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专题17 电磁学计算
考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势
考点1 静电场 2023 多以带电粒子在电场、磁场中的运动，或者电磁感应现象作为问题背景。考查学生对电场力、洛伦兹力公式的熟练运用，以及对粒子在电场中的加速、偏转，在磁场中的圆周运动等运动过程的分析能力；在电磁感应中，考查感应电动势、感应电流的计算，以及安培力作用下导体棒的运动分析等。题目常常与力学知识紧密结合，如利用牛顿运动定律分析导体棒的受力与运动，运用能量守恒定律求解电磁感应过程中的能量转化问题，整体难度较大，需要学生具备较强的分析推理能力和数学运算能力，能够将电磁学知识与力学知识有机融合，综合运用解决问题。
考点2 磁场 2021、2022、2023、2024
考点3 电磁感应 2025
考点01 静电场
1．（2023·山东·高考）电磁炮灭火消防车（图甲）采用电磁弹射技术投射灭火弹进入高层建筑快速灭火。电容器储存的能量通过电磁感应转化成灭火弹的动能，设置储能电容器的工作电压可获得所需的灭火弹出膛速度。如图乙所示，若电磁炮正对高楼，与高楼之间的水平距离，灭火弹出膛速度，方向与水平面夹角，不计炮口离地面高度及空气阻力，取重力加速度大小，。
（1）求灭火弹击中高楼位置距地面的高度H；
（2）已知电容器储存的电能，转化为灭火弹动能的效率，灭火弹的质量为，电容，电容器工作电压U应设置为多少？

考点02 磁场
2．（2024·山东·高考）如图所示，在Oxy坐标系x>0，y>0区域内充满垂直纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场。磁场中放置一长度为L的挡板，其两端分别位于x、y轴上M、N两点，∠OMN=60°，挡板上有一小孔K位于MN中点。△OMN之外的第一象限区域存在恒定匀强电场。位于y轴左侧的粒子发生器在0＜y＜的范围内可以产生质量为m，电荷量为+q的无初速度的粒子。粒子发生器与y轴之间存在水平向右的匀强加速电场，加速电压大小可调，粒子经此电场加速后进入磁场，挡板厚度不计，粒子可沿任意角度穿过小孔，碰撞挡板的粒子不予考虑，不计粒子重力及粒子间相互作用力。
（1）求使粒子垂直挡板射入小孔K的加速电压U0；
（2）调整加速电压，当粒子以最小的速度从小孔K射出后恰好做匀速直线运动，求第一象限中电场强度的大小和方向；
（3）当加速电压为时，求粒子从小孔K射出后，运动过程中距离y轴最近位置的坐标。
3．（2023·山东·高考）如图所示，在，的区域中，存在沿y轴正方向、场强大小为E的匀强电场，电场的周围分布着垂直纸面向外的恒定匀强磁场。一个质量为m，电量为q的带正电粒子从OP中点A进入电场（不计粒子重力）。
（1）若粒子初速度为零，粒子从上边界垂直QN第二次离开电场后，垂直NP再次进入电场，求磁场的磁感应强度B的大小；
（2）若改变电场强度大小，粒子以一定的初速度从A点沿y轴正方向第一次进入电场、离开电场后从P点第二次进入电场，在电场的作用下从Q点离开。
（i）求改变后电场强度的大小和粒子的初速度；
（ii）通过计算判断粒子能否从P点第三次进入电场。

4．（2022·山东·高考）中国“人造太阳”在核聚变实验方面取得新突破，该装置中用电磁场约束和加速高能离子，其部分电磁场简化模型如图所示，在三维坐标系中，空间内充满匀强磁场I，磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向；，的空间内充满匀强磁场II，磁感应强度大小为，方向平行于平面，与x轴正方向夹角为；，的空间内充满沿y轴负方向的匀强电场。质量为m、带电量为的离子甲，从平面第三象限内距轴为的点以一定速度出射，速度方向与轴正方向夹角为，在平面内运动一段时间后，经坐标原点沿轴正方向进入磁场I。不计离子重力。
（1）当离子甲从点出射速度为时，求电场强度的大小；
（2）若使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，求进入磁场时的最大速度；
（3）离子甲以的速度从点沿轴正方向第一次穿过面进入磁场I，求第四次穿过平面的位置坐标（用d表示）；
（4）当离子甲以的速度从点进入磁场I时，质量为、带电量为的离子乙，也从点沿轴正方向以相同的动能同时进入磁场I，求两离子进入磁场后，到达它们运动轨迹第一个交点的时间差（忽略离子间相互作用）。
5．（2021·山东·高考）某离子实验装置的基本原理如图甲所示。Ⅰ区宽度为d，左边界与x轴垂直交于坐标原点O，其内充满垂直于平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为；Ⅱ区宽度为L，左边界与x轴垂直交于点，右边界与x轴垂直交于点，其内充满沿y轴负方向的匀强电场。测试板垂直x轴置于Ⅱ区右边界，其中心C与点重合。从离子源不断飘出电荷量为q、质量为m的正离子，加速后沿x轴正方向过O点，依次经Ⅰ区、Ⅱ区，恰好到达测试板中心C。已知离子刚进入Ⅱ区时速度方向与x轴正方向的夹角为。忽略离子间的相互作用，不计重力。
（1）求离子在Ⅰ区中运动时速度的大小v；
（2）求Ⅱ区内电场强度的大小E；
（3）保持上述条件不变，将Ⅱ区分为左右两部分，分别填充磁感应强度大小均为B（数值未知）方向相反且平行y轴的匀强磁场，如图乙所示。为使离子的运动轨迹与测试板相切于C点，需沿x轴移动测试板，求移动后C到的距离S。
考点03 电磁感应
1．（2025·山东·高考）如图所示，平行轨道的间距为L，轨道平面与水平面夹角为α，二者的交线与轨道垂直，以轨道上O点为坐标原点，沿轨道向下为x轴正方向建立坐标系。轨道之间存在区域I、Ⅱ，区域I（ 2L ≤ x < L）内充满磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场；区域Ⅱ（x ≥ 0）内充满方向垂直轨道平面向上的磁场，磁感应强度大小B1 = k1t+k2x，k1和k2均为大于零的常量，该磁场可视为由随时间t均匀增加的匀强磁场和随x轴坐标均匀增加的磁场叠加而成。将质量为m、边长为L、电阻为R的匀质正方形闭合金属框epqf放置在轨道上，pq边与轨道垂直，由静止释放。已知轨道绝缘、光滑、足够长且不可移动，磁场上、下边界均与x轴垂直，整个过程中金属框不发生形变，重力加速度大小为g，不计自感。
(1)若金属框从开始进入到完全离开区域I的过程中匀速运动，求金属框匀速运动的速率v和释放时pq边与区域I上边界的距离s；
(2)金属框沿轨道下滑，当ef边刚进入区域Ⅱ时开始计时（t = 0），此时金属框的速率为v0，若，求从开始计时到金属框达到平衡状态的过程中，ef边移动的距离d。
1．（2025·山东潍坊·三模）某离子注入工艺原理如图所示。离子源产生的离子经小孔进入加速电场，初速度可忽略不计。加速后的离子竖直向上进入速度选择器，该区域存在水平向左的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场；通过速度选择器的离子射出后从小孔进入电场分析器，电场分析器内为圆弧辐射状电场，离子沿半径为（未知）的圆弧做匀速圆周运动；随后离子从小孔射出并沿水平方向进入磁场分析器，该区域存在垂直纸面向外的圆形匀强磁场（未画出），离子偏转后沿 的方向竖直向下射入水平向左的匀强偏转电场，最终打在水平放置的晶圆（硅片）上。已知加速电场两水平极板间的电压为U，速度选择器电场、电场分析器内离子所经位置的电场强度大小均为E；速度选择器、磁场分析器中的磁感应强度大小均为B；偏转电场的上下边界MN和PQ间距为L，水平方向足够宽。晶圆半径为R，圆心为O，其上表面到PQ边界的距离为d。不计重力及离子间相互作用，忽略边缘效应，求：
(1)通过速度选择器离子的比荷；
