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第3节　导数与函数的极值、最值
[学习目标]
1.借助函数图象,了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值.
1.函数的极值
(1)函数的极小值.
函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点处的函数值都小,f′(a)=0;而且在点x=a附近的左侧 ,右侧 ,则a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.
(2)函数的极大值.
函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点处的函数值都大,f′(b)=0;而且在点x=b附近的左侧 ,右侧 ,则b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.
(3)极小值点、极大值点统称为 ,极小值和极大值统称为 .
(1)对于可导函数f(x),“f′(x0)=0”是“函数f(x)在x=x0处有极值”的必要不充分条件.
(2)极大值与极小值之间没有必然的大小关系.
2.函数的最大(小)值
(1)一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条 的曲线,那么它必有最大值和最小值.
(2)求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤.
①求函数y=f(x)在区间(a,b)内的 ;
②将函数y=f(x)的各极值与 比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
函数最值是“整体”概念,而函数极值是“局部”概念.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)对于可导函数f(x),若f′(x0)=0,则x0为极值点.(　　)
(2)函数的极大值不一定是最大值,最小值也不一定是极小值.(　　)
(3)函数f(x)在区间(a,b)上不存在最值.(　　)
(4)函数的极值可能不止一个,也可能没有.(　　)
2.(人教A版选择性必修第二册 P98习题5.3 T4改编)如图是f(x)的导函数f′(x)的图象,则f(x)的极小值点的个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
3.(人教A版选择性必修第二册P104复习参考题5 T9改编)若函数f(x)=aex-sin x在x=0处有极值,则a的值为(　　)
A.-1 B.0 C.1 D.e
4.(人教A版选择性必修第二册P98习题5.3 T6改编)已知f(x)=x3-12x+1,x∈[-,1],则f(x)的最大值为 ,最小值为 .
考点一　利用导数解决函数的极值问题
角度一　根据函数图象判断函数极值
[例1] (多选题)函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示,则(　　)
A.-3是函数y=f(x)的极值点
B.-1是函数y=f(x)的极小值点
C.y=f(x)在区间(-3,1)上单调递增
D.-2是函数y=f(x)的极大值点
由图象判断函数y=f(x)的极值
(1)由导函数y=f′(x)的图象与x轴的交点的横坐标,可得函数y=f(x)的可能极值点.
(2)由导函数y=f′(x)的图象可以看出y=f′(x)的值的正负,从而可得函数y=f(x)的单调性.两者结合可得极值点.
角度二　求函数的极值
[例2] (2025·宁夏银川模拟)已知函数f(x)=,其中a∈R.试讨论f(x)的极值.
运用导数求函数f(x)极值的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域.
(2)求导数f′(x).
(3)解方程f′(x)=0,求出函数在定义域内的所有根.
(4)检验f′(x)在f′(x)=0的根x0左右两侧值的符号,确定函数的单调性.
(5)求出极值.
角度三　由函数极值(极值个数)求参数值(范围)
[例3] (1)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极小值10,则a+b等于(　　)
A.-7 B.0
C.-7或0 D.-15或6
(2)(2025·广东佛山模拟)若函数f(x)=aln x++(a≠0)既有极大值也有极小值,则下列结论一定正确的是(　　)
A.a<0 B.b<0
C.ab>-1 D.a+b>0
(1)已知函数极值,确定函数解析式中的参数时,要注意根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解.
(2)导数值为0不是此点为极值点的充要条件,所以用待定系数法求解后必须检验.
[针对训练]
1.(角度一)已知f′(x)是函数f(x)在R上的导函数,函数f(x)在x=-2处取得极小值,则函数y=xf′(x)的图象可能是(　　)
A B
C D
2.(角度三)已知函数f(x)=(x-a)(x2-x)在x=a处取得极小值,则a=(　　)
A.-1 B.0 C.1 D.0或1
3.(角度二)已知函数f(x)=x2-10x+3aln x在点(1,f(1))处的切线与直线x+4y-1=0垂直.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的极值.
考点二　利用导数解决函数的最值问题
[例4] (2025·江苏苏州模拟)已知函数f(x)=xln x-a(x-1),求函数f(x)在区间[1,e]上的最小值.
[溯源探本] 本例源于人教A版选择性必修第二册P98习题5.3 T6.
(1)求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值时,在得到极值的基础上,结合区间端点的函数值f(a),f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值.
