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专题08 磁场
考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势
考点1 带电粒子在磁场中的运动 2025 一方面，对于磁场的基本性质，像磁感应强度、磁感线、安培力的大小与方向判断等基础知识考查较为频繁，常以选择题形式出现，检验学生对概念的理解。另一方面，带电粒子在磁场中的圆周运动问题是重点和难点，多与电场、重力场构建复合场情境，出现在计算题中。学生需要具备较强的空间想象能力，通过画出粒子运动轨迹，结合几何知识确定圆心、半径，再运用牛顿第二定律、向心力公式等，分析粒子在不同场中的受力与运动，综合考查学生知识的融会贯通能力。
考点2 带电粒子在复合场中的运动 2021、2022、2023、2024
考点01 带电粒子在磁场中的运动
1．（2025·山东·高考）如图甲所示的平面内，y轴右侧被直线分为两个相邻的区域I、Ⅱ。区域I内充满匀强电场，区域Ⅱ内充满垂直平面的匀强磁场，电场和磁场的大小、方向均未知。时刻，质量为m、电荷量为的粒子从O点沿x轴正向出发，在平面内运动，在区域I中的运动轨迹是以y轴为对称轴的抛物线的一部分，如图甲所示。时刻粒子第一次到达两区域分界面，在区域Ⅱ中运动的图像为正弦曲线的一部分，如图乙所示。不计粒子重力。下列说法正确的是（　　）
A．区域I内电场强度大小，方向沿y轴正方向
B．粒子在区域Ⅱ内圆周运动的半径
C．区域Ⅱ内磁感应强度大小，方向垂直平面向外
D．粒子在区域Ⅱ内圆周运动的圆心坐标
考点02 带电粒子在复合场中的运动
2．（2024·山东·高考）如图所示，在Oxy坐标系x>0，y>0区域内充满垂直纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场。磁场中放置一长度为L的挡板，其两端分别位于x、y轴上M、N两点，∠OMN=60°，挡板上有一小孔K位于MN中点。△OMN之外的第一象限区域存在恒定匀强电场。位于y轴左侧的粒子发生器在0＜y＜的范围内可以产生质量为m，电荷量为+q的无初速度的粒子。粒子发生器与y轴之间存在水平向右的匀强加速电场，加速电压大小可调，粒子经此电场加速后进入磁场，挡板厚度不计，粒子可沿任意角度穿过小孔，碰撞挡板的粒子不予考虑，不计粒子重力及粒子间相互作用力。
（1）求使粒子垂直挡板射入小孔K的加速电压U0；
（2）调整加速电压，当粒子以最小的速度从小孔K射出后恰好做匀速直线运动，求第一象限中电场强度的大小和方向；
（3）当加速电压为时，求粒子从小孔K射出后，运动过程中距离y轴最近位置的坐标。
3．（2023·山东·高考）如图所示，在，的区域中，存在沿y轴正方向、场强大小为E的匀强电场，电场的周围分布着垂直纸面向外的恒定匀强磁场。一个质量为m，电量为q的带正电粒子从OP中点A进入电场（不计粒子重力）。
（1）若粒子初速度为零，粒子从上边界垂直QN第二次离开电场后，垂直NP再次进入电场，求磁场的磁感应强度B的大小；
（2）若改变电场强度大小，粒子以一定的初速度从A点沿y轴正方向第一次进入电场、离开电场后从P点第二次进入电场，在电场的作用下从Q点离开。
（i）求改变后电场强度的大小和粒子的初速度；
（ii）通过计算判断粒子能否从P点第三次进入电场。

4．（2022·山东·高考）中国“人造太阳”在核聚变实验方面取得新突破，该装置中用电磁场约束和加速高能离子，其部分电磁场简化模型如图所示，在三维坐标系中，空间内充满匀强磁场I，磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向；，的空间内充满匀强磁场II，磁感应强度大小为，方向平行于平面，与x轴正方向夹角为；，的空间内充满沿y轴负方向的匀强电场。质量为m、带电量为的离子甲，从平面第三象限内距轴为的点以一定速度出射，速度方向与轴正方向夹角为，在平面内运动一段时间后，经坐标原点沿轴正方向进入磁场I。不计离子重力。
（1）当离子甲从点出射速度为时，求电场强度的大小；
（2）若使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，求进入磁场时的最大速度；
（3）离子甲以的速度从点沿轴正方向第一次穿过面进入磁场I，求第四次穿过平面的位置坐标（用d表示）；
（4）当离子甲以的速度从点进入磁场I时，质量为、带电量为的离子乙，也从点沿轴正方向以相同的动能同时进入磁场I，求两离子进入磁场后，到达它们运动轨迹第一个交点的时间差（忽略离子间相互作用）。
5．（2021·山东·高考）某离子实验装置的基本原理如图甲所示。Ⅰ区宽度为d，左边界与x轴垂直交于坐标原点O，其内充满垂直于平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为；Ⅱ区宽度为L，左边界与x轴垂直交于点，右边界与x轴垂直交于点，其内充满沿y轴负方向的匀强电场。测试板垂直x轴置于Ⅱ区右边界，其中心C与点重合。从离子源不断飘出电荷量为q、质量为m的正离子，加速后沿x轴正方向过O点，依次经Ⅰ区、Ⅱ区，恰好到达测试板中心C。已知离子刚进入Ⅱ区时速度方向与x轴正方向的夹角为。忽略离子间的相互作用，不计重力。
（1）求离子在Ⅰ区中运动时速度的大小v；
（2）求Ⅱ区内电场强度的大小E；
（3）保持上述条件不变，将Ⅱ区分为左右两部分，分别填充磁感应强度大小均为B（数值未知）方向相反且平行y轴的匀强磁场，如图乙所示。为使离子的运动轨迹与测试板相切于C点，需沿x轴移动测试板，求移动后C到的距离S。
1．（2025·山东青岛·三模）三根平行长直导线a、b、c中均通有恒定电流，导线a、b固定在水平面上，导线c通过轻质绝缘细线与力传感器相连，截面图如图所示，此时导线c处于静止状态且力传感器的示数恰好为零，下列说法正确的是（　　）
A．导线a、b中的电流方向相反
B．导线a、c中的电流方向相同
C．若导线b中的电流减小，细线将向右偏转
D．若导线b中的电流反向，细线将向左偏转
2．（2025·山东Flawless联考·选考四）如图所示，平面直角坐标系xOy平面内，一个质量为m、电荷量为-q（q>0）的带电粒子从O点沿+y方向以初速度射出，忽略粒子重力。设空间内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，同时空间中还均匀分布着某种粘性介质，使得任何粒子受到的阻力大小其速度大小成正比，比例系数为k。下列说法错误的是（　　）（提示：在研究一般的曲线运动时，可以把这条曲线分割为许多很短的小段，质点在每一小段的运动都可以看作圆周运动的一部分，称该圆周运动的半径叫作曲率半径，用ρ来表示。）
A．在经过足够长时间后，粒子走过的路程近似为
B．当粒子的速度大小减半时，其运动的曲率半径也减半
C．当粒子的速度大小减半时，其加速度大小也减半
D．经过时间 后，粒子的速度方向将沿着+x方向
3．（2025·山东枣庄·三模）我国特高压输电技术全球领先，如图甲所示为特高压输电线路，其中每组输电线都由6根相互平行的水平长直导线组成，使用六分裂间隔棒固定，使每组导线的横截面呈正六边形，中心为O，截面图如图乙所示。每根导线通有大小相等、方向相同的电流，已知单独一根通电导线在O点产生的磁感应强度大小为B。下列说法正确的是（　　）
A．穿过截面abcdef的磁通量不为零
B．导线b受到的安培力方向竖直向下
C．a、b、c三根导线在O点产生的磁感应强度大小为2B
D．a、b、c三根导线在O点产生的磁感应强度方向竖直向下
