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专题02 曲线运动
考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势
考点1 平抛运动 2021、2022、2023、2024、2025 平抛运动、斜抛运动和圆周运动是考查的核心内容。平抛运动重点考查运动的合成与分解思想，将平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，通过已知条件，如平抛的初速度、下落高度等，求解水平位移、竖直位移、飞行时间以及落地时的速度大小和方向等物理量 。斜抛运动则在此基础上，进一步考查学生对抛体运动在不同方向上运动规律的综合运用能力。圆周运动主要围绕向心力展开，分析向心力的来源是解决问题的关键，在实际情境中，如汽车在拱形桥上行驶，向心力由重力和支持力的合力提供；卫星绕地球做圆周运动时，向心力由万有引力提供 。通过对这些实际场景的分析，运用牛顿第二定律结合向心力公式，求解物体做圆周运动的线速度、角速度、周期、向心加速度等物理量 。题型丰富多样，包括选择题对基本概念和规律的考查，计算题对复杂运动过程的分析求解等，并且常结合实际工程问题，如过山车轨道设计；或是科技成果，如航天器的轨道运行等，考查学生构建物理模型和分析复杂曲线运动问题的能力。
考点2 圆周运动 2022、2025
考点01 平抛运动
1．（2025·山东·高考）如图所示，在无人机的某次定点投放性能测试中，目标区域是水平地面上以O点为圆心，半径R1=5m的圆形区域，OO′垂直地面，无人机在离地面高度H=20m的空中绕O′点、平行地面做半径R2=3m的匀速圆周运动，A、B为圆周上的两点，∠AO′B=90°。若物品相对无人机无初速度地释放，为保证落点在目标区域内，无人机做圆周运动的最大角速度应为ωmax。当无人机以ωmax沿圆周运动经过A点时，相对无人机无初速度地释放物品。不计空气对物品运动的影响，物品可视为质点且落地后即静止，重力加速度大小g=10m/s2。下列说法正确的是（　　）
A．
B．
C．无人机运动到B点时，在A点释放的物品已经落地
D．无人机运动到B点时，在A点释放的物品尚未落地
2．（2024·山东·高考）如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v0大小为20m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度大小取10m/s2，忽略空气阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确的是（　　）
A．运动时间为
B．落地速度与水平方向夹角为60°
C．重物离PQ连线的最远距离为10m
D．轨迹最高点与落点的高度差为45m
3．（2023·山东·高考）电磁炮灭火消防车（图甲）采用电磁弹射技术投射灭火弹进入高层建筑快速灭火。电容器储存的能量通过电磁感应转化成灭火弹的动能，设置储能电容器的工作电压可获得所需的灭火弹出膛速度。如图乙所示，若电磁炮正对高楼，与高楼之间的水平距离，灭火弹出膛速度，方向与水平面夹角，不计炮口离地面高度及空气阻力，取重力加速度大小，。
（1）求灭火弹击中高楼位置距地面的高度H；
（2）已知电容器储存的电能，转化为灭火弹动能的效率，灭火弹的质量为，电容，电容器工作电压U应设置为多少？

4．（2022·山东·高考）如图所示，某同学将离地的网球以的速度斜向上击出，击球点到竖直墙壁的距离。当网球竖直分速度为零时，击中墙壁上离地高度为的P点。网球与墙壁碰撞后，垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍。平行墙面的速度分量不变。重力加速度g取，网球碰墙后的速度大小v和着地点到墙壁的距离d分别为（　　）
