.证明空间任意三点共线的方法.
对空间任意三点P,A,B可通过证明下列结论成立来证明三点共线:
(1)=λ(λ∈R).
(2)对空间任一点O,=+t(t∈R).
(3)对空间任一点O,=x+y(x+y=1).
3.证明空间任意四点共面的方法.
对空间任意四点P,M,A,B除空间向量基本定理外,也可通过证明下列结论成立来证明四点
共面:
(1)=x+y(x,y∈R).
(2)对空间任一点O,=+x+y(x,y∈R).
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)对于非零向量b,若a·b=b·c,则a=c.(　　)
(2)对空间任意两个向量a,b,a∥b 存在λ∈R,使a=λb.(　　)
(3)若{a,b,c}是空间的一个基底,则a,b,c中至多有一个零向量.(　　)
(4)在空间直角坐标系中,在Oyz平面上的点的坐标一定是(0,b,c)(b,c∈R).(　　)
(5)若A,B,C,D是空间任意四点,则有+++=0.(　　)
【答案】 (1)×　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√
2.(人教A版选择性必修第一册P22练习T1改编)已知a=(2,-3,1),则下列向量中与a平行的是(　　)
A.(1,1,1) B.(-4,6,-2)
C.(2,-3,-1) D.(-2,-3,1)
【答案】 B
【解析】 因为(-4,6,-2)=-2×(2,-3,1)=-2a,所以向量(-4,6,-2)与a平行.故选B.
3.(人教B版选择性必修第一册P12练习B T3改编)如图,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,AC与BD交于点M,设=a,=b,=c,则下列向量中与相等的向量是(　　)
A.-a+b+c
B.a+b+c
C.-a-b-c
D.-a-b+c
【答案】 C
【解析】 =+=+(+)=++=-a-b-c.故选C.
4.(人教B版选择性必修第一册P16练习A T3改编)已知O为空间中任意一点,A,B,C三点不共线,且=++t,若P,A,B,C四点共面,则实数t=　　　　.
【答案】
【解析】 因为A,B,C三点不共线,且P,A,B,C四点共面,所以++t=1,所以t=.
5.(人教A版选择性必修第一册P15习题1.2 T5改编)已知正四面体ABCD的棱长为2,E,F分别为BC,AD的中点,则EF的长为　　　　.
【答案】
【解析】 ||2==(++)2=+++2(·+·+·)=
12+22+12+2×(1×2×cos 120°+0+2×1×cos 120°)=2,所以||=,所以EF的长为.
考点一　空间向量的线性运算
[例1] (多选题)如图,M是四面体OABC的棱BC的中点,点N在线段OM上,点P在线段AN上,且AP=3PN,=,设=a,=b,=c,则下列等式成立的是(　　)
A.=b-c
B.=b+c-a
C.=b-c-a
D.=a+b+c
【答案】 BD
【解析】 =+=b+c,A错误;=-=-=(+)-=
+-=b+c-a,B正确;因为点P在线段AN上,且AP=3PN,所以==b+c-a,所以=(b+c-a)=b+c-a,C错误;=+=a+b+c-a=a+b+c,D正确.故选BD.
用基向量表示指定向量的方法
(1)结合已知向量和所求向量观察图形.
(2)将已知向量和所求向量转化到三角形或平行四边形中.
(3)利用三角形法则或平行四边形法则把所求向量用已知基向量表示出来.
[针对训练]
(多选题)如图,在长方体ABCDA1B1C1D1中,下列各式运算结果为 的是(　　)
A.--
B.+-
C.-+
D.-+
【答案】 ABC
【解析】 如图(1),--=-=,故A符合题意;
图(1)
如图(2),+-=+=,故B符合题意;
图(2)
如图(3),-+=+-=-=,故C符合题意;
图(3)
如图(4),-+=++=+≠,故D不符合题意.故选ABC.
图(4)
考点二　共线定理、共面定理的应用
[例2] (1)如图所示,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,=,=.试运用向量方法证明E,F,B三点共线.
(2)如图所示,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,点E,F分别在B1B和D1D上,且=,=.求证:A,E,C1,F四点共面.
【证明】 (1)如图,在平行六面体ABCDA1B1C1D1中,连接EF,FB.
由题意,=,=,
易得=-=(-)=(-)=(+)=,
所以∥.
又EF∩FB=F,故E,F,B三点共线.
(2)因为=++
=+++
=(+)+(+)
=(+)+(+)=+.
所以A,E,C1,F四点共面.
(1)利用共线向量定理可以判断、证明直线的平行与三点共线问题.
(2)利用共面向量定理可以判定空间四点是否共面以及证明线面平行问题.
[针对训练]
(1)已知向量=(1,m,-3),=(-3,6,9),若A,B,C三点共线,则m=(　　)
A.-3 B.-2 C.2 D.3
(2)(多选题)已知向量a=(2,-1,4),b=(-1,5,λ),c=(1,4,μ),若a,b,c三个向量共面,则实数λ,μ可能的取值有(　　)
A.-2,2 B.2,2
C.-5,1 D.1,5
【答案】 (1)B　(2)AD
【解析】 (1)因为A,B,C三点共线,所以存在λ∈R,使得=λ,
又向量=(1,m,-3),=(-3,6,9),所以解得故选B.
(2)因为a=(2,-1,4),b=(-1,5,λ),c=(1,4,μ)三个向量共面,所以存在实数x,y,使得a=xb+yc,所以解得故结合选项可知,当λ=1,μ=5或λ=-2,μ=2时满足条件.故选AD.
考点三　空间向量的数量积及其应用
[例3] (1)设O为坐标原点,向量=(1,2,3),=(2,1,2),=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则·的最小值为(　　)
A. B.- C. D.-
(2)如图,在所有棱长均为1的平行六面体ABCDA1B1C1D1中,M为A1C1与B1D1的交点,
∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60°,则BM的长为(　　)
A. B. C. D.
[溯源探本] 本例(2)源于人教A版选择性必修第一册P15习题1.2 T5.
【答案】 (1)B　(2)B
【解析】 (1)因为=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,所以可设=λ=(λ,λ,2λ).又向量=(1,2,3),=(2,1,2),所以=(1-λ,2-λ,3-2λ),=(2-λ,1-λ,2-2λ),
则·=(1-λ)×(2-λ)+(2-λ)×(1-λ)+(3-2λ)×(2-2λ)=6λ2-16λ+10=6(λ-)2-.易得当λ=时,
·取得最小值-.故选B.
(2)依题意=+=+=+(-)=+-,
所以=(+-)2=+++·-·-·=
12+×12+×12+1×1×-1×1×-×1×1×=,所以=,即BM=.故选B.
(1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系,也可以利用垂直关系,通过向量共线确定点在线段上的位置.
(2)利用夹角公式,可以求空间角.
(3)可以通过|a|=,将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解.
[针对训练]
如图,在斜三棱柱ABCA1B1C1中,AC=BC=CC1=4,∠BCC1=∠ACC1=,∠ACB=,则·(+)=(　　)
A.48 B.32
C.32+8 D.32-8
【答案】 C
【解析】 ·(+)=(+)·(+)=·+·+·+=4×4×cos+4×4×
cos+4×4×cos+42=8+8+8+16=32+8.故选C.

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