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专题06 静电场
考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势
考点1 电场力和电场能的性质 2021、2022、2023、2024、2025 考查愈发注重对电场强度、电势、电势能、电容等基础概念的深度理解，以及它们之间的内在联系。题型上，既会在选择题中单独考查基础概念辨析，也常与带电粒子在电场中的运动相结合出现在计算题里。比如设置带电粒子在匀强电场中的加速、偏转，或者在非匀强电场中的复杂运动情境，要求学生综合运用牛顿运动定律、动能定理、功能关系等力学知识，分析粒子的受力情况与运动过程，考查学生知识迁移与综合分析能力。
考点2 电容器与电容 2023
考点3 带电粒子在电场中的运动 2025
考点01 电场力和电场能的性质
1．（2025·山东·高考）球心为O，半径为R的半球形光滑绝缘碗固定于水平地面上，带电量分别为和的小球甲、乙刚好静止于碗内壁A、B两点，过O、A、B的截面如图所示，C、D均为圆弧上的点，OC沿竖直方向，，，A、B两点间距离为，E、F为AB连线的三等分点。下列说法正确的是（　　）
A．甲的质量小于乙的质量 B．C点电势高于D点电势
C．E、F两点电场强度大小相等，方向相同 D．沿直线从O点到D点，电势先升高后降低
2．（2024·山东·高考）如图所示，带电量为+q的小球被绝缘棒固定在O点，右侧有固定在水平面上、倾角为30°的光滑绝缘斜面。质量为m、带电量为+q的小滑块从斜面上A点由静止释放，滑到与小球等高的B点时加速度为零，滑到C点时速度为零。已知AC间的距离为S，重力加速度大小为g，静电力常量为k，下列说法正确的是（　　）
A．OB的距离l=
B．OB的距离l=
C．从A到C，静电力对小滑块做功W=﹣mgS
D．AC之间的电势差UAC=﹣
3．（2023·山东·高考）如图所示，正六棱柱上下底面的中心为O和，A、D两点分别固定等量异号的点电荷，下列说法正确的是（ ）

A．点与点的电场强度大小相等
B．点与点的电场强度方向相同
C．点与点的电势差小于点与点的电势差
D．将试探电荷由F点沿直线移动到O点，其电势能先增大后减小
4．（2022·山东·高考）半径为R的绝缘细圆环固定在图示位置，圆心位于O点，环上均匀分布着电量为Q的正电荷。点A、B、C将圆环三等分，取走A、B处两段弧长均为的小圆弧上的电荷。将一点电荷q置于延长线上距O点为的D点，O点的电场强度刚好为零。圆环上剩余电荷分布不变，q为（　　）
A．正电荷， B．正电荷，
C．负电荷， D．负电荷，
5．（2021·山东·高考）如图甲所示，边长为a的正方形，四个顶点上分别固定一个电荷量为的点电荷；在区间，x轴上电势的变化曲线如图乙所示。现将一电荷量为的点电荷P置于正方形的中心O点，此时每个点电荷所受库仑力的合力均为零。若将P沿x轴向右略微移动后，由静止释放，以下判断正确的是（　　）
A．，释放后P将向右运动
B．，释放后P将向左运动
C．，释放后P将向右运动
D．，释放后P将向左运动
考点02 电容器与电容
6．（2023·山东·高考）电磁炮灭火消防车（图甲）采用电磁弹射技术投射灭火弹进入高层建筑快速灭火。电容器储存的能量通过电磁感应转化成灭火弹的动能，设置储能电容器的工作电压可获得所需的灭火弹出膛速度。如图乙所示，若电磁炮正对高楼，与高楼之间的水平距离，灭火弹出膛速度，方向与水平面夹角，不计炮口离地面高度及空气阻力，取重力加速度大小，。
（1）求灭火弹击中高楼位置距地面的高度H；
（2）已知电容器储存的电能，转化为灭火弹动能的效率，灭火弹的质量为，电容，电容器工作电压U应设置为多少？

考点03 带电粒子在电场中的运动
7．（2025·山东·高考）如图甲所示的平面内，y轴右侧被直线分为两个相邻的区域I、Ⅱ。区域I内充满匀强电场，区域Ⅱ内充满垂直平面的匀强磁场，电场和磁场的大小、方向均未知。时刻，质量为m、电荷量为的粒子从O点沿x轴正向出发，在平面内运动，在区域I中的运动轨迹是以y轴为对称轴的抛物线的一部分，如图甲所示。时刻粒子第一次到达两区域分界面，在区域Ⅱ中运动的图像为正弦曲线的一部分，如图乙所示。不计粒子重力。下列说法正确的是（　　）
A．区域I内电场强度大小，方向沿y轴正方向
B．粒子在区域Ⅱ内圆周运动的半径
C．区域Ⅱ内磁感应强度大小，方向垂直平面向外
D．粒子在区域Ⅱ内圆周运动的圆心坐标
1．（2025·山东淄博·三模）如图所示，A点有一个电荷量为的点电荷，在距A点2r处有一个点电荷B，在以A点为圆心、半径为r的球面上有一点C，AC与AB夹角为。要使C点的场强与AB平行，则点电荷B（　　）
A．带负电，电荷量为 B．带负电，电荷量为
C．带正电，电荷量为 D．带正电，电荷量为
2．（2025·山东齐鲁教研体·考前质量检测）如图1所示，真空中有两点电荷分别固定在轴上的和处，将一正试探电荷置于轴上，的电势能随位置的变化关系部分图像如图2所示，规定无穷远处电势为零，点电荷周围某点电势公式，其中为静电力常量，为点电荷的电荷量，为该点到点电荷的距离。下列说法正确的是（　　）
A．、为同种电荷
B．、的电荷量之比
C．处的电势低于处的电势