(2)若所给函数f(x)解析式含参数,则需对函数f(x)求导,通过对参数分类讨论,判断函数的单调性,从而得到函数f(x)的最值.
[针对训练]
(2022·全国乙卷)函数f(x)=cos x+(x+1)sin x+1 在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为(　　)
A.-, B.-,
C.-,+2 D.-,+2
考点三　导数在实际问题中的应用
[例5] 如图所示,甲工厂位于一直线河岸的岸边A处,乙工厂与甲工厂在河的同侧,且位于离河岸 40 km 的B处,河岸边D处与A处相距50 km(其中BD⊥AD),两家工厂要在此岸边建一个供水站C,从供水站到甲工厂和乙工厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元,供水站C建在岸边距离A处 km才能使水管费用最省.
利用导数解决实际问题的四个步骤
(1)分析实际问题中各变量之间的关系,建立实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x).
(2)求函数的导数f′(x),解方程f′(x)=0.
(3)比较函数在区间端点和f′(x)=0的点处的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值.
(4)回归实际问题,结合实际问题作答.
[针对训练]
已知某商品的总成本C和产量q满足关系C=50 000+200q,该商品的销售单价p和产量q满足关系式p=24 200-q2,则当产量q= 时,利润最大.
微点提能5　三次函数的图象和性质
1.三次函数的图象与基本性质
三次函数的一般形式为f(x)=ax3+bx2+cx+d(a,b,c,d∈R,且a≠0),其定义域为R,值域为R,在整个定义域R上没有最大值、最小值.f′(x)=3ax2+2bx+c(a≠0),其判别式为Δ=4b2-12ac=4(b2-3ac),f′(x)中的参数a与Δ的符号对原函数f(x)的单调性、极值点起决定性作用,如表所示:
项 目 a>0 a<0
图象 Δ>0 Δ≤0 Δ>0 Δ≤0
单调性 (-∞,x1), (x2,+∞) 上单调递增; (x1,x2)上单调递减 R上 单调递增 (-∞,x1),(x2,+∞) 上单调递减; (x1,x2)上单调递增 R上 单调递减
极值点 两个极值点x1,x2 无极值点 两个极值点x1,x2 无极值点
对称性 三次函数的图象是中心对称曲线,对称中心为点(-,f(-))
设f(m-x)+f(m+x)=2n,得[a(m-x)3+b(m-x)2+c(m-x)+d]+[a(m+x)3+b(m+x)2+c(m+x)+d]=2n,整理得(6ma+2b)x2+(2am3+2bm2+2cm+2d)=2n.据多项式恒等则其对应系数相等,可得m=-,且n=am3+bm2+cm+d,从而三次函数f(x)的图象是中心对称曲线,且由n=f(m)知其对称中心(m,f(m))仍然在曲线上.
2.三次方程f(x)=0的实根个数
(1)当Δ≤0,即b2-3ac≤0时,方程f(x)=0有且只有一个实数根.
(2)当Δ>0,即b2-3ac>0时,设f′(x)=0的两根为x1,x2,若f(x1)·f(x2)>0,则方程f(x)=0有且只有一个实数根;若f(x1)·f(x2)=0,则方程f(x)=0有两个不相等的实数根;若f(x1)·f(x2)<0,则方程f(x)=0有三个不相等的实数根.
3.三次函数f(x)图象的切线条数
如图,过f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)图象的对称中心N作切线l,则坐标平面被切线l和函数f(x)的图象分割为四个区域,有以下结论:
(1)过区域Ⅰ、Ⅲ内的点作f(x)图象的切线,有且仅有三条.
(2)过区域Ⅱ、Ⅳ内的点或对称中心N作f(x)图象的切线,有且仅有一条.
(3)过切线l或函数f(x)图象(除去对称中心N)上的点作f(x)的切线,有且仅有两条.切线条数口诀:内一、上二、外三.
类型一　利用导数研究三次函数的对称性
[典例1] 对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),给出定义:设y=f′(x)是函数y=f(x)的导数,f″(x)是函数y=f′(x)的导数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数的图象都有对称中心,且“拐点”就是其图象的对称中心.设函数f(x)=x3-x2+,则以下说法正确的是(　　)
①函数f(x)图象的对称中心为(,0);
②f()+f()+…+f()+f()的值是99;
③函数f(x)图象的对称中心为(,1);
④f()+f()+…+f()+f()的值是1.
