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专题16 力学计算
考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势
考点1 牛顿运动定律 2022 通常以牛顿运动定律、动量守恒定律、机械能守恒定律、动能定理等核心力学规律为基础，结合斜面、传送带、碰撞、弹簧连接体等丰富多样的物理情境进行考查。考查学生对复杂物理过程的细致分析能力，要求能够准确判断物体的受力情况、运动状态变化，合理选择物理规律建立方程求解。这类题目计算量往往较大，对学生的数学运算能力，如三角函数运算、解方程能力等要求较高，同时还需要学生具备良好的逻辑思维，能够清晰梳理各物理量之间的关系，构建正确的物理模型。
考点2 曲线运动 2021、2023
考点3 守恒定律 2021、2022、2023、2024、2025
考点01 牛顿运动定律
1．（2022·山东·高考）某粮库使用额定电压，内阻的电动机运粮。如图所示，配重和电动机连接小车的缆绳均平行于斜坡，装满粮食的小车以速度沿斜坡匀速上行，此时电流。关闭电动机后，小车又沿斜坡上行路程L到达卸粮点时，速度恰好为零。卸粮后，给小车一个向下的初速度，小车沿斜坡刚好匀速下行。已知小车质量，车上粮食质量，配重质量，取重力加速度，小车运动时受到的摩擦阻力与车及车上粮食总重力成正比，比例系数为k，配重始终未接触地面，不计电动机自身机械摩擦损耗及缆绳质量。求：
（1）比例系数k值；
（2）上行路程L值。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）设电动机的牵引绳张力为，电动机连接小车的缆绳匀速上行，由能量守恒定律有
解得 小车和配重一起匀速，设绳的张力为，对配重有 设斜面倾角为，对小车匀速有 而卸粮后给小车一个向下的初速度，小车沿斜坡刚好匀速下行，有 联立各式解得，
（2）关闭发动机后小车和配重一起做匀减速直线运动，设加速度为，对系统由牛顿第二定律有
可得 由运动学公式可知 解得
考点02 曲线运动
2．（2023·山东·高考）电磁炮灭火消防车（图甲）采用电磁弹射技术投射灭火弹进入高层建筑快速灭火。电容器储存的能量通过电磁感应转化成灭火弹的动能，设置储能电容器的工作电压可获得所需的灭火弹出膛速度。如图乙所示，若电磁炮正对高楼，与高楼之间的水平距离，灭火弹出膛速度，方向与水平面夹角，不计炮口离地面高度及空气阻力，取重力加速度大小，。
（1）求灭火弹击中高楼位置距地面的高度H；
（2）已知电容器储存的电能，转化为灭火弹动能的效率，灭火弹的质量为，电容，电容器工作电压U应设置为多少？

【答案】（1）60m；（2）
【详解】（1）灭火弹做斜向上抛运动，则水平方向上有 竖直方向上有 代入数据联立解得
（2）根据题意可知 又因为 联立可得
3．（2021·山东·高考）海鸥捕到外壳坚硬的鸟蛤（贝类动物）后，有时会飞到空中将它丢下，利用地面的冲击打碎硬壳。一只海鸥叼着质量的鸟蛤，在的高度、以的水平速度飞行时，松开嘴巴让鸟蛤落到水平地面上。取重力加速度，忽略空气阻力。
（1）若鸟蛤与地面的碰撞时间，弹起速度可忽略，求碰撞过程中鸟蛤受到的平均作用力大小F；（碰撞过程中不计重力）
（2）在海鸥飞行方向正下方的地面上，有一与地面平齐、长度的岩石，以岩石左端为坐标原点，建立如图所示坐标系。若海鸥水平飞行的高度仍为，速度大小在之间，为保证鸟蛤一定能落到岩石上，求释放鸟蛤位置的x坐标范围。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）设鸟蛤落地前瞬间的速度大小为，竖直分速度大小为，据自由落体运动规律可得
则碰撞前鸟蛤的合速度为 在碰撞过程中，以鸟蛤为研究对象，取速度方向为正方向，由动量定理得 联立解得碰撞过程中鸟蛤受到的平均作用力大小为
（2）若释放鸟蛤的初速度为，设击中岩石左端时，释放点的x坐标为x1，击中右端时，释放点的x坐标为，得， 联立，代入数据得， 若释放鸟蛤时的初速度为，设击中岩石左端时，释放点的x坐标为，击中右端时，释放点的x坐标为，得， 联立，代入数据得， 综上所述可得x坐标区间为。
考点05 守恒定律
4．（2025·山东·高考）如图所示，内有弯曲光滑轨道的方形物体置于光滑水平面上，P、Q分别为轨道的两个端点且位于同一高度，P处轨道的切线沿水平方向，Q处轨道的切线沿竖直方向。小物块a、b用轻弹簧连接置于光滑水平面上，b被锁定。一质量的小球自Q点正上方处自由下落，无能量损失地滑入轨道，并从P点水平抛出，恰好击中a，与a粘在一起且不弹起。当弹簧拉力达到时，b解除锁定开始运动。已知a的质量，b的质量，方形物体的质量，重力加速度大小，弹簧的劲度系数，整个过程弹簧均在弹性限度内，弹性势能表达式（x为弹簧的形变量），所有过程不计空气阻力。求：
(1)小球到达P点时，小球及方形物体相对于地面的速度大小、；
(2)弹簧弹性势能最大时，b的速度大小及弹性势能的最大值。
【答案】(1)，水平向左，，水平向右
(2)，水平向左，
【详解】（1）根据题意可知，小球从开始下落到处过程中，水平方向上动量守恒，则有
由能量守恒定律有 联立解得， 即小球速度为，方向水平向左，大物块速度为，方向水平向右。
（2）由于小球落在物块a正上方，并与其粘连，小球竖直方向速度变为0，小球和物块水平方向上动量守恒，则有 解得 设当弹簧形变量为时物块的固定解除，此时小球和物块的速度为，根据胡克定律 系统机械能守恒 联立解得， 固定解除之后，小球、物块和物块组成的系统动量守恒，当三者共速时，弹簧的弹性势能最大，由动量守恒定律有 解得，方向水平向左。 由能量守恒定律可得，最大弹性势能为
5．（2024·山东·高考）如图甲所示，质量为M的轨道静止在光滑水平面上，轨道水平部分的上表面粗糙，竖直半圆形部分的表面光滑，两部分在P点平滑连接，Q为轨道的最高点。质量为m的小物块静置在轨道水平部分上，与水平轨道间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。已知轨道半圆形部分的半径，重力加速度大小。
（1）若轨道固定，小物块以一定的初速度沿轨道运动到Q点时，受到轨道的弹力大小等于3mg，求小物块在Q点的速度大小v；
（2）若轨道不固定，给轨道施加水平向左的推力F，小物块处在轨道水平部分时，轨道加速度a与F对应关系如图乙所示。
（i）求μ和m；
（ii）初始时，小物块静置在轨道最左端，给轨道施加水平向左的推力，当小物块到P点时撤去F，小物块从Q点离开轨道时相对地的速度大小为7m/s。求轨道水平部分的长度L。
【答案】（1）；（2）（i），；（3）
【详解】（1）根据题意可知小物块在Q点由合力提供向心力有 代入数据解得
（2）（i）根据题意可知当F≤4N时，小物块与轨道是一起向左加速，根据牛顿第二定律可知根据图乙有当外力时，轨道与小物块有相对滑动，则对轨道有结合题图乙有 可知 截距 联立以上各式可得，，
（ii）由图乙可知，当时，轨道的加速度为，小物块的加速度为 当小物块运动到P点时，经过t0时间，则轨道有 小物块有 在小物块到P点到从Q点离开轨道的过程中系统机械能守恒有 水平方向动量守恒，以水平向左的正方向，则有 其中，小物块离开Q点时的速度,为此时轨道的速度。联立解得(舍去） 根据运动学公式有 代入数据解得
6．（2023·山东·高考）如图所示，物块A和木板B置于水平地面上，固定光滑弧形轨道末端与B的上表面所在平面相切，竖直挡板P固定在地面上。作用在A上的水平外力，使A与B以相同速度向右做匀速直线运动。当B的左端经过轨道末端时，从弧形轨道某处无初速度下滑的滑块C恰好到达最低点，并以水平速度v滑上B的上表面，同时撤掉外力，此时B右端与P板的距离为s。已知，，，，A与地面间无摩擦，B与地面间动摩擦因数，C与B间动摩擦因数，B足够长，使得C不会从B上滑下。B与P、A的碰撞均为弹性碰撞，不计碰撞时间，取重力加速度大小。
（1）求C下滑的高度H；
（2）与P碰撞前，若B与C能达到共速，且A、B未发生碰撞，求s的范围；
（3）若，求B与P碰撞前，摩擦力对C做的功W；
（4）若，自C滑上B开始至A、B、C三个物体都达到平衡状态，求这三个物体总动量的变化量的大小。

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【详解】（1）由题意可知滑块C静止滑下过程根据动能定理有 代入数据解得
（2）滑块C刚滑上B时可知C受到水平向左的摩擦力，为 木板B受到C的摩擦力水平向右
为 B受到地面的摩擦力水平向左，为所以滑块C的加速度为
木板B的加速度为 设经过时间t1，B和C共速，有
代入数据解得 木板B的位移 共同的速度 此后B和C共同减速，加速度大小为 设再经过t2时间，物块A恰好撞上木板B，有 整理得 解得，（舍去） 此时B的位移