(2)离子在电场分析器中运动轨迹的半径及运动时间t；
(3)磁场分析器中“圆形匀强磁场”区域的最小面积S；
(4)若离子需恰好打在晶圆上表面的边缘处，求偏转电场的电场强度大小。
2．（2025·山东德州·三模）如图所示，竖直绝缘管固定在水平地面上的小车上，管内底部有一截面直径比管的内径略小、可视为质点的小圆柱体，小圆柱体质量，电荷量，绝缘管长为。在管口所在水平面的下方存在着垂直纸面向里、磁感应强度的匀强磁场，面上方存在着垂直纸面向外、磁感应强度的匀强磁场，上下的整个区域还存在着竖直向上、场强的匀强电场。现让小车始终保持的速度匀速向右运动，一段时间后小圆柱体在绝缘管内匀速，然后沿与竖直方向夹角为37°的方向离开绝缘管。小圆柱体在绝缘管外受到的空气阻力大小与其速度大小关系为，已知小圆柱体第一次与第二次经过水平面的距离为。取，不计其它阻力。求：
(1)小圆柱体刚进入磁场时的加速度大小；
(2)小圆柱体的加速度为时的速度大小；
(3)小圆柱体在绝缘管内运动时产生的热量；
(4)小圆柱体第二次经过水平面时的速度大小。
3．（2025·山东淄博·三模）如图甲所示，直角坐标系xOy位于竖直平面内，在第一、二象限内存在竖直向上的匀强电场，场强大小E1（未知）。现有一质量为m、电量为+q的带电小球，从第二象限以速度水平射出，做匀速直线运动，经点M（0，）进入第一象限，在第一象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场，经过一段时间，从点N（，0）第一次离开第一象限进入第四象限内，第四象限内存在一未知电场，小球沿NP方向做匀减速直线运动，到达y轴上的P点时速度恰好减为0。一足够长的光滑绝缘斜面固定在第三象限内，与y轴相交与P点，斜面沿NP方向，第三象限内存在垂直纸面向外的大小为的匀强磁场，同时存在竖直向上的周期性变化的电场，变化规律如图乙所示，从小球刚到达P点开始计时，且此后小球一直在第三象限内运动，重力加速度为g。求：
(1)电场强度大小E1；
(2)第一象限内磁感应强度大小B1；
(3)第四象限内的电场强度大小E2；
(4)小球在时间内的路程s。
4．（2025·山东青岛·三模）如图所示，MN是长度为3a的线状粒子源，PQ是金属网，从MN均匀逸出比荷为、初速度为0的带正电粒子。半径为a的圆形区域与PQ相切于，延长交于MN中点。在MN、PQ间所加电压为，粒子经电场加速后进入PQ右侧区域，在PQ右侧部分区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场。不计粒子重力。
(1)若仅圆内有磁场，磁感应强度大小为，求粒子在磁场中运动的最长时间；
(2)若仅圆外有磁场，不考虑粒子重复进入无磁场区域：
（ⅰ）当磁感应强度大小为时，求能经过圆心O的粒子在MN上逸出时的位置到的距离；
（ⅱ）要使能进入圆形区域的粒子数占总数的50%，求磁感应强度的大小。
5．（2025·山东Flawless联考·选考四）低能离子散射（LEIS）技术可以分析样品表面原子分布情况，在分析材料催化性能、生物材料与半导体材料性能研究中有重要用处。图1为一个简化的LEIS能谱仪，离子枪中可以向某固定方向发出加速后的Ar 离子，离子打在样品上后发生碰撞， 的离子能够进入静电分析器（θ表示碰撞前后Ar 离子运动路径的夹角），调整静电分析器电场使得粒子能够打到接收板上，即可分析得出散射粒子的能量。本题设元电荷大小为e，不计空气阻力、重力，且不考虑电磁辐射、相对论效应。
(1)离子枪中装有氩气，发射时将氩气电离成Ar 高离子，并以近似为0的速率飘入加速极板。设Ar 离子质量为m，若希望从离子枪中出射的离子速度为v，求加速电压U；
(2)被样品散射后的Ar 离子进入半圆柱形静电分析器，已知静电分析器中某点电场方向沿圆柱半径，电场强度满足 其中r为该点到圆柱轴的距离，k为可调的比例系数，分析器通道形状为半圆弧且相当窄。若离子能打到接收板，求散射后粒子动能T'；
(3)Ar 离子与样品表面原子的散射过程可以简化为图2：质量为m的离子入射，与质量为M的静止原子发生了弹性碰撞，碰撞后离子的运动方向改变的角度为α。记碰撞后离子动能为碰撞前的K倍，求出K可能的表达式（用α，m，M表示；离子和原子视作质点）；
(4)将离子枪加速电压调至U=1000 V，轰击青铜合金样品（主要成分为90% Cu，10%Sn），请在图3中大致画出得到的能谱图，其中横轴为散射离子动能，纵轴为接收板上相对电流强度。（参考数据：相关原子质量数：
6．（2025·山东Flawless联考·选考四） James Hopwood Jeans在1925年出版的《电磁的数学理论》中，首次清晰地讨论了涡电流现象，本题将以此为基础简要分析小磁体在金属圆管中下落时会发生的物理现象。
(1)如图1所示，质量为m的小磁体在一根足够长的竖直放置的铝管内下落，其受到由涡流带来的阻力与下落速度的矢量关系为，设重力加速度为g。
①求小磁体最终的下落速度（收尾速度）vT；
②在①的条件下，若已知小磁体下落速度随时间的变化关系可写作 ，求α。
(2)下面我们讨论小磁体下落时的动力学问题，考虑如下简化后的模型：小磁体沿着水平固定的铝环的中轴线下落，如图2所示，金属圆环的半径为a（a很小），电阻为R。为方便起见，我们建立如图所示的沿金属环中轴线的坐标轴，且向下为正。在t=0时，小磁体从原点z=0静止释放，铝环中心的坐标为。由于也很小，故小磁体位于原点时，轴线上的磁场分布在我们考虑的范围内可近似为 ，不考虑电磁辐射和相对论效应。
①设小磁体在位置z时的瞬时速度大小为v，求金属圆环内部的电流I；
②在①的条件下，求金属圆环处磁感应强度径向分量大小（不考虑环内电流产生的磁场）；
③若小磁体下落一小段距离后开始近似做匀速直线运动，求这一速度大小。
7．（2025·山东省实验中学·二模）如图所示，相距的两根足够长的光滑平行金属导轨倾斜放置，与水平面夹角，导轨电阻不计，导轨所在平面内有垂直于导轨平面斜向上的匀强磁场，磁感应强度为。质量的导体棒垂直于导轨放置，接入电路电阻为，定值电阻阻值，电容器的耐压值足够大，初始时不带电，电源的电动势，内阻。将导体棒由静止释放，，取重力加速度。
(1)仅闭合开关，当导体棒下滑的距离时，定值电阻产生的焦耳热为，求此时导体棒的速度大小；
(2)仅闭合开关，当导体棒下滑的时间时，电容器带电量为，求此时导体棒的速度大小；
(3)仅闭合开关，求导体棒最终稳定时的速度大小。
8．（2025·山东·高考冲刺卷（二））如图所示，两根平行光滑金属导轨之间的距离d=1m，倾角θ=30°，导轨上端接有一个阻值R=2Ω的电阻，在导轨间、电阻下方存在方向垂直导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小B=1T。质量m=0.2kg的金属棒水平置于导轨上，垂直于导轨且与导轨接触良好，金属棒与导轨间的动摩擦因数。金属棒与电阻R距离足够远，金属棒沿导轨平面以初速度v0=6m/s向上运动，t（t为已知量，单位为秒）时间后速度减为零。当金属棒速度减为零时，立即让磁场以大小v0=6m/s的速度沿导轨平面匀速向下运动，金属棒在磁场驱动下沿导轨平面向下运动距离L（L为已知量，单位为米）时，金属棒恰好达到最大速度且此后以此速度沿导轨平面匀速运动。金属棒在运动过程中始终处于磁场区域内，重力加速度g=10m/s2，不计导轨和金属棒的电阻及空气阻力，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求：
(1)金属棒开始沿导轨平面向上运动时的加速度大小；
(2)金属棒向上运动过程中通过电阻R的电荷量和电阻R产生的焦耳热；
(3)金属棒向下运动过程中加速运动的时间与该段时间内通过电阻R的电荷量。