A． B． C． D．
5．（2021·山东·高考）海鸥捕到外壳坚硬的鸟蛤（贝类动物）后，有时会飞到空中将它丢下，利用地面的冲击打碎硬壳。一只海鸥叼着质量的鸟蛤，在的高度、以的水平速度飞行时，松开嘴巴让鸟蛤落到水平地面上。取重力加速度，忽略空气阻力。
（1）若鸟蛤与地面的碰撞时间，弹起速度可忽略，求碰撞过程中鸟蛤受到的平均作用力大小F；（碰撞过程中不计重力）
（2）在海鸥飞行方向正下方的地面上，有一与地面平齐、长度的岩石，以岩石左端为坐标原点，建立如图所示坐标系。若海鸥水平飞行的高度仍为，速度大小在之间，为保证鸟蛤一定能落到岩石上，求释放鸟蛤位置的x坐标范围。
6．（2021·山东·高考）如图所示，载有物资的热气球静止于距水平地面H的高处，现将质量为m的物资以相对地面的速度水平投出，落地时物资与热气球的距离为d。已知投出物资后热气球的总质量为M，所受浮力不变，重力加速度为g，不计阻力，以下判断正确的是（　　）
A．投出物资后热气球做匀加速直线运动
B．投出物资后热气球所受合力大小为
C．
D．
考点02 圆周运动
7．（2025·山东·高考）某同学用不可伸长的细线系一个质量为的发光小球，让小球在竖直面内绕一固定点做半径为的圆周运动。在小球经过最低点附近时拍摄了一张照片，曝光时间为。由于小球运动，在照片上留下了一条长度约为半径的圆弧形径迹。根据以上数据估算小球在最低点时细线的拉力大小为（　　）
A． B． C． D．
8．（2022·山东·高考）无人配送小车某次性能测试路径如图所示，半径为的半圆弧与长的直线路径相切于B点，与半径为的半圆弧相切于C点。小车以最大速度从A点驶入路径，到适当位置调整速率运动到B点，然后保持速率不变依次经过和。为保证安全，小车速率最大为。在段的加速度最大为，段的加速度最大为。小车视为质点，小车从A到D所需最短时间t及在段做匀速直线运动的最长距离l为（　　）
A．
B．
C．
D．
1．（2025·山东省实验中学·二模）跳台滑雪是一项极富有挑战性的运动。运动简化过程如图乙所示，运动员起跳瞬间速度大小v1，方向与水平方向的夹角为α，着陆瞬间速度大小为v2，方向与水平方向的夹角为β。运动员与滑雪板的总质量为m，所受空气阻力与速度大小成正比，比例系数为k，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）
A．在运动过程中运动员始终处于超重状态
B．运动员在空中的运动为匀变速曲线运动
C．从起跳点A到着陆点C运动员的重力势能减少量为
D．起跳点A到着陆点C的水平距离为
2．（2025·山东Flawless联考·选考四）猫猫很怕水，当其身上沾到水后，会通过高速抖动的方式将水甩干，于是gs用这样一个模型来研究这一现象：如图所示，将猫猫的躯干视作轴线水平，半径为R的圆柱（其腿长可忽略），某一次抖动时可看作其绕自身轴线旋转，角速度为ω。若要求猫猫正上方头顶的水可以被甩出，重力加速度为g，则角速度ω的最小值为（　　）
A． B． C． D．
3．（2025·山东淄博·三模）酢浆草的果实成熟后会突然裂开，将种子以弹射的方式散播出去。某次抛出的种子中有两粒的运动轨迹如图所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P点，抛出时种子1和种子2的初速度分别为v1和v2，其中v1方向水平，v2方向斜向上。忽略空气阻力，关于两种子从O运动到P的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．种子1的加速度小于种子2的加速度