共同的速度 综上可知满足条件的s范围为
（3）由于 所以可知滑块C与木板B没有共速，对于木板B，根据运动学公式有 整理后有 解得，（舍去）滑块C在这段时间的位移 所以摩擦力对C做的功
（4）因为木板B足够长，最后的状态一定会是C与B静止，物块A向左匀速运动。木板B向右运动0.48m时，有
此时A、B之间的距离为 由于B与挡板发生碰撞不损失能量，故将原速率反弹。接着B向左做匀减速运动，可得加速度大小 物块A和木板B相向运动，设经过t3时间恰好相遇，则有 整理得 解得
，（舍去）
此时有 方向向左；方向向右。接着A、B发生弹性碰撞，碰前A的速度为v0=1m/s，方向向右，以水平向右为正方向，则有
代入数据解得
而此时 物块A向左的速度大于木板B和C向右的速度，由于摩擦力的作用，最后B和C静止，A向左匀速运动，系统的初动量
末动量 则整个过程动量的变化量 即大小为9.02kg m/s。
7．（2022·山东·高考）如图所示，“L”型平板B静置在地面上，小物块A处于平板B上的点，点左侧粗糙，右侧光滑。用不可伸长的轻绳将质量为M的小球悬挂在点正上方的O点，轻绳处于水平拉直状态。将小球由静止释放，下摆至最低点与小物块A发生碰撞，碰后小球速度方向与碰前方向相同，开始做简谐运动（要求摆角小于），A以速度沿平板滑动直至与B右侧挡板发生弹性碰撞。一段时间后，A返回到O点的正下方时，相对于地面的速度减为零，此时小球恰好第一次上升到最高点。已知A的质量，B的质量，A与B的动摩擦因数，B与地面间的动摩擦因数，取重力加速度。整个过程中A始终在B上，所有碰撞时间忽略不计，不计空气阻力，求：
（1）A与B的挡板碰撞后，二者的速度大小与；
（2）B光滑部分的长度d；
（3）运动过程中A对B的摩擦力所做的功；
（4）实现上述运动过程，的取值范围（结果用表示）。
【答案】（1），；（2）；（3）；（4）
【详解】（1）设水平向右为正方向，因为点右侧光滑，由题意可知A与B发生弹性碰撞，故碰撞过程根据动量守恒和能量守恒有
代入数据联立解得
，（方向水平向左）
，（方向水平向右）
即A和B速度的大小分别为，。
（2）如图所示为A与B挡板碰撞后到运动至O点正下方的运动示意图
A回到前，A在B上匀速直线运动的时间设为。A的位移大小 对平板B，由牛顿第二定律得
对平板B，由运动学公式有 由几何关系①
A从回到O点正下方设时间为，A在B上做匀减速直线运动，设A的加速度大小为，由牛顿第二定律得 解得 A返回到O点的正下方时，相对于地面的速度减为零，则
时间内A相对于地面的位移大小 由几何关系② 联立解得或， 由①②可得 与等大 分析可知，A回到O点正下方时B未减速为0，故 舍去。综上解得
（3）在A刚开始减速时，B物体的速度为 在A减速过程中，对B分析根据牛顿运动定律可知 解得 B物体停下来的时间为t3，则有 解得 可知在A减速过程中B先停下来了，此过程中B的位移为 所以A对B的摩擦力所做的功为
（4）小球和A碰撞后A做匀速直线运动再和B相碰，此过程有 由题意可知A返回到O点的正下方时，小球恰好第一次上升到最高点，设小球做简谐振动的周期为T，摆长为L，则有 由单摆周期公式解得，小球到悬挂点O点的距离 小球下滑过程根据动能定理有 当碰后小球摆角恰为5°时，有 解得
，
小球与A碰撞过程根据动量守恒定律有 小球与A碰后小球速度方向与碰前方向相同，开始做简谐运动（要求摆角小于），则要求 故要实现这个过程的范围为
8．（2021·山东·高考）如图所示，三个质量均为m的小物块A、B、C，放置在水平地面上，A紧靠竖直墙壁，一劲度系数为k的轻弹簧将A、B连接，C紧靠B，开始时弹簧处于原长，A、B、C均静止。现给C施加一水平向左、大小为F的恒力，使B、C一起向左运动，当速度为零时，立即撤去恒力，一段时间后A离开墙壁，最终三物块都停止运动。已知A、B、C与地面间的滑动摩擦力大小均为f，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弹簧始终在弹性限度内。（弹簧的弹性势能可表示为：，k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量）
（1）求B、C向左移动的最大距离和B、C分离时B的动能；
（2）为保证A能离开墙壁，求恒力的最小值；
（3）若三物块都停止时B、C间的距离为，从B、C分离到B停止运动的整个过程，B克服弹簧弹力做的功为W，通过推导比较W与的大小；
（4）若，请在所给坐标系中，画出C向右运动过程中加速度a随位移x变化的图像，并在坐标轴上标出开始运动和停止运动时的a、x值（用f、k、m表示），不要求推导过程。以撤去F时C的位置为坐标原点，水平向右为正方向。
【答案】（1）；；（2）；（3）；（4）
【详解】（1）从开始到B、C向左移动到最大距离的过程中，以B、C和弹簧为研究对象，由功能关系得 弹簧恢复原长时B、C分离，从弹簧最短到B、C分离，以B、C和弹簧为研究对象，由能量守恒得 联立，解得，
（2）当A刚要离开墙时，设弹簧的伸长量为，以A为研究对象，由平衡条件得 若A刚要离开墙壁时B的速度恰好等于零，这种情况下恒力为最小值，从弹簧恢复原长到A刚要离开墙的过程中，以B和弹簧为研究对象，由能量守恒得 结合第（1）问结果可知 根据题意舍去 所以恒力的最小值为
（3）从B、C分离到B停止运动，设B的路程为，C的位移为，以B为研究对象，由动能定理得 以C为研究对象，由动能定理得 由B、C得运动关系得 联立，解得
（4）小物块B、C向左运动过程中，由动能定理得 解得撤去恒力瞬间弹簧弹力为 则坐标原点的加速度为 之后C开始向右运动过程（B、C系统未脱离弹簧）加速度为 可知加速度随位移为线性关系，随着弹簧逐渐恢复原长，减小，减小，弹簧恢复原长时，B和C分离，之后C只受地面的滑动摩擦力，加速度为 负号表示C的加速度方向水平向左；从撤去恒力之后到弹簧恢复原长，以B、C为研究对象，由动能定理得 脱离弹簧瞬间后C速度为，之后C受到滑动摩擦力减速至0，由能量守恒得 解得脱离弹簧后，C运动的距离为 则C最后停止的位移为 图像如图所示
1．（2025·山东泰安·二轮复习检测）如图所示，一固定在竖直平面内的光滑圆弧轨道圆心为，半径，底端点切线水平。原长劲度系数的轻弹簧，一端挂在过点的光滑水平轴上，另一端栓接一个质量的小球，小球静止在点。轨道右边光滑水平地面上静止放置一长，质量的木板，A端与端的距离，上表面与点等高。现有一质量的滑块以的水平初速度滑上木板的端，滑块与木板间动摩擦因数，之后的运动中，木板A端碰到端会立即被锁定。滑块和小球均视为质点，取重力加速度大小。
(1)求滑块运动到木板A端时的速度大小；
(2)滑块与小球在点发生正碰，碰撞的恢复系数为。碰撞恢复系数的定义为，其中和分别是滑块和小球碰撞前的速度，和分别是滑块和小球碰撞后的速度。碰后小球随即沿圆弧轨道运动，求出小球脱离轨道时，弹簧与竖直方向夹角的大小。
(3)若（2）中滑块与小球在点发生碰撞后，再次经过点时，给滑块带上的正电荷，在地面上方加上垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度，解除木板的锁定，其余条件不变。滑块从滑上木板的端到与木板共速经历时间，求滑块与木板共速时，木板端与点的距离。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）滑块在木板上滑动过程中，分别对滑块和木板根据牛顿第二定律有，
解得， 有题意可知，假设此时木板还未到达C点，则滑块运动到木板A端时 解得 此过程木板的位移为 所以，滑块滑到木板A端时，木板还未到达C点与小球发生碰撞。则滑块运动到木板A端时的速度大小为
（2）滑块与小球碰撞，由动量守恒定律可得 根据碰撞恢复系数得 联立，解得， 设弹簧与竖直方向夹角的大小为，则此时根据牛顿第二定律可得 其中 小球从C点运动到脱离轨道过程，根据动能定理 联立，解得 所以
（3）对滑块，根据动能定理 解得 所以，滑块滑上光滑圆弧轨道后会从C点原速率返回到木板，从滑块再次滑上木板，在极短时间内，对滑块应用动量定理得
所以，在时间内 滑块与木板组成的系统动量守恒，由动量守恒定律可得 解得， 由于在达到共速前任意时刻满足 两边同乘以，并累加可得 解得 所以，木板A端与C点的距离为。
2．（2025·山东·模拟预测）如图所示，倾角的传送带以的速度沿逆时针方向运行，AB部分的长度。竖直面内的光滑圆弧轨道BC与传送带相切于B点，圆弧轨道的半径，C位于其圆心正上方。一质量的小物块（可视为质点）从A点以一定的初速度沿AB方向滑上传送带，最终刚好停在C点。小物块与传送带间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取，。求：