A.①② B.①④ C.②③ D.③④
利用导数求三次函数对称中心的一般步骤
第一步,对三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)求导,得f′(x);
第二步,对f′(x)求导,得f″(x);
第三步,解方程f″(x)=0,得实数根x0;
第四步,求f(x0),得函数f(x)的对称中心(x0,f(x0)).
[拓展演练] 已知任意三次函数的图象必存在唯一的对称中心,若函数f(x)=x3+6x2+13x,实数m,n满足则m+n=(　　)
A.-4 B.-3 C.-2 D.-1
类型二　利用极值研究三次函数的零点
[典例2] 已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,求a的取值范围.
利用极值求解三次函数零点问题的基本思路
(1)若三次函数f(x)没有极值点,则f(x)有1个零点.
(2)三次函数f(x)有2个极值点x1,x2,则f(x1)f(x2)>0时,f(x)有1个零点;f(x1)·f(x2)=0时,f(x)有2个零点;f(x1)f(x2)<0时,f(x)有3个零点.
[拓展演练] 设函数f(x)=x3-a2x+b,其中a,b为常数.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若函数f(x)有且仅有3个零点,求的取值范围.
类型三　利用导数研究三次函数的切线问题
[典例3] 过点(-1,n)存在三条直线与曲线f(x)=x3-x2-x+1相切,则n的取值范围是 .
利用导数求解三次函数切线问题的两种方法
(1)通法:求解过点P的三次函数f(x)的切线条数问题,一般是先设出切点Q(t,f(t)),写出曲线f(x)在x=t处的切线方程,把点P坐标代入,整理出一个关于t的三次方程,该方程实根个数就是切线条数.
(2)优解:利用导数求出三次函数f(x)的图象的对称中心,再求出曲线f(x)在其对称中心的切线方程,然后将所给点的横坐标分别代入切线方程和函数解析式中,就可得“外三”所对应的纵坐标的取值范围(此法一般在选择、填空题中使用,而在解答题中使用通法).
[拓展演练] 已知函数f(x)=x3-3x,若过点M(2,t)可作曲线y=f(x)的两条切线,且点M不在函数f(x)的图象上,则实数t的值为 . 第3节　导数与函数的极值、最值
[学习目标]
1.借助函数图象,了解函数在某点取得极值的必要和充分条件.2.会用导数求函数的极大值、极小值.3.会求闭区间上函数的最大值、最小值.
1.函数的极值
(1)函数的极小值.
函数y=f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点处的函数值都小,f′(a)=0;而且在点x=a附近的左侧 f′(x)<0,右侧 f′(x)>0,则a叫做函数y=f(x)的极小值点,f(a)叫做函数y=f(x)的极小值.
(2)函数的极大值.
函数y=f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点处的函数值都大,f′(b)=0;而且在点x=b附近的左侧 f′(x)>0,右侧 f′(x)<0,则b叫做函数y=f(x)的极大值点,f(b)叫做函数y=f(x)的极大值.
(3)极小值点、极大值点统称为极值点,极小值和极大值统称为极值.
(1)对于可导函数f(x),“f′(x0)=0”是“函数f(x)在x=x0处有极值”的必要不充分条件.
(2)极大值与极小值之间没有必然的大小关系.
2.函数的最大(小)值
(1)一般地,如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值.
(2)求函数y=f(x)在区间[a,b]上的最大值与最小值的步骤.
①求函数y=f(x)在区间(a,b)内的极值;
②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
函数最值是“整体”概念,而函数极值是“局部”概念.
1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”).
(1)对于可导函数f(x),若f′(x0)=0,则x0为极值点.(　　)
(2)函数的极大值不一定是最大值,最小值也不一定是极小值.(　　)
(3)函数f(x)在区间(a,b)上不存在最值.(　　)
(4)函数的极值可能不止一个,也可能没有.(　　)
【答案】 (1)×　(2)√　(3)×　(4)√
2.(人教A版选择性必修第二册 P98习题5.3 T4改编)如图是f(x)的导函数f′(x)的图象,则f(x)的极小值点的个数为(　　)
A.1 B.2 C.3 D.4
【答案】 A
【解析】 由题意知,只有在x=-1处,f′(-1)=0,且其两侧导数符号为左负右正,故f(x)的极小值点只有1个.故选A.