B．种子2经过最高点时速度为0
C．两种子的运动时间相等
D．种子1的平均速度大于种子2的平均速度
4．（2025·山东Flawless联考·选考四）平面xOy中某运动物体的 的关系如图所示，则该物体的运动轨迹可能是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2025·山东齐鲁教研体·考前质量检测）如图1所示，在高度为的水平桌面上有一质量的滑块处于静止状态，时利用风机对滑块吹风，滑块受到水平向右的风力随时间变化的规律如图2所示。已知滑块末恰好离开桌面，时滑块落地，滑块和桌面之间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计其他阻力，重力加速度取。下列判断正确的是（　　）
A．桌面的高度为
B．末滑块的动能为
C．内风力做功为
D．滑块落地时的速度大小为
6．（2025·山东省实验中学·一模）如图甲，辘轳是古代民间提水设施。如图乙为辘轳的工作原理简化图，某次需从井中汲取的水，辘轳绕绳轮轴半径为，水斗的质量为，井足够深且井绳的质量忽略不计。时刻，轮轴由静止开始绕中心轴转动，其角速度随时间变化规律如图丙所示，取，则（　　）
A．井绳拉力随时间均匀增大
B．水斗速度随时间变化的规律为
C．内水斗上升的高度为
D．内井绳拉力所做的功为
7．（2025·山东日照·一模）一般河流的河道是弯曲的，外侧河堤会受到流水冲击产生的压强。如图所示，河流某弯道处可视为半径为的圆弧的一部分。假设河床水平，河道在整个弯道处宽度和水深均保持不变，水的流动速度大小恒定，，河水密度为，忽略流水内部的相互作用力。取弯道某处一垂直于流速的观测截面，则在一段极短时间内（　　）
A．流水速度改变量的方向沿河道的切线方向
B．流水速度改变量的大小为
C．外侧河堤受到的流水冲击产生的压强为
D．通过观测截面水的动量改变量大小为
8．（2025·山东省实验中学·四诊）如图所示，支架固定在底座上，它们的总质量为M。质量分别为2m和m的小球A、B（可视为质点）固定在一根长度为L的轻杆两端，该轻杆通过光滑转轴O安装在支架的横梁上，O、A间的距离为，两小球和轻杆一起绕轴O在竖直平面内做圆周运动，运动过程中支架和底座一直保持静止。当转动到图示竖直位置时，小球A的速度为v，重力加速度为g。对于该位置，下列说法正确的是（　　）
A．小球A、B的向心加速度大小相等
B．小球A的向心力大于B球的向心力
C．若，则底座对水平地面的压力为Mg＋2mg
D．A、B两球恰好做匀速圆周运动
9．（2025·山东齐鲁名校·大联考）如图所示，内壁粗糙的半径的圆弧轨道竖直固定在水平地面上，最底端与足够长的水平地面相切。将一质量的滑块（视为质点）从与圆心O等高处沿圆弧轨道由静止释放，滑块经过圆弧轨道最低点P后最终停止在Q点，已知P、Q间的距离，滑块与水平地面间的动摩擦因数，取，下列说法正确的是（　　）
A．滑块经过P点时速度大小为2m/s
B．滑块在水平地面上运动的时间为0.2s
C．滑块经过圆弧轨道最低点P时，对轨道的压力大小为15N
D．滑块沿圆弧轨道滑动的过程中，克服摩擦力做的功为0.5J
10．（2025·山东德州·三模）如图甲所示，“天鲲号”不仅是我国疏浚装备制造技术的巅峰之作，更是综合国力提升的重要象征。不计空气阻力，“天鲲号”在吹沙填海工程中喷出泥沙的运动可视为斜上抛运动，以排泥管口为坐标原点，建立图乙所示坐标系。排泥管口的仰角为，距海面的高度h，泥沙喷出的初速度大小为，在排泥过程中“天鲲号”始终保持静止，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　）
A．喷出的泥沙相对于海平面的最大高度为