(1)小物块经过圆弧轨道的B点时对轨道的压力大小；
(2)小物块从A到B的运动时间；
(3)此过程中小物块在传送带上留下的划痕长度。
【答案】(1)0.8N
(2)1.4s
(3)1m
【详解】（1）小物块从B到C过程中，根据机械能守恒定律，有 小物块经过圆弧轨道的B点时，根据牛顿第二定律得 代入数据解得 由牛顿第三定律可知，小物块对圆弧轨道的压力大小为0.8N。
（2）由上可知vB=2m/s，小于传送带的速度，所以小物块以速度v0滑上传送带后，先以大小为a1的加速度做减速运动，与传送带速度v相等后再以大小为a 的加速度做减速运动，根据牛顿第二定律得
又有由运动学公式得减速过程，有 又有
以a 的加速度做减速运动的时间为 以a1的加速度做减速运动的时间为
小物块从A到B的运动时间为 代入数据解得 t=1.4s
（3）小物块在传送带上运动的第一个过程中，相对传送向前运动 第二个过程中，相对传送带向后运动 代入数据并比较可知，小物块在传送带上留下的划痕长
3．（2025·山东·市模拟二）如图，固定斜面倾角为，左端带有挡板的木板A质量为，木板与斜面间的动摩擦因数，质量的小物块B与木板A之间光滑，小物块可视为质点。某时刻由静止释放木板，后把小物块轻轻放到木板上距离挡板处，再经时间小物块与挡板发生第一次碰撞。已知小物块放到木板上时挡板距斜面底端距离，，重力加速度取。小物块始终未滑离木板，小物块与木板挡板之间的碰撞为弹性碰撞，且所有碰撞时间忽略不计。求：
(1)放上小物块前、后木板A的加速度大小；
(2)放上小物块至小物块与木板挡板发生第一次碰撞经历的时间；
(3)小物块与木板挡板第一次碰撞后的速度大小；
(4)木板到达斜面底端前小物块与木板挡板的碰撞次数。
【答案】(1)1m/s2，0
(2)0.75s
(3)0，2m/s
(4)2次
【详解】（1）由题可知 放上小物块前，根据牛顿第二定律，可知 解得木板A的加速度大小 放上小物块后，根据牛顿第二定律，可知 解得木板A的加速度大小，即木板匀速运动。
（2）放上木块时，木板的速度 木块的加速度 利用匀变速的运动规律可知 解得（舍去）
（3）碰前瞬间，木块的速度 木块和木板碰撞的过程中满足动量守恒和机械能守恒
解得，
（4）放上小木块到第一次碰撞前，木板前进的距离 第一次碰后到第二次碰撞前的时间间隔为，则 解得 这段时间内木板前进的距离 此时木块的速度 木块和木板碰撞的过程中满足动量守恒和机械能守恒
解得， 若再次追上，则 解得 木板的位移 此时木块的速度 木块和木板碰撞的过程中满足动量守恒和机械能守恒
解得， 若再次追上，则 解得 木板的位移 由于 因此小木块与挡板碰撞3次。
4．（2025·山东十三校·4月联考）如图所示，水平地面上静置一质量为的长木板，左端放有质量为的小物块，质量为的小球用细线悬挂在点，线长为。长木板右端位于地面的点，点为点在地面的投影。点右侧静置一质量为、半径的半圆形凹槽，槽内静置质量为的小球。槽的内壁光滑，为其水平直径，、两点的水平距离大于木板长度。小物块与长木板间的动摩擦因数，长木板与点左侧地面间的动摩擦因数，点右侧地面光滑。现使小物块以某一初速度水平向右运动，当滑到长木板最右端时恰与木板相对静止，同时小物块与小球发生正碰，碰后两者立即粘在一起，之后细线偏离竖直方向的最大摆角。当小物块和小球刚摆至最高点时立即被取走。已知 ，，，重力加速度。
(1)求细线中最大拉力的大小；
(2)求长木板的长度；
(3)已知长木板通过点的过程中，所受地面的摩擦力大小与长木板未通过点部分的重力大小成正比，比例系数为。若长木板与凹槽碰后粘在一起，求碰后凹槽的最小速度的大小（结果可保留根号）。
【答案】(1)
(2)L=4m
(3)
【详解】（1）对、，由能量守恒有 解得 由牛顿第二定律有 联立解得
（2）对小物块与小球的碰撞过程，由 解得 小物块在长木板上相对滑动时的加速度大小 长木板运动的加速度大小 对长木板，由 解得 对小物块，由 联立解得 在小物块与小球碰撞前，小物块的位移 长木板的位移 可知长木板的长度
（3）长木板通过点的过程中，所受地面摩擦力的平均作用力大小为 对长木板，由
联立解得 对长木板和凹槽，由 联立解得 若长木板、凹槽和小球共速时，小球未滑离凹槽，对三者有 且
解得 故小球始终未滑离凹槽，则可知当小球再次滑回凹槽最低点时凹槽的速度最小。由能量守恒有 可知 由能量守恒有
联立解得或（舍） 即碰后凹槽的最小速度
5．（2025·山东名校·4月联考）如图所示，一足够长的固定斜面与水平面的夹角，有一下端有挡板、上表面光滑的长木板正沿斜面匀速下滑，长木板质量为、速度大小，现将另一质量为的小物块轻轻地放在长木板的某一位置，当小物块即将运动到挡板位置时（与挡板碰撞前的瞬间），长木板的速度刚好减为零，随后小物块与挡板发生第1次碰撞，以后每隔一段时间，小物块与挡板碰撞一次，小物块始终没有脱离长木板，长木板始终在斜面上运动，已知小物块与挡板的碰撞为弹性碰撞且碰撞时间极短，重力加速度，，，求：
(1)小物块在长木板上下滑过程中，长木板的加速度大小；
(2)小物块放在木板上的瞬间，其与挡板间的距离；
(3)小物块与挡板第5次碰撞后到第6次碰前，挡板的位移大小。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）长木板开始匀速下滑，由平衡条件得 解得 把小物块放上长木板后，对长木板，由牛顿第二定律得 解得
（2）长木板上表面光滑，碰撞前小物块做匀加速直线运动，小物块加速运动时间 设小物块与挡板第一次碰撞前小物块的速度为，则 小物块的位移为 木板的位移为 小物块放在木板上的瞬间，其与挡板的距离为
（3）物块与挡板碰撞过程系统动量守恒，由动量守恒定律得 由机械能守恒定律得 解得， 碰撞后长木板速度再次减为零的时间 此时小物块的速度为 解得 长木板平均速度为 小物块平均速度为 长木板与小物块位移相等，接下来再次碰撞 以此类推可得，小物块与挡板第5次碰撞后的瞬间，挡板的速度大小为 小物块与挡板第5次碰撞后到第6次碰前，挡板的位移大小
6．（2025·山东·模拟预测）一圆柱形导热汽缸长度为，汽缸开口端有限位装置，其底部固定一轻弹簧，弹簧原长为，弹簧另一端与活塞相连。汽缸开口向上竖直放置时，汽缸底部阀门打开与外界相通，此时活塞到缸底的距离为，如图甲所示。关闭阀门，将汽缸缓慢倒置，稳定时活塞到缸底的距离为，如图乙所示。活塞厚度不计，活塞与汽缸之间无摩擦且气密性良好。已知活塞面积为S，大气压为，重力加速度为g，弹簧形变始终在弹性限度内，环境温度不变。
(1)求活塞的质量；
(2)若倒置后打开阀门，直至活塞不再移动，求打开阀门前、后缸内气体质量之比。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）图甲中，根据活塞受力平衡得 图乙中，设汽缸内气体压强为，根据活塞受力平衡得 汽缸缓慢倒置过程中，根据玻意耳定律有 联立得
（2）打开阀门后，汽缸内气体的压强为，假设活塞未触及缸口，根据活塞受力平衡可知，弹簧的伸长量等于图甲中弹簧的压缩量，活塞到缸底的距离为 假设成立，打开阀门前气体的质量即图甲中汽缸内气体的质量，而图甲中汽缸内气体与打开阀门后汽缸内气体的密度相等，所以打开阀门前、后缸内气体质量之比等于体积之比，即
7．（2025·山东齐鲁名校·五联）如图所示，在C点右侧的水平面上等间距摆放n个相同的滑块，相邻滑块间距离，滑块1与C点距离也为d，每个滑块的质量均为，编号依次为1、2、3……n，滑块与水平面间的动摩擦因数均为。在左侧的地面上静置一“”型平板B，平板质量，平板上表面与C点右侧水平面等高，平板上表面O点左侧光滑，右侧粗糙，平板下表面与地面间动摩擦因数。在O点静止放置一与C点右侧相同的滑块A，A与平板B上表面右侧的动摩擦因数，O点到平板右端距离，平板右端到C点的距离为s。某时刻，给B一向右、大小的速度，B向右运动一段距离后与A发生弹性碰撞，碰撞后A的速度为10m/s。滑块A和B的右端同时到达C点，此后滑块A滑上水平面与滑块1碰撞并粘在一起，再向前运动与滑块2碰撞并粘在一起……，碰撞时间极短，滑块可视为质点，不计空气阻力，重力加速度g取。已知。求：
(1)平板上O点到左端的距离；
(2)平板右端到C点的距离s；
(3)滑块1被碰撞后的速度大小；
(4)滑块A滑上水平面后最多可以和哪个滑块发生碰撞。
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)5
【详解】（1）A、B碰撞之前，A保持静止，B在地面摩擦力作用下做匀减速直线运动，A、B碰撞后，滑块A的速度为10m/s，碰撞过程满足动量守恒和能量守恒，则有，
解得碰撞前、后，平板B的速度分别为， 设O点到左端的距离为l，对B由动能定理可得 解得