4．（2025·山东青岛·调研检测）人体血管状况及血液流速能反映出身体健康状态，为了研究这一课题，我们做如下的简化和假设：如图所示，某段血管内径为d，血流速度方向水平向右，血液中含有大量的正负离子，血管处于磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场中，M、N是血管上侧和下侧对称的两个位置。血液流量Q保持不变，下列说法正确的是（　　）
A．M点电势高于N点电势
B．血液流速大小
C．M、N两点间的电势差
D．当血液中粒子浓度升高时，M、N两点间的电势差变大
5．（2025·山东聊城·学业水平等级考试模拟）排污管道对于一个城市的正常运转是不可或缺的。管道中的污水通常含有大量的正负离子。如图所示，管道内径为d，污水流速大小为v，方向水平向右。现将方向与管道横截面平行，且垂直纸面向内的匀强磁场施于某段管道，磁感应强度大小为B，M、N为管道上的两点，当污水的流量（单位时间内流过管道横截面的液体体积）一定时（　　）
A．M点电势低，N点电势高
B．M、N间电势差与污水流速无关
C．由于沉淀物导致管道内径变小时，污水流速变小
D．由于沉淀物导致管道内径变小时，M、N间的电势差变大
6．（2025·山东省实验中学·四诊）某实验室内充满匀强磁场和匀强电场，磁场、电场与水平地面夹角均为45°且斜向右上，如图所示。房间内在离地面h处的位置有一个粒子发射源，源源不断地发射出质量为m、电荷量为q的粒子，粒子在房间内以v做匀速直线运动。某次实验中，撤去磁场，电场不变，粒子发射后经过一段时间落到地面上（不计空气阻力），重力加速度为g，以下说法正确的（　　）

A．粒子带负电，磁感应强度为，电场强度为
B．电场力做功为
C．粒子运动过程中机械能增大
D．落地点到发射点的水平距离
7．（2025·山东淄博·一模）如图所示，恒定电流流过边长为的水平放置的正方形导线，O点为正方形的中心，P点位于O点正上方且，每条导线在P点的磁感应强度大小均为，则P点的磁感应强度大小为（　　）
A．0 B． C． D．
8．（2025·山东Flawless联考·选考四）磁悬浮列车是一种依靠三相交流电实现高速行驶的运载工具。三相交流电可产生周期性变化的磁场，通过电磁感应使列车获得向前的牵引力。下面是一简化模型：如图所示，xOy平面为轨道平面，x轴与列车前进方向平行，空间中存在垂直于轨道平面的磁场，大小为（其中B0，，k均为正常数），且时处的磁场方向垂直于纸面向里。固定的金属矩形框ABCD与轨道平面平行，AB平行于y轴，BC平行于x轴，且，，金属框的电阻为R，忽略由变化的磁场产生的感生电场，则（　　）
A．空间中磁场的传播方向为沿x轴正方向
B．空间中磁场的传播速率为
C．时金属框受到的安培力大小为
D．t=0至，金属框产生的总热量为
9．（2025·山东泰安·二轮复习检测）如图所示，空间存在竖直向下的场强大小为匀强电场和垂直纸面向里磁感应强度大小为的匀强磁场。一质量为、电量大小为的离子从静止开始自点沿曲线运动，、在同一水平线上，点为运动轨迹的最低点，不计重力，则（　　）
A．、两点间的距离为
B．、两点间的距离为
C．、点两点间的竖直距离为
D．、点两点间的竖直距离为
10．（2025·山东·模拟预测）如图所示，一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，以某一速度射入电场强度大小为E、方向竖直向上的匀强电场与磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场叠加的区域。粒子还受到阻力作用（k为已知常数，v为粒子的瞬时速度）。已知粒子在该区域恰做直线运动。不计粒子重力，则该粒子（　　）
A．一定做匀速直线运动
B．入射速度的大小一定为
C．入射速度的方向可以与纸面不平行
D．入射速度的方向与电场方向的夹角一定满足
11．（2025·山东德州·三模）如图所示，竖直绝缘管固定在水平地面上的小车上，管内底部有一截面直径比管的内径略小、可视为质点的小圆柱体，小圆柱体质量，电荷量，绝缘管长为。在管口所在水平面的下方存在着垂直纸面向里、磁感应强度的匀强磁场，面上方存在着垂直纸面向外、磁感应强度的匀强磁场，上下的整个区域还存在着竖直向上、场强的匀强电场。现让小车始终保持的速度匀速向右运动，一段时间后小圆柱体在绝缘管内匀速，然后沿与竖直方向夹角为37°的方向离开绝缘管。小圆柱体在绝缘管外受到的空气阻力大小与其速度大小关系为，已知小圆柱体第一次与第二次经过水平面的距离为。取，不计其它阻力。求：
(1)小圆柱体刚进入磁场时的加速度大小；
(2)小圆柱体的加速度为时的速度大小；
(3)小圆柱体在绝缘管内运动时产生的热量；
(4)小圆柱体第二次经过水平面时的速度大小。
12．（2025·山东淄博·三模）如图甲所示，直角坐标系xOy位于竖直平面内，在第一、二象限内存在竖直向上的匀强电场，场强大小E1（未知）。现有一质量为m、电量为+q的带电小球，从第二象限以速度水平射出，做匀速直线运动，经点M（0，）进入第一象限，在第一象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场，经过一段时间，从点N（，0）第一次离开第一象限进入第四象限内，第四象限内存在一未知电场，小球沿NP方向做匀减速直线运动，到达y轴上的P点时速度恰好减为0。一足够长的光滑绝缘斜面固定在第三象限内，与y轴相交与P点，斜面沿NP方向，第三象限内存在垂直纸面向外的大小为的匀强磁场，同时存在竖直向上的周期性变化的电场，变化规律如图乙所示，从小球刚到达P点开始计时，且此后小球一直在第三象限内运动，重力加速度为g。求：
(1)电场强度大小E1；
(2)第一象限内磁感应强度大小B1；
(3)第四象限内的电场强度大小E2；
(4)小球在时间内的路程s。
13．（2025·山东青岛·三模）如图所示，MN是长度为3a的线状粒子源，PQ是金属网，从MN均匀逸出比荷为、初速度为0的带正电粒子。半径为a的圆形区域与PQ相切于，延长交于MN中点。在MN、PQ间所加电压为，粒子经电场加速后进入PQ右侧区域，在PQ右侧部分区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场。不计粒子重力。
(1)若仅圆内有磁场，磁感应强度大小为，求粒子在磁场中运动的最长时间；
(2)若仅圆外有磁场，不考虑粒子重复进入无磁场区域：
（ⅰ）当磁感应强度大小为时，求能经过圆心O的粒子在MN上逸出时的位置到的距离；
（ⅱ）要使能进入圆形区域的粒子数占总数的50%，求磁感应强度的大小。
14．（2025·山东齐鲁教研体·考前质量检测）如图所示，在直角坐标系中，以（，0）为圆心、为半径的半圆区域内存在垂直平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，为与轴重合的直径；在区域存在垂直平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为（未知）；在区域存在沿轴负方向的匀强电场（未知）；在区域存在垂直平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为（未知）。已知，，一质量为、带电量为的正粒子从圆周上点（）沿轴正方向以速度进入磁场，之后经磁场从轴上的点沿轴正方向进入匀强电场，经点进入磁场，又经过点射出磁场。不计粒子重力，求：
(1)匀强磁场的磁感应强度大小及点坐标；
(2)电场强度与磁感应强度的比值；
(3)粒子从点射入磁场到从点射出磁场，整个运动过程中需用的时间。