D．除无限远外，轴上电场强度为零的点只有一个
3．（2025·山东青岛·三模）如图所示，水平向右的匀强电场中固定倾角为30°的足够长斜面，质量为m、带电量为+q的小球以初速度从斜面底端斜向上抛出，初速度方向与水平方向间的夹角为60°。已知匀强电场的电场强度，重力加速度为g，不计空气阻力。小球从抛出到落回斜面的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．机械能不变 B．离斜面最远时动能最小
C．运动的时间为 D．运动的时间为
4．（2025·山东青岛平度·二模）如图所示为某静电场在x轴上的电场强度E随x的变化关系（图像），x轴正方向为电场强度正方向。一个带正电的点电荷仅在电场力作用下由静止开始沿x轴运动，在x轴上的a、b、c、d四点间隔相等，下列说法正确的是（　　）
A．点电荷由a运动到d的过程中加速度先减小后增大
B．点电荷从b运动到a电场力做的功小于从c运动到b电场力做的功
C．点电荷由a运动到d的过程中电势能先增大再减小
D．b和d两点处电势相等
5．（2025·山东日照·二模）如图所示，一个内壁光滑的绝缘圆形轨道竖直固定在水平地面上，圆心是O，直径AB水平。小球c固定在A点，将小球d从B点由静止释放，经过最低点P后到达Q点时速度为零，经过M点时速度最大。两小球均带负电且可视为质点，Q、M点均未画出。下列说法正确的是（　　）
A．小球d从B到Q的过程中，重力与库仑力的合力一直增大
B．M点在P点左侧
C．小球d从B到Q的过程中，电势能一直减少
D．小球d从P到Q的过程中，动能的减少量等于电势能增加量
6．（2025·山东滨州·二模）空间中存在一匀强电场，电场方向未知。如图所示，一质量为的带电小球在点的初速度大小为，方向水平向左，小球经过下方点时速度的大小仍为，且方向与水平方向夹角，指向右下方。两点在同一竖直面内，不计空气阻力，重力加速度为。则（ ）
A．若电场力水平向右，电场力最小
B．间电势差
C．小球速度竖直向下时，速度的大小为
D．若电场力的大小为，则电场力与竖直方向的夹角为，指向右上方
7．（2025·山东淄博七中·一模）取无限远处电势为0，不等量异种电荷附近，存在一个电势为0的等势球面。如图所示，两点电荷Q1和Q2分别位于x轴上的x1和x2处，B点为两点电荷连线中点，以x轴上A点为圆心的虚线圆上各点的电势均为0，B点的电势。下列说法正确的是（　　）
A． Q1带负电，Q2带正电，Q1所带电荷量大于Q2所带电荷量
B．虚线圆上各点的电场强度大小相等，方向均沿半径指向圆心A
C．若仅减小Q1所带电荷量，则虚线圆的半径将增大
D．若仅增大Q2所带电荷量，则虚线圆圆心A的位置将靠近Q1
8．（2025·山东省实验中学·一模）竖直平面内固定有两个电荷量均为的点电荷，两点电荷相距0.6m，O为两点电荷水平连线的中点。一电荷量为的带电小球自点开始向下运动，初动能大小为，其动能与位移的关系如图乙中曲线I所示，处为曲线的最低点，此时动能大小为。直线II为计算机拟合的曲线I的一条渐近线，其斜率大小为。已知小球可视为质点，运动过程中电荷量保持不变，空气阻力不计，重力加速度，静电力常量，则（　　）
A．小球的质量为
B．小球的电荷量为
C．下落到的过程中，小球的加速度先减小后增加
D．下落到的过程中，小球的电势能增加了约
9．（2025·山东·模拟预测）如图所示的电路中，闭合开关S，电路中电流稳定后，平行板电容器中的带电液滴恰好处于静止状态。已知平行板电容器的电容与两极板间的距离成反比。保持开关S处于闭合状态，仅增大电容器两极板间距离的过程中（　　）
A．电流计G中有由b到a的电流
B．电容器两极板间电场强度不变
C．电容器所带电荷量增大
D．带点液滴向上运动
10．（2025·山东十三校·4月联考）如图所示，半径为的水平固定绝缘圆环上均匀分布着正电荷，点为圆环的圆心，点位于点正上方处。若从圆环上的点处取走长为的小圆弧，剩余电荷分布不变，则剩余电荷在点产生电场的电场强度与竖直向上方向夹角的正切值为（　　）
A． B．
C． D．
11．（2025·山东青岛平度·高考模拟一）如图所示，水平面内的等边三角形BCD的边长为L，顶点C恰好位于光滑绝缘直轨道AC的最低点，A点到B、D两点的距离均为L，A点在BD边上的竖直投影点为O。y轴上B、D两点固定两个等量的正点电荷，在轴两电荷连线的中垂线上必定有两个场强最强的点，这两个点关于原点O对称。在A点将质量为m、电荷量为的小球套在轨道AC上忽略它对原电场的影响将小球由静止释放，已知静电力常量为k，重力加速度为g，且，忽略空气阻力，下列说法正确的是（　　）
A．图中的A点和C点的场强相同 B．轨道上A点的电场强度大小为
C．小球刚到达C点时的加速度为 D．小球刚到达C点时的动能为
12．（2025·山东青岛·调研检测）如图所示，一正四面体置于匀强电场中，A、B、C、D分别是正四面体的四个顶点，正四面体的棱长L=0.5m，E、F、G、H为棱AB、AC、AD、BC的中点，电势分别为2V、4V、2V、6V。下列说法正确的是（　　）
A．A点电势为0
B．电场强度大小为8V/m
C．BCD所在的平面为等势面
D．将一电子从A点移到C点，电势能增加8eV