（2）A、B碰撞后到A运动到O点的时间，B的加速度，根据牛顿第二定律可得
解得 方向水平向左，则 解得或（舍） 此时B的速度 A的速度 A进入粗糙部分后，A相对于B向右运动，则A的加速度 B的加速度根据牛顿第二定律有解得，
A从O到C的时间，根据运动学公式 解得 根据题意可知
（3）A到达C点时的速度 滑块A运动至滑块1时，由动能定理得
滑块A与滑块1相碰，根据动量守恒得 解得滑块A和1碰撞后瞬间的速度大小为
（4）滑块A与滑块1碰撞前瞬间动能为 碰撞后瞬间系统动能
A、1和2碰撞前瞬间，系统动能
A、1和2碰撞后瞬间，系统动能
A、1、2和3碰撞前瞬间，系统动能
以此类推，在与滑块n碰撞前瞬间，系统动能 一共碰撞n次，则， 代入数据解得 即最多可以碰撞到滑块5。
8．（2025·山东青岛·调研检测）如图所示，竖直平面内有一半径R=1.5m的光滑圆弧轨道AB，圆弧轨道的圆心角θ=53°，B点位于圆心O的正下方。圆弧轨道右边光滑的水平地面上依次排列三个等高的板块C、D、E，三板块的上表面都与B点平齐。质量m=1kg的小物体从P点以某一初速度v0水平抛出，在PA间运动时受到竖直向上的外力F=3vy，物体刚好从A点切入圆弧轨道，vy为物体竖直方向的分速度大小，物体到达B点时的速度大小vB=4m/s，然后依次滑上板块C、D、E。已知板块C、D、E的质量分别为M1=1kg，M2=0.4kg，M3=0.6kg，长度均为L=1m，PA间的高度差h=0.8m，物体与板块C、D、E间的动摩擦因数分别为μ1=0.5，μ2=0.021，μ3=0.05+0.4x，x为物体距板块E左端的距离，重力加速度g=10m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6，物体可视为质点，忽略空气阻力。
(1)求物体从P点抛出的初速度大小v0；
(2)求物体从P运动到A所用的时间t；
(3)求物体离开板块D时的速度大小vD；
(4)判断物体是否能从板块E右端滑落，若能，求物体滑下时相对板块E的速度大小；若不能，求物体相对板块E静止时距板块E右端的距离。
【答案】(1)1.2m/s
(2)0.4s
(3)1.7m/s
(4)不能，0.95m
【详解】（1）物体从A点运动到B点，根据动能定理可得 代入数据解得 所以
（2）在A点竖直方向的速度大小为 从P到A，在竖直方向运用动量定理可得， 联立可得
（3）设物体离开板块C时的速度大小为vC，则，， 联立可得，
物体滑上板块D的过程中有
联立解得，
（4）假设物体不能从板块E右端滑落，则，， 联立可得， 由此可知，假设成立，所以物体相对板块E静止时距板块E右端的距离为
9．（2025·山东聊城·学业水平等级考试模拟）如图所示，倾斜传送带与水平面夹角为，顺时针运行速度，下端与光滑水平轨道平滑连接。小物块P从传送带顶端由静止释放，当小物块运动至光滑水平轨道末端恰好与静置在长木板左端等高位置的物块Q发生弹性碰撞。长木板水平部分AB粗糙，右端为四分之一光滑圆弧轨道，半径。已知物块Q离开C点后能上升的最大高度，小物块P与传送带间的动摩擦因数，物块Q与木板上表面AB间动摩擦因数，物块P、Q的质量，长木板的质量，重力加速度，，，水平面MN光滑且足够长，忽略空气阻力。求：
(1)物块P运动到传送带底端时的速度大小；
(2)物块P与传送带间因摩擦产生的热量；
(3)若物块Q能停在木板上，求Q最终停在木板上的位置；若不能，求Q离开木板时的速度大小。
【答案】(1)
(2)6J
(3)
【详解】（1）物块P释放后，设加速度为，经时间速度为，位移为，有
得 根据，得 根据，得 设物块P速度达到后，加速度为，再经时间到传送带末端，由 得 根据
得 由，得
（2）物块P与传送带间的相对运动路程为，根据 得 设因摩擦产生的热量为Q，则 得
（3）设P与Q发生弹性碰撞后，速度分别为，。以方向为正方向，由动量守恒定律得
由机械能守恒定律得 得, 设AB间长度为L，Q离开轨道到最高点时速度为v，以方向为正方向，由水平方向动量守恒得 由能量守恒得
得， 若Q停在木板上距B端x处，有 得，即物块Q停在木板上距B点处。
10．（2025·山东济南·一模）如图所示，三个物块A、B、C的质量均为m=1kg，物块C放置在水平地面上，竖直放置的轻弹簧连接物块B和物块C，物块A放置在物块B上，整个装置保持静止。现对A施加竖直向下的恒定外力，将物块A、B压缩到最低点时立即撤去外力，物块A、B被竖直向上弹起。一段时间后A、B分离，当A向上运动到最高点时立即被取走，当B继续向上运动到最高点时，物块C恰好离开水平地面。轻弹簧的劲度系数为k=100N/m，轻弹簧的弹性势能表达式为（k为轻弹簧的劲度系数，x为轻弹簧的形变量），弹簧振子做简谐运动的周期表达式为（k为轻弹簧的劲度系数，M为振子的质量），重力加速度g=10m/s2，所有过程中弹簧始终在弹性限度内，不计空气阻力，求：
(1)物块B向上运动到最高点时的加速度大小；
(2)物块A、B分离瞬间，物块B的速度大小：
(3)恒定外力的大小：
(4)从A、B分离到各自第一次运动到最高点的过程中，二者运动的时间差（结果用π表示）。
【答案】(1)20m/s2
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）当B继续向上运动到最高点时，物块C恰好离开水平地面，此时弹簧的拉力
对物块B进行受力分析，根据牛顿第二定律 可得；
（2）A、B在弹簧恢复原长时分离，从此时到B运动到最高点的过程中，对B、C及弹簧组成的系统，由能量守恒可得， 解得
（3）从A、B压缩到最低点到弹簧恢复原长，对A、B、C及弹簧组成的系统，由能量守恒可得
解得 最初状态，对A、B整体受力分析可得 从最初状态到A、B压缩到最低点，对A、B、C及弹簧组成的系统，由功能关系可得
解得
（4）A、B分离后A竖直向上做匀减速直线运动，有 解得 B在竖直方向做简谐运动，其周期 平衡位置 振幅 B从恢复原长到第一次运动到最高点的路程为，则 从A、B分离到各自第一次运动到最高点的时间差有
11．（2025·山东齐鲁名校·大联考）如图所示，A、B两个可视为质点的物块置于水平粗糙的地面上，A、B相距，质量，A、B与地面间的动摩擦因数均为，在B的右侧，水平地面与一段足够长的光滑圆弧轨道平滑连接，圆弧轨道的半径。时刻给物块A一水平向右的大小的拉力，一段时间后撤去，又经过一段时间后A与B发生碰撞并粘在一起，碰撞时间极短，碰撞过程中能量损失。取3.14，求：
(1)拉力作用的距离以及物块沿圆弧面上滑的高度；
(2)从时刻到两物块停止运动的整个过程中，A、B与地面摩擦产生的热量；
(3)从时刻到物块停止运动所用的总时间。
【答案】(1)4m，0.05m
(2)
(3)
【详解】（1）由题意可知，质量相等的两物体发生完全非弹性碰撞，由动量守恒定律
碰撞过程中能量损失 可知动能失量为初动能的，故碰撞前A的动能 可得 碰后速度为 设外力F作用的距离为x，则根据动能定理有 解得 设A、B沿圆弧面上滑的高度为，根据能量守恒定律有
解得
（2）A与B碰前，A与桌面之间因摩擦产生的热量 解得 由（1）可知，A与B碰后的速度大小为，A与B碰后到停止运动，由功能关系得 所以整个过程中A、B与桌面因摩擦产生的热量
（3）碰撞前A经历了先加速后减速的运动，加速过程中，根据牛顿第二定律，有 根据速度时间公式，有 位移为 解得时间为 速度为 减速过程，根据牛顿第二定律可得=2m/s2 根据速度时间公式，有 碰撞前的动能为，可知碰撞前的速度大小2m/s，解得 由于上升高度远小于圆弧半径，可等效看作为单摆模型，A、B在圆弧轨道上的运动时间为半个单摆的周期，有 回到在水面上的加速度为=2m/s2 碰撞后物块的速度大小 所以回到水平面上后，有 总时间为
12．（2025·山东省实验中学·四诊）图示是一水上娱乐项目的简化模型，半径为R的光滑球固定在水中的平台上，O为球心，可视为质点的人静止在球的最高点，人、球心和固定点在同一竖直线上。某时刻人以微小（可忽略）的初速度开始下滑。已知水面到球心的距离为，重力加速度为g，人的质量为m，忽略空气阻力的影响。求：
(1)人与球分离时的速度大小v；
(2)人落水位置到球心的水平距离d。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）设人与球分离的位置与球心连线和竖直方向的夹角为θ，则人从最高点到分离点，根据机械能守恒有 在分离时，根据牛顿第二定律有联立解得，
（2）人滑离球后做斜抛运动，水平分速度 竖直分速度
从人开始下滑到落到水面的过程，根据机械能守恒有 解得人落到水面时的速度为
落到水面时竖直方向的速度为 竖直分方向做匀加速直线运动，则有
解得 则人落水位置与球心的水平距离 联立解得