B．泥沙从排泥管口喷出到落至海平面所用的时间为
C．喷出的泥沙在空中运动的轨迹方程为
D．调整仰角，泥沙在海面落点坐标的最大值为
11．（2025·山东Flawless联考·选考四）某海洋乐园里正在进行海豚戏球表演，海豚与高台边缘的水平距离为H。驯兽师在高台边缘，距水面高度为H处静止释放球的同时，海豚以一初速度v 跃出水面，速度方向与水面夹角为θ，如图所示。设海豚跃出水面后姿势保持不变，不计空气阻力，若海豚可以顶到球，则下列选项中可能正确的是（　　）
A． B． C．θ=30° D．
12．（2025·山东·高考冲刺卷（二））消防员用靠在一起的两支水枪喷水灭火，两水柱的最高点在同一水平线上，不计空气阻力、甲、乙水柱喷出时的速度大小分别为v1、v2，甲、乙水柱到达斜面上A、B两点时相对于各自刚喷出时速度的偏转角分别为、，以下说法正确的是（　　）
A． B． C． D．
13．（2025·山东聊城·学考模拟三）如图所示，阳光垂直照射到斜面草坪上，在斜面顶端O点把一小球水平击出让其在与斜面垂直的竖直面内运动，小球刚好落在斜面的底端C点。B点是小球运动过程中距离斜面的最远处，A点是在阳光照射下小球经过B点的投影点，不计空气阻力，则（　　）
A．若斜面内D点在B点的正下方，则OD与DC长度相等
B．小球在斜面上的投影做匀速运动
C．OA与AC长度之比为1∶3
D．小球在B点的速度与OC段平均速度大小相等
14．（2025·山东齐鲁名校·联考）如图所示，边长为L的正方形光滑斜面ABCD固定在水平地面上，其倾角θ（0°<θ<90°）可以调节，斜面上固定一光滑四分之一圆弧轨道AE，圆心为AB的中点O，OE垂直于AB。将可视为质点的小球从圆弧轨道的A点由静止释放，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）
A．只要倾角θ足够小，小球可能从CD边离开斜面
B．小球一定会从BC边离开斜面
C．当θ=30°时，小球离开斜面时的速度大小为
D．小球离开斜面后在水平地面上的落点刚好在DC的延长线上
15．（2025·山东省实验中学·一模）如图甲所示，在光滑水平面上有A、B、C三个小球，A、B两球分别用水平轻杆通过光滑铰链与C球连接，A、B两球间夹有劲度系数足够大、长度可忽略的轻弹簧，弹簧与球不栓接，此时弹簧处于压缩状态。若C球固定，释放弹簧，球被弹簧弹开瞬间杆中弹力大小。已知A、B两球的质量均为，C球的质量，杆长。下列说法正确的是（　　）
A．A球被弹开瞬间的速度大小为
B．释放前弹簧的弹性势能为
C．若C球不固定，释放弹簧后C球的最大速度为
D．若C球不固定，释放弹簧后C球的最大速度为
16．（2025·山东齐鲁名校·大联考）“离心轨道演示仪”是演示物体在竖直平面内做圆周运动的实验仪器，其原理示意图如图所示。某同学调整小球初始位置与圆形轨道最高点等高后，由静止释放小球，已知圆形轨道半径，取，小球可视为质点，不计轨道厚度，不计摩擦力和空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．小球对轨道的最小压力为0
B．小球离开圆形轨道后做平抛运动
C．小球离开轨道时的速度大小为
D．小球进入圆形轨道后运动的最高点与释放点的高度差为
17．（2025·山东十三校·4月联考）某小组用如图甲所示的装置探究了小滑块做圆周运动时，向心力与质量、转动半径、角速度大小之间的关系。直杆水平固定在竖直转轴上，一端套有小滑块，另一端竖直固定一挡光条，在水平直杆上固定一力传感器，用轻绳将滑块与力传感器水平相连，竖直转轴由电动机带动匀速旋转。
该小组利用实验所测数据，描点作出两条力传感器示数与小滑块转动角速度的平方的关系图像分别如图乙中、所示，则：