13．（2025·山东济宁·模拟）如图所示，两等量异种点电荷分别处于正方形ABCD上的A、B两点，M、N、P分别为对应边的中点。下列说法正确的是（　　）
A．M、N两点的电场强度相同
B．M、N两点的电势相同
C．P点的电场强度小于M点的电场强度
D．电子从M点沿直线移动到D点，电势能增加
14．（2025·山东Flawless联考·选考四）现有一电容为C的平行板电容器，极板水平，间距为d，且带电量的大小为Q（上极板带正电）。两个带异种电荷的小球用一绝缘轻质硬杆相连，小球质量为m，带电量的大小为q（上方的小球带负电），杆长为l（lA．两小球和硬杆构成的系统所受的合外力为0
B．当时，若静止释放两个小球，则两小球均可保持静止
C．两个小球的电势能为
D．当θ很小时，静止释放两个小球，则两个小球各自的运动周期为
15．（2025·山东潍坊·三模）某离子注入工艺原理如图所示。离子源产生的离子经小孔进入加速电场，初速度可忽略不计。加速后的离子竖直向上进入速度选择器，该区域存在水平向左的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场；通过速度选择器的离子射出后从小孔进入电场分析器，电场分析器内为圆弧辐射状电场，离子沿半径为（未知）的圆弧做匀速圆周运动；随后离子从小孔射出并沿水平方向进入磁场分析器，该区域存在垂直纸面向外的圆形匀强磁场（未画出），离子偏转后沿 的方向竖直向下射入水平向左的匀强偏转电场，最终打在水平放置的晶圆（硅片）上。已知加速电场两水平极板间的电压为U，速度选择器电场、电场分析器内离子所经位置的电场强度大小均为E；速度选择器、磁场分析器中的磁感应强度大小均为B；偏转电场的上下边界MN和PQ间距为L，水平方向足够宽。晶圆半径为R，圆心为O，其上表面到PQ边界的距离为d。不计重力及离子间相互作用，忽略边缘效应，求：
(1)通过速度选择器离子的比荷；
(2)离子在电场分析器中运动轨迹的半径及运动时间t；
(3)磁场分析器中“圆形匀强磁场”区域的最小面积S；
(4)若离子需恰好打在晶圆上表面的边缘处，求偏转电场的电场强度大小。
16．（2025·山东Flawless联考·选考四）低能离子散射（LEIS）技术可以分析样品表面原子分布情况，在分析材料催化性能、生物材料与半导体材料性能研究中有重要用处。图1为一个简化的LEIS能谱仪，离子枪中可以向某固定方向发出加速后的Ar 离子，离子打在样品上后发生碰撞， 的离子能够进入静电分析器（θ表示碰撞前后Ar 离子运动路径的夹角），调整静电分析器电场使得粒子能够打到接收板上，即可分析得出散射粒子的能量。本题设元电荷大小为e，不计空气阻力、重力，且不考虑电磁辐射、相对论效应。
(1)离子枪中装有氩气，发射时将氩气电离成Ar 高离子，并以近似为0的速率飘入加速极板。设Ar 离子质量为m，若希望从离子枪中出射的离子速度为v，求加速电压U；
(2)被样品散射后的Ar 离子进入半圆柱形静电分析器，已知静电分析器中某点电场方向沿圆柱半径，电场强度满足 其中r为该点到圆柱轴的距离，k为可调的比例系数，分析器通道形状为半圆弧且相当窄。若离子能打到接收板，求散射后粒子动能T'；
(3)Ar 离子与样品表面原子的散射过程可以简化为图2：质量为m的离子入射，与质量为M的静止原子发生了弹性碰撞，碰撞后离子的运动方向改变的角度为α。记碰撞后离子动能为碰撞前的K倍，求出K可能的表达式（用α，m，M表示；离子和原子视作质点）；
(4)将离子枪加速电压调至U=1000 V，轰击青铜合金样品（主要成分为90% Cu，10%Sn），请在图3中大致画出得到的能谱图，其中横轴为散射离子动能，纵轴为接收板上相对电流强度。（参考数据：相关原子质量数：
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考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势
考点1 电场力和电场能的性质 2021、2022、2023、2024、2025 考查愈发注重对电场强度、电势、电势能、电容等基础概念的深度理解，以及它们之间的内在联系。题型上，既会在选择题中单独考查基础概念辨析，也常与带电粒子在电场中的运动相结合出现在计算题里。比如设置带电粒子在匀强电场中的加速、偏转，或者在非匀强电场中的复杂运动情境，要求学生综合运用牛顿运动定律、动能定理、功能关系等力学知识，分析粒子的受力情况与运动过程，考查学生知识迁移与综合分析能力。
考点2 电容器与电容 2023
考点3 带电粒子在电场中的运动 2025
考点01 电场力和电场能的性质
1．（2025·山东·高考）球心为O，半径为R的半球形光滑绝缘碗固定于水平地面上，带电量分别为和的小球甲、乙刚好静止于碗内壁A、B两点，过O、A、B的截面如图所示，C、D均为圆弧上的点，OC沿竖直方向，，，A、B两点间距离为，E、F为AB连线的三等分点。下列说法正确的是（　　）
A．甲的质量小于乙的质量 B．C点电势高于D点电势
C．E、F两点电场强度大小相等，方向相同 D．沿直线从O点到D点，电势先升高后降低
【答案】BD
【详解】A．对甲、乙两小球受力分析如图所示，甲、乙两小球分别受到重力、支持力、库仑力作用保持平衡。