15．（2025·山东聊城·学考模拟三）现代科学实验中，对带电粒子运动的控制要求越来越高。如图甲所示，在空间坐标系中，的区域内存在与轴负方向夹角为30°的匀强电场，在的空间存在沿轴正方向的匀强电场，两部分电场强度大小相等。同时在的空间还存在沿轴方向变化的磁场（图中未画出）﹐磁感应强度随t的变化规律如图乙所示。一质量为m，电荷量为＋q的带电粒子，从静止出发经过加速电压U后，从A点（未知）处进入匀强电场，一段时间后恰好从原点О沿y轴负方向进入的空间。已知粒子第一次经过О点时记为时刻，粒子在时间内恰好可以在与平面平行的平面内做一个完整的圆周运动，且在时间内能达到的坐标最大值的绝对值与A点相同，规定磁场方向沿轴正方向为正，不计粒子重力，图乙中未知。求：
(1)匀强电场的电场强度大小；
(2)的大小；
(3)时刻粒子的位置坐标。
16．（2025·山东齐鲁名校·联考）现代科技常利用电场和磁场控制带电粒子的运动。如图甲所示的空间直角坐标系（轴未画出，正方向垂直于平面向外）中，在轴上的点有一粒子源，可以沿轴正方向发射质量均为、电荷量均为、速度大小均为的带电粒子。在的空间内存在如图乙所示的交变电场，电场强度大小未知，方向平行于轴，时间内沿轴正方向；在的空间内存在如图丙所示的交变磁场，磁感应强度大小为，方向沿轴负方向；在，的空间内存在磁感应强度大小也为、方向沿轴负方向的匀强磁场；在，的空间内存在电场强度大小也为、方向沿轴正方向的匀强电场。点和点为轴和分界线的交点。已知时刻射出的粒子恰好通过点。不计粒子重力和粒子间的相互作用以及电、磁场的边界效应。求：
(1)电场强度大小；
(2)时刻射出的粒子在时间内离轴的最大距离；
(3)时刻射出的粒子第次到达平面时的坐标。
17．（2025·山东临沂·学业水平等级模拟）如图甲所示，两平行金属板A、B水平放置，两板间距为d，紧靠两板右端宽度为d的两虚线间为电磁场区域，紧靠B板右端有一长度为且与竖直方向的夹角为的倾斜挡板C，挡板C的中心有一小孔D，挡板C将电磁场区域分成上下两部分，分别为区域Ⅰ和区域Ⅱ。区域Ⅰ中有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为；区域Ⅱ中有垂直纸面向里的匀强磁场和水平向左的匀强电场，磁感应强度大小为，电场强度为。A、B板之间的电压随时间周期性变化的规律如图乙所示。粒子源位于O点，可持续不断地沿板间中线以速度发射带负电粒子，粒子质量为m，带电量为q。已知时刻进入两板间的带电粒子在时刻刚好沿A板右边缘射出交变电场，打在挡板C上的粒子均被挡板吸收，只有穿过小孔D的粒子才能进入区域Ⅱ，不计粒子重力及粒子间的相互作用，计算结果只能选用m、q、d、T表示。求
(1)A、B板之间的电压；
(2)能够穿过小孔D的粒子进入两板间的时刻t；
(3)粒子在区域Ⅱ的出射点与小孔D的竖直距离y。
18．（2025·山东泰山教育联盟·4月联考）两个半径分别是和的同心圆之间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，一个质量为、电量为的正离子，从圆心水平向右射出，则
(1)若离子不离开大圆区域，求离子的最大速度；
(2)若粒子出射速度为，求粒子穿出大圆的交点坐标；
(3)若粒子不能离开大圆区域，所有进出小圆的点能将小圆6等分.求粒子的运动周期。
19．（2025·山东省实验中学·一模）如图甲所示的直角坐标系，在的区域内，存在着沿轴负方向的匀强电场，在且的区域内存在着垂直于纸面向里的匀强磁场。一个带电量为的粒子从轴上的点以初速度水平向右进入第一象限，经过轴上的点进入第四象限。带电粒子始终在面内运动，其速度可用如图乙所示的直角坐标系内的一个点表示，、分别为粒子速度在面内两个坐标轴上的分量。粒子出发时P位于图中点，然后沿线段移动到点，随后沿以横轴上的点（坐标未知）为圆心的圆弧移动至点，再沿线段回到点，整个过程中速度最大值为。已知图甲中，匀强磁场的磁感应强度为B，不计粒子重力，求：
(1)粒子到达点时的速度大小和方向；
(2)图乙中点的坐标；
(3)匀强电场的电场强度大小；
(4)若图甲中的长度等于，求粒子在运动过程中经过轴的位置坐标。
20．（2025·山东十三校·4月联考）如图所示，在轴左侧半径为的圆形区域内，存在磁感应强度大小未知、方向垂直平面向外的匀强磁场，磁场的边界与轴相切于点，圆心位于轴上；在 范围内存在沿轴负方向、大小也未知的匀强电场，其右边界与轴相交于点；在的区域内存在垂直平面向里的匀强磁场，其磁感应强度的大小也未知。一群质量为、电荷量为的带正电粒子，均以大小为、方向沿轴正方向的速度射入圆形磁场区域，之后均能从点进入电场。其中从点射入的粒子先后经圆形磁场和电场后从点射入匀强磁场，之后经点返回电场。已知与轴垂直，粒子经过点时的速度与轴正方向的夹角，不计粒子重力及粒子间的相互作用。求：
(1)圆形磁场的磁感应强度的大小；
(2)电场强度的大小；
(3)粒子从点运动到点的时间。
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题08 磁场
考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势
考点1 带电粒子在磁场中的运动 2025 一方面，对于磁场的基本性质，像磁感应强度、磁感线、安培力的大小与方向判断等基础知识考查较为频繁，常以选择题形式出现，检验学生对概念的理解。另一方面，带电粒子在磁场中的圆周运动问题是重点和难点，多与电场、重力场构建复合场情境，出现在计算题中。学生需要具备较强的空间想象能力，通过画出粒子运动轨迹，结合几何知识确定圆心、半径，再运用牛顿第二定律、向心力公式等，分析粒子在不同场中的受力与运动，综合考查学生知识的融会贯通能力。
考点2 带电粒子在复合场中的运动 2021、2022、2023、2024
考点01 带电粒子在磁场中的运动
1．（2025·山东·高考）如图甲所示的平面内，y轴右侧被直线分为两个相邻的区域I、Ⅱ。区域I内充满匀强电场，区域Ⅱ内充满垂直平面的匀强磁场，电场和磁场的大小、方向均未知。时刻，质量为m、电荷量为的粒子从O点沿x轴正向出发，在平面内运动，在区域I中的运动轨迹是以y轴为对称轴的抛物线的一部分，如图甲所示。时刻粒子第一次到达两区域分界面，在区域Ⅱ中运动的图像为正弦曲线的一部分，如图乙所示。不计粒子重力。下列说法正确的是（　　）
A．区域I内电场强度大小，方向沿y轴正方向
B．粒子在区域Ⅱ内圆周运动的半径
C．区域Ⅱ内磁感应强度大小，方向垂直平面向外
D．粒子在区域Ⅱ内圆周运动的圆心坐标
【答案】AD
【详解】A．粒子在区域I中的运动轨迹是以y轴为对称轴的抛物线的一部分，可以判断出粒子做类平抛运动，根据曲线轨迹可知，可知正粒子受到的电场力方向竖直向上，电场方向沿y轴正方向，设粒子初速度为 竖直方向有 水平方向有 由牛顿第二定律有 联立解得 A正确；
B．粒子在区域Ⅱ中运动的图像为正弦曲线的一部分，可以判断粒子做匀速圆周运动，
运动轨迹如图所示，则粒子在区域Ⅱ内圆周运动的半径 B错误；
C．粒子做类平抛运动进入匀强磁场时的速度 联立解得 根据洛伦兹力提供向心力有 解得 C错误；
D．如图所示，
设圆心为点，设粒子进入匀强磁场时的速度方向与竖直方向夹角为 由速度关系有 可得 由几何关系得 那么有 粒子在区域Ⅱ内圆周运动的圆心坐标 D正确。
故选AD。
考点02 带电粒子在复合场中的运动