(1)测得挡光条的宽度为，到竖直转轴的距离为，某次挡光条通过光电门时的挡光时间为，则该过程中小滑块绕竖直转轴转动的角速度大小为______（用所给物理量符号表示）；
(2)由图像可知，在分别测量、两图像对应数据时，测时小滑块与水平直杆间的最大静摩擦力______（选填“大于”、“等于”或“小于”）测时小滑块与水平直杆间的最大静摩擦力；
(3)已知测量图像对应数据时所用小滑块的质量为200g，则由图像可知，测量图像对应数据时小滑块到竖直转轴的距离为______m（结果保留2位有效数字）。
18．（2025·山东淄博·一模）某同学利用传感器验证向心力与角速度间的关系。如图甲，电动机的竖直轴与水平放置的圆盘中心相连，将力传感器和光电门固定，圆盘边缘上固定一竖直的遮光片，将光滑小定滑轮固定在圆盘中心，用一根细绳跨过定滑轮连接小滑块和力传感器。实验时电动机带动水平圆盘匀速转动，滑块随圆盘一起转动，力传感器可以实时测量绳的拉力的大小。
(1)圆盘转动时，宽度为d的遮光片从光电门的狭缝中经过，测得遮光时间为，则遮光片的线速度大小为___________，圆盘半径为R，可计算出滑块做圆周运动的角速度为___________。（用所给物理量的符号表示）
(2)保持滑块质量和其做圆周运动的半径不变，改变滑块角速度，并记录数据，做出图线如图乙所示，从而验证与关系。该同学发现图乙中的图线不过坐标原点，且图线在横轴上的截距为，滑块做圆周运动的半径为，重力加速度为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则滑块与圆盘间的动摩擦因数为___________。（用所给物理量的符号表示）
19．（2025·山东潍坊·三模）如图甲所示，光滑水平地面上固定一内壁光滑的竖直轨道D，轨道由圆心角为的圆弧轨道和倾角为的足够长直轨道连接而成，圆弧轨道左端与地面相切。一质量为2m的小球A用长为l的轻绳悬挂于P点，P点到地面的距离也为l，其正下方处有一钉子，另一小球B与轻质弹簧连接，静置于地面上。初始时轻绳拉至水平位置，现由静止释放小球A，轻绳碰到钉子后恰好断裂。时小球A与正前方弹簧接触，时与弹簧分离；从到时间内，小球B运动的距离为，弹簧始终处于弹性限度内。小球A与弹簧接触过程中，A、B的图像如图乙所示。已知，整个过程中系统没有机械能损失，重力加速度为g。求：
(1)轻绳的最大张力；
(2)弹簧压缩量的最大值（用、表示）；
(3)若，，小球B以一定的速度从圆弧上端沿切向飞出，试通过计算分析小球B能否按原路返回圆弧轨道？
20．（2025·山东泰安·二轮复习检测）如图所示，一固定在竖直平面内的光滑圆弧轨道圆心为，半径，底端点切线水平。原长劲度系数的轻弹簧，一端挂在过点的光滑水平轴上，另一端栓接一个质量的小球，小球静止在点。轨道右边光滑水平地面上静止放置一长，质量的木板，A端与端的距离，上表面与点等高。现有一质量的滑块以的水平初速度滑上木板的端，滑块与木板间动摩擦因数，之后的运动中，木板A端碰到端会立即被锁定。滑块和小球均视为质点，取重力加速度大小。
(1)求滑块运动到木板A端时的速度大小；
(2)滑块与小球在点发生正碰，碰撞的恢复系数为。碰撞恢复系数的定义为，其中和分别是滑块和小球碰撞前的速度，和分别是滑块和小球碰撞后的速度。碰后小球随即沿圆弧轨道运动，求出小球脱离轨道时，弹簧与竖直方向夹角的大小。
(3)若（2）中滑块与小球在点发生碰撞后，再次经过点时，给滑块带上的正电荷，在地面上方加上垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度，解除木板的锁定，其余条件不变。滑块从滑上木板的端到与木板共速经历时间，求滑块与木板共速时，木板端与点的距离。