13．（2025·山东潍坊·三模）如图所示，质量为m的木板B平放在光滑的水平面上，在木板最左端正上方高h处静置一质量为2m的小球A，初始时刻，给小球A一个水平向右的初速度，小球A下落过程中恰好击中木板B上表面的中点，碰后A运动轨迹的最高点与初始位置等高。一段时间后，小球A与木板B发生第二次碰撞，恰击中B上表而的最左端。已知所有的碰撞时间极短，重力加速度为g，不计空气阻力，小球可看作质点，则
(1)木板B的长度为多少？
(2)第一次碰撞后木板B的速度大小为多少？
(3)A和B发生第二次碰撞后，为了保证小球A第三次与B上表面碰撞时恰能击中B的最右端，在距离木板B最右端d（未知）处固定一弹性挡板C，则d为多少？
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）设运动时间为t 竖直方向 可得 水平方向 可得
（2）设A碰后水平方向速度为，B碰后速度为，规定水平向右为正，第二次碰撞恰好击中B上表面的最左端，运动时间为2t，则位移关系可表示为 A和B组成的系统水平方向动量守恒，则 联立可得，
（3）第一次碰撞过程中，设A和B的接触时间为，A和B分离时候是相对运动的，时间内，A和B之间为滑动摩擦力，几次碰撞过程中，竖直方向上对称，可知水平方向上滑动摩擦力大小相同。假设第二次碰撞后，A和B分离时水平方向能共速。有 可得 对A分析：第一次碰撞中 第二次碰撞中 可得 得，假设成立 设第二次碰后放置的挡板距离木板B右侧的距离为d，位移关系如图所示 分析可知，小球A向右运动的位移， 木板B运动轨迹的长度 且
可得
14．（2025·山东省实验中学·五诊）如图所示，固定在水平面上的粗糙斜面倾角，长度为。滑块B恰好静止在斜面上，离斜面顶端的距离为，与斜面无摩擦的滑块A由斜面顶端无初速度释放。已知滑块间的碰撞为弹性碰撞且碰撞时间忽略不计，滑块A的质量为，滑块B的质量为，重力加速度大小为，两滑块均视为质点，不计空气阻力。求
(1)滑块A从释放到与滑块B第一次碰撞所经历的时间；
(2)第一次碰撞后瞬间滑块A和滑块B的速度大小；
(3)在第一次碰撞到第二次碰撞之间，滑块A与滑块B间的最大距离；
(4)滑块A与滑块B在该斜面上碰撞的次数。
【答案】(1)
(2)，方向沿斜面向上，，方向沿斜面向下
(3)
(4)5次
【详解】（1）对滑块A， 根据 可得
（2）第一次碰前A的速度 第一次碰撞由动量守恒和能量守恒：； 得 即A碰后速度大小为，方向沿斜面向上。B碰后速度大小为，方向沿斜面向下。
（3）两者同速时，距离最大，以速度向下为正 可解得因为
，
最大距离
（4）第一次碰后到第二次碰时，两者位移相等 可解得 第二次碰前A的速度第二次碰撞：
，
得，第二次碰后到第三次碰前位移相同，同理可得， 进一步可以分析得出，相邻两次碰撞时间间隔均为滑块B相邻两次碰撞之间运动位移为等差数列，依次增加 则可知发生第5次碰撞时离斜面顶端的距离为 则可知若发生第6次碰撞时离斜面顶端的距离为 所以两者在斜面上发生了5次碰撞。
15．（2025·山东省实验中学·五诊）第九届亚冬会于2025年2月7日至14日在哈尔滨举行，跳台滑雪是比赛项目之一，因其高风险性被称作“勇敢者的运动”，其场地简化为如图所示。曲面AO为助滑道，雪坡OB段为倾角的足够长斜面，某运动员从助滑道的最高点A由静止开始下滑，到达起跳点O时借助设备和技巧，保持在点的速度大小不变以与水平方向成角的方向起跳，最后落在雪坡上的点，起跳点与落点B之间的距离为此项运动的成绩。已知A点与点之间的高度差，该运动员可视为质点，不计一切阻力和摩擦，不考虑运动员自身的能量输出，，，g取。求
(1)该运动员在点起跳时的速度大小；
(2)该运动员通过调整起跳角，能够取得的最好成绩（即的最大值）为多少？
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）该运动员从A到过程，根据机械能守恒有 解得
（2）令，将起跳时速度和重力加速度沿雪坡方向和垂直雪坡方向分解，则有垂直斜面
，
沿斜面， 则落回斜面时间距离 整理得
当时，最佳成绩为
注：也可以水平竖直分解列式处理；或者求导求最值；或者沿初速度方向和竖直方向分解，如下
解得 当时，最佳成绩为
16．（2025·山东枣庄八中·二模）如图甲所示，固定光滑斜面的倾角，右端带有固定挡板的“┚”形木板静置于水平面上，斜面底端B与木板左端紧靠且跟其上表面平齐。将质量的小物块从斜面顶端A由静止释放，物块滑上木板时不计能量损失，到达木板右端时与挡板发生弹性碰撞。以物块刚滑上木板的时刻为计时起点，物块跟挡板碰撞前物块和木板的图像，如图乙所示，木板与地面间的动摩擦因素，取重力加速度。
(1)求斜面的长度；
(2)求从物块开始运动至其和挡板碰撞前的瞬间，物块与木板系统损失的机械能；
(3)物块最终能否从木板上滑落？若能，请求出物块滑落时的速度；若不能，请求出物块最终到木板左端的距离d。
【答案】(1)
(2)
(3)不能，
【详解】（1）由图乙可知，物块到达斜面底端时的速度为 物块从A下滑到的过程中，由动能定理可得解得
（2）由图乙可知，物块与挡板碰撞前瞬间，物块、木板的速度分别为， 根据加速度定义式有解得物块、木板加速度大小分别为， 对物块进行分析，根据牛顿第二定律有 对木板进行分析，根据牛顿第二定律有 解得， 对物块与木板构成的系统，由能量守恒定律得 解得
（3）物块最终不能从木板上滑落。在（）时间内，物块相对于木板向右滑动，碰前物块，木板的速度分别记为、，可知板长 解得板长 在时物块与挡板发生弹性碰撞，碰后速度分别记为、由动量守恒定律得 由能量守恒定律得 解得， 碰撞后物块向左做匀减速直线运动，加速度大小 木板向右做匀减速直线运动，加速度大小记为，则有
，
解得加速度大小 假设物块最终不能从木板上滑落，碰撞后再经过两者共速，则有
解得， 在时间内，物块相对于木板始终向左滑动，相对位移为 解得 可知物块不能从木板上滑落，则物块最终到木板左端的距离
17．（2025·山东名校考试联盟·高考模拟）如图所示，半径的光滑四分之一圆弧轨道竖直固定，质量、长度的木板静止在粗糙水平地面上，木板左端放置质量的小滑块B，圆弧轨道的末端与木板的上表面相切，木板右侧距离是一固定平台，平台高度与木板厚度相同。从圆弧轨道的最高点由静止释放质量的滑块A，滑至底端时与滑块B发生弹性碰撞，木板向右运动与平台碰撞后立即停止。已知滑块A和滑块B均可视为质点，与木板间的动摩擦因数均为，木板与水平地面间的动摩擦因数，重力加速度。求：
(1)滑块A在圆弧轨道底端发生碰撞前所受轨道的支持力大小；
(2)滑块A在木板上向右运动的总时间；
(3)滑块B离开木板滑上平台时的速度大小v。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）从初位置到圆弧轨道最低点，由机械能守恒定律有 在圆弧轨道最低点，由牛顿第二定律有 解得
（2）A与B发生弹性碰撞，由动量守恒定律和能量守恒定律有
，
解得 由牛顿第二定律，对滑块A有 解得 对滑块B有 解得 对木板有 解得 A和木板共速时有 解得， 此时B的速度
由牛顿第二定律，对A和木板整体有 可知，A和木板共速后一起匀速向右运动，假设木板右端与平台碰撞前与B未共速，则有， 解得
，
假设成立，板与平台碰后，A开始减速向右运动，则有 解得 则滑块A在木板上向右运动的总时间
（3）由上述分析可知，滑块B碰后一直向右减速运动，则有 解得
18．（2025·山东青岛·一模）如图所示，质量的光滑斜劈静止在水平台面上，底边长度，高度。底端距离台面边缘，水平地面上一质量的木板紧靠平台静置，上表面与台面相平。质量、可看作质点的物块从顶端由静止释放，滑到台面上时与台面发生相互作用，的动能发生损失，进入台面后的速度水平向右，大小为。已知沿下滑过程中，和相对地面均做匀变速直线运动，与台面、与地面间均无摩擦，与台面、与间动摩擦因数，重力加速度。求
(1)滑到底端时，向左滑动的距离；
(2)滑上时的速度大小；
(3)为使不从上滑下，的最小长度；
(4)滑到底端后，与台面发生相互作用过程中损失的动能。
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）、系统水平方向上动量守恒，有 所以滑到底端过程中有
又 解得，
（2）设滑上时的速度为，由动能定理得 解得
（3）滑至右端时两者刚好共速，设共同速度为，、系统动量守恒、系统能量守恒 解得的最小长度
（4）设运动方向与水平方向夹角为，已知沿下滑过程中，和相对地面均做匀变速直线运动，、系统水平方向上动量守恒、系统机械能守恒 解得A滑到B底端时动能、系统能量守恒 解得
19．（2025·山东青岛·一模）精确空投系统通过辅助制导设备，在惯性导航的基础上微调运动轨迹来提高空投物资的准确度。如图所示，某次空投中飞机在高度以水平速度匀速飞行。飞机释放一个质量的包裹，释放后包裹依靠惯性运动，忽略空气阻力，重力加速度。