9．（2025·山东齐鲁教研体·考前质量检测）如图所示，在直角坐标系中，以（，0）为圆心、为半径的半圆区域内存在垂直平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，为与轴重合的直径；在区域存在垂直平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为（未知）；在区域存在沿轴负方向的匀强电场（未知）；在区域存在垂直平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为（未知）。已知，，一质量为、带电量为的正粒子从圆周上点（）沿轴正方向以速度进入磁场，之后经磁场从轴上的点沿轴正方向进入匀强电场，经点进入磁场，又经过点射出磁场。不计粒子重力，求：
(1)匀强磁场的磁感应强度大小及点坐标；
(2)电场强度与磁感应强度的比值；
(3)粒子从点射入磁场到从点射出磁场，整个运动过程中需用的时间。
10．（2025·山东聊城·学考模拟三）现代科学实验中，对带电粒子运动的控制要求越来越高。如图甲所示，在空间坐标系中，的区域内存在与轴负方向夹角为30°的匀强电场，在的空间存在沿轴正方向的匀强电场，两部分电场强度大小相等。同时在的空间还存在沿轴方向变化的磁场（图中未画出）﹐磁感应强度随t的变化规律如图乙所示。一质量为m，电荷量为＋q的带电粒子，从静止出发经过加速电压U后，从A点（未知）处进入匀强电场，一段时间后恰好从原点О沿y轴负方向进入的空间。已知粒子第一次经过О点时记为时刻，粒子在时间内恰好可以在与平面平行的平面内做一个完整的圆周运动，且在时间内能达到的坐标最大值的绝对值与A点相同，规定磁场方向沿轴正方向为正，不计粒子重力，图乙中未知。求：
(1)匀强电场的电场强度大小；
(2)的大小；
(3)时刻粒子的位置坐标。
11．（2025·山东济南山东师大附中·二模）某型号离子实验装置的工作原理可简化为图甲所示。M为竖直放置的屏，以垂直于屏为x轴、平行于屏为y轴建立直角坐标系，y轴到屏的距离为d，屏的左侧存在平行于y轴向下的匀强电场和平行于x轴向右的匀强磁场，电场和磁场的大小和分布范围可调节。质量为m、电荷量为q的带正电粒子从坐标原点O以初速度v0进入xOy平面第一象限，初速度v0与x轴正方向的夹角为53°。若空间只存在匀强电场，粒子打到屏上P点（未画出）。已知，不计粒子重力，忽略电磁场的边界效应。
(1)求P点的y坐标；
(2)若空间只存在磁场，粒子打到屏上Q点，求PQ的距离L；
(3)如图乙所示，分界面N把区域分为左右两部分：N的左侧充满电场E，N的右侧充满平行于x轴向右的匀强磁场B2，若使粒子仍然打到屏上P点，求分界面N到y轴的距离x及B2的大小。
12．（2025·山东齐鲁名校·联考）现代科技常利用电场和磁场控制带电粒子的运动。如图甲所示的空间直角坐标系（轴未画出，正方向垂直于平面向外）中，在轴上的点有一粒子源，可以沿轴正方向发射质量均为、电荷量均为、速度大小均为的带电粒子。在的空间内存在如图乙所示的交变电场，电场强度大小未知，方向平行于轴，时间内沿轴正方向；在的空间内存在如图丙所示的交变磁场，磁感应强度大小为，方向沿轴负方向；在，的空间内存在磁感应强度大小也为、方向沿轴负方向的匀强磁场；在，的空间内存在电场强度大小也为、方向沿轴正方向的匀强电场。点和点为轴和分界线的交点。已知时刻射出的粒子恰好通过点。不计粒子重力和粒子间的相互作用以及电、磁场的边界效应。求：
(1)电场强度大小；
(2)时刻射出的粒子在时间内离轴的最大距离；
(3)时刻射出的粒子第次到达平面时的坐标。
13．（2025·山东齐鲁名校·联考）如图所示，间距为的两固定平行光滑金属导轨由倾斜部分和水平部分（均足够长）平滑连接而成，连接处绝缘，倾斜部分导轨与水平面的夹角为，导轨上端接有一个阻值为的定值电阻。倾斜导轨处存在方向垂直于倾斜导轨平面向上的匀强磁场，水平导轨处存在方向竖直向上的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为。初始时，导体棒放置在水平导轨上离倾斜导轨底端足够远的位置，导体棒从倾斜导轨上某处由静止释放，到达倾斜导轨底端前已经匀速运动。导体棒进入水平导轨后始终没有和导体棒相碰。导体棒、接入电路的阻值均为，质量均为，运动过程中始终垂直于导轨且与导轨接触良好，导轨电阻不计，重力加速度为。求：
(1)导体棒在倾斜导轨上的最大速度；
(2)整个过程，导体棒产生的热量。
14．（2025·山东济宁·考前押题联考）现代电子设备常用电场和磁场控制带电粒子的运动。如图，第三象限存在竖直向上的匀强电场。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，以初速度从第三象限中的P点水平射入电场，P点坐标为，从坐标原点O进入第一象限区域。第一象限中为Ⅰ区域，为Ⅱ区域，两区域分布磁感应强度分别为、，方向均垂直纸面向里的匀强磁场。粒子重力忽略不计，，。求
(1)该粒子进入第一象限时的速度v；
(2)若从O点进入磁场的粒子恰好不能进入Ⅱ区，求Ⅰ区磁场的大小；
(3)若，粒子能到达Ⅱ区处，求的最大值；
(4)若撤去Ⅰ、Ⅱ区域的磁场，第一象限充满方向垂直纸面向里，磁感应强度大小随x方向均匀增大，关系为（已知，k为常数）的非匀强磁场。求粒子从O点运动到离y轴最远位置的过程中，运动轨迹与y轴围成的面积S。
15．（2025·山东日照·二模）如图所示，两平行金属导轨固定在水平面上，窄轨M1N1、M2N2之间的距离L1=1m，光滑的宽轨O1P1、O2P2之间的距离L2=2m。窄轨以垂直于轨道的虚线A1A2为分界线，左侧粗糙，右侧光滑。窄轨左侧通过开关S1连接一电容C=0.02F的电容器（耐压值足够大）。宽轨和窄轨连接处有开关S2，宽轨左侧接有电阻R1=10Ω。质量m=1kg的金属棒ab静止在窄轨上，ab棒到A1A2的距离x=4.5m，与窄轨粗糙部分间的动摩擦因数μ=0.2；质量M=2kg的金属棒cd静止在宽轨上。整个装置处于方向竖直向上、磁感应强度大小B=10T的匀强磁场中。现闭合S1，断开S2，给ab棒施加一与导轨平行、大小为5N的恒力F，当其运动到A1A2时，撤去F，同时断开S1，闭合S2。窄轨和宽轨足够长，ab始终在窄轨上运动，cd棒始终在宽轨上运动。两金属棒在运动过程中始终与导轨垂直且与导轨接触良好，cd棒连入电路中的电阻R2=20Ω，其余电阻均不计。重力加速度g=10m/s2。求：
(1)恒力F的作用时间；
(2)cd棒从开始运动到匀速的过程中，通过cd的电荷量；
(3)cd棒从开始运动到匀速的过程中，cd棒中产生的焦耳热。
16．（2025·山东滨州·二模）电磁聚焦和发散技术多用于高端科技领域，如约束核聚变和航天领域的离子推进器等方面均有协同应用。如图所示，在、轴组成的平面内有组合电场和磁场，可以实现带电粒子的聚焦和发散。质量为、电荷量为的同种带电粒子以相同的速度平行于轴射入第三象限的匀强电场中，电场强度大小为，方向沿轴负方向，边界分别与轴、轴交于坐标的两点，其边界均有粒子射入，且所有粒子都从坐标为（0，-L）的点射出电场，进入第四象限的匀强磁场中，其中速度平行轴方向射入磁场的粒子恰能垂直打到轴的正半轴上。若打到轴上的粒子中只有离坐标原点最近的粒子能够射入第一象限，其它粒子均被吸收，第一象限内有边界平行于轴且宽度均为的若干区域，交替分布着空白区域和方向垂直纸面向外的匀强磁场区域。不计粒子的重力和粒子间的相互作用，不考虑电磁场的边缘效应。
求：
(1)第三象限内，粒子射入匀强电场的初速度大小；
(2)所有粒子打到轴正半轴上的区域长度；
(3)若第一象限的匀强磁场的大小，射入第一象限的粒子离轴的最远距离；
(4)若在第一象限内的空白区域存在匀强电场，电场强度的大小也为、方向沿轴正方向。改变第一象限内磁场区域磁感应强度的大小，恰能使射入第一象限的粒子运动到离轴的距离也为第（3）问中的，且此时速度沿轴正方向。求第一象限内匀强磁场的磁感应强度大小。
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题17 电磁学计算