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题02 曲线运动
考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势
考点1 平抛运动 2021、2022、2023、2024、2025 平抛运动、斜抛运动和圆周运动是考查的核心内容。平抛运动重点考查运动的合成与分解思想，将平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，通过已知条件，如平抛的初速度、下落高度等，求解水平位移、竖直位移、飞行时间以及落地时的速度大小和方向等物理量 。斜抛运动则在此基础上，进一步考查学生对抛体运动在不同方向上运动规律的综合运用能力。圆周运动主要围绕向心力展开，分析向心力的来源是解决问题的关键，在实际情境中，如汽车在拱形桥上行驶，向心力由重力和支持力的合力提供；卫星绕地球做圆周运动时，向心力由万有引力提供 。通过对这些实际场景的分析，运用牛顿第二定律结合向心力公式，求解物体做圆周运动的线速度、角速度、周期、向心加速度等物理量 。题型丰富多样，包括选择题对基本概念和规律的考查，计算题对复杂运动过程的分析求解等，并且常结合实际工程问题，如过山车轨道设计；或是科技成果，如航天器的轨道运行等，考查学生构建物理模型和分析复杂曲线运动问题的能力。
考点2 圆周运动 2022、2025
考点01 平抛运动
1．（2025·山东·高考）如图所示，在无人机的某次定点投放性能测试中，目标区域是水平地面上以O点为圆心，半径R1=5m的圆形区域，OO′垂直地面，无人机在离地面高度H=20m的空中绕O′点、平行地面做半径R2=3m的匀速圆周运动，A、B为圆周上的两点，∠AO′B=90°。若物品相对无人机无初速度地释放，为保证落点在目标区域内，无人机做圆周运动的最大角速度应为ωmax。当无人机以ωmax沿圆周运动经过A点时，相对无人机无初速度地释放物品。不计空气对物品运动的影响，物品可视为质点且落地后即静止，重力加速度大小g=10m/s2。下列说法正确的是（　　）
A．
B．
C．无人机运动到B点时，在A点释放的物品已经落地
D．无人机运动到B点时，在A点释放的物品尚未落地
【答案】BC
【详解】AB．物品从无人机上释放后，做平抛运动，竖直方向 可得 要使得物品落点在目标区域内，水平方向满足 最大角速度等于 联立可得 故A错误，B正确；
CD．无人机从A到B的时间 由于t′>t 可知无人机运动到B点时，在A点释放的物品已经落地，故C正确，D错误。
故选BC。
2．（2024·山东·高考）如图所示，工程队向峡谷对岸平台抛射重物，初速度v0大小为20m/s，与水平方向的夹角为30°，抛出点P和落点Q的连线与水平方向夹角为30°，重力加速度大小取10m/s2，忽略空气阻力。重物在此运动过程中，下列说法正确的是（　　）
A．运动时间为
B．落地速度与水平方向夹角为60°
C．重物离PQ连线的最远距离为10m
D．轨迹最高点与落点的高度差为45m
【答案】BD
【详解】AC．将初速度分解为沿方向分速度和垂直分速度，则有
，
将重力加速度分解为沿方向分速度和垂直分速度，则有
，
垂直方向根据对称性可得重物运动时间为 重物离PQ连线的最远距离为 故AC错误；
B．重物落地时竖直分速度大小为 则落地速度与水平方向夹角正切值为
可得 故B正确；
D．从抛出到最高点所用时间为 则从最高点到落地所用时间为 轨迹最高点与落点的高度差为 故D正确。
故选BD。
3．（2023·山东·高考）电磁炮灭火消防车（图甲）采用电磁弹射技术投射灭火弹进入高层建筑快速灭火。电容器储存的能量通过电磁感应转化成灭火弹的动能，设置储能电容器的工作电压可获得所需的灭火弹出膛速度。如图乙所示，若电磁炮正对高楼，与高楼之间的水平距离，灭火弹出膛速度，方向与水平面夹角，不计炮口离地面高度及空气阻力，取重力加速度大小，。