(1)要使包裹能准确投送到飞机正前方水平地面上的目标位置，求包裹释放位置与目标位置的水平距离；
(2)若飞机飞行过程中突然遇到强风，强风过后飞机高度抬升了，并获得竖直向上的速度，水平速度不变，此时飞机处于（1）问中释放位置的正上方，立即释放包裹。要使包裹仍能准确投送到同一目标位置，释放包裹的同时启动辅助制导系统，使包裹始终受到一竖直向下的恒力作用，求该力的大小。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）竖直方向位移 水平方向位移 解得。
（2）由题意得，包裹下落过程中水平速度不变，水平位移不变，所以时间不变，可得 竖直方向位移 由牛顿第二定律得 解得。
20．（2025·山东济宁·模拟）如图所示，水平传送带在电动机带动下以速率沿顺时针方向匀速运行。上表面光滑的滑板A靠近传送带的右端静置在光滑水平面上，A上表面和传送带上表面等高，质量为m的小滑块B放在A上，用水平轻弹簧将B与A的右端相连。现将质量为m的小滑块C轻放在传送带左端，并在大小为（g为重力加速度大小）的水平拉力作用下，沿传送带向右运动，C运动到传送带右端时立即撤去F，C通过一小段光滑且与A上表面等高的固定水平面滑上滑板A。C与B碰撞并粘合在一起（作用时间极短），B与弹簧开始作用，经时间弹簧弹性势能第一次达到最大。已知C与传送带间的动摩擦因数为，A的质量为2m，传送带长为，弹簧的劲度系数，弹簧的弹性势能为（k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量）。求：
(1)C在传送带上运动的时间t；
(2)C在传送带上运动过程中电动机多消耗的电能；
(3)弹簧的最大压缩量；
(4)B与弹簧开始作用后，0～t0时间内A的位移大小。
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）设滑块在传送带上先以加速度大小做匀加速运动，由牛顿第二定律
解得 设滑块加速位移时与传送带共速，有 解得 所以滑块在传送带上一直做匀加速运动，则有 解得
（2）滑块运动到传送带最右端时，传送带的位移 电动机多消耗的电能 解得
（3）滑块与滑块B碰撞前瞬间的速度 滑块与滑块B碰撞后瞬间的速度为，则
ABC共速时，弹簧弹性势能最大，设共速时的速度大小为，则 由能量守恒 解得
（4）与弹簧作用过程中与A和弹簧组成的系统动量守恒，则有 经过极短时间，有时间内，设B的位移大小为，则 又
解得
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题16 力学计算
考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势
考点1 牛顿运动定律 2022 通常以牛顿运动定律、动量守恒定律、机械能守恒定律、动能定理等核心力学规律为基础，结合斜面、传送带、碰撞、弹簧连接体等丰富多样的物理情境进行考查。考查学生对复杂物理过程的细致分析能力，要求能够准确判断物体的受力情况、运动状态变化，合理选择物理规律建立方程求解。这类题目计算量往往较大，对学生的数学运算能力，如三角函数运算、解方程能力等要求较高，同时还需要学生具备良好的逻辑思维，能够清晰梳理各物理量之间的关系，构建正确的物理模型。
考点2 曲线运动 2021、2023
考点3 守恒定律 2021、2022、2023、2024、2025
考点01 牛顿运动定律
1．（2022·山东·高考）某粮库使用额定电压，内阻的电动机运粮。如图所示，配重和电动机连接小车的缆绳均平行于斜坡，装满粮食的小车以速度沿斜坡匀速上行，此时电流。关闭电动机后，小车又沿斜坡上行路程L到达卸粮点时，速度恰好为零。卸粮后，给小车一个向下的初速度，小车沿斜坡刚好匀速下行。已知小车质量，车上粮食质量，配重质量，取重力加速度，小车运动时受到的摩擦阻力与车及车上粮食总重力成正比，比例系数为k，配重始终未接触地面，不计电动机自身机械摩擦损耗及缆绳质量。求：
（1）比例系数k值；
（2）上行路程L值。
考点02 曲线运动
2．（2023·山东·高考）电磁炮灭火消防车（图甲）采用电磁弹射技术投射灭火弹进入高层建筑快速灭火。电容器储存的能量通过电磁感应转化成灭火弹的动能，设置储能电容器的工作电压可获得所需的灭火弹出膛速度。如图乙所示，若电磁炮正对高楼，与高楼之间的水平距离，灭火弹出膛速度，方向与水平面夹角，不计炮口离地面高度及空气阻力，取重力加速度大小，。
（1）求灭火弹击中高楼位置距地面的高度H；
（2）已知电容器储存的电能，转化为灭火弹动能的效率，灭火弹的质量为，电容，电容器工作电压U应设置为多少？

3．（2021·山东·高考）海鸥捕到外壳坚硬的鸟蛤（贝类动物）后，有时会飞到空中将它丢下，利用地面的冲击打碎硬壳。一只海鸥叼着质量的鸟蛤，在的高度、以的水平速度飞行时，松开嘴巴让鸟蛤落到水平地面上。取重力加速度，忽略空气阻力。
（1）若鸟蛤与地面的碰撞时间，弹起速度可忽略，求碰撞过程中鸟蛤受到的平均作用力大小F；（碰撞过程中不计重力）
（2）在海鸥飞行方向正下方的地面上，有一与地面平齐、长度的岩石，以岩石左端为坐标原点，建立如图所示坐标系。若海鸥水平飞行的高度仍为，速度大小在之间，为保证鸟蛤一定能落到岩石上，求释放鸟蛤位置的x坐标范围。
考点05 守恒定律
4．（2025·山东·高考）如图所示，内有弯曲光滑轨道的方形物体置于光滑水平面上，P、Q分别为轨道的两个端点且位于同一高度，P处轨道的切线沿水平方向，Q处轨道的切线沿竖直方向。小物块a、b用轻弹簧连接置于光滑水平面上，b被锁定。一质量的小球自Q点正上方处自由下落，无能量损失地滑入轨道，并从P点水平抛出，恰好击中a，与a粘在一起且不弹起。当弹簧拉力达到时，b解除锁定开始运动。已知a的质量，b的质量，方形物体的质量，重力加速度大小，弹簧的劲度系数，整个过程弹簧均在弹性限度内，弹性势能表达式（x为弹簧的形变量），所有过程不计空气阻力。求：
(1)小球到达P点时，小球及方形物体相对于地面的速度大小、；
(2)弹簧弹性势能最大时，b的速度大小及弹性势能的最大值。
5．（2024·山东·高考）如图甲所示，质量为M的轨道静止在光滑水平面上，轨道水平部分的上表面粗糙，竖直半圆形部分的表面光滑，两部分在P点平滑连接，Q为轨道的最高点。质量为m的小物块静置在轨道水平部分上，与水平轨道间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。已知轨道半圆形部分的半径，重力加速度大小。
（1）若轨道固定，小物块以一定的初速度沿轨道运动到Q点时，受到轨道的弹力大小等于3mg，求小物块在Q点的速度大小v；
（2）若轨道不固定，给轨道施加水平向左的推力F，小物块处在轨道水平部分时，轨道加速度a与F对应关系如图乙所示。
（i）求μ和m；
（ii）初始时，小物块静置在轨道最左端，给轨道施加水平向左的推力，当小物块到P点时撤去F，小物块从Q点离开轨道时相对地的速度大小为7m/s。求轨道水平部分的长度L。
6．（2023·山东·高考）如图所示，物块A和木板B置于水平地面上，固定光滑弧形轨道末端与B的上表面所在平面相切，竖直挡板P固定在地面上。作用在A上的水平外力，使A与B以相同速度向右做匀速直线运动。当B的左端经过轨道末端时，从弧形轨道某处无初速度下滑的滑块C恰好到达最低点，并以水平速度v滑上B的上表面，同时撤掉外力，此时B右端与P板的距离为s。已知，，，，A与地面间无摩擦，B与地面间动摩擦因数，C与B间动摩擦因数，B足够长，使得C不会从B上滑下。B与P、A的碰撞均为弹性碰撞，不计碰撞时间，取重力加速度大小。
（1）求C下滑的高度H；
（2）与P碰撞前，若B与C能达到共速，且A、B未发生碰撞，求s的范围；
（3）若，求B与P碰撞前，摩擦力对C做的功W；
（4）若，自C滑上B开始至A、B、C三个物体都达到平衡状态，求这三个物体总动量的变化量的大小。

7．（2022·山东·高考）如图所示，“L”型平板B静置在地面上，小物块A处于平板B上的点，点左侧粗糙，右侧光滑。用不可伸长的轻绳将质量为M的小球悬挂在点正上方的O点，轻绳处于水平拉直状态。将小球由静止释放，下摆至最低点与小物块A发生碰撞，碰后小球速度方向与碰前方向相同，开始做简谐运动（要求摆角小于），A以速度沿平板滑动直至与B右侧挡板发生弹性碰撞。一段时间后，A返回到O点的正下方时，相对于地面的速度减为零，此时小球恰好第一次上升到最高点。已知A的质量，B的质量，A与B的动摩擦因数，B与地面间的动摩擦因数，取重力加速度。整个过程中A始终在B上，所有碰撞时间忽略不计，不计空气阻力，求：