考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势
考点1 静电场 2023 多以带电粒子在电场、磁场中的运动，或者电磁感应现象作为问题背景。考查学生对电场力、洛伦兹力公式的熟练运用，以及对粒子在电场中的加速、偏转，在磁场中的圆周运动等运动过程的分析能力；在电磁感应中，考查感应电动势、感应电流的计算，以及安培力作用下导体棒的运动分析等。题目常常与力学知识紧密结合，如利用牛顿运动定律分析导体棒的受力与运动，运用能量守恒定律求解电磁感应过程中的能量转化问题，整体难度较大，需要学生具备较强的分析推理能力和数学运算能力，能够将电磁学知识与力学知识有机融合，综合运用解决问题。
考点2 磁场 2021、2022、2023、2024
考点3 电磁感应 2025
考点01 静电场
1．（2023·山东·高考）电磁炮灭火消防车（图甲）采用电磁弹射技术投射灭火弹进入高层建筑快速灭火。电容器储存的能量通过电磁感应转化成灭火弹的动能，设置储能电容器的工作电压可获得所需的灭火弹出膛速度。如图乙所示，若电磁炮正对高楼，与高楼之间的水平距离，灭火弹出膛速度，方向与水平面夹角，不计炮口离地面高度及空气阻力，取重力加速度大小，。
（1）求灭火弹击中高楼位置距地面的高度H；
（2）已知电容器储存的电能，转化为灭火弹动能的效率，灭火弹的质量为，电容，电容器工作电压U应设置为多少？

【答案】（1）60m；（2）
【详解】（1）灭火弹做斜向上抛运动，则水平方向上有 竖直方向上有 代入数据联立解得
（2）根据题意可知 又因为 联立可得
考点02 磁场
2．（2024·山东·高考）如图所示，在Oxy坐标系x>0，y>0区域内充满垂直纸面向里，磁感应强度大小为B的匀强磁场。磁场中放置一长度为L的挡板，其两端分别位于x、y轴上M、N两点，∠OMN=60°，挡板上有一小孔K位于MN中点。△OMN之外的第一象限区域存在恒定匀强电场。位于y轴左侧的粒子发生器在0＜y＜的范围内可以产生质量为m，电荷量为+q的无初速度的粒子。粒子发生器与y轴之间存在水平向右的匀强加速电场，加速电压大小可调，粒子经此电场加速后进入磁场，挡板厚度不计，粒子可沿任意角度穿过小孔，碰撞挡板的粒子不予考虑，不计粒子重力及粒子间相互作用力。
（1）求使粒子垂直挡板射入小孔K的加速电压U0；
（2）调整加速电压，当粒子以最小的速度从小孔K射出后恰好做匀速直线运动，求第一象限中电场强度的大小和方向；
（3）当加速电压为时，求粒子从小孔K射出后，运动过程中距离y轴最近位置的坐标。
【答案】（1）；（2），方向沿x轴正方向；（3）(n=0,1,2 )
【详解】（1）根据题意，作出粒子垂直挡板射入小孔K的运动轨迹如图所示
根据几何关系可知粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为 在区域根据洛伦兹力提供向心力有 在匀强加速电场中由动能定理有 联立解得
（2）根据题意，当轨迹半径最小时，粒子速度最小，则作出粒子以最小的速度从小孔K射出的运动轨迹如图所示
根据几何关系可知粒子在磁场中做圆周运动的轨迹半径为 在区域根据洛伦兹力提供向心力有 粒子从小孔K射出后恰好做匀速直线运动，由左手定则可知粒子经过小孔K后受到的洛伦兹力沿x轴负方向，则粒子经过小孔K后受到的电场力沿x轴正方向，粒子带正电，则之外第一象限区域电场强度的方向沿x轴正方向，大小满足 联立可得 电场方向沿轴正方向。
（3）当加速电压为时，在匀强加速电场中由动能定理有 可得 在区域由洛伦兹力提供向心力有 可得粒子在区域运动的轨迹半径 作出从小孔K射出的粒子的运动轨迹如图所示
设粒子从小孔射出的速度方向与轴正方向夹角为，根据几何关系可知 则粒子从小孔射出的速度方向与轴正方向的夹角为，由配速法，将速度分解为沿轴正方向的和另一个待定速度 ,使得满足，则 此时，则 方向正好沿着轴正方向，则设 则粒子从射出后的运动可分解为沿轴正方向的速度大小为的匀速直线运动和速度大小为的匀速圆周运动，可知 解得 粒子做圆周运动的周期为，粒子至少运动距离轴最近，加上整周期则粒子运动，时距离轴最近，则最近位置的横坐标为 纵坐标为， 综上所述，最近的位置坐标，。
3．（2023·山东·高考）如图所示，在，的区域中，存在沿y轴正方向、场强大小为E的匀强电场，电场的周围分布着垂直纸面向外的恒定匀强磁场。一个质量为m，电量为q的带正电粒子从OP中点A进入电场（不计粒子重力）。
（1）若粒子初速度为零，粒子从上边界垂直QN第二次离开电场后，垂直NP再次进入电场，求磁场的磁感应强度B的大小；
（2）若改变电场强度大小，粒子以一定的初速度从A点沿y轴正方向第一次进入电场、离开电场后从P点第二次进入电场，在电场的作用下从Q点离开。
（i）求改变后电场强度的大小和粒子的初速度；
（ii）通过计算判断粒子能否从P点第三次进入电场。

【答案】（1）；（2）（i），；（ii）不会
【详解】（1）由题意粒子在电场中做匀加速直线运动，根据动能定理有 粒子在磁场中做匀速圆周运动，有 粒子从上边界垂直QN第二次离开电场后，垂直NP再次进入电场，轨迹如图

根据几何关系可知 联立可得
（2）（i）由题意可知，做出粒子在电场和磁场中运动轨迹如图

在磁场中做匀速圆周运动，根据几何关系可知 解得 所以有，
洛伦兹力提供向心力 带电粒子从A点开始做匀加速直线运动，根据动能定理有
再一次进入电场后做类似斜抛运动，沿x方向有 沿y方向上有 其中根据牛顿第二定律有 联立以上各式解得
（ii）粒子从P到Q根据动能定理有 可得从Q射出时的速度为 此时粒子在磁场中的半径

根据其几何关系可知对应的圆心坐标为
得， 而圆心与P的距离为 故不会再从P点进入电场。
4．（2022·山东·高考）中国“人造太阳”在核聚变实验方面取得新突破，该装置中用电磁场约束和加速高能离子，其部分电磁场简化模型如图所示，在三维坐标系中，空间内充满匀强磁场I，磁感应强度大小为B，方向沿x轴正方向；，的空间内充满匀强磁场II，磁感应强度大小为，方向平行于平面，与x轴正方向夹角为；，的空间内充满沿y轴负方向的匀强电场。质量为m、带电量为的离子甲，从平面第三象限内距轴为的点以一定速度出射，速度方向与轴正方向夹角为，在平面内运动一段时间后，经坐标原点沿轴正方向进入磁场I。不计离子重力。
（1）当离子甲从点出射速度为时，求电场强度的大小；
（2）若使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，求进入磁场时的最大速度；
（3）离子甲以的速度从点沿轴正方向第一次穿过面进入磁场I，求第四次穿过平面的位置坐标（用d表示）；
（4）当离子甲以的速度从点进入磁场I时，质量为、带电量为的离子乙，也从点沿轴正方向以相同的动能同时进入磁场I，求两离子进入磁场后，到达它们运动轨迹第一个交点的时间差（忽略离子间相互作用）。
【答案】（1）；（2）；（3）（d，d，）；（4）
【详解】（1）如图所示
将离子甲从点出射速度为分解到沿轴方向和轴方向，离子受到的电场力沿轴负方向，可知离子沿轴方向做匀速直线运动，沿轴方向做匀减速直线运动，从到的过程，有
联立解得
（2）离子从坐标原点沿轴正方向进入磁场I中，在磁场I中做匀速圆周运动，经过磁场I偏转后从轴进入磁场II中，继续做匀速圆周运动，如图所示
由洛伦兹力提供向心力可得， 可得为了使离子在磁场中运动，则离子磁场I运动时，不能从磁场I上方穿出。在磁场II运动时，不能xOz平面穿出，则离子在磁场用运动的轨迹半径需满足， 联立可得 要使离子甲进入磁场后始终在磁场中运动，进入磁场时的最大速度为；
（3）离子甲以的速度从点沿z轴正方向第一次穿过面进入磁场I，离子在磁场I中的轨迹半径为
离子在磁场II中的轨迹半径为 离子从点第一次穿过到第四次穿过平面的运动情景，如图所示
离子第四次穿过平面的坐标为 离子第四次穿过平面的坐标为
故离子第四次穿过平面的位置坐标为（d，d，）。