设与线段交点为点，由几何关系 解得 因此有， 根据正弦定理，对甲有 对乙有 因为是一对相互作用力，可得 A错误；
B．根据点电荷场强公式，由场强叠加知识，可知C到D之间的圆弧上各点场强方向都向右下方，若有一正试探电荷从C运动到D的过程中，电场力做正功，电势能减小，故可判断C点电势高于D点电势，B正确；
C．两带电小球连线上的电场分布可以等效成一对等量异种点电荷的电场和在点带电量为的正点电荷的电场相互叠加的电场。在等量异种点电荷的电场中E、F两点电场强度大小相等，方向相同。但是点带电量为的正点电荷在E、F两点的电场强度不同。E、F两点电场强度大小不同，C错误；
D．电势是标量，与线段的交点距离两带电小球最近，所以该点电势最大，那么沿直线从O点到D点，电势先升高后降低，D正确。
故选BD。
2．（2024·山东·高考）如图所示，带电量为+q的小球被绝缘棒固定在O点，右侧有固定在水平面上、倾角为30°的光滑绝缘斜面。质量为m、带电量为+q的小滑块从斜面上A点由静止释放，滑到与小球等高的B点时加速度为零，滑到C点时速度为零。已知AC间的距离为S，重力加速度大小为g，静电力常量为k，下列说法正确的是（　　）
A．OB的距离l=
B．OB的距离l=
C．从A到C，静电力对小滑块做功W=﹣mgS
D．AC之间的电势差UAC=﹣
【答案】AD
【详解】AB．由题意知小滑块在B点处的加速度为零，则根据受力分析有沿斜面方向
解得A正确，B错误；
C．因为滑到C点时速度为零，小滑块从A到C的过程，静电力对小滑块做的功为W，根据动能定理有
解得故C错误；
D．根据静电力做的功与电势差的关系可知AC之间的电势差故D正确。
故选AD。
3．（2023·山东·高考）如图所示，正六棱柱上下底面的中心为O和，A、D两点分别固定等量异号的点电荷，下列说法正确的是（ ）

A．点与点的电场强度大小相等
B．点与点的电场强度方向相同
C．点与点的电势差小于点与点的电势差
D．将试探电荷由F点沿直线移动到O点，其电势能先增大后减小
【答案】ACD
【详解】D．将六棱柱的上表面拿出

由几何条件可知正电荷在OF中点K的场强方向垂直OF，则K点的合场强与OF的夹角为锐角，在F点的场强和OF的夹角为钝角，因此将正电荷从F移到O点过程中电场力先做负功后做正功，电势能先增大后减小，D正确；
C．由等量异种电荷的电势分布可知，，，因此C正确；
AB．由等量异种电荷的对称性可知和电场强度大小相等，和电场强度方向不同，A正确B错误；
故选ACD。
4．（2022·山东·高考）半径为R的绝缘细圆环固定在图示位置，圆心位于O点，环上均匀分布着电量为Q的正电荷。点A、B、C将圆环三等分，取走A、B处两段弧长均为的小圆弧上的电荷。将一点电荷q置于延长线上距O点为的D点，O点的电场强度刚好为零。圆环上剩余电荷分布不变，q为（　　）
A．正电荷， B．正电荷，
C．负电荷， D．负电荷，
【答案】C
【详解】取走A、B处两段弧长均为的小圆弧上的电荷，根据对称性可知，圆环在O点产生的电场强度为与A在同一直径上的A1和与B在同一直径上的B1产生的电场强度的矢量和，如图所示，因为两段弧长非常小，故可看成点电荷，则有 由图可知，两场强的夹角为，则两者的合场强为
根据O点的合场强为0，则放在D点的点电荷带负电，大小为 根据 联立解得 故选C。
5．（2021·山东·高考）如图甲所示，边长为a的正方形，四个顶点上分别固定一个电荷量为的点电荷；在区间，x轴上电势的变化曲线如图乙所示。现将一电荷量为的点电荷P置于正方形的中心O点，此时每个点电荷所受库仑力的合力均为零。若将P沿x轴向右略微移动后，由静止释放，以下判断正确的是（　　）
A．，释放后P将向右运动
B．，释放后P将向左运动
C．，释放后P将向右运动
D．，释放后P将向左运动
【答案】C
【详解】对y轴正向的点电荷，由平衡知识可得 解得 因在区间内沿x轴正向电势升高，则场强方向沿x轴负向，则将P沿x轴正向向右略微移动后释放，P受到向右的电场力而向右运动。
故选C。
考点02 电容器与电容
6．（2023·山东·高考）电磁炮灭火消防车（图甲）采用电磁弹射技术投射灭火弹进入高层建筑快速灭火。电容器储存的能量通过电磁感应转化成灭火弹的动能，设置储能电容器的工作电压可获得所需的灭火弹出膛速度。如图乙所示，若电磁炮正对高楼，与高楼之间的水平距离，灭火弹出膛速度，方向与水平面夹角，不计炮口离地面高度及空气阻力，取重力加速度大小，。
（1）求灭火弹击中高楼位置距地面的高度H；
（2）已知电容器储存的电能，转化为灭火弹动能的效率，灭火弹的质量为，电容，电容器工作电压U应设置为多少？

【答案】（1）60m；（2）
【详解】（1）灭火弹做斜向上抛运动，则水平方向上有 竖直方向上有 代入数据联立解得
（2）根据题意可知 又因为 联立可得
考点03 带电粒子在电场中的运动
7．（2025·山东·高考）如图甲所示的平面内，y轴右侧被直线分为两个相邻的区域I、Ⅱ。区域I内充满匀强电场，区域Ⅱ内充满垂直平面的匀强磁场，电场和磁场的大小、方向均未知。时刻，质量为m、电荷量为的粒子从O点沿x轴正向出发，在平面内运动，在区域I中的运动轨迹是以y轴为对称轴的抛物线的一部分，如图甲所示。时刻粒子第一次到达两区域分界面，在区域Ⅱ中运动的图像为正弦曲线的一部分，如图乙所示。不计粒子重力。下列说法正确的是（　　）