3.(人教A版选择性必修第二册P104复习参考题5 T9改编)若函数f(x)=aex-sin x在x=0处有极值,则a的值为(　　)
A.-1 B.0 C.1 D.e
【答案】 C
【解析】 f′(x)=aex-cos x,若函数f(x)=aex-sin x在x=0处有极值,则f′(0)=a-1=0,解得a=1,经检验a=1符合题意.故选C.
4.(人教A版选择性必修第二册P98习题5.3 T6改编)已知f(x)=x3-12x+1,x∈[-,1],则f(x)的最大值为　　　　,最小值为　　　　.
【答案】 　-10
【解析】 f′(x)=3x2-12=3(x-2)(x+2),因为x∈[-,1],所以f′(x)<0,故f(x)在[-,1]上单调递减,所以f(x)的最大值为f(-)=,最小值为f(1)=-10.
考点一　利用导数解决函数的极值问题
角度一　根据函数图象判断函数极值
[例1] (多选题)函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示,则(　　)
A.-3是函数y=f(x)的极值点
B.-1是函数y=f(x)的极小值点
C.y=f(x)在区间(-3,1)上单调递增
D.-2是函数y=f(x)的极大值点
【答案】 AC
【解析】 根据导函数的图象可知,
当x∈(-∞,-3)时,f′(x)<0,当x∈(-3,1)时,f′(x)≥0,
所以函数y=f(x)在(-∞,-3)上单调递减,在(-3,1)上单调递增,
可知-3是函数y=f(x)的极值点,所以A正确;
因为函数y=f(x)在(-3,1)上单调递增,
可知-1不是函数y=f(x)的极小值点,-2也不是函数y=f(x)的极大值点,所以B错误,C正确,D错误.故选AC.
由图象判断函数y=f(x)的极值
(1)由导函数y=f′(x)的图象与x轴的交点的横坐标,可得函数y=f(x)的可能极值点.
(2)由导函数y=f′(x)的图象可以看出y=f′(x)的值的正负,从而可得函数y=f(x)的单调性.两者结合可得极值点.
角度二　求函数的极值
[例2] (2025·宁夏银川模拟)已知函数f(x)=,其中a∈R.试讨论f(x)的极值.
【解】 f(x)的定义域为R ,f′(x)===,令f′(x)=0,解得x1=2,x2=.
①若a<4,可得x<或x>2时,f′(x)<0,当0,所以f(x)在(-∞,),
(2,+∞)上单调递减,在(,2)上单调递增,所以f(x)的极小值为f()=,极大值为f(2)=;
②若a=4,则f′(x)≤0,所以函数f(x)在R上单调递减,无极值;
③若a>4,当x<2或x>时,f′(x)<0,当20,所以f(x)在(-∞,2),(,+∞)上单调递减,在(2,)上单调递增,所以f(x)的极小值为f(2)=,极大值为f()=.
综上,当a<4时,f(x)的极小值为f()=,极大值为f(2)=;当a=4时,函数f(x)无极值;当a>4时,f(x)的极小值为f(2)=,极大值为f()=.
运用导数求函数f(x)极值的一般步骤
(1)确定函数f(x)的定义域.
(2)求导数f′(x).
(3)解方程f′(x)=0,求出函数在定义域内的所有根.
(4)检验f′(x)在f′(x)=0的根x0左右两侧值的符号,确定函数的单调性.
(5)求出极值.
角度三　由函数极值(极值个数)求参数值(范围)
[例3] (1)已知函数f(x)=x3+ax2+bx+a2在x=1处有极小值10,则a+b等于(　　)
A.-7 B.0
C.-7或0 D.-15或6
(2)(2025·广东佛山模拟)若函数f(x)=aln x++(a≠0)既有极大值也有极小值,则下列结论一定正确的是(　　)
A.a<0 B.b<0
C.ab>-1 D.a+b>0
【答案】 (1)A　(2)B
【解析】 (1)由函数f(x)=x3+ax2+bx+a2,得f′(x)=3x2+2ax+b.
又函数f(x)在x=1处有极小值10,
所以即
解得或
当时,
f′(x)=3x2+8x-11=(x-1)(3x+11).
令f′(x)>0,得x>1或x<-,
令f′(x)<0,得-所以函数f(x)在(-∞,-)上单调递增,在(-,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增.显然满足函数f(x)在x=1处有极小值10.