（4）设离子乙的速度为，根据离子甲、乙动能相同，可得 可得 离子甲、离子乙在磁场I中的轨迹半径分别为， 离子甲、离子乙在磁场II中的轨迹半径分别为， 根据几何关系可知离子甲、乙运动轨迹第一个交点在离子乙第一次穿过x轴的位置，如图所示
从点进入磁场到第一个交点的过程，有
可得离子甲、乙到达它们运动轨迹第一个交点的时间差为
5．（2021·山东·高考）某离子实验装置的基本原理如图甲所示。Ⅰ区宽度为d，左边界与x轴垂直交于坐标原点O，其内充满垂直于平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为；Ⅱ区宽度为L，左边界与x轴垂直交于点，右边界与x轴垂直交于点，其内充满沿y轴负方向的匀强电场。测试板垂直x轴置于Ⅱ区右边界，其中心C与点重合。从离子源不断飘出电荷量为q、质量为m的正离子，加速后沿x轴正方向过O点，依次经Ⅰ区、Ⅱ区，恰好到达测试板中心C。已知离子刚进入Ⅱ区时速度方向与x轴正方向的夹角为。忽略离子间的相互作用，不计重力。
（1）求离子在Ⅰ区中运动时速度的大小v；
（2）求Ⅱ区内电场强度的大小E；
（3）保持上述条件不变，将Ⅱ区分为左右两部分，分别填充磁感应强度大小均为B（数值未知）方向相反且平行y轴的匀强磁场，如图乙所示。为使离子的运动轨迹与测试板相切于C点，需沿x轴移动测试板，求移动后C到的距离S。
【答案】（1）；（2）；（3）
【详解】（1）设离子在Ⅰ区内做匀速圆周运动的半径为r，由牛顿第二定律得① 根据几何关系得② 联立①②式得
（2）离子在Ⅱ区内只受电场力，x方向做匀速直线运动，y方向做匀变速直线运动，设从进入电场到击中测试板中心C的时间为t，y方向的位移为，加速度大小为a，由牛顿第二定律得 由运动的合成与分解得，， 联立得
（3）Ⅱ区内填充磁场后，离子在垂直y轴的方向做线速度大小为vcosθ的匀速圆周运动，如图所示。设左侧部分的圆心角为，圆周运动半径为，运动轨迹长度为，由几何关系得
，
由于在y轴方向的运动不变，离子的运动轨迹与测试板相切于C点，则离子在Ⅱ区内的运动时间不变，故有
C到的距离 联立得
考点03 电磁感应
1．（2025·山东·高考）如图所示，平行轨道的间距为L，轨道平面与水平面夹角为α，二者的交线与轨道垂直，以轨道上O点为坐标原点，沿轨道向下为x轴正方向建立坐标系。轨道之间存在区域I、Ⅱ，区域I（ 2L ≤ x < L）内充满磁感应强度大小为B、方向竖直向上的匀强磁场；区域Ⅱ（x ≥ 0）内充满方向垂直轨道平面向上的磁场，磁感应强度大小B1 = k1t+k2x，k1和k2均为大于零的常量，该磁场可视为由随时间t均匀增加的匀强磁场和随x轴坐标均匀增加的磁场叠加而成。将质量为m、边长为L、电阻为R的匀质正方形闭合金属框epqf放置在轨道上，pq边与轨道垂直，由静止释放。已知轨道绝缘、光滑、足够长且不可移动，磁场上、下边界均与x轴垂直，整个过程中金属框不发生形变，重力加速度大小为g，不计自感。
(1)若金属框从开始进入到完全离开区域I的过程中匀速运动，求金属框匀速运动的速率v和释放时pq边与区域I上边界的距离s；
(2)金属框沿轨道下滑，当ef边刚进入区域Ⅱ时开始计时（t = 0），此时金属框的速率为v0，若，求从开始计时到金属框达到平衡状态的过程中，ef边移动的距离d。
【答案】(1)，
(2)
【详解】（1）金属框从开始进入到完全离开区域I的过程中，金属框只有一条边切割磁感线，根据楞次定律可得，安培力水平向左，则 切割磁感线产生的电动势 线框中电流 线框做匀速直线运动，则 解得金属框从开始进入到完全离开区域I的过程的速率 金属框开始释放到pq边进入磁场的过程中，只有重力做功，由动能定理可得 可得释放时pq边与区域I上边界的距离
（2）当ef边刚进入区域Ⅱ时开始计时（t = 0），设线框ef边到O点的距离为s时，线框中产生的感应电动势，其中 此时线路中的感应电流 线框pq边受到沿轨道向上的安培力，大小为 线框ef边受到沿轨道向下的安培力，大小为 则线框受到的安培力 代入 化简得 当线框平衡时，可知此时线框速率为0。 则从开始计时到金属框达到平衡状态的过程中，根据动量定理可得 即
对时间累积求和可得 可得
1．（2025·山东潍坊·三模）某离子注入工艺原理如图所示。离子源产生的离子经小孔进入加速电场，初速度可忽略不计。加速后的离子竖直向上进入速度选择器，该区域存在水平向左的匀强电场和垂直纸面向外的匀强磁场；通过速度选择器的离子射出后从小孔进入电场分析器，电场分析器内为圆弧辐射状电场，离子沿半径为（未知）的圆弧做匀速圆周运动；随后离子从小孔射出并沿水平方向进入磁场分析器，该区域存在垂直纸面向外的圆形匀强磁场（未画出），离子偏转后沿 的方向竖直向下射入水平向左的匀强偏转电场，最终打在水平放置的晶圆（硅片）上。已知加速电场两水平极板间的电压为U，速度选择器电场、电场分析器内离子所经位置的电场强度大小均为E；速度选择器、磁场分析器中的磁感应强度大小均为B；偏转电场的上下边界MN和PQ间距为L，水平方向足够宽。晶圆半径为R，圆心为O，其上表面到PQ边界的距离为d。不计重力及离子间相互作用，忽略边缘效应，求：
(1)通过速度选择器离子的比荷；
(2)离子在电场分析器中运动轨迹的半径及运动时间t；
(3)磁场分析器中“圆形匀强磁场”区域的最小面积S；
(4)若离子需恰好打在晶圆上表面的边缘处，求偏转电场的电场强度大小。
【答案】(1)
(2)，
(3)
(4)
【详解】（1）在速度选择器中，由 可知 在加速电场中，由 解得离子的比荷为
（2）在电场分析器中，由 解得 在电场分析器中，由 离子在电场分析器中运动的时间
（3）在磁场分析器中，由 由几何关系可知，当匀强磁场面积最小时，其半径 由 可得
（4）在偏转电场中，竖直方向 水平方向 由几何关系可得 解得
2．（2025·山东德州·三模）如图所示，竖直绝缘管固定在水平地面上的小车上，管内底部有一截面直径比管的内径略小、可视为质点的小圆柱体，小圆柱体质量，电荷量，绝缘管长为。在管口所在水平面的下方存在着垂直纸面向里、磁感应强度的匀强磁场，面上方存在着垂直纸面向外、磁感应强度的匀强磁场，上下的整个区域还存在着竖直向上、场强的匀强电场。现让小车始终保持的速度匀速向右运动，一段时间后小圆柱体在绝缘管内匀速，然后沿与竖直方向夹角为37°的方向离开绝缘管。小圆柱体在绝缘管外受到的空气阻力大小与其速度大小关系为，已知小圆柱体第一次与第二次经过水平面的距离为。取，不计其它阻力。求：
(1)小圆柱体刚进入磁场时的加速度大小；
(2)小圆柱体的加速度为时的速度大小；
(3)小圆柱体在绝缘管内运动时产生的热量；
(4)小圆柱体第二次经过水平面时的速度大小。
【答案】(1)6m/s2
(2)m/s
(3)0.2J
(4)m/s
【详解】（1）小圆柱体刚进入磁场B1时，受重力、电场力和洛伦兹力三个力的作用，其中重力和电场力二力平衡 所以洛伦兹力就是小圆柱体的合力，根据牛顿第二定律得
解得
（2）一段时间后小圆柱体在绝缘管内匀速，则有 其中 解得
竖直方向的洛伦兹力和摩擦力的合力等于小圆柱体的合力，根据牛顿第二定律得
将代入得 此时小圆柱体的速度大小为
（3）由题意知，小圆柱体离开绝缘管时的速度为 小圆柱体在绝缘管内运动的过程中，根据动能定理有 解得小圆柱体在绝缘管内运动时产生的热量
（4）设某时刻速度为，方向与竖直方向夹角为，竖直方向根据动量定理有
即 解得 水平方向根据动量定理有 即 解得 所以小圆柱体第二次经过水平面ab时的速度大小为
3．（2025·山东淄博·三模）如图甲所示，直角坐标系xOy位于竖直平面内，在第一、二象限内存在竖直向上的匀强电场，场强大小E1（未知）。现有一质量为m、电量为+q的带电小球，从第二象限以速度水平射出，做匀速直线运动，经点M（0，）进入第一象限，在第一象限内存在垂直纸面向外的匀强磁场，经过一段时间，从点N（，0）第一次离开第一象限进入第四象限内，第四象限内存在一未知电场，小球沿NP方向做匀减速直线运动，到达y轴上的P点时速度恰好减为0。一足够长的光滑绝缘斜面固定在第三象限内，与y轴相交与P点，斜面沿NP方向，第三象限内存在垂直纸面向外的大小为的匀强磁场，同时存在竖直向上的周期性变化的电场，变化规律如图乙所示，从小球刚到达P点开始计时，且此后小球一直在第三象限内运动，重力加速度为g。求：