2．（2024·山东·高考）如图所示，在Oxy坐标系x>0，y>0区域内充满垂直纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场。磁场中放置一长度为L的挡板，其两端分别位于x、y轴上M、N两点，∠OMN=60°，挡板上有一小孔K位于MN中点。△OMN之外的第一象限区域存在恒定匀强电场。位于y轴左侧的粒子发生器在0＜y＜的范围内可以产生质量为m，电荷量为+q的无初速度的粒子。粒子发生器与y轴之间存在水平向右的匀强加速电场，加速电压大小可调，粒子经此电场加速后进入磁场，挡板厚度不计，粒子可沿任意角度穿过小孔，碰撞挡板的粒子不予考虑，不计粒子重力及粒子间相互作用力。
（1）求使粒子垂直挡板射入小孔K的加速电压U0；
（2）调整加速电压，当粒子以最小的速度从小孔K射出后恰好做匀速直线运动，求第一象限中电场强度的大小和方向；
（3）当加速电压为时，求粒子从小孔K射出后，运动过程中距离y轴最近位置的坐标。
【答案】（1）；（2），方向沿x轴正方向；（3）(n=0,1,2 )
【详解】（1）根据题意，作出粒子垂直挡板射入小孔K的运动轨迹如图所示
根据几何关系可知粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为 在区域根据洛伦兹力提供向心力有 在匀强加速电场中由动能定理有 联立解得
（2）根据题意，当轨迹半径最小时，粒子速度最小，则作出粒子以最小的速度从小孔K射出的运动轨迹如图所示
根据几何关系可知粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为 在区域根据洛伦兹力提供向心力有 粒子从小孔K射出后恰好做匀速直线运动，由左手定则可知粒子经过小孔K后受到的洛伦兹力沿x轴负方向，则粒子经过小孔K后受到的电场力沿x轴正方向，粒子带正电，则之外第一象限区域电场强度的方向沿x轴正方向，大小满足 联立可得 电场方向沿轴正方向。
（3）当加速电压为时，在匀强加速电场中由动能定理有 可得 在区域由洛伦兹力提供向心力有 可得粒子在区域运动的轨迹半径 作出从小孔K射出的粒子的运动轨迹如图所示
设粒子从小孔射出的速度方向与轴正方向夹角为，根据几何关系可知 则粒子从小孔射出的速度方向与轴正方向的夹角为，由配速法，将速度分解为沿轴正方向的和另一个待定速度 ,使得满足，则 此时，则 方向正好沿着轴正方向，则设 则粒子从射出后的运动可分解为沿轴正方向的速度大小为的匀速直线运动和速度大小为的匀速圆周运动，可知 解得 粒子做圆周运动的周期为，粒子至少运动距离轴最近，加上整周期则粒子运动，时距离轴最近，则最近位置的横坐标为 纵坐标为， 综上所述，最近的位置坐标，。
3．（2023·山东·高考）如图所示，在，的区域中，存在沿y轴正方向、场强大小为E的匀强电场，电场的周围分布着垂直纸面向外的恒定匀强磁场。一个质量为m，电量为q的带正电粒子从OP中点A进入电场（不计粒子重力）。
（1）若粒子初速度为零，粒子从上边界垂直QN第二次离开电场后，垂直NP再次进入电场，求磁场的磁感应强度B的大小；
（2）若改变电场强度大小，粒子以一定的初速度从A点沿y轴正方向第一次进入电场、离开电场后从P点第二次进入电场，在电场的作用下从Q点离开。
（i）求改变后电场强度的大小和粒子的初速度；
（ii）通过计算判断粒子能否从P点第三次进入电场。

【答案】（1）；（2）（i），；（ii）不会
【详解】（1）由题意粒子在电场中做匀加速直线运动，根据动能定理有 粒子在磁场中做匀速圆周运动，有 粒子从上边界垂直QN第二次离开电场后，垂直NP再次进入电场，轨迹如图

根据几何关系可知 联立可得
（2）（i）由题意可知，做出粒子在电场和磁场中运动轨迹如图

在磁场中做匀速圆周运动，根据几何关系可知 解得 所以有，
洛伦兹力提供向心力 带电粒子从A点开始做匀加速直线运动，根据动能定理有
再一次进入电场后做类似斜抛运动，沿x方向有 沿y方向上有 其中根据牛顿第二定律有 联立以上各式解得
（ii）粒子从P到Q根据动能定理有 可得从Q射出时的速度为 此时粒子在磁场中的半径

根据其几何关系可知对应的圆心坐标为
得， 而圆心与P的距离为 故不会再从P点进入电场。
4．（2022·山东·高考）中国“人造太阳”在核聚变实验方面取得新突破，该装置中用电磁场约束和加速高能离子，其部分电磁场简化模型如图所示，在三维坐标系中，空间内充满匀强磁场I，磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向；，的空间内充满匀强磁场II，磁感应强度大小为，方向平行于平面，与x轴正方向夹角为；，的空间内充满沿y轴负方向的匀强电场。质量为m、带电量为的离子甲，从平面第三象限内距轴为的点以一定速度出射，速度方向与轴正方向夹角为，在平面内运动一段时间后，经坐标原点沿轴正方向进入磁场I。不计离子重力。
（1）当离子甲从点出射速度为时，求电场强度的大小；
（2）若使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，求进入磁场时的最大速度；
（3）离子甲以的速度从点沿轴正方向第一次穿过面进入磁场I，求第四次穿过平面的位置坐标（用d表示）；
（4）当离子甲以的速度从点进入磁场I时，质量为、带电量为的离子乙，也从点沿轴正方向以相同的动能同时进入磁场I，求两离子进入磁场后，到达它们运动轨迹第一个交点的时间差（忽略离子间相互作用）。
【答案】（1）；（2）；（3）（d，d，）；（4）
【详解】（1）如图所示
将离子甲从点出射速度为分解到沿轴方向和轴方向，离子受到的电场力沿轴负方向，可知离子沿轴方向做匀速直线运动，沿轴方向做匀减速直线运动，从到的过程，有
联立解得
（2）离子从坐标原点沿轴正方向进入磁场I中，在磁场I中做匀速圆周运动，经过磁场I偏转后从轴进入磁场II中，继续做匀速圆周运动，如图所示
由洛伦兹力提供向心力可得， 可得为了使离子在磁场中运动，则离子磁场I运动时，不能从磁场I上方穿出。在磁场II运动时，不能xOz平面穿出，则离子在磁场用运动的轨迹半径需满足， 联立可得 要使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，进入磁场时的最大速度为；
（3）离子甲以的速度从点沿z轴正方向第一次穿过面进入磁场I，离子在磁场I中的轨迹半径为
离子在磁场II中的轨迹半径为 离子从点第一次穿过到第四次穿过平面的运动情景，如图所示
离子第四次穿过平面的坐标为 离子第四次穿过平面的坐标为
故离子第四次穿过平面的位置坐标为（d，d，）。
（4）设离子乙的速度为，根据离子甲、乙动能相同，可得 可得 离子甲、离子乙在磁场I中的轨迹半径分别为， 离子甲、离子乙在磁场II中的轨迹半径分别为， 根据几何关系可知离子甲、乙运动轨迹第一个交点在离子乙第一次穿过x轴的位置，如图所示
从点进入磁场到第一个交点的过程，有
可得离子甲、乙到达它们运动轨迹第一个交点的时间差为
5．（2021·山东·高考）某离子实验装置的基本原理如图甲所示。Ⅰ区宽度为d，左边界与x轴垂直交于坐标原点O，其内充满垂直于平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为；Ⅱ区宽度为L，左边界与x轴垂直交于点，右边界与x轴垂直交于点，其内充满沿y轴负方向的匀强电场。测试板垂直x轴置于Ⅱ区右边界，其中心C与点重合。从离子源不断飘出电荷量为q、质量为m的正离子，加速后沿x轴正方向过O点，依次经Ⅰ区、Ⅱ区，恰好到达测试板中心C。已知离子刚进入Ⅱ区时速度方向与x轴正方向的夹角为。忽略离子间的相互作用，不计重力。
（1）求离子在Ⅰ区中运动时速度的大小v；
（2）求Ⅱ区内电场强度的大小E；