A．区域I内电场强度大小，方向沿y轴正方向
B．粒子在区域Ⅱ内圆周运动的半径
C．区域Ⅱ内磁感应强度大小，方向垂直平面向外
D．粒子在区域Ⅱ内圆周运动的圆心坐标
【答案】AD
【详解】A．粒子在区域I中的运动轨迹是以y轴为对称轴的抛物线的一部分，可以判断出粒子做类平抛运动，根据曲线轨迹可知，可知正粒子受到的电场力方向竖直向上，电场方向沿y轴正方向，设粒子初速度为 竖直方向有 水平方向有 由牛顿第二定律有 联立解得 A正确；
B．粒子在区域Ⅱ中运动的图像为正弦曲线的一部分，可以判断粒子做匀速圆周运动，
运动轨迹如图所示，则粒子在区域Ⅱ内圆周运动的半径 B错误；
C．粒子做类平抛运动进入匀强磁场时的速度 联立解得 根据洛伦兹力提供向心力有 解得 C错误；
D．如图所示，
设圆心为点，设粒子进入匀强磁场时的速度方向与竖直方向夹角为 由速度关系有 可得 由几何关系得 那么有 粒子在区域Ⅱ内圆周运动的圆心坐标 D正确。
故选AD。
1．（2025·山东淄博·三模）如图所示，A点有一个电荷量为的点电荷，在距A点2r处有一个点电荷B，在以A点为圆心、半径为r的球面上有一点C，AC与AB夹角为。要使C点的场强与AB平行，则点电荷B（　　）
A．带负电，电荷量为 B．带负电，电荷量为
C．带正电，电荷量为 D．带正电，电荷量为
【答案】B
【详解】由于C点的电场强度方向平行于AB，根据电场强度的叠加，画出俯视图，如图所示
根据几何关系可得 由于B在C点产生的电场强度方向指向B，则B点点电荷带负电。根据几何关系可得 根据电场矢量关系可得 其中， 联立，解得
故选B。
2．（2025·山东齐鲁教研体·考前质量检测）如图1所示，真空中有两点电荷分别固定在轴上的和处，将一正试探电荷置于轴上，的电势能随位置的变化关系部分图像如图2所示，规定无穷远处电势为零，点电荷周围某点电势公式，其中为静电力常量，为点电荷的电荷量，为该点到点电荷的距离。下列说法正确的是（　　）
A．、为同种电荷
B．、的电荷量之比
C．处的电势低于处的电势
D．除无限远外，轴上电场强度为零的点只有一个
【答案】D
【详解】A．由图2知处电势为正，电势为负，可知带负电，带正电，故错误；
B．由图2知处电势为零，根据点电荷周围电势公式 可知 解得，故B错误；
C．在轴上，在右侧电场强度水平向右，在区间的电场强度水平向右，根据电场的叠加可知间的电场强度水平向右，当时，处电势为零，时，电势为零的点更靠近，所以处电势大于零，即处的电势高于处的电势，故C错误；
D．由于正电荷的电荷量大于负电荷电荷量，可知轴上在区域电场强度不可能为零，在区域电场强度不可能为零，在区域，设该点距x=-1m处的距离为，根据电场强度为零，则有
解得 可知除无限远处，轴上电场强度为零的点只有一个，故D正确。
故选D。
3．（2025·山东青岛·三模）如图所示，水平向右的匀强电场中固定倾角为30°的足够长斜面，质量为m、带电量为+q的小球以初速度从斜面底端斜向上抛出，初速度方向与水平方向间的夹角为60°。已知匀强电场的电场强度，重力加速度为g，不计空气阻力。小球从抛出到落回斜面的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．机械能不变 B．离斜面最远时动能最小
C．运动的时间为 D．运动的时间为
【答案】D
【详解】A．小球从抛出到落回斜面的过程中，电场力做功会改变机械能，故机械能不守恒，故A错误；
B．以斜面为参考系，建立沿斜面向上（x 轴）和垂直斜面向上（y 轴）的坐标系，小球受重力 mg（竖直向下）和电场力 qE（水平向右），沿斜面方向（x 轴）：电场力分量：（沿斜面向上）
重力分量：（沿斜面向下） 根据牛顿第二定律 解得加速度（沿斜面向下） 垂直斜面方向（y 轴）： 电场力分量（垂直斜面向下） 重力分量：（垂直斜面向下） 根据牛奶第二定律 解得加速度（垂直斜面向下） 初速度与斜面方向夹角为，分解到斜面坐标系，沿x轴为 沿y轴为
离斜面最远时（y 方向速度为 0），时间 此时x方向速度 设合力与竖直方向的夹角为，则 故 此时合力与速度成钝角，速度大小继续减小，故离斜面最远时动能不是最小，故B错误；
CD． 落回斜面时 由 解得，故C错误，D正确。
故选D。
4．（2025·山东青岛平度·二模）如图所示为某静电场在x轴上的电场强度E随x的变化关系（图像），x轴正方向为电场强度正方向。一个带正电的点电荷仅在电场力作用下由静止开始沿x轴运动，在x轴上的a、b、c、d四点间隔相等，下列说法正确的是（　　）
A．点电荷由a运动到d的过程中加速度先减小后增大
B．点电荷从b运动到a电场力做的功小于从c运动到b电场力做的功
C．点电荷由a运动到d的过程中电势能先增大再减小
D．b和d两点处电势相等
【答案】B
【详解】A．由 可知、点间的电场强度先增大后减小，所以点电荷的加速度也先增大后减小，A错误；
B．电场强度随的变化关系图像与坐标轴所围成的面积与电荷量的乘积等于电场力做功，、两点间的面积小于、两点间的面积，所以点电荷从运动到电场力做的功小于从运动到电场力做的功，B正确；
C．、点间的电场强度方向为负方向，一个带正电的点电荷所受电场力的方向也为负方向，点电荷的位移方向为正方向，所以电场力做负功，电势能增大，C错误；