（1）A与B的挡板碰撞后，二者的速度大小与；
（2）B光滑部分的长度d；
（3）运动过程中A对B的摩擦力所做的功；
（4）实现上述运动过程，的取值范围（结果用表示）。
8．（2021·山东·高考）如图所示，三个质量均为m的小物块A、B、C，放置在水平地面上，A紧靠竖直墙壁，一劲度系数为k的轻弹簧将A、B连接，C紧靠B，开始时弹簧处于原长，A、B、C均静止。现给C施加一水平向左、大小为F的恒力，使B、C一起向左运动，当速度为零时，立即撤去恒力，一段时间后A离开墙壁，最终三物块都停止运动。已知A、B、C与地面间的滑动摩擦力大小均为f，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弹簧始终在弹性限度内。（弹簧的弹性势能可表示为：，k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量）
（1）求B、C向左移动的最大距离和B、C分离时B的动能；
（2）为保证A能离开墙壁，求恒力的最小值；
（3）若三物块都停止时B、C间的距离为，从B、C分离到B停止运动的整个过程，B克服弹簧弹力做的功为W，通过推导比较W与的大小；
（4）若，请在所给坐标系中，画出C向右运动过程中加速度a随位移x变化的图像，并在坐标轴上标出开始运动和停止运动时的a、x值（用f、k、m表示），不要求推导过程。以撤去F时C的位置为坐标原点，水平向右为正方向。
1．（2025·山东泰安·二轮复习检测）如图所示，一固定在竖直平面内的光滑圆弧轨道圆心为，半径，底端点切线水平。原长劲度系数的轻弹簧，一端挂在过点的光滑水平轴上，另一端栓接一个质量的小球，小球静止在点。轨道右边光滑水平地面上静止放置一长，质量的木板，A端与端的距离，上表面与点等高。现有一质量的滑块以的水平初速度滑上木板的端，滑块与木板间动摩擦因数，之后的运动中，木板A端碰到端会立即被锁定。滑块和小球均视为质点，取重力加速度大小。
(1)求滑块运动到木板A端时的速度大小；
(2)滑块与小球在点发生正碰，碰撞的恢复系数为。碰撞恢复系数的定义为，其中和分别是滑块和小球碰撞前的速度，和分别是滑块和小球碰撞后的速度。碰后小球随即沿圆弧轨道运动，求出小球脱离轨道时，弹簧与竖直方向夹角的大小。
(3)若（2）中滑块与小球在点发生碰撞后，再次经过点时，给滑块带上的正电荷，在地面上方加上垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度，解除木板的锁定，其余条件不变。滑块从滑上木板的端到与木板共速经历时间，求滑块与木板共速时，木板端与点的距离。
2．（2025·山东·模拟预测）如图所示，倾角的传送带以的速度沿逆时针方向运行，AB部分的长度。竖直面内的光滑圆弧轨道BC与传送带相切于B点，圆弧轨道的半径，C位于其圆心正上方。一质量的小物块（可视为质点）从A点以一定的初速度沿AB方向滑上传送带，最终刚好停在C点。小物块与传送带间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取，。求：
(1)小物块经过圆弧轨道的B点时对轨道的压力大小；
(2)小物块从A到B的运动时间；
(3)此过程中小物块在传送带上留下的划痕长度。
3．（2025·山东·市模拟二）如图，固定斜面倾角为，左端带有挡板的木板A质量为，木板与斜面间的动摩擦因数，质量的小物块B与木板A之间光滑，小物块可视为质点。某时刻由静止释放木板，后把小物块轻轻放到木板上距离挡板处，再经时间小物块与挡板发生第一次碰撞。已知小物块放到木板上时挡板距斜面底端距离，，重力加速度取。小物块始终未滑离木板，小物块与木板挡板之间的碰撞为弹性碰撞，且所有碰撞时间忽略不计。求：
(1)放上小物块前、后木板A的加速度大小；
(2)放上小物块至小物块与木板挡板发生第一次碰撞经历的时间；
(3)小物块与木板挡板第一次碰撞后的速度大小；
(4)木板到达斜面底端前小物块与木板挡板的碰撞次数。
4．（2025·山东十三校·4月联考）如图所示，水平地面上静置一质量为的长木板，左端放有质量为的小物块，质量为的小球用细线悬挂在点，线长为。长木板右端位于地面的点，点为点在地面的投影。点右侧静置一质量为、半径的半圆形凹槽，槽内静置质量为的小球。槽的内壁光滑，为其水平直径，、两点的水平距离大于木板长度。小物块与长木板间的动摩擦因数，长木板与点左侧地面间的动摩擦因数，点右侧地面光滑。现使小物块以某一初速度水平向右运动，当滑到长木板最右端时恰与木板相对静止，同时小物块与小球发生正碰，碰后两者立即粘在一起，之后细线偏离竖直方向的最大摆角。当小物块和小球刚摆至最高点时立即被取走。已知 ，，，重力加速度。
(1)求细线中最大拉力的大小；
(2)求长木板的长度；
(3)已知长木板通过点的过程中，所受地面的摩擦力大小与长木板未通过点部分的重力大小成正比，比例系数为。若长木板与凹槽碰后粘在一起，求碰后凹槽的最小速度的大小（结果可保留根号）。
5．（2025·山东名校·4月联考）如图所示，一足够长的固定斜面与水平面的夹角，有一下端有挡板、上表面光滑的长木板正沿斜面匀速下滑，长木板质量为、速度大小，现将另一质量为的小物块轻轻地放在长木板的某一位置，当小物块即将运动到挡板位置时（与挡板碰撞前的瞬间），长木板的速度刚好减为零，随后小物块与挡板发生第1次碰撞，以后每隔一段时间，小物块与挡板碰撞一次，小物块始终没有脱离长木板，长木板始终在斜面上运动，已知小物块与挡板的碰撞为弹性碰撞且碰撞时间极短，重力加速度，，，求：
(1)小物块在长木板上下滑过程中，长木板的加速度大小；
(2)小物块放在木板上的瞬间，其与挡板间的距离；
(3)小物块与挡板第5次碰撞后到第6次碰前，挡板的位移大小。
6．（2025·山东·模拟预测）一圆柱形导热汽缸长度为，汽缸开口端有限位装置，其底部固定一轻弹簧，弹簧原长为，弹簧另一端与活塞相连。汽缸开口向上竖直放置时，汽缸底部阀门打开与外界相通，此时活塞到缸底的距离为，如图甲所示。关闭阀门，将汽缸缓慢倒置，稳定时活塞到缸底的距离为，如图乙所示。活塞厚度不计，活塞与汽缸之间无摩擦且气密性良好。已知活塞面积为S，大气压为，重力加速度为g，弹簧形变始终在弹性限度内，环境温度不变。
(1)求活塞的质量；
(2)若倒置后打开阀门，直至活塞不再移动，求打开阀门前、后缸内气体质量之比。
7．（2025·山东齐鲁名校·五联）如图所示，在C点右侧的水平面上等间距摆放n个相同的滑块，相邻滑块间距离，滑块1与C点距离也为d，每个滑块的质量均为，编号依次为1、2、3……n，滑块与水平面间的动摩擦因数均为。在左侧的地面上静置一“”型平板B，平板质量，平板上表面与C点右侧水平面等高，平板上表面O点左侧光滑，右侧粗糙，平板下表面与地面间动摩擦因数。在O点静止放置一与C点右侧相同的滑块A，A与平板B上表面右侧的动摩擦因数，O点到平板右端距离，平板右端到C点的距离为s。某时刻，给B一向右、大小的速度，B向右运动一段距离后与A发生弹性碰撞，碰撞后A的速度为10m/s。滑块A和B的右端同时到达C点，此后滑块A滑上水平面与滑块1碰撞并粘在一起，再向前运动与滑块2碰撞并粘在一起……，碰撞时间极短，滑块可视为质点，不计空气阻力，重力加速度g取。已知。求：
(1)平板上O点到左端的距离；
(2)平板右端到C点的距离s；
(3)滑块1被碰撞后的速度大小；
(4)滑块A滑上水平面后最多可以和哪个滑块发生碰撞。
8．（2025·山东青岛·调研检测）如图所示，竖直平面内有一半径R=1.5m的光滑圆弧轨道AB，圆弧轨道的圆心角θ=53°，B点位于圆心O的正下方。圆弧轨道右边光滑的水平地面上依次排列三个等高的板块C、D、E，三板块的上表面都与B点平齐。质量m=1kg的小物体从P点以某一初速度v0水平抛出，在PA间运动时受到竖直向上的外力F=3vy，物体刚好从A点切入圆弧轨道，vy为物体竖直方向的分速度大小，物体到达B点时的速度大小vB=4m/s，然后依次滑上板块C、D、E。已知板块C、D、E的质量分别为M1=1kg，M2=0.4kg，M3=0.6kg，长度均为L=1m，PA间的高度差h=0.8m，物体与板块C、D、E间的动摩擦因数分别为μ1=0.5，μ2=0.021，μ3=0.05+0.4x，x为物体距板块E左端的距离，重力加速度g=10m/s2，sin53°=0.8，cos53°=0.6，物体可视为质点，忽略空气阻力。
(1)求物体从P点抛出的初速度大小v0；
(2)求物体从P运动到A所用的时间t；
(3)求物体离开板块D时的速度大小vD；
(4)判断物体是否能从板块E右端滑落，若能，求物体滑下时相对板块E的速度大小；若不能，求物体相对板块E静止时距板块E右端的距离。