当时,f′(x)=3x2-6x+3=3(x-1)2≥0,所以函数f(x)在R上单调递增,不满足函数f(x)在x=1处有极小值10.
所以a+b=4-11=-7.故选A.
(2)函数f(x)的定义域为(0,+∞),f′(x)=--=,又函数f(x)既有极大值也有极小值,所以f′(x)在(0,+∞)上有两个零点,a≠0,所以方程ax2-4x-2b=0有两个不同的正实根x1,x2,
所以即故选B.
(1)已知函数极值,确定函数解析式中的参数时,要注意根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组,利用待定系数法求解.
(2)导数值为0不是此点为极值点的充要条件,所以用待定系数法求解后必须检验.
[针对训练]
1.(角度一)已知f′(x)是函数f(x)在R上的导函数,函数f(x)在x=-2处取得极小值,则函数y=xf′(x)的图象可能是(　　)
A B
C D
【答案】 C
【解析】 由题意可得f′(-2)=0,而且在点(-2,0)的左侧附近,f′(x)<0,此时xf′(x)>0,排除B,D;
在点(-2,0)的右侧附近,f′(x)>0,此时xf′(x)<0,排除A,所以函数y=xf′(x)的图象可能是C.
故选C.
2.(角度三)已知函数f(x)=(x-a)(x2-x)在x=a处取得极小值,则a=(　　)
A.-1 B.0 C.1 D.0或1
【答案】 C
【解析】 由题意,f′(x)=(x2-x)+(x-a)(2x-1),且f′(a)=a2-a=0,解得a=0或a=1.
若a=0,则f′(x)=x2-x+x(2x-1)=x(3x-2),
当x<0时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当0不符合题意;
若a=1,则f′(x)=x2-x+(x-1)(2x-1)=(x-1)(3x-1),当当x>1时,f′(x)>0,f(x)单调递增,故x=1是极小值点,符合题意,因此a=1.故选C.
3.(角度二)已知函数f(x)=x2-10x+3aln x在点(1,f(1))处的切线与直线x+4y-1=0垂直.
(1)求a的值;
(2)求函数f(x)的极值.
【解】 (1)由题意,f′(x)=2x-10+,则f′(1)=2-10+3a=3a-8,即为函数f(x)在点(1,f(1))处的切线的斜率.又切线与直线x+4y-1=0垂直,则有(3a-8)·(-)=-1,解得a=4.
(2)由(1)知, f(x)=x2-10x+12ln x,定义域为(0,+∞),f′(x)=2x-10+==,
令f′(x)=0,得x=2或x=3,当03时,f′(x)>0,当2因此函数f(x)在(0,2),(3,+∞)上单调递增,在(2,3)上单调递减,
所以f(x)的极大值为f(2)=-16+12ln 2,极小值为f(3)=-21+12ln 3.
考点二　利用导数解决函数的最值问题
[例4] (2025·江苏苏州模拟)已知函数f(x)=xln x-a(x-1),求函数f(x)在区间[1,e]上的最小值.
[溯源探本] 本例源于人教A版选择性必修第二册P98习题5.3 T6.
【解】 f(x)=xln x-a(x-1),
则f′(x)=ln x+1-a,令f′(x)=0,解得x=ea-1.
①当ea-1≤1,即a≤1时,x∈[1,e],
则f′(x)≥0,f(x)在[1,e]上单调递增,
所以f(x)的最小值为f(1)=0;
②当1在[1,ea-1]上,f′(x)≤0,f(x)单调递减,
在[ea-1,e]上,f′(x)≥0,f(x)单调递增,
所以f(x)的最小值为f(ea-1)=a-ea-1;
③当ea-1≥e,即a≥2时,
在[1,e]上,f′(x)≤0,f(x)单调递减,
所以f(x)的最小值为f(e)=a+e-ae.
综上,当a≤1时,f(x)的最小值为0;
当1当a≥2时,f(x)的最小值为a+e-ae.
(1)求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值时,在得到极值的基础上,结合区间端点的函数值f(a),f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值.
(2)若所给函数f(x)解析式含参数,则需对函数f(x)求导,通过对参数分类讨论,判断函数的单调性,从而得到函数f(x)的最值.