D．从到电场线沿负方向，沿电场线方向电势降低，所以点电势小于点，D错误。
故选B。
5．（2025·山东日照·二模）如图所示，一个内壁光滑的绝缘圆形轨道竖直固定在水平地面上，圆心是O，直径AB水平。小球c固定在A点，将小球d从B点由静止释放，经过最低点P后到达Q点时速度为零，经过M点时速度最大。两小球均带负电且可视为质点，Q、M点均未画出。下列说法正确的是（　　）
A．小球d从B到Q的过程中，重力与库仑力的合力一直增大
B．M点在P点左侧
C．小球d从B到Q的过程中，电势能一直减少
D．小球d从P到Q的过程中，动能的减少量等于电势能增加量
【答案】A
【详解】A．小球d运动过程中到A的距离越来越小，则两球间库仑力越来越大，库仑力增大同时库仑力与重力夹角由直角变锐角，根据力的合成可知这两个力的合力将更大，所以两者合力一直增大，故A正确；
B．M点速度最大，此时库仑力与重力沿切线方向的合力为零，在P左右分别对小球d受力分析
可知只有P的右侧重力和库力沿切线的合力才能为零，所以M点在P右侧，故B错误；
C．从B→Q的过程中d离C越来越近而离负电荷越近电势越低，则 B到Q电势减少，而负电荷在电势越低的位置电势能越高，所以d的B到Q电势能增大，故C错误；
D．从P→Q动能减小，电势能增大，重力势能增大，根据能量守恒可得减小的动能应等于增加的电势能和重力势能，故D错误。
故选A。
6．（2025·山东滨州·二模）空间中存在一匀强电场，电场方向未知。如图所示，一质量为的带电小球在点的初速度大小为，方向水平向左，小球经过下方点时速度的大小仍为，且方向与水平方向夹角，指向右下方。两点在同一竖直面内，不计空气阻力，重力加速度为。则（ ）
A．若电场力水平向右，电场力最小
B．间电势差
C．小球速度竖直向下时，速度的大小为
D．若电场力的大小为，则电场力与竖直方向的夹角为，指向右上方
【答案】D
【详解】A．小球经过AB两点时速度大小相等，有对称性可知在AB两点时速度方向与AB连线的夹角大小相等，设为α，由几何关系可知α=60°，小球所受的合力方向沿AB的垂直平分线方向斜向下，方向与水平线夹角为30°，由平行四边形定则可知，若场强方向沿BA向上时电场力最小，场强最小，选项A错误；
B．从A到B根据动能定理 可知 选项B错误；
C．小球速度竖直向下时，此时速度方向与AB夹角为30°，小球沿AB方向的速度为
不变，则小球速度竖直向下时速度的大小为 选项C错误；
D．由图可知，若电场力的大小为，合力大小也为mg，此时电场力与竖直方向的夹角为，指向右上方，选项D正确。
故选D。
7．（2025·山东淄博七中·一模）取无限远处电势为0，不等量异种电荷附近，存在一个电势为0的等势球面。如图所示，两点电荷Q1和Q2分别位于x轴上的x1和x2处，B点为两点电荷连线中点，以x轴上A点为圆心的虚线圆上各点的电势均为0，B点的电势。下列说法正确的是（　　）
A． Q1带负电，Q2带正电，Q1所带电荷量大于Q2所带电荷量
B．虚线圆上各点的电场强度大小相等，方向均沿半径指向圆心A
C．若仅减小Q1所带电荷量，则虚线圆的半径将增大
D．若仅增大Q2所带电荷量，则虚线圆圆心A的位置将靠近Q1
【答案】C
【详解】A．因为等势球面上电势为0，且B点电势大于0，沿电场方向电势降低，所以电场线方向大致从Q2指向Q1，则Q1带负电，Q2带正电。在电势为0的等势球面上，根据点电荷电场的特点（)，等势面为0的地方，离电荷量小的地方近，离电荷量大的地方远，从图中可知等势面离Q1近，所以Q1所带电荷量小于Q2所带电荷量，A错误；
B．等势面与电场线垂直，虚线圆是等势面，那么圆上各点电场强度方向均沿半径方向；设虚线圆与x轴的左右两个交点分别为M、N，M点的电场强度EM等于两个点电荷在该点的电场强度大小之差，N点的电场强度EN两个点电荷在该点的电场强度大小之和， ，所以各点电场强度大小不一定相等。B错误；
C．若仅减小Q1所带电荷量，当Q1所带电荷量减小到零时，则虚线圆的半径将增大到无限大，虚线圆的圆心移动到Q2处，C正确；
D．若仅增大Q2所带电荷量，当Q2所带电荷量远远大于Q1所带电荷量时，Q1可以忽略，虚线圆的圆心将移动到Q2处，D错误。
故选C。
8．（2025·山东省实验中学·一模）竖直平面内固定有两个电荷量均为的点电荷，两点电荷相距0.6m，O为两点电荷水平连线的中点。一电荷量为的带电小球自点开始向下运动，初动能大小为，其动能与位移的关系如图乙中曲线I所示，处为曲线的最低点，此时动能大小为。直线II为计算机拟合的曲线I的一条渐近线，其斜率大小为。已知小球可视为质点，运动过程中电荷量保持不变，空气阻力不计，重力加速度，静电力常量，则（　　）
A．小球的质量为
B．小球的电荷量为
C．下落到的过程中，小球的加速度先减小后增加
D．下落到的过程中，小球的电势能增加了约
【答案】B
【详解】ACD．由动能定理知，图像的斜率为合外力，由图知0.4m内，图像的斜率先减小后增大再减小，即小球所受的合外力先减小后增大再减小，由牛顿第二定律知，此过程小球的加速度先减小后增加再减小；当时，小球所受的电场力趋近于0，则图像的渐近线的斜率为重力，即N
解得小球的质量 0～0.4m内，由能量守恒定律知，小球电势能的增加量