(1)电场强度大小E1；
(2)第一象限内磁感应强度大小B1；
(3)第四象限内的电场强度大小E2；
(4)小球在时间内的路程s。
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）由小球在第二象限做匀速直线运动可知 解得
（2）因E1q=mg，则在第一象限内小球在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，轨迹如图所示：
由几何关系有， 得 又 则
（3）由（2）中几何关系可知NP与x轴负方向成45° 小球由N到P过程中有
且小球所受的合力F合=ma 重力mg和电场力qE2之间满足如下关系 解得
（4）分析可知小球在第三象限无电场期间沿斜面做匀加速直线运动，恰好离开斜面时有， 得 小球在时刻恰好离开斜面，则小球在斜面上做匀加速直线运动的路程为 小球在时刻的速度为 小球在时刻的速度为 分析可知小球在有电场存在的时间内做匀速圆周运动，由周期公式得 则小球在两段有电场存在的时间内分别做两个完整的匀速圆周运动，两次的路程之和为 联立解得
4．（2025·山东青岛·三模）如图所示，MN是长度为3a的线状粒子源，PQ是金属网，从MN均匀逸出比荷为、初速度为0的带正电粒子。半径为a的圆形区域与PQ相切于，延长交于MN中点。在MN、PQ间所加电压为，粒子经电场加速后进入PQ右侧区域，在PQ右侧部分区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场。不计粒子重力。
(1)若仅圆内有磁场，磁感应强度大小为，求粒子在磁场中运动的最长时间；
(2)若仅圆外有磁场，不考虑粒子重复进入无磁场区域：
（ⅰ）当磁感应强度大小为时，求能经过圆心O的粒子在MN上逸出时的位置到的距离；
（ⅱ）要使能进入圆形区域的粒子数占总数的50%，求磁感应强度的大小。
【答案】(1)
(2)（ⅰ）0，；（ⅱ）
【详解】（1）粒子在加速电场中，根据动能定理可得 在磁场中洛伦兹力提供圆周运动的向心力，则有， 当粒子在圆形磁场中轨迹对应弦长最长，为圆形磁场直径2a时，粒子在磁场中运动的时间最长，轨迹如图所示
对应轨迹圆周运动的圆心角60°，在磁场中运动的最长时间
（2）（ⅰ）①d=0，粒子直线运动经过O点； ②粒子在右侧磁场中匀速圆周运动，由牛顿第二定律得 解得 由几何关系得：当粒子指向圆心进入无磁场区域时，粒子轨迹与对称轴相切，如图所示
所以，粒子到对称轴的距离
（ⅱ）取临界状态，粒子在右侧磁场中运动轨迹圆恰好与无磁场区域圆相切，如图所示
根据题意有一半的粒子圆形区域，所以上下两轨迹圆圆心距离为，由几何关系可得
解得 由牛顿第二定律得 解得
5．（2025·山东Flawless联考·选考四）低能离子散射（LEIS）技术可以分析样品表面原子分布情况，在分析材料催化性能、生物材料与半导体材料性能研究中有重要用处。图1为一个简化的LEIS能谱仪，离子枪中可以向某固定方向发出加速后的Ar 离子，离子打在样品上后发生碰撞， 的离子能够进入静电分析器（θ表示碰撞前后Ar 离子运动路径的夹角），调整静电分析器电场使得粒子能够打到接收板上，即可分析得出散射粒子的能量。本题设元电荷大小为e，不计空气阻力、重力，且不考虑电磁辐射、相对论效应。
(1)离子枪中装有氩气，发射时将氩气电离成Ar 高离子，并以近似为0的速率飘入加速极板。设Ar 离子质量为m，若希望从离子枪中出射的离子速度为v，求加速电压U；
(2)被样品散射后的Ar 离子进入半圆柱形静电分析器，已知静电分析器中某点电场方向沿圆柱半径，电场强度满足 其中r为该点到圆柱轴的距离，k为可调的比例系数，分析器通道形状为半圆弧且相当窄。若离子能打到接收板，求散射后粒子动能T'；
(3)Ar 离子与样品表面原子的散射过程可以简化为图2：质量为m的离子入射，与质量为M的静止原子发生了弹性碰撞，碰撞后离子的运动方向改变的角度为α。记碰撞后离子动能为碰撞前的K倍，求出K可能的表达式（用α，m，M表示；离子和原子视作质点）；
(4)将离子枪加速电压调至U=1000 V，轰击青铜合金样品（主要成分为90% Cu，10%Sn），请在图3中大致画出得到的能谱图，其中横轴为散射离子动能，纵轴为接收板上相对电流强度。（参考数据：相关原子质量数：
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)见解析
【详解】（1）根据动能定理 解得。
（2）若离子能打到接收板，则该离子一定在分析器通道内做匀速直线运动，根据牛顿第二定律
又由 解得。
（3）质量为m的离子与质量为M的静止原子发生了弹性碰撞，动量守恒、机械能守恒，有
根据余弦定理 得则有
可解得
（4）接收板要想有电流，则入射角应为， 则散射角，粒子加速枪加速时 有第三问两个粒子发生弹性碰撞，可得， 其中
可得 离子和铜原子发生碰撞时，离子和锌原子发生碰撞时，离子进入静电分析器以后撞击接收板的电流为，其中 可得电流之比为 如图所示
6．（2025·山东Flawless联考·选考四） James Hopwood Jeans在1925年出版的《电磁的数学理论》中，首次清晰地讨论了涡电流现象，本题将以此为基础简要分析小磁体在金属圆管中下落时会发生的物理现象。
(1)如图1所示，质量为m的小磁体在一根足够长的竖直放置的铝管内下落，其受到由涡流带来的阻力与下落速度的矢量关系为，设重力加速度为g。
①求小磁体最终的下落速度（收尾速度）vT；
②在①的条件下，若已知小磁体下落速度随时间的变化关系可写作 ，求α。
(2)下面我们讨论小磁体下落时的动力学问题，考虑如下简化后的模型：小磁体沿着水平固定的铝环的中轴线下落，如图2所示，金属圆环的半径为a（a很小），电阻为R。为方便起见，我们建立如图所示的沿金属环中轴线的坐标轴，且向下为正。在t=0时，小磁体从原点z=0静止释放，铝环中心的坐标为。由于也很小，故小磁体位于原点时，轴线上的磁场分布在我们考虑的范围内可近似为 ，不考虑电磁辐射和相对论效应。
①设小磁体在位置z时的瞬时速度大小为v，求金属圆环内部的电流I；
②在①的条件下，求金属圆环处磁感应强度径向分量大小（不考虑环内电流产生的磁场）；
③若小磁体下落一小段距离后开始近似做匀速直线运动，求这一速度大小。
【答案】(1)① ；②
(2)①；②；③
【详解】（1）①小磁体最终匀速运动，由平衡条件有 解得
②结合以上结果可得 对其求导的加速度 当t=0时，小磁体刚开始下落速度为0，此时阻力为0，故此时加速度等于g，代入上式有 解得
（2）①小磁体运动使铝环磁通量变化，磁通量 由法拉第电磁感应定律 故电流
②对 求关于z的导数有 由磁场的梯度关系，在小圆环近似情况下，磁感应强度径向分量与轴向磁场变化关系为 联立可得，磁感应强度径向分量大小为
③磁体匀速时受力平衡，安培力 其中等效长度 因为， 联立解得
7．（2025·山东省实验中学·二模）如图所示，相距的两根足够长的光滑平行金属导轨倾斜放置，与水平面夹角，导轨电阻不计，导轨所在平面内有垂直于导轨平面斜向上的匀强磁场，磁感应强度为。质量的导体棒垂直于导轨放置，接入电路电阻为，定值电阻阻值，电容器的耐压值足够大，初始时不带电，电源的电动势，内阻。将导体棒由静止释放，，取重力加速度。
(1)仅闭合开关，当导体棒下滑的距离时，定值电阻产生的焦耳热为，求此时导体棒的速度大小；
(2)仅闭合开关，当导体棒下滑的时间时，电容器带电量为，求此时导体棒的速度大小；