（3）保持上述条件不变，将Ⅱ区分为左右两部分，分别填充磁感应强度大小均为B（数值未知）方向相反且平行y轴的匀强磁场，如图乙所示。为使离子的运动轨迹与测试板相切于C点，需沿x轴移动测试板，求移动后C到的距离S。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）设离子在Ⅰ区内做匀速圆周运动的半径为r，由牛顿第二定律得① 根据几何关系得② 联立①②式得
（2）离子在Ⅱ区内只受电场力，x方向做匀速直线运动，y方向做匀变速直线运动，设从进入电场到击中测试板中心C的时间为t，y方向的位移为，加速度大小为a，由牛顿第二定律得 由运动的合成与分解得，， 联立得
（3）Ⅱ区内填充磁场后，离子在垂直y轴的方向做线速度大小为vcosθ的匀速圆周运动，如图所示。设左侧部分的圆心角为，圆周运动半径为，运动轨迹长度为，由几何关系得
，
由于在y轴方向的运动不变，离子的运动轨迹与测试板相切于C点，则离子在Ⅱ区内的运动时间不变，故有
C到的距离 联立得
1．（2025·山东青岛·三模）三根平行长直导线a、b、c中均通有恒定电流，导线a、b固定在水平面上，导线c通过轻质绝缘细线与力传感器相连，截面图如图所示，此时导线c处于静止状态且力传感器的示数恰好为零，下列说法正确的是（　　）
A．导线a、b中的电流方向相反
B．导线a、c中的电流方向相同
C．若导线b中的电流减小，细线将向右偏转
D．若导线b中的电流反向，细线将向左偏转
【答案】C
【详解】AB．根据平衡条件，导线a、b对c均为斥力，根据左手定则，导线a、b中的电流方向相同，导线a、c中的电流方向相反，AB错误；
C．若导线b中的电流减小，b对c的斥力减小，细线将向右偏转，C正确；
D．若导线b中的电流反向，b与c的电流方向相同，b对c的作用力由斥力变为引力，细线将向右偏转，D错误。
故选C。
2．（2025·山东Flawless联考·选考四）如图所示，平面直角坐标系xOy平面内，一个质量为m、电荷量为-q（q>0）的带电粒子从O点沿+y方向以初速度射出，忽略粒子重力。设空间内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为B，同时空间中还均匀分布着某种粘性介质，使得任何粒子受到的阻力大小其速度大小成正比，比例系数为k。下列说法错误的是（　　）（提示：在研究一般的曲线运动时，可以把这条曲线分割为许多很短的小段，质点在每一小段的运动都可以看作圆周运动的一部分，称该圆周运动的半径叫作曲率半径，用ρ来表示。）
A．在经过足够长时间后，粒子走过的路程近似为
B．当粒子的速度大小减半时，其运动的曲率半径也减半
C．当粒子的速度大小减半时，其加速度大小也减半
D．经过时间 后，粒子的速度方向将沿着+x方向
【答案】D
【详解】A．题意可知最终粒子速度为0，动能定理有 解得 故A正确，不符合题意；
B．根据 解得 可知当粒子的速度大小减半时，其运动的曲率半径也减半，故B正确，不符合题意；
C．阻力产生的加速度 洛伦兹力产生的加速度 故粒子合加速度 当粒子的速度大小减半时，其加速度大小也减半,故C正确，不符合题意；
D．若没有阻力，粒子在磁场中做匀速圆周运动，周期，经过时间，粒子的速度方向将沿着 y方向。由于存在阻力，粒子速度不断减小，运动轨迹不是标准的圆周，经过时间后，粒子的速度方向不会沿着+x方向，故D错误，符合题意。
故选D。
3．（2025·山东枣庄·三模）我国特高压输电技术全球领先，如图甲所示为特高压输电线路，其中每组输电线都由6根相互平行的水平长直导线组成，使用六分裂间隔棒固定，使每组导线的横截面呈正六边形，中心为O，截面图如图乙所示。每根导线通有大小相等、方向相同的电流，已知单独一根通电导线在O点产生的磁感应强度大小为B。下列说法正确的是（　　）
A．穿过截面abcdef的磁通量不为零
B．导线b受到的安培力方向竖直向下
C．a、b、c三根导线在O点产生的磁感应强度大小为2B
D．a、b、c三根导线在O点产生的磁感应强度方向竖直向下
【答案】C
【详解】A．根据右手定则可知，通电长直导线产生的磁场是以长导线为圆心的同心圆，通电长导线产生的磁场平行于截面abcdef，所以穿过截面的磁通量为零，故A错误；
B．根据右手定则可知，e导线在b点产生的磁场方向垂直于eb向下，f导线在b点产生的磁场垂直于bf连线沿bc指向c，d导线在b点产生的磁场垂直于bd连线沿ba指向b，a导线在b点产生的磁场垂直于ab连线沿bd指向d，c导线在b点产生的磁场垂直于bc连线沿bf指向b，通过分析b点的磁场方向竖直向下，根据左手定则导线b的安培力方向水平向右，故B错误；
CD．a、b、c三根导线在O点产生的磁场大小均为B，a导线在O点产生的磁场垂直于aO连线指向ef中点，b导线在O点产生的磁场垂直于bO连线竖直向上，c导线在O点产生的磁场垂直于cO连线指向ab中点，三个磁场叠加可得O点的磁场方向竖直向上，大小为，故C正确，D错误。
故选C。
4．（2025·山东青岛·调研检测）人体血管状况及血液流速能反映出身体健康状态，为了研究这一课题，我们做如下的简化和假设：如图所示，某段血管内径为d，血流速度方向水平向右，血液中含有大量的正负离子，血管处于磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的匀强磁场中，M、N是血管上侧和下侧对称的两个位置。血液流量Q保持不变，下列说法正确的是（　　）
A．M点电势高于N点电势
B．血液流速大小
C．M、N两点间的电势差
D．当血液中粒子浓度升高时，M、N两点间的电势差变大
【答案】C
【详解】A．根据左手定则，可知负电荷向上偏，故M点电势低于N点电势，故A错误；
B．由题可得，血液流量 解得 故B错误；
C．稳定时，粒子所受洛伦兹力等于所受的电场力，则有 解得 故C正确；
D．根据 可知M、N两点间的电势差U与血液中粒子的浓度无关，故D错误。
故选C。
5．（2025·山东聊城·学业水平等级考试模拟）排污管道对于一个城市的正常运转是不可或缺的。管道中的污水通常含有大量的正负离子。如图所示，管道内径为d，污水流速大小为v，方向水平向右。现将方向与管道横截面平行，且垂直纸面向内的匀强磁场施于某段管道，磁感应强度大小为B，M、N为管道上的两点，当污水的流量（单位时间内流过管道横截面的液体体积）一定时（　　）
A．M点电势低，N点电势高
B．M、N间电势差与污水流速无关
C．由于沉淀物导致管道内径变小时，污水流速变小
D．由于沉淀物导致管道内径变小时，M、N间的电势差变大
【答案】D
【详解】A．根据左手定则可知，带正电的粒子所受洛伦兹力向上，则M点电势高，N点电势低，故A错误;
B．温度后满足 得，即M、N间电势差与污水流速有关，故B错误；
C．由于污水流量一定，根据 当沉淀物导致管道内径变小时，S变小，则污水流速变大，故C错误；
D．由于沉淀物导致管道内径变小时，根据 故M、N间的电势差U变大，故D正确。
故选D。
6．（2025·山东省实验中学·四诊）某实验室内充满匀强磁场和匀强电场，磁场、电场与水平地面夹角均为45°且斜向右上，如图所示。房间内在离地面h处的位置有一个粒子发射源，源源不断地发射出质量为m、电荷量为q的粒子，粒子在房间内以v做匀速直线运动。某次实验中，撤去磁场，电场不变，粒子发射后经过一段时间落到地面上（不计空气阻力），重力加速度为g，以下说法正确的（　　）

A．粒子带负电，磁感应强度为，电场强度为
B．电场力做功为
C．粒子运动过程中机械能增大
D．落地点到发射点的水平距离
【答案】D
【详解】A．粒子在匀强电场和磁场中做匀速直线运动，则粒子受到的合力为零；粒子受到的电场力与电场线平行，受到的洛伦兹力与磁场方向和电场方向都垂直，则粒子的受力如图所示：