故ACD错误；
B．小球在x=0.4m处所受合外力为0，此时 其中 解得电荷量C 故B正确。
故选B。
9．（2025·山东·模拟预测）如图所示的电路中，闭合开关S，电路中电流稳定后，平行板电容器中的带电液滴恰好处于静止状态。已知平行板电容器的电容与两极板间的距离成反比。保持开关S处于闭合状态，仅增大电容器两极板间距离的过程中（　　）
A．电流计G中有由b到a的电流
B．电容器两极板间电场强度不变
C．电容器所带电荷量增大
D．带点液滴向上运动
【答案】A
【详解】A．由保持开关S处于闭合状态，则电容器两端的电压不变；已知平行板电容器的电容与两极板间的距离成反比，仅增大电容器两极板间距离，则电容减小；又根据电容的定义式
得电容器所带电荷量减少，电容器放电，电流从正极板流出，经电流计G流向负极板，所以电流计G中有由到的电流，A选项正确；
B．由电容器两极板间的电场强度不变，增大，所以电场强度减小，B选项错误；
C．由前面分析可知，电容器所带电荷量减小，C选项错误；
D．开始时带电液滴恰好处于静止状态，说明液滴所受重力和电场力平衡，即； 电容器两极板间距离变大的过程中，电场强度不断减小，电场力不断减小，液滴所受合力向下，液滴向下运动，D选项错误。
故选A。
10．（2025·山东十三校·4月联考）如图所示，半径为的水平固定绝缘圆环上均匀分布着正电荷，点为圆环的圆心，点位于点正上方处。若从圆环上的点处取走长为的小圆弧，剩余电荷分布不变，则剩余电荷在点产生电场的电场强度与竖直向上方向夹角的正切值为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】由几何关系可知，与的夹角满足 解得 设整个圆环的电荷量为Q，每一段长为小圆弧的电荷量为，由于圆环上的电荷均匀分布，可知，每一段长为小圆弧在M处产生的电场强度沿方向的分量为 被取走的A处弧长为的小圆弧在M处产生的电场强度沿垂直OM方向的分量为 故可知当从圆环上的点处取走长为的小圆弧，剩余电荷场强沿OM方向的分量为 沿垂直OM方向的分量与等大反向，故剩余电荷在点产生电场的电场强度与竖直向上方向夹角的正切值为
故选C。
11．（2025·山东青岛平度·高考模拟一）如图所示，水平面内的等边三角形BCD的边长为L，顶点C恰好位于光滑绝缘直轨道AC的最低点，A点到B、D两点的距离均为L，A点在BD边上的竖直投影点为O。y轴上B、D两点固定两个等量的正点电荷，在轴两电荷连线的中垂线上必定有两个场强最强的点，这两个点关于原点O对称。在A点将质量为m、电荷量为的小球套在轨道AC上忽略它对原电场的影响将小球由静止释放，已知静电力常量为k，重力加速度为g，且，忽略空气阻力，下列说法正确的是（　　）
A．图中的A点和C点的场强相同 B．轨道上A点的电场强度大小为
C．小球刚到达C点时的加速度为 D．小球刚到达C点时的动能为
【答案】B
【详解】A．由几何可知： 如图1所示
P为z轴上一点，PD连线与z轴的夹角为，根据等量同种电荷的电场分布可知P点的电场强度方向竖直向上，大小为 解得 由不等式可得时，电场强度最大 此时 由此可知，z轴上距离O为处的两点电场强度最大，A错误；
B．由几何关系，轨道上A点的电场强度大小为 B正确；
C．由几何关系有根据 由对称性可知，A、C两点的电场强度大小相等，因此，C点的电场强度方向沿x轴正方向，电场强度大小表示为 小球在C点时的受力情况，如图2所示
小球在C点受到的电场力为 沿杆方向的合力为 解得由此可知小球刚到达C点时的加速度为0，C错误；
D．根据等量同种点电荷的电场分布和对称关系可知，A、C两点电势相等，电荷从A到C的过程中电场力做功为零，根据动能定理可得 解得，D错误。
故选B。
12．（2025·山东青岛·调研检测）如图所示，一正四面体置于匀强电场中，A、B、C、D分别是正四面体的四个顶点，正四面体的棱长L=0.5m，E、F、G、H为棱AB、AC、AD、BC的中点，电势分别为2V、4V、2V、6V。下列说法正确的是（　　）
A．A点电势为0
B．电场强度大小为8V/m
C．BCD所在的平面为等势面
D．将一电子从A点移到C点，电势能增加8eV
【答案】A
【详解】AC．由于E、F、G、H为棱AB、AC、AD、BC的中点，则，，，
联立解得，，， 由此可知，BDF所在的平面为等势面，故A正确，C错误；
D．将一电子从A点移到C点，电势升高8V，则电势能减小8eV，故D错误；
B．电场强度大小为 故B错误。
故选A。
13．（2025·山东济宁·模拟）如图所示，两等量异种点电荷分别处于正方形ABCD上的A、B两点，M、N、P分别为对应边的中点。下列说法正确的是（　　）
A．M、N两点的电场强度相同
B．M、N两点的电势相同
C．P点的电场强度小于M点的电场强度
D．电子从M点沿直线移动到D点，电势能增加
【答案】D
【详解】A．由等量异种电荷的电场的特点知，M、N两点的电场大小相同，方向不同，故A错误；
B．根据距正电荷越近电势越高，距负电荷越近电势越低，根据电势的叠加原理可知， M、N两点分别在A、B电荷场中的电势关系有 故B错误；
C．设正方形边长为，根据矢量求和定则知，P点的电场强度为 而M点的电场强度为水平向右的 与沿MB方向的的矢量和，故P点的电场强度大于M点的电场强度，故C错误；