[针对训练]
(2022·全国乙卷)函数f(x)=cos x+(x+1)sin x+1 在区间[0,2π]的最小值、最大值分别为(　　)
A.-, B.-,
C.-,+2 D.-,+2
【答案】 D
【解析】 f′(x)=-sin x+sin x+(x+1)cos x=(x+1)cos x,令f′(x)=0,解得x=-1(舍去)或x=或x=,所以f(x)在区间[0,)和(,2π]上,f′(x)>0,即f(x)单调递增,
在区间(,)上,f′(x)<0,即f(x)单调递减,又f(0)=f(2π)=2,f()=+2,f()=-(+1)+1=-,所以f(x)在区间[0,2π]上的最小值为-,最大值为+2.故选D.
考点三　导数在实际问题中的应用
[例5] 如图所示,甲工厂位于一直线河岸的岸边A处,乙工厂与甲工厂在河的同侧,且位于离河岸 40 km 的B处,河岸边D处与A处相距50 km(其中BD⊥AD),两家工厂要在此岸边建一个供水站C,从供水站到甲工厂和乙工厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元,供水站C建在岸边距离A处　　　　km才能使水管费用最省.
【答案】 20
【解析】 根据题意,点C在线段AD上某一适当位置,能使水管费用最省,
设D点距C点x km(0≤x≤50),
则BD=40,AC=50-x,所以BC==,设水管费用为y元,
则y=3a(50-x)+5a(0≤x≤50),可得y′=-3a+,令y′=0,解得x=30.
当x∈[0,30)时,y′<0,函数在[0,30)上单调递减;
当x∈(30,50]时,y′>0,函数在(30,50]上单调递增.
所以当x=30时,函数取得极小值,也是最小值,
此时AC=50-x=20(km),故供水站C建在岸边距离A处20 km,才能使水管费用最省.
利用导数解决实际问题的四个步骤
(1)分析实际问题中各变量之间的关系,建立实际问题的数学模型,写出实际问题中变量之间的函数关系式y=f(x).
(2)求函数的导数f′(x),解方程f′(x)=0.
(3)比较函数在区间端点和f′(x)=0的点处的函数值的大小,最大(小)者为最大(小)值.
(4)回归实际问题,结合实际问题作答.
[针对训练]
已知某商品的总成本C和产量q满足关系C=50 000+200q,该商品的销售单价p和产量q满足关系式p=24 200-q2,则当产量q= 时,利润最大.
【答案】 200
【解析】 由题意可知,设利润为f(q),则f(q)=(24 200-q2)q-(50 000+200q)=-q3+24 000q-50 000(q≥0),f′(q)=-q2+24 000,当f′(q)>0时,0≤q<200,当f′(q)<0时,q>200,即f(q)在[0,200)上单调递增,在(200,+∞)单调递减,所以q=200时,利润最大.
微点提能5　三次函数的图象和性质
1.三次函数的图象与基本性质
三次函数的一般形式为f(x)=ax3+bx2+cx+d(a,b,c,d∈R,且a≠0),其定义域为R,值域为R,在整个定义域R上没有最大值、最小值.f′(x)=3ax2+2bx+c(a≠0),其判别式为Δ=4b2-12ac=4(b2-3ac),f′(x)中的参数a与Δ的符号对原函数f(x)的单调性、极值点起决定性作用,如表所示:
项 目 a>0 a<0
图象 Δ>0 Δ≤0 Δ>0 Δ≤0
单调性 (-∞,x1), (x2,+∞) 上单调递增; (x1,x2)上单调递减 R上 单调递增 (-∞,x1),(x2,+∞) 上单调递减; (x1,x2)上单调递增 R上 单调递减
极值点 两个极值点x1,x2 无极值点 两个极值点x1,x2 无极值点
对称性 三次函数的图象是中心对称曲线,对称中心为点(-,f(-))
设f(m-x)+f(m+x)=2n,得[a(m-x)3+b(m-x)2+c(m-x)+d]+[a(m+x)3+b(m+x)2+c(m+x)+d]=2n,整理得(6ma+2b)x2+(2am3+2bm2+2cm+2d)=2n.据多项式恒等则其对应系数相等,可得m=-,且n=am3+bm2+cm+d,从而三次函数f(x)的图象是中心对称曲线,且由n=f(m)知其对称中心(m,f(m))仍然在曲线上.