9．（2025·山东聊城·学业水平等级考试模拟）如图所示，倾斜传送带与水平面夹角为，顺时针运行速度，下端与光滑水平轨道平滑连接。小物块P从传送带顶端由静止释放，当小物块运动至光滑水平轨道末端恰好与静置在长木板左端等高位置的物块Q发生弹性碰撞。长木板水平部分AB粗糙，右端为四分之一光滑圆弧轨道，半径。已知物块Q离开C点后能上升的最大高度，小物块P与传送带间的动摩擦因数，物块Q与木板上表面AB间动摩擦因数，物块P、Q的质量，长木板的质量，重力加速度，，，水平面MN光滑且足够长，忽略空气阻力。求：
(1)物块P运动到传送带底端时的速度大小；
(2)物块P与传送带间因摩擦产生的热量；
(3)若物块Q能停在木板上，求Q最终停在木板上的位置；若不能，求Q离开木板时的速度大小。
10．（2025·山东济南·一模）如图所示，三个物块A、B、C的质量均为m=1kg，物块C放置在水平地面上，竖直放置的轻弹簧连接物块B和物块C，物块A放置在物块B上，整个装置保持静止。现对A施加竖直向下的恒定外力，将物块A、B压缩到最低点时立即撤去外力，物块A、B被竖直向上弹起。一段时间后A、B分离，当A向上运动到最高点时立即被取走，当B继续向上运动到最高点时，物块C恰好离开水平地面。轻弹簧的劲度系数为k=100N/m，轻弹簧的弹性势能表达式为（k为轻弹簧的劲度系数，x为轻弹簧的形变量），弹簧振子做简谐运动的周期表达式为（k为轻弹簧的劲度系数，M为振子的质量），重力加速度g=10m/s2，所有过程中弹簧始终在弹性限度内，不计空气阻力，求：
(1)物块B向上运动到最高点时的加速度大小；
(2)物块A、B分离瞬间，物块B的速度大小：
(3)恒定外力的大小：
(4)从A、B分离到各自第一次运动到最高点的过程中，二者运动的时间差（结果用π表示）。
11．（2025·山东齐鲁名校·大联考）如图所示，A、B两个可视为质点的物块置于水平粗糙的地面上，A、B相距，质量，A、B与地面间的动摩擦因数均为，在B的右侧，水平地面与一段足够长的光滑圆弧轨道平滑连接，圆弧轨道的半径。时刻给物块A一水平向右的大小的拉力，一段时间后撤去，又经过一段时间后A与B发生碰撞并粘在一起，碰撞时间极短，碰撞过程中能量损失。取3.14，求：
(1)拉力作用的距离以及物块沿圆弧面上滑的高度；
(2)从时刻到两物块停止运动的整个过程中，A、B与地面摩擦产生的热量；
(3)从时刻到物块停止运动所用的总时间。
12．（2025·山东省实验中学·四诊）图示是一水上娱乐项目的简化模型，半径为R的光滑球固定在水中的平台上，O为球心，可视为质点的人静止在球的最高点，人、球心和固定点在同一竖直线上。某时刻人以微小（可忽略）的初速度开始下滑。已知水面到球心的距离为，重力加速度为g，人的质量为m，忽略空气阻力的影响。求：
(1)人与球分离时的速度大小v；
(2)人落水位置到球心的水平距离d。
13．（2025·山东潍坊·三模）如图所示，质量为m的木板B平放在光滑的水平面上，在木板最左端正上方高h处静置一质量为2m的小球A，初始时刻，给小球A一个水平向右的初速度，小球A下落过程中恰好击中木板B上表面的中点，碰后A运动轨迹的最高点与初始位置等高。一段时间后，小球A与木板B发生第二次碰撞，恰击中B上表而的最左端。已知所有的碰撞时间极短，重力加速度为g，不计空气阻力，小球可看作质点，则
(1)木板B的长度为多少？
(2)第一次碰撞后木板B的速度大小为多少？
(3)A和B发生第二次碰撞后，为了保证小球A第三次与B上表面碰撞时恰能击中B的最右端，在距离木板B最右端d（未知）处固定一弹性挡板C，则d为多少？
14．（2025·山东省实验中学·五诊）如图所示，固定在水平面上的粗糙斜面倾角，长度为。滑块B恰好静止在斜面上，离斜面顶端的距离为，与斜面无摩擦的滑块A由斜面顶端无初速度释放。已知滑块间的碰撞为弹性碰撞且碰撞时间忽略不计，滑块A的质量为，滑块B的质量为，重力加速度大小为，两滑块均视为质点，不计空气阻力。求
(1)滑块A从释放到与滑块B第一次碰撞所经历的时间；
(2)第一次碰撞后瞬间滑块A和滑块B的速度大小；
(3)在第一次碰撞到第二次碰撞之间，滑块A与滑块B间的最大距离；
(4)滑块A与滑块B在该斜面上碰撞的次数。
15．（2025·山东省实验中学·五诊）第九届亚冬会于2025年2月7日至14日在哈尔滨举行，跳台滑雪是比赛项目之一，因其高风险性被称作“勇敢者的运动”，其场地简化为如图所示。曲面AO为助滑道，雪坡OB段为倾角的足够长斜面，某运动员从助滑道的最高点A由静止开始下滑，到达起跳点O时借助设备和技巧，保持在点的速度大小不变以与水平方向成角的方向起跳，最后落在雪坡上的点，起跳点与落点B之间的距离为此项运动的成绩。已知A点与点之间的高度差，该运动员可视为质点，不计一切阻力和摩擦，不考虑运动员自身的能量输出，，，g取。求
(1)该运动员在点起跳时的速度大小；
(2)该运动员通过调整起跳角，能够取得的最好成绩（即的最大值）为多少？
16．（2025·山东枣庄八中·二模）如图甲所示，固定光滑斜面的倾角，右端带有固定挡板的“┚”形木板静置于水平面上，斜面底端B与木板左端紧靠且跟其上表面平齐。将质量的小物块从斜面顶端A由静止释放，物块滑上木板时不计能量损失，到达木板右端时与挡板发生弹性碰撞。以物块刚滑上木板的时刻为计时起点，物块跟挡板碰撞前物块和木板的图像，如图乙所示，木板与地面间的动摩擦因素，取重力加速度。
(1)求斜面的长度；
(2)求从物块开始运动至其和挡板碰撞前的瞬间，物块与木板系统损失的机械能；
(3)物块最终能否从木板上滑落？若能，请求出物块滑落时的速度；若不能，请求出物块最终到木板左端的距离d。
17．（2025·山东名校考试联盟·高考模拟）如图所示，半径的光滑四分之一圆弧轨道竖直固定，质量、长度的木板静止在粗糙水平地面上，木板左端放置质量的小滑块B，圆弧轨道的末端与木板的上表面相切，木板右侧距离是一固定平台，平台高度与木板厚度相同。从圆弧轨道的最高点由静止释放质量的滑块A，滑至底端时与滑块B发生弹性碰撞，木板向右运动与平台碰撞后立即停止。已知滑块A和滑块B均可视为质点，与木板间的动摩擦因数均为，木板与水平地面间的动摩擦因数，重力加速度。求：
(1)滑块A在圆弧轨道底端发生碰撞前所受轨道的支持力大小；
(2)滑块A在木板上向右运动的总时间；
(3)滑块B离开木板滑上平台时的速度大小v。
18．（2025·山东青岛·一模）如图所示，质量的光滑斜劈静止在水平台面上，底边长度，高度。底端距离台面边缘，水平地面上一质量的木板紧靠平台静置，上表面与台面相平。质量、可看作质点的物块从顶端由静止释放，滑到台面上时与台面发生相互作用，的动能发生损失，进入台面后的速度水平向右，大小为。已知沿下滑过程中，和相对地面均做匀变速直线运动，与台面、与地面间均无摩擦，与台面、与间动摩擦因数，重力加速度。求
(1)滑到底端时，向左滑动的距离；
(2)滑上时的速度大小；
(3)为使不从上滑下，的最小长度；
(4)滑到底端后，与台面发生相互作用过程中损失的动能。
19．（2025·山东青岛·一模）精确空投系统通过辅助制导设备，在惯性导航的基础上微调运动轨迹来提高空投物资的准确度。如图所示，某次空投中飞机在高度以水平速度匀速飞行。飞机释放一个质量的包裹，释放后包裹依靠惯性运动，忽略空气阻力，重力加速度。
(1)要使包裹能准确投送到飞机正前方水平地面上的目标位置，求包裹释放位置与目标位置的水平距离；
(2)若飞机飞行过程中突然遇到强风，强风过后飞机高度抬升了，并获得竖直向上的速度，水平速度不变，此时飞机处于（1）问中释放位置的正上方，立即释放包裹。要使包裹仍能准确投送到同一目标位置，释放包裹的同时启动辅助制导系统，使包裹始终受到一竖直向下的恒力作用，求该力的大小。
20．（2025·山东济宁·模拟）如图所示，水平传送带在电动机带动下以速率沿顺时针方向匀速运行。上表面光滑的滑板A靠近传送带的右端静置在光滑水平面上，A上表面和传送带上表面等高，质量为m的小滑块B放在A上，用水平轻弹簧将B与A的右端相连。现将质量为m的小滑块C轻放在传送带左端，并在大小为（g为重力加速度大小）的水平拉力作用下，沿传送带向右运动，C运动到传送带右端时立即撤去F，C通过一小段光滑且与A上表面等高的固定水平面滑上滑板A。C与B碰撞并粘合在一起（作用时间极短），B与弹簧开始作用，经时间弹簧弹性势能第一次达到最大。已知C与传送带间的动摩擦因数为，A的质量为2m，传送带长为，弹簧的劲度系数，弹簧的弹性势能为（k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量）。求：
(1)C在传送带上运动的时间t；
(2)C在传送带上运动过程中电动机多消耗的电能；
(3)弹簧的最大压缩量；
(4)B与弹簧开始作用后，0～t0时间内A的位移大小。
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