D．电子从M点沿直线移动到D点，电场力做负功，电势能增大，故D正确。
故选D。
14．（2025·山东Flawless联考·选考四）现有一电容为C的平行板电容器，极板水平，间距为d，且带电量的大小为Q（上极板带正电）。两个带异种电荷的小球用一绝缘轻质硬杆相连，小球质量为m，带电量的大小为q（上方的小球带负电），杆长为l（lA．两小球和硬杆构成的系统所受的合外力为0
B．当时，若静止释放两个小球，则两小球均可保持静止
C．两个小球的电势能为
D．当θ很小时，静止释放两个小球，则两个小球各自的运动周期为
【答案】AD
【详解】A．电容内部的电场为匀强电场，根据可知，两小球和硬杆构成的系统所受的合外力为0，故A正确；
B．当时，转矩不为0，则两球不能保持静止，故B错误；
C．电容内部电场为 设下极板电势为0，下极板到-q的距离为x，则两个小球的电势能为 解得 故C错误；
D．当θ很小时，静止释放两个小球，则两个小球绕质心做简谐振动，转矩 转动惯量 运动方程为 解得 角频率为 则周期为 故D正确；
故选AD。
15．（2025·山东潍坊·三模）某离子注入工艺原理如图所示。离子源产生的离子经小孔进入加速电场，初速度可忽略不计。加速后的离子竖直向上进入速度选择器，该区域存在水平向左的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场；通过速度选择器的离子射出后从小孔进入电场分析器，电场分析器内为圆弧辐射状电场，离子沿半径为（未知）的圆弧做匀速圆周运动；随后离子从小孔射出并沿水平方向进入磁场分析器，该区域存在垂直纸面向外的圆形匀强磁场（未画出），离子偏转后沿 的方向竖直向下射入水平向左的匀强偏转电场，最终打在水平放置的晶圆（硅片）上。已知加速电场两水平极板间的电压为U，速度选择器电场、电场分析器内离子所经位置的电场强度大小均为E；速度选择器、磁场分析器中的磁感应强度大小均为B；偏转电场的上下边界MN和PQ间距为L，水平方向足够宽。晶圆半径为R，圆心为O，其上表面到PQ边界的距离为d。不计重力及离子间相互作用，忽略边缘效应，求：
(1)通过速度选择器离子的比荷；
(2)离子在电场分析器中运动轨迹的半径及运动时间t；
(3)磁场分析器中“圆形匀强磁场”区域的最小面积S；
(4)若离子需恰好打在晶圆上表面的边缘处，求偏转电场的电场强度大小。
【答案】(1)
(2)，
(3)
(4)
【详解】（1）在速度选择器中，由 可知 在加速电场中，由 解得离子的比荷为
（2）在电场分析器中，由 解得 在电场分析器中，由 离子在电场分析器中运动的时间
（3）在磁场分析器中，由 由几何关系可知，当匀强磁场面积最小时，其半径 由
可得
（4）在偏转电场中，竖直方向 水平方向 由几何关系可得 解得
16．（2025·山东Flawless联考·选考四）低能离子散射（LEIS）技术可以分析样品表面原子分布情况，在分析材料催化性能、生物材料与半导体材料性能研究中有重要用处。图1为一个简化的LEIS能谱仪，离子枪中可以向某固定方向发出加速后的Ar 离子，离子打在样品上后发生碰撞， 的离子能够进入静电分析器（θ表示碰撞前后Ar 离子运动路径的夹角），调整静电分析器电场使得粒子能够打到接收板上，即可分析得出散射粒子的能量。本题设元电荷大小为e，不计空气阻力、重力，且不考虑电磁辐射、相对论效应。
(1)离子枪中装有氩气，发射时将氩气电离成Ar 高离子，并以近似为0的速率飘入加速极板。设Ar 离子质量为m，若希望从离子枪中出射的离子速度为v，求加速电压U；
(2)被样品散射后的Ar 离子进入半圆柱形静电分析器，已知静电分析器中某点电场方向沿圆柱半径，电场强度满足 其中r为该点到圆柱轴的距离，k为可调的比例系数，分析器通道形状为半圆弧且相当窄。若离子能打到接收板，求散射后粒子动能T'；
(3)Ar 离子与样品表面原子的散射过程可以简化为图2：质量为m的离子入射，与质量为M的静止原子发生了弹性碰撞，碰撞后离子的运动方向改变的角度为α。记碰撞后离子动能为碰撞前的K倍，求出K可能的表达式（用α，m，M表示；离子和原子视作质点）；
(4)将离子枪加速电压调至U=1000 V，轰击青铜合金样品（主要成分为90% Cu，10%Sn），请在图3中大致画出得到的能谱图，其中横轴为散射离子动能，纵轴为接收板上相对电流强度。（参考数据：相关原子质量数：
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)见解析
【详解】（1）根据动能定理 解得。
（2）若离子能打到接收板，则该离子一定在分析器通道内做匀速直线运动，根据牛顿第二定律
又由 解得。
（3）质量为m的离子与质量为M的静止原子发生了弹性碰撞，动量守恒、机械能守恒，有，
根据余弦定理 得 则有 可解得
（4）接收板要想有电流，则入射角应为， 则散射角，粒子加速枪加速时 有第三问两个粒子发生弹性碰撞，可得， 其中
可得 离子和铜原子发生碰撞时，离子和锌原子发生碰撞时，离子进入静电分析器以后撞击接收板的电流为，其中 可得电流之比为 如图所示
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