2.三次方程f(x)=0的实根个数
(1)当Δ≤0,即b2-3ac≤0时,方程f(x)=0有且只有一个实数根.
(2)当Δ>0,即b2-3ac>0时,设f′(x)=0的两根为x1,x2,若f(x1)·f(x2)>0,则方程f(x)=0有且只有一个实数根;若f(x1)·f(x2)=0,则方程f(x)=0有两个不相等的实数根;若f(x1)·f(x2)<0,则方程f(x)=0有三个不相等的实数根.
3.三次函数f(x)图象的切线条数
如图,过f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)图象的对称中心N作切线l,则坐标平面被切线l和函数f(x)的图象分割为四个区域,有以下结论:
(1)过区域Ⅰ、Ⅲ内的点作f(x)图象的切线,有且仅有三条.
(2)过区域Ⅱ、Ⅳ内的点或对称中心N作f(x)图象的切线,有且仅有一条.
(3)过切线l或函数f(x)图象(除去对称中心N)上的点作f(x)的切线,有且仅有两条.切线条数口诀:内一、上二、外三.
类型一　利用导数研究三次函数的对称性
[典例1] 对于三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0),给出定义:设y=f′(x)是函数y=f(x)的导数,f″(x)是函数y=f′(x)的导数,若方程f″(x)=0有实数解x0,则称点(x0,f(x0))为函数y=f(x)的“拐点”.探究发现:任何一个三次函数都有“拐点”;任何一个三次函数的图象都有对称中心,且“拐点”就是其图象的对称中心.设函数f(x)=x3-x2+,则以下说法正确的是(　　)
①函数f(x)图象的对称中心为(,0);
②f()+f()+…+f()+f()的值是99;
③函数f(x)图象的对称中心为(,1);
④f()+f()+…+f()+f()的值是1.
A.①② B.①④ C.②③ D.③④
【答案】 C
【解析】 f(x)=x3-x2+ f′(x)=x2-x f″(x)=2x-1,令f″(x)=0,解得x=,又f()=×()3-×()2+=1,由题意可知,函数f(x)=x3-x2+图象的对称中心为(,1),
所以有f(x)+f(1-x)=2,
设S=f()+f()+…+f()+f(),所以有S=f()+f()+…+f()+f(),
两式相加得,2S=2+2+…+2+2=2×99 S=99,即f()+f()+…+f()+f()的值是99.
故②③正确,①④错误.故选C.
利用导数求三次函数对称中心的一般步骤
第一步,对三次函数f(x)=ax3+bx2+cx+d(a≠0)求导,得f′(x);
第二步,对f′(x)求导,得f″(x);
第三步,解方程f″(x)=0,得实数根x0;
第四步,求f(x0),得函数f(x)的对称中心(x0,f(x0)).
[拓展演练] 已知任意三次函数的图象必存在唯一的对称中心,若函数f(x)=x3+6x2+13x,实数m,n满足则m+n=(　　)
A.-4 B.-3 C.-2 D.-1
【答案】 A
【解析】 f′(x)=3x2+12x+13,设h(x)=3x2+12x+13,令h′(x)=6x+12=0,解得x=-2,
又f(-2)=(-2)3+6×(-2)2+13×(-2)=-10,
所以函数f(x)的图象关于点(-2,-10)成中心对称.
因为所以f(m)+f(n)=-20,
又f′(x)=3x2+12x+13=3(x+2)2+1>0,
所以函数f(x)=x3+6x2+13x在R上单调递增,所以m+n=2×(-2)=-4.故选A.
类型二　利用极值研究三次函数的零点
[典例2] 已知函数f(x)=ax3-3x2+1,若f(x)存在唯一的零点x0,且x0>0,求a的取值范围.
【解】 ①当a=0时,f(x)=-3x2+1,令f(x)=0,得x=±,此时不符合题意;
②当a>0时,f′(x)=3ax2-6x=3x(ax-2).
当f′(x)>0时,解得x>或x<0,则f(x)在(-∞,0)上单调递增,
因为f(0)=1,则存在1个零点在(-∞,0)上,所以此时不符合题意;
③当a<0时,令f′(x)>0,解得0,所以函数f(x)在(-∞,)上单调递减,在(,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减.
若f(x)在R上存在唯一的零点x0,且x0>0,则f()=-3×+1>0,
即-+1>0,整理得a2>4,解得a<-2或a>2,又a<0,所以a<-2.