若粒子带负电，则电场力、洛伦兹力和重力不可能平衡，因此粒子应带正电； 根据平衡条件mgcos45°=qE，mgsin45°=qvB 解得， 故A错误；
BC．由左手定则可知粒子的速度方向垂直纸面水平向外；撤去磁场后，重力与电场力的合力垂直于电场斜向下。则粒子运动轨迹在垂直于电场线的平面内，故电场力不做功。则粒子落地过程中，机械能守恒。故BC错误；
D．粒子的速度方向垂直纸面水平向外，粒子在竖直方向上做初速度为零的匀加速直线运动，根据 根据 可得 水平向外做匀速直线运动，则 水平向右做匀加速运动 则水平向右的位移 落地点到发射点的水平距离 故D正确。
故选D。
7．（2025·山东淄博·一模）如图所示，恒定电流流过边长为的水平放置的正方形导线，O点为正方形的中心，P点位于O点正上方且，每条导线在P点的磁感应强度大小均为，则P点的磁感应强度大小为（　　）
A．0 B． C． D．
【答案】D
【详解】根据图中几何关系结合安培定则，可知两相互平行导线在P点产生的磁感应强度方向的夹角为，如图所示
则两相互平行导线在P点产生的合磁感应强度大小为 方向竖直向上；则正方形导线在P点的磁感应强度大小为
故选D。
8．（2025·山东Flawless联考·选考四）磁悬浮列车是一种依靠三相交流电实现高速行驶的运载工具。三相交流电可产生周期性变化的磁场，通过电磁感应使列车获得向前的牵引力。下面是一简化模型：如图所示，xOy平面为轨道平面，x轴与列车前进方向平行，空间中存在垂直于轨道平面的磁场，大小为（其中B0，，k均为正常数），且时处的磁场方向垂直于纸面向里。固定的金属矩形框ABCD与轨道平面平行，AB平行于y轴，BC平行于x轴，且，，金属框的电阻为R，忽略由变化的磁场产生的感生电场，则（　　）
A．空间中磁场的传播方向为沿x轴正方向
B．空间中磁场的传播速率为
C．时金属框受到的安培力大小为
D．t=0至，金属框产生的总热量为
【答案】BD
【详解】A．由于 可知，金属框在运动过程中，左右两边所在位置的磁感应强度大小始终相等，方向始终相反，当磁场向右运动时，金属框相对磁场向左运动，当磁场向左运动时，金属框相对磁场向右运动，根据右手定则可以确定感应电流的方向，根据左手定则可以确定安培力的方向与磁场运动方向相同，即当磁场向右运动时，所受安培力方向向右，金属框向右运动，当磁场向左运动时，所受安培力方向向左，金属框向左运动，金属框运动方向与磁场传播方向相同。由于题中金属框运动方向不确定，则空间中磁场的传播方向也不确定，故A错误；
B．结合上述有 可知 根据圆频率与周期的关系有 则空间中磁场的传播速率为 故B正确；
C．结合上述可知，时，金属框左右两边的磁感应强度大小均为 金属框回路产生的感应电动势 感应电流为 金属框所受安培力大小 结合上述解得
故C错误；
D．结合上述，金属框左右两边的磁感应强度大小始终相等，均等于 金属框回路产生的感应电动势 感应电流为 结合上述解得 感应电流的有效值 则t=0至，金属框产生的总热量 解得 故D正确。
故选BD。
9．（2025·山东泰安·二轮复习检测）如图所示，空间存在竖直向下的场强大小为匀强电场和垂直纸面向里磁感应强度大小为的匀强磁场。一质量为、电量大小为的离子从静止开始自点沿曲线运动，、在同一水平线上，点为运动轨迹的最低点，不计重力，则（　　）
A．、两点间的距离为
B．、两点间的距离为
C．、点两点间的竖直距离为
D．、点两点间的竖直距离为
【答案】AC
【详解】AB．正离子在电场力和洛伦兹力共同作用下，从静止开始自M点沿曲线MQN运动的曲线属于圆滚线，即将离子从静止开始自M点沿曲线MQN的运动看作是水平方向的匀速运动和匀速圆周运动的合运动，M、N两点在同一水平面上，沿MN连线运动路径最短，所以使粒子沿MN连线匀速运动，满足：qvB=qE
解得： 方向由M指向N，离子由静止开始的曲线运动可以看成是水平向右的匀速运动和纸面内的匀速圆周运动的合运动，水平方向有 圆周运动线速度大小 周期 所以运动时间 则M、N两点间的距离 选项A正确，B错误；
CD．Q点的速度等于水平向右的匀速运动速度与圆周运动在Q点水平向右速度的合速度，所以
粒子由M点到Q点应用动能定理有 所以 选项C正确，D错误。
故选AC。
10．（2025·山东·模拟预测）如图所示，一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，以某一速度射入电场强度大小为E、方向竖直向上的匀强电场与磁感应强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场叠加的区域。粒子还受到阻力作用（k为已知常数，v为粒子的瞬时速度）。已知粒子在该区域恰做直线运动。不计粒子重力，则该粒子（　　）
A．一定做匀速直线运动
B．入射速度的大小一定为
C．入射速度的方向可以与纸面不平行
D．入射速度的方向与电场方向的夹角一定满足
【答案】AD
【详解】A．假设粒子做变速直线运动，在与速度垂直方向上的洛伦兹力大小就会改变，受力不能保持平衡，速度方向就会发生改变，不能维持直线运动，故粒子一定做匀速直线运动，故A正确；
B．根据平衡条件 解得入射速度的大小为 故B错误；
C．若速度方向与纸面不平行，速度在垂直于纸面方向上有分速度，粒子在垂直于纸面方向受到阻力做减速运动，与粒子一定做匀速直线运动相矛盾，故C错误；
D．根据几何关系可知 故D正确。
故选AD。
11．（2025·山东德州·三模）如图所示，竖直绝缘管固定在水平地面上的小车上，管内底部有一截面直径比管的内径略小、可视为质点的小圆柱体，小圆柱体质量，电荷量，绝缘管长为。在管口所在水平面的下方存在着垂直纸面向里、磁感应强度的匀强磁场，面上方存在着垂直纸面向外、磁感应强度的匀强磁场，上下的整个区域还存在着竖直向上、场强的匀强电场。现让小车始终保持的速度匀速向右运动，一段时间后小圆柱体在绝缘管内匀速，然后沿与竖直方向夹角为37°的方向离开绝缘管。小圆柱体在绝缘管外受到的空气阻力大小与其速度大小关系为，已知小圆柱体第一次与第二次经过水平面的距离为。取，不计其它阻力。求：
(1)小圆柱体刚进入磁场时的加速度大小；
(2)小圆柱体的加速度为时的速度大小；
(3)小圆柱体在绝缘管内运动时产生的热量；
(4)小圆柱体第二次经过水平面时的速度大小。
【答案】(1)6m/s2
(2)m/s
(3)0.2J
(4)m/s
【详解】（1）小圆柱体刚进入磁场B1时，受重力、电场力和洛伦兹力三个力的作用，其中重力和电场力二力平衡 所以洛伦兹力就是小圆柱体的合力，根据牛顿第二定律得 解得
（2）一段时间后小圆柱体在绝缘管内匀速，则有 其中 解得
竖直方向的洛伦兹力和摩擦力的合力等于小圆柱体的合力，根据牛顿第二定律得
将代入得 此时小圆柱体的速度大小为
（3）由题意知，小圆柱体离开绝缘管时的速度为 小圆柱体在绝缘管内运动的过程中，根据动能定理有 解得小圆柱体在绝缘管内运动时产生的热量
（4）设某时刻速度为，方向与竖直方向夹角为，竖直方向根据动量定理有
即 解得 水平方向根据动量定理有
即 解得 所以小圆柱体第二次经过水平面ab时的速度大小为
12．（2025·山东淄博·三模）如图甲所示，直角坐标系xOy位于竖直平面内，在第一、二象限内存在竖直向上的匀强电场，场强大小E1（未知）。现有一质量为m、电量为+q的带电小球，从第二象限以速度水平射出，做匀速直线运动，经点M（0，）进入第一象限，在第一象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场，经过一段时间，从点N（，0）第一次离开第一象限进入第四象限内，第四象限内存在一未知电场，小球沿NP方向做匀减速直线运动，到达y轴上的P点时速度恰好减为0。一足够长的光滑绝缘斜面固定在第三象限内，与y轴相交与P点，斜面沿NP方向，第三象限内存在垂直纸面向外的大小为的匀强磁场，同时存在竖直向上的周期性变化的电场，变化规律如图乙所示，从小球刚到达P点开始计时，且此后小球一直在第三象限内运动，重力加速度为g。求：