(3)仅闭合开关，求导体棒最终稳定时的速度大小。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）仅闭合开关，当导体棒下滑的距离时，定值电阻产生的焦耳热为，则整个回路产生的总焦耳热为 根据能量守恒可得 解得此时导体棒的速度大小为
（2）仅闭合开关，当导体棒下滑的时间时，电容器带电量为，对导体棒由动量定理可得 其中 联立解得此时导体棒的速度大小为
（3）仅闭合开关，导体棒最终稳定时，有 电路中电源提供回路的电流使得安培力向下，故导体棒最终稳定时回路总电动势为 感应电流为 联立解得
8．（2025·山东·高考冲刺卷（二））如图所示，两根平行光滑金属导轨之间的距离d=1m，倾角θ=30°，导轨上端接有一个阻值R=2Ω的电阻，在导轨间、电阻下方存在方向垂直导轨平面向上的匀强磁场，磁感应强度大小B=1T。质量m=0.2kg的金属棒水平置于导轨上，垂直于导轨且与导轨接触良好，金属棒与导轨间的动摩擦因数。金属棒与电阻R距离足够远，金属棒沿导轨平面以初速度v0=6m/s向上运动，t（t为已知量，单位为秒）时间后速度减为零。当金属棒速度减为零时，立即让磁场以大小v0=6m/s的速度沿导轨平面匀速向下运动，金属棒在磁场驱动下沿导轨平面向下运动距离L（L为已知量，单位为米）时，金属棒恰好达到最大速度且此后以此速度沿导轨平面匀速运动。金属棒在运动过程中始终处于磁场区域内，重力加速度g=10m/s2，不计导轨和金属棒的电阻及空气阻力，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。求：
(1)金属棒开始沿导轨平面向上运动时的加速度大小；
(2)金属棒向上运动过程中通过电阻R的电荷量和电阻R产生的焦耳热；
(3)金属棒向下运动过程中加速运动的时间与该段时间内通过电阻R的电荷量。
【答案】(1)25m/s2
(2)q=1.2 2t（C），Q焦=8t 1.2（J）
(3)，
【详解】（1）金属棒开始沿导轨平面向上运动时，有，， 联立可得 由牛顿第二定律得 解得
（2）对金属棒应用动量定理，得 又 联立可得 又 摩擦产生的热量为 重力势能的增加量为 由能量守恒可得 联立解得电阻R产生的焦耳热为
（3）因 可知金属棒速度最大时，速度与磁场速度相同，由动量定理有 安培力冲量 由位移关系有 联立解得 又安培力的冲量 解得
9．（2025·山东齐鲁教研体·考前质量检测）如图所示，在直角坐标系中，以（，0）为圆心、为半径的半圆区域内存在垂直平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为，为与轴重合的直径；在区域存在垂直平面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为（未知）；在区域存在沿轴负方向的匀强电场（未知）；在区域存在垂直平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小为（未知）。已知，，一质量为、带电量为的正粒子从圆周上点（）沿轴正方向以速度进入磁场，之后经磁场从轴上的点沿轴正方向进入匀强电场，经点进入磁场，又经过点射出磁场。不计粒子重力，求：
(1)匀强磁场的磁感应强度大小及点坐标；
(2)电场强度与磁感应强度的比值；
(3)粒子从点射入磁场到从点射出磁场，整个运动过程中需用的时间。
【答案】(1)，[0，]
(2)
(3)
【详解】（1）带正电的粒子在磁场做圆周运动，设半径，洛伦兹力提供向心力，根据
解得 粒子运动轨迹如图所示
由几何关系可知，粒子将从点进入磁场，且其速度与轴正方向的夹角为，粒子进入磁场后做匀速圆周运动，设其轨迹半径为，由于粒子垂直轴离开磁场，由几何关系可知 根据洛伦兹力提供向心力 解得点的坐标为 则点的坐标为[0，]。
（2）粒子在电场中做类平抛运动，则有，， 联立解得 粒子到点的竖直分速度设为，则 解得 即粒子从点射入磁场内的速度方向与轴正向成角，速度大小为，则做圆周运动的半径 根据 解得 所以
（3）粒子在磁场中运动时间 粒子在磁场中运动时间 粒子在电场中运动时间由 解得 粒子在磁场中运动时间 所以粒子整个运动过程中需用的时间
10．（2025·山东聊城·学考模拟三）现代科学实验中，对带电粒子运动的控制要求越来越高。如图甲所示，在空间坐标系中，的区域内存在与轴负方向夹角为30°的匀强电场，在的空间存在沿轴正方向的匀强电场，两部分电场强度大小相等。同时在的空间还存在沿轴方向变化的磁场（图中未画出）﹐磁感应强度随t的变化规律如图乙所示。一质量为m，电荷量为＋q的带电粒子，从静止出发经过加速电压U后，从A点（未知）处进入匀强电场，一段时间后恰好从原点О沿y轴负方向进入的空间。已知粒子第一次经过О点时记为时刻，粒子在时间内恰好可以在与平面平行的平面内做一个完整的圆周运动，且在时间内能达到的坐标最大值的绝对值与A点相同，规定磁场方向沿轴正方向为正，不计粒子重力，图乙中未知。求：
(1)匀强电场的电场强度大小；
(2)的大小；
(3)时刻粒子的位置坐标。
【答案】(1)
(2)
(3)（，0，0）
【详解】（1）设粒子经加速电压后速度为，则有 解得 一段时间后恰好从原点О沿y轴负方向进入的空间，可知在O点时，粒子水平方向速度为0，则水平方向有 其中 联立解得
（2）设粒子经过原点O时速度为v，在区域内的匀强电场中，水平方向，有 解得 竖直方向，有， 其中 解得，进入的空间，与平面平行的平面内做一个完整的圆周运动，洛伦兹力提供向心力，有 根据题意 解得
（3）进入进入的空间，粒子在磁场的作用下平行于xOy平面做匀速圆周运动，在电场作用下平行于x轴方向做初速度为0的匀加速直线运动。 在时间内，粒子运动的周期 在时间内，粒子将做离心运动，周期与在B0磁场中做匀速圆周运动相同， 故在时间内，粒子运动半个周期，到达x轴上。 在x方向，， 解得2t0时刻粒子的位置坐标为（，0，0）
11．（2025·山东济南山东师大附中·二模）某型号离子实验装置的工作原理可简化为图甲所示。M为竖直放置的屏，以垂直于屏为x轴、平行于屏为y轴建立直角坐标系，y轴到屏的距离为d，屏的左侧存在平行于y轴向下的匀强电场和平行于x轴向右的匀强磁场，电场和磁场的大小和分布范围可调节。质量为m、电荷量为q的带正电粒子从坐标原点O以初速度v0进入xOy平面第一象限，初速度v0与x轴正方向的夹角为53°。若空间只存在匀强电场，粒子打到屏上P点（未画出）。已知，不计粒子重力，忽略电磁场的边界效应。
(1)求P点的y坐标；
(2)若空间只存在磁场，粒子打到屏上Q点，求PQ的距离L；
(3)如图乙所示，分界面N把区域分为左右两部分：N的左侧充满电场E，N的右侧充满平行于x轴向右的匀强磁场B2，若使粒子仍然打到屏上P点，求分界面N到y轴的距离x及B2的大小。
【答案】(1)；
(2)；
(3)，
【详解】（1）带电粒子在电场中做类平抛运动，沿x方向 沿y方向 根据牛顿第二定律 联立解得
（2）粒子在磁场中的运动轨迹为等距螺旋线，半径为 解得 周期为 粒子运动的时间 PQ 的距离 解得
（3）设粒子在电场中运动的时间为t1，在磁场中运动的时间为t2，在电场中运动时，则有 分界面N的x坐标为 解得， 粒子在电场和磁场运动的时间
t2=nT 粒子在磁场运动的周期 解得
12．（2025·山东齐鲁名校·联考）现代科技常利用电场和磁场控制带电粒子的运动。如图甲所示的空间直角坐标系（轴未画出，正方向垂直于平面向外）中，在轴上的点有一粒子源，可以沿轴正方向发射质量均为、电荷量均为、速度大小均为的带电粒子。在的空间内存在如图乙所示的交变电场，电场强度大小未知，方向平行于轴，时间内沿轴正方向；在的空间内存在如图丙所示的交变磁场，磁感应强度大小为，方向沿轴负方向；在，的空间内存在磁感应强度大小也为、方向沿轴负方向的匀强磁场；在，的空间内存在电场强度大小也为、方向沿轴正方向的匀强电场。点和点为轴和分界线的交点。已知时刻射出的粒子恰好通过点。不计粒子重力和粒子间的相互作用以及电、磁场的边界效应。求：