综上,a的取值范围是(-∞,-2).
利用极值求解三次函数零点问题的基本思路
(1)若三次函数f(x)没有极值点,则f(x)有1个零点.
(2)三次函数f(x)有2个极值点x1,x2,则f(x1)f(x2)>0时,f(x)有1个零点;f(x1)·f(x2)=0时,f(x)有2个零点;f(x1)f(x2)<0时,f(x)有3个零点.
[拓展演练] 设函数f(x)=x3-a2x+b,其中a,b为常数.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若函数f(x)有且仅有3个零点,求的取值范围.
【解】 (1)f′(x)=x2-a2=(x-a)(x+a).
当a<0时,由f′(x)>0,得x>-a或x由f′(x)<0,得a当a>0时,由f′(x)>0,得x>a或x<-a,
由f′(x)<0,得-a当a=0时,f′(x)≥0.
综上,当a<0时,f(x)在(-∞,a),(-a,+∞)上单调递增,在(a,-a)上单调递减;
当a>0时,f(x)在(-∞,-a),(a,+∞)上单调递增,在(-a,a)上单调递减;
当a=0时,f(x)在(-∞,+∞)上单调递增.
(2)由(1)可知,若f(x)有3个零点,
则a≠0,且f(x)极大值·f(x)极小值<0,
所以f(-a)f(a)=(b+a3)(b-a3)<0,
所以-<<,
即的取值范围是(-,).
类型三　利用导数研究三次函数的切线问题
[典例3] 过点(-1,n)存在三条直线与曲线f(x)=x3-x2-x+1相切,则n的取值范围是　　　　.
【答案】 (0,)
【解析】 法一(通法)　设切点为(x0,y0),则y0=--x0+1,f′(x0)=3-2x0-1,所以切线方程为y-(--x0+1)=(3-2x0-1)(x-x0),将(-1,n)代入上式,整理得n=-2-2+2x0+2,该方程有三个不同的解.
设g(x)=-2x3-2x2+2x+2,
则g′(x)=-6x2-4x+2=-2(x+1)(3x-1),
令g′(x)=0,解得x=-1或x=,
当x∈(-∞,-1)时,g′(x)<0,g(x)单调递减;
当x∈(-1,)时,g′(x)>0,g(x)单调递增;
当x∈(,+∞)时,g′(x)<0,g(x)单调递减,
所以极小值g(-1)=0,极大值g()=,
故n∈(0,).
法二(优解)　f(x)=x3-x2-x+1,f′(x)=3x2-2x-1,f″(x)=6x-2.令f″(x)=0,得x=,
又f()=()3-()2-+1=,所以函数f(x)图象的对称中心是(,).又f′()=3×()2-2×-1=-,
所以曲线f(x)在对称中心(,)处的切线方程为y-=-(x-),将x=-1代入该方程得y=.
又f(-1)=(-1)3-(-1)2-(-1)+1=0,所以由“内一、上二、外三”,得0利用导数求解三次函数切线问题的两种方法
(1)通法:求解过点P的三次函数f(x)的切线条数问题,一般是先设出切点Q(t,f(t)),写出曲线f(x)在x=t处的切线方程,把点P坐标代入,整理出一个关于t的三次方程,该方程实根个数就是切线条数.
(2)优解:利用导数求出三次函数f(x)的图象的对称中心,再求出曲线f(x)在其对称中心的切线方程,然后将所给点的横坐标分别代入切线方程和函数解析式中,就可得“外三”所对应的纵坐标的取值范围(此法一般在选择、填空题中使用,而在解答题中使用通法).
[拓展演练] 已知函数f(x)=x3-3x,若过点M(2,t)可作曲线y=f(x)的两条切线,且点M不在函数f(x)的图象上,则实数t的值为　　　 　.
【答案】 -6
【解析】 设过点M(2,t)的直线与函数f(x)=x3-3x的图象相切于点(x0,y0),f′(x)=3x2-3,则有f′(x0)=3-3=,可得2-6+6+t=0,又过点M(2,t)可作曲线y=f(x)的两条切线,即方程2-6+6+t=0有两个不等的实数根,令h(x)=2x3-6x2+6+t,由题意可得该函数恰有两个零点,又h′(x)=6x2-12x,令h′(x)=0,解得x=0或x=2.当x<0或x>2时,h′(x)>0,当0

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