(1)电场强度大小E1；
(2)第一象限内磁感应强度大小B1；
(3)第四象限内的电场强度大小E2；
(4)小球在时间内的路程s。
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）由小球在第二象限做匀速直线运动可知 解得
（2）因E1q=mg，则在第一象限内小球在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，轨迹如图所示：
由几何关系有， 得 又 则
（3）由（2）中几何关系可知NP与x轴负方向成45° 小球由N到P过程中有
且小球所受的合力F合=ma 重力mg和电场力qE2之间满足如下关系 解得
（4）分析可知小球在第三象限无电场期间沿斜面做匀加速直线运动，恰好离开斜面时有， 得 小球在时刻恰好离开斜面，则小球在斜面上做匀加速直线运动的路程为 小球在时刻的速度为 小球在时刻的速度为 分析可知小球在有电场存在的时间内做匀速圆周运动，由周期公式得 则小球在两段有电场存在的时间内分别做两个完整的匀速圆周运动，两次的路程之和为 联立解得
13．（2025·山东青岛·三模）如图所示，MN是长度为3a的线状粒子源，PQ是金属网，从MN均匀逸出比荷为、初速度为0的带正电粒子。半径为a的圆形区域与PQ相切于，延长交于MN中点。在MN、PQ间所加电压为，粒子经电场加速后进入PQ右侧区域，在PQ右侧部分区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场。不计粒子重力。
(1)若仅圆内有磁场，磁感应强度大小为，求粒子在磁场中运动的最长时间；
(2)若仅圆外有磁场，不考虑粒子重复进入无磁场区域：
（ⅰ）当磁感应强度大小为时，求能经过圆心O的粒子在MN上逸出时的位置到的距离；
（ⅱ）要使能进入圆形区域的粒子数占总数的50%，求磁感应强度的大小。
【答案】(1)
(2)（ⅰ）0，；（ⅱ）
【详解】（1）粒子在加速电场中，根据动能定理可得
在磁场中洛伦兹力提供圆周运动的向心力，则有， 当粒子在圆形磁场中轨迹对应弦长最长，为圆形磁场直径2a时，粒子在磁场中运动的时间最长，轨迹如图所示
对应轨迹圆周运动的圆心角60°，在磁场中运动的最长时间
（2）（ⅰ）①d=0，粒子直线运动经过O点； ②粒子在右侧磁场中匀速圆周运动，由牛顿第二定律得 解得 由几何关系得：当粒子指向圆心进入无磁场区域时，粒子轨迹与对称轴相切，如图所示
所以，粒子到对称轴的距离
（ⅱ）取临界状态，粒子在右侧磁场中运动轨迹圆恰好与无磁场区域圆相切，如图所示
根据题意有一半的粒子圆形区域，所以上下两轨迹圆圆心距离为，由几何关系可得
解得 由牛顿第二定律得 解得
14．（2025·山东齐鲁教研体·考前质量检测）如图所示，在直角坐标系中，以（，0）为圆心、为半径的半圆区域内存在垂直平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，为与轴重合的直径；在区域存在垂直平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为（未知）；在区域存在沿轴负方向的匀强电场（未知）；在区域存在垂直平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为（未知）。已知，，一质量为、带电量为的正粒子从圆周上点（）沿轴正方向以速度进入磁场，之后经磁场从轴上的点沿轴正方向进入匀强电场，经点进入磁场，又经过点射出磁场。不计粒子重力，求：
(1)匀强磁场的磁感应强度大小及点坐标；
(2)电场强度与磁感应强度的比值；
(3)粒子从点射入磁场到从点射出磁场，整个运动过程中需用的时间。
【答案】(1)，[0，]
(2)
(3)
【详解】（1）带正电的粒子在磁场做圆周运动，设半径，洛伦兹力提供向心力，根据
解得 粒子运动轨迹如图所示
由几何关系可知，粒子将从点进入磁场，且其速度与轴正方向的夹角为，粒子进入磁场后做匀速圆周运动，设其轨迹半径为，由于粒子垂直轴离开磁场，由几何关系可知 根据洛伦兹力提供向心力
解得点的坐标为 则点的坐标为[0，]。
（2）粒子在电场中做类平抛运动，则有，， 联立解得 粒子到点的竖直分速度设为，则 解得 即粒子从点射入磁场内的速度方向与轴正向成角，速度大小为，则做圆周运动的半径 根据 解得 所以
（3）粒子在磁场中运动时间 粒子在磁场中运动时间 粒子在电场中运动时间由 解得 粒子在磁场中运动时间 所以粒子整个运动过程中需用的时间
15．（2025·山东聊城·学考模拟三）现代科学实验中，对带电粒子运动的控制要求越来越高。如图甲所示，在空间坐标系中，的区域内存在与轴负方向夹角为30°的匀强电场，在的空间存在沿轴正方向的匀强电场，两部分电场强度大小相等。同时在的空间还存在沿轴方向变化的磁场（图中未画出）﹐磁感应强度随t的变化规律如图乙所示。一质量为m，电荷量为＋q的带电粒子，从静止出发经过加速电压U后，从A点（未知）处进入匀强电场，一段时间后恰好从原点О沿y轴负方向进入的空间。已知粒子第一次经过О点时记为时刻，粒子在时间内恰好可以在与平面平行的平面内做一个完整的圆周运动，且在时间内能达到的坐标最大值的绝对值与A点相同，规定磁场方向沿轴正方向为正，不计粒子重力，图乙中未知。求：
(1)匀强电场的电场强度大小；
(2)的大小；
(3)时刻粒子的位置坐标。
【答案】(1)
(2)
(3)（，0，0）
【详解】（1）设粒子经加速电压后速度为，则有 解得 一段时间后恰好从原点О沿y轴负方向进入的空间，可知在O点时，粒子水平方向速度为0，则水平方向有 其中 联立解得
（2）设粒子经过原点O时速度为v，在区域内的匀强电场中，水平方向，有 解得 竖直方向，有， 其中 解得， 进入的空间，与平面平行的平面内做一个完整的圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有
根据题意 解得
（3）进入进入的空间，粒子在磁场的作用下平行于xOy平面做匀速圆周运动，在电场作用下平行于x轴方向做初速度为0的匀加速直线运动。 在时间内，粒子运动的周期 在时间内，粒子将做离心运动，周期与在B0磁场中做匀速圆周运动相同， 故在时间内，粒子运动半个周期，到达x轴上。 在x方向，
解得2t0时刻粒子的位置坐标为（，0，0）
16．（2025·山东齐鲁名校·联考）现代科技常利用电场和磁场控制带电粒子的运动。如图甲所示的空间直角坐标系（轴未画出，正方向垂直于平面向外）中，在轴上的点有一粒子源，可以沿轴正方向发射质量均为、电荷量均为、速度大小均为的带电粒子。在的空间内存在如图乙所示的交变电场，电场强度大小未知，方向平行于轴，时间内沿轴正方向；在的空间内存在如图丙所示的交变磁场，磁感应强度大小为，方向沿轴负方向；在，的空间内存在磁感应强度大小也为、方向沿轴负方向的匀强磁场；在，的空间内存在电场强度大小也为、方向沿轴正方向的匀强电场。点和点为轴和分界线的交点。已知时刻射出的粒子恰好通过点。不计粒子重力和粒子间的相互作用以及电、磁场的边界效应。求：
(1)电场强度大小；
(2)时刻射出的粒子在时间内离轴的最大距离；
(3)时刻射出的粒子第次到达平面时的坐标。
【答案】(1)
(2)
(3)或