(1)电场强度大小；
(2)时刻射出的粒子在时间内离轴的最大距离；
(3)时刻射出的粒子第次到达平面时的坐标。
【答案】(1)
(2)
(3)或
【详解】（1）粒子由P点运动到M点的过程，沿x方向做匀速直线运动，所用时间为 所以沿y方向先做匀加速直线运动后做匀速直线运动，所以 其中 得
（2）设磁感应强度大小为，粒子在磁场中做匀速圆周运动，其周期为
粒子在时间内的运动轨迹如图所示
根据运动的对称性可得、时间内粒子沿y轴正方向的位移大小均为 在时刻，， 方向与x轴正方向的夹角为，时间内粒子以速度v做匀速圆周运动，则 解得时间内粒子沿y轴方向的最大位移 综上所述可得
（3）时刻射出的粒子在时刻到达N点，速度为，方向与x轴正方向的夹角为，粒子在磁场中的运动为螺旋运动，每次在磁场中运动的时间为。粒子每次进入磁场后沿y轴负方向移动的距离 粒子每次进入磁场后，有 解得 沿z轴负方向移动的距离 粒子每次进入电场后沿y轴负方向移动的距离 归纳得，时刻射出的粒子第次到达平面时的坐标为或
13．（2025·山东齐鲁名校·联考）如图所示，间距为的两固定平行光滑金属导轨由倾斜部分和水平部分（均足够长）平滑连接而成，连接处绝缘，倾斜部分导轨与水平面的夹角为，导轨上端接有一个阻值为的定值电阻。倾斜导轨处存在方向垂直于倾斜导轨平面向上的匀强磁场，水平导轨处存在方向竖直向上的匀强磁场，两磁场的磁感应强度大小均为。初始时，导体棒放置在水平导轨上离倾斜导轨底端足够远的位置，导体棒从倾斜导轨上某处由静止释放，到达倾斜导轨底端前已经匀速运动。导体棒进入水平导轨后始终没有和导体棒相碰。导体棒、接入电路的阻值均为，质量均为，运动过程中始终垂直于导轨且与导轨接触良好，导轨电阻不计，重力加速度为。求：
(1)导体棒在倾斜导轨上的最大速度；
(2)整个过程，导体棒产生的热量。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）刚开始导体棒a在倾斜导轨上做加速运动，加速度为零时，速度达到最大，由牛顿第二定律有 导体棒a在倾斜导轨上以最大速度匀速动时产生的感应电动势 联立解得导体棒在倾斜导轨上的最大速度
（2）导体棒a、b整体合外力为零，由动量守恒有 最后两根导体棒做匀速直线运动，由能量守恒有导体棒产生的热量 联立解得导体棒产生的热量为
14．（2025·山东济宁·考前押题联考）现代电子设备常用电场和磁场控制带电粒子的运动。如图，第三象限存在竖直向上的匀强电场。一质量为m、电荷量为q的带正电粒子，以初速度从第三象限中的P点水平射入电场，P点坐标为，从坐标原点O进入第一象限区域。第一象限中为Ⅰ区域，为Ⅱ区域，两区域分布磁感应强度分别为、，方向均垂直纸面向里的匀强磁场。粒子重力忽略不计，，。求
(1)该粒子进入第一象限时的速度v；
(2)若从O点进入磁场的粒子恰好不能进入Ⅱ区，求Ⅰ区磁场的大小；
(3)若，粒子能到达Ⅱ区处，求的最大值；
(4)若撤去Ⅰ、Ⅱ区域的磁场，第一象限充满方向垂直纸面向里，磁感应强度大小随x方向均匀增大，关系为（已知，k为常数）的非匀强磁场。求粒子从O点运动到离y轴最远位置的过程中，运动轨迹与y轴围成的面积S。
【答案】(1)，方向与x轴夹角为
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）设粒子在电场中加速度为a，到O点运动时间为t，由运动学公式 x轴方向 y轴方向 又 联立解得 所以 设方向与x轴夹角为θ则 可得
（2）粒子恰好不能进入Ⅱ区，则粒子运动轨迹与两磁场分界线相切，由几何关系可知 得 由 得
（3）沿y轴方向由动量定理 可得：
所以最大值为
（4）粒子从O点运动到离y轴最远位置时，x轴方向上分速度为零，x轴方向由动量定理 其中 可得 根据 得
15．（2025·山东日照·二模）如图所示，两平行金属导轨固定在水平面上，窄轨M1N1、M2N2之间的距离L1=1m，光滑的宽轨O1P1、O2P2之间的距离L2=2m。窄轨以垂直于轨道的虚线A1A2为分界线，左侧粗糙，右侧光滑。窄轨左侧通过开关S1连接一电容C=0.02F的电容器（耐压值足够大）。宽轨和窄轨连接处有开关S2，宽轨左侧接有电阻R1=10Ω。质量m=1kg的金属棒ab静止在窄轨上，ab棒到A1A2的距离x=4.5m，与窄轨粗糙部分间的动摩擦因数μ=0.2；质量M=2kg的金属棒cd静止在宽轨上。整个装置处于方向竖直向上、磁感应强度大小B=10T的匀强磁场中。现闭合S1，断开S2，给ab棒施加一与导轨平行、大小为5N的恒力F，当其运动到A1A2时，撤去F，同时断开S1，闭合S2。窄轨和宽轨足够长，ab始终在窄轨上运动，cd棒始终在宽轨上运动。两金属棒在运动过程中始终与导轨垂直且与导轨接触良好，cd棒连入电路中的电阻R2=20Ω，其余电阻均不计。重力加速度g=10m/s2。求：
(1)恒力F的作用时间；
(2)cd棒从开始运动到匀速的过程中，通过cd的电荷量；
(3)cd棒从开始运动到匀速的过程中，cd棒中产生的焦耳热。
【答案】(1)
(2)
(3)1J
【详解】（1）先闭合电键S1，断开电键S2，金属棒ab在拉力作用下从静止开始做匀加速运动，根据牛顿第二定律可得：，， 解得： 根据
解得：
（2）当金属棒ab运动到A1A2处时，其速度为， 此时撤去恒力F，同时断开电键S1，闭合电键S2，金属棒ab在安培力作用下向右减速，金属棒cd在安培力作用下向右加速，最终都做匀速运动，金属棒ab、cd的速度分别为、，在此过程中，根据动量定理可得： 对金属棒ab：
对金属棒cd： 对整个闭合电路： 解得：
对金属棒cd： 解得：
（3）金属棒cd在向右加速的过程中，系统所产生的焦耳热为Q，根据能量守恒定律可得： 则金属棒cd产生的焦耳热
16．（2025·山东滨州·二模）电磁聚焦和发散技术多用于高端科技领域，如约束核聚变和航天领域的离子推进器等方面均有协同应用。如图所示，在、轴组成的平面内有组合电场和磁场，可以实现带电粒子的聚焦和发散。质量为、电荷量为的同种带电粒子以相同的速度平行于轴射入第三象限的匀强电场中，电场强度大小为，方向沿轴负方向，边界分别与轴、轴交于坐标的两点，其边界均有粒子射入，且所有粒子都从坐标为（0，-L）的点射出电场，进入第四象限的匀强磁场中，其中速度平行轴方向射入磁场的粒子恰能垂直打到轴的正半轴上。若打到轴上的粒子中只有离坐标原点最近的粒子能够射入第一象限，其它粒子均被吸收，第一象限内有边界平行于轴且宽度均为的若干区域，交替分布着空白区域和方向垂直纸面向外的匀强磁场区域。不计粒子的重力和粒子间的相互作用，不考虑电磁场的边缘效应。
求：
(1)第三象限内，粒子射入匀强电场的初速度大小；
(2)所有粒子打到轴正半轴上的区域长度；
(3)若第一象限的匀强磁场的大小，射入第一象限的粒子离轴的最远距离；
(4)若在第一象限内的空白区域存在匀强电场，电场强度的大小也为、方向沿轴正方向。改变第一象限内磁场区域磁感应强度的大小，恰能使射入第一象限的粒子运动到离轴的距离也为第（3）问中的，且此时速度沿轴正方向。求第一象限内匀强磁场的磁感应强度大小。
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）从点射入第一象限的匀强电场的带电粒子在电场中做类平抛运动，则有
解得
（2）类平抛运动的竖直速度从电场中射出时速度与水平方向的夹角为，则有 得 解得 可知，速度大小为的粒子在磁场中做圆周运动的半径 由几何关系可得圆心在轴上，则有 解得
（3）粒子在第一象限的磁场中， 解得 所以粒子在第一象限中经历了2个磁场区域和2个空白区域，则有
（4）若粒子从射入第一象限的电场和磁场的组合场中，运动到离轴距离也为时，速度恰好沿轴正方向，由动能定理可知 解得 列水平方向的动量定理可知 解得
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