【详解】（1）粒子由P点运动到M点的过程，沿x方向做匀速直线运动，所用时间为 所以沿y方向先做匀加速直线运动后做匀速直线运动，所以 其中 得
（2）设磁感应强度大小为，粒子在磁场中做匀速圆周运动，其周期为 粒子在时间内的运动轨迹如图所示
根据运动的对称性可得、时间内粒子沿y轴正方向的位移大小均为 在时刻，， 方向与x轴正方向的夹角为，时间内粒子以速度v做匀速圆周运动，则 解得时间内粒子沿y轴方向的最大位移 综上所述可得
（3）时刻射出的粒子在时刻到达N点，速度为，方向与x轴正方向的夹角为，粒子在磁场中的运动为螺旋运动，每次在磁场中运动的时间为。粒子每次进入磁场后沿y轴负方向移动的距离 粒子每次进入磁场后，有 解得 沿z轴负方向移动的距离 粒子每次进入电场后沿y轴负方向移动的距离 归纳得，时刻射出的粒子第次到达平面时的坐标为
或
17．（2025·山东临沂·学业水平等级模拟）如图甲所示，两平行金属板A、B水平放置，两板间距为d，紧靠两板右端宽度为d的两虚线间为电磁场区域，紧靠B板右端有一长度为且与竖直方向的夹角为的倾斜挡板C，挡板C的中心有一小孔D，挡板C将电磁场区域分成上下两部分，分别为区域Ⅰ和区域Ⅱ。区域Ⅰ中有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为；区域Ⅱ中有垂直纸面向里的匀强磁场和水平向左的匀强电场，磁感应强度大小为，电场强度为。A、B板之间的电压随时间周期性变化的规律如图乙所示。粒子源位于O点，可持续不断地沿板间中线以速度发射带负电粒子，粒子质量为m，带电量为q。已知时刻进入两板间的带电粒子在时刻刚好沿A板右边缘射出交变电场，打在挡板C上的粒子均被挡板吸收，只有穿过小孔D的粒子才能进入区域Ⅱ，不计粒子重力及粒子间的相互作用，计算结果只能选用m、q、d、T表示。求
(1)A、B板之间的电压；
(2)能够穿过小孔D的粒子进入两板间的时刻t；
(3)粒子在区域Ⅱ的出射点与小孔D的竖直距离y。
【答案】(1)
(2)或
(3)
【详解】（1）由t=0时刻进入两板间的带电粒子在t=T时刻网好沿A板右边缘射出交变电场，竖直方向先做匀加速直线运动再做匀减速直线运动，则 且 联立解得
（2）不同时刻进入两板间的粒子，在两板间电场力的冲量一定为零，故粒子一定以水 平向右离开交变电场，能通过小孔的粒子在区域I中，其轨迹圆心角设为，由几何关系得 且 联立解得 在0-T时段内进入交变电场能够通过小孔的粒子，其进入的时刻设为，竖直位移满足或 解得或 考虑到周期性 可得或
（3）粒子从小孔射出的速度方向与水平方向的夹角为，该速度沿水平和竖直方向 的分速度大小为 分析数据发现则粒子从小孔射出后的运动可分解为沿竖直方向的匀速直线运动和速度大小为的匀速圆周运动，可知 解得 粒子做匀速圆周运动，从小孔至出射转过的圆心角设为，由外何关系知 联立解得 从小孔至出射所用时间设为 做匀速圆周运动产生的竖直位移为 做匀速直线运动产生的竖直位移为 粒子在区域I的出射点与小孔D的竖直距离 联立解得
18．（2025·山东泰山教育联盟·4月联考）两个半径分别是和的同心圆之间有垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为，一个质量为、电量为的正离子，从圆心水平向右射出，则
(1)若离子不离开大圆区域，求离子的最大速度；
(2)若粒子出射速度为，求粒子穿出大圆的交点坐标；
(3)若粒子不能离开大圆区域，所有进出小圆的点能将小圆6等分.求粒子的运动周期。
【答案】(1)
(2),
(3)
【详解】（1）如图所示为带电粒子在环形磁场中恰好不离开时的运动轨迹，段粒子做匀速直线运动，设轨迹半径为，圆心为，轨迹与内圆的交点为，与外圆的切点为，在直角三角形中，由勾股定理可得 解得 由磁场中洛伦兹力提供向心力 解得
（2）如图所示为带电粒子在环形磁场中出射速度为的运动轨迹，设轨迹半径为，圆心为，与外圆的切点为，由磁场中洛伦兹力提供向心力 解得 在直角三角形中，令,根据几何关系 ，， 由几何关系可得
连接（外圆半径），过交点做平行横轴的辅助线交于于，可得三角形，由题意可知 可得，即为直角，即 由几何关系 ,
（3）若粒子不能离开大圆区域，所有进出小圆的点能将小圆6等分，轨迹如图所示，，圆心角 ，设轨迹半径为，由几何关系可知 解得 由磁场中洛伦兹力提供向心力 得 粒子在磁场中偏转的时间 在小圆中匀速直线运动时间 则粒子的运动周期
19．（2025·山东省实验中学·一模）如图甲所示的直角坐标系，在的区域内，存在着沿轴负方向的匀强电场，在且的区域内存在着垂直于纸面向里的匀强磁场。一个带电量为的粒子从轴上的点以初速度水平向右进入第一象限，经过轴上的点进入第四象限。带电粒子始终在面内运动，其速度可用如图乙所示的直角坐标系内的一个点表示，、分别为粒子速度在面内两个坐标轴上的分量。粒子出发时P位于图中点，然后沿线段移动到点，随后沿以横轴上的点（坐标未知）为圆心的圆弧移动至点，再沿线段回到点，整个过程中速度最大值为。已知图甲中，匀强磁场的磁感应强度为B，不计粒子重力，求：
(1)粒子到达点时的速度大小和方向；
(2)图乙中点的坐标；
(3)匀强电场的电场强度大小；
(4)若图甲中的长度等于，求粒子在运动过程中经过轴的位置坐标。
【答案】(1)，方向与轴成斜向下
(2)
(3)
(4)见解析
【详解】（1）粒子从做类平抛运动，令粒子到达D点时速度方向与轴成角度 则水平方向
竖直方向 由题意知 由数学知识 联立解得， 即到达D点时粒子速度方向与轴成斜向下。
（2）设点坐标为 根据题意结合数学知识可得解得
故点的坐标为
（3）粒子从点到最低点（速度最大）时，向下运动的位移为 由动能定理有 水平方向由动量定理有 联立解得匀强电场的电场强度大小
（4）由运动的分解知识可得，粒子在磁场中的运动可分解为以速度水平向右的匀速运动和以速度的逆时针方向的匀速圆周运动 过程由动能定理得 解得的长度等于，由（1）问解得 由洛伦兹力提供向心力得 故得圆周运动半径 粒子运动时间
设轴下方的一次运动和轴上方的类斜抛为一个周期 则 水平位移 故得粒子在运动过程中经过轴的位置坐标为 粒子从上到下经过轴时 粒子从下到上经过轴时
20．（2025·山东十三校·4月联考）如图所示，在轴左侧半径为的圆形区域内，存在磁感应强度大小未知、方向垂直平面向外的匀强磁场，磁场的边界与轴相切于点，圆心位于轴上；在 范围内存在沿轴负方向、大小也未知的匀强电场，其右边界与轴相交于点；在的区域内存在垂直平面向里的匀强磁场，其磁感应强度的大小也未知。一群质量为、电荷量为的带正电粒子，均以大小为、方向沿轴正方向的速度射入圆形磁场区域，之后均能从点进入电场。其中从点射入的粒子先后经圆形磁场和电场后从点射入匀强磁场，之后经点返回电场。已知与轴垂直，粒子经过点时的速度与轴正方向的夹角，不计粒子重力及粒子间的相互作用。求：
(1)圆形磁场的磁感应强度的大小；
(2)电场强度的大小；
(3)粒子从点运动到点的时间。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）由题意可知粒子经过圆形磁场出现磁聚焦现象，根据磁聚焦原理，粒子在圆形磁场中做匀速圆周运动的半径 由洛伦兹力提供向心力得 解得
（2）粒子从点运动到点运动轨迹如图所示
进入电场后做类平抛运动，由 因为 解得
（3）从点射入的粒子应从点水平射出，从点到点的时间 进入磁场后，粒子做匀速圆周运动，由几何关系可知粒子做圆周运动的半径 因 则粒子在磁场中运动的时间 因 粒子从点到点的时间
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