（1）求灭火弹击中高楼位置距地面的高度H；
（2）已知电容器储存的电能，转化为灭火弹动能的效率，灭火弹的质量为，电容，电容器工作电压U应设置为多少？

【答案】（1）60m；（2）
【详解】（1）灭火弹做斜向上抛运动，则水平方向上有 竖直方向上有 代入数据联立解得
（2）根据题意可知 又因为 联立可得
4．（2022·山东·高考）如图所示，某同学将离地的网球以的速度斜向上击出，击球点到竖直墙壁的距离。当网球竖直分速度为零时，击中墙壁上离地高度为的P点。网球与墙壁碰撞后，垂直墙面速度分量大小变为碰前的0.75倍。平行墙面的速度分量不变。重力加速度g取，网球碰墙后的速度大小v和着地点到墙壁的距离d分别为（　　）
A． B． C． D．
【答案】BD
【详解】设网球飞出时的速度为，竖直方向 代入数据得
则 排球水平方向到点的距离 根据几何关系可得打在墙面上时，垂直墙面的速度分量 平行墙面的速度分量
反弹后，垂直墙面的速度分量 则反弹后的网球速度大小为
网球落到地面的时间 着地点到墙壁的距离 故BD正确，AC错误。
故选BD。
5．（2021·山东·高考）海鸥捕到外壳坚硬的鸟蛤（贝类动物）后，有时会飞到空中将它丢下，利用地面的冲击打碎硬壳。一只海鸥叼着质量的鸟蛤，在的高度、以的水平速度飞行时，松开嘴巴让鸟蛤落到水平地面上。取重力加速度，忽略空气阻力。
（1）若鸟蛤与地面的碰撞时间，弹起速度可忽略，求碰撞过程中鸟蛤受到的平均作用力大小F；（碰撞过程中不计重力）
（2）在海鸥飞行方向正下方的地面上，有一与地面平齐、长度的岩石，以岩石左端为坐标原点，建立如图所示坐标系。若海鸥水平飞行的高度仍为，速度大小在之间，为保证鸟蛤一定能落到岩石上，求释放鸟蛤位置的x坐标范围。
【答案】（1）；（2）
【详解】（1）设鸟蛤落地前瞬间的速度大小为，竖直分速度大小为，据自由落体运动规律可得
则碰撞前鸟蛤的合速度为 在碰撞过程中，以鸟蛤为研究对象，取速度方向为正方向，由动量定理得 联立解得碰撞过程中鸟蛤受到的平均作用力大小为
（2）若释放鸟蛤的初速度为，设击中岩石左端时，释放点的x坐标为x1，击中右端时，释放点的x坐标为，得，联立，代入数据得，
若释放鸟蛤时的初速度为，设击中岩石左端时，释放点的x坐标为，击中右端时，释放点的x坐标为，得，联立，代入数据得， 综上所述可得x坐标区间为。
6．（2021·山东·高考）如图所示，载有物资的热气球静止于距水平地面H的高处，现将质量为m的物资以相对地面的速度水平投出，落地时物资与热气球的距离为d。已知投出物资后热气球的总质量为M，所受浮力不变，重力加速度为g，不计阻力，以下判断正确的是（　　）
A．投出物资后热气球做匀加速直线运动
B．投出物资后热气球所受合力大小为
C．
D．
【答案】BC
【详解】AB．热气球开始携带物资时处于静止状态，所受合外力为0，初动量为0，水平投出重力为的物资瞬间，满足动量守恒定律 则热气球和物资的动量等大反向，热气球获得水平向左的速度，热气球所受合外力恒为，竖直向上，所以热气球做匀加速曲线运动，故A错误，B正确；
CD．热气球和物资的运动示意图如图所示
热气球和物资所受合力大小均为，所以热气球在竖直方向上加速度大小为 物资落地过程所用的时间内，根据解得落地时间为 热气球在竖直方向上运动的位移为
热气球和物资在水平方向均做匀速直线运动，水平位移为
根据勾股定理可知热气球和物资的实际位移为 故C正确，D错误。
故选BC。
考点02 圆周运动
7．（2025·山东·高考）某同学用不可伸长的细线系一个质量为的发光小球，让小球在竖直面内绕一固定点做半径为的圆周运动。在小球经过最低点附近时拍摄了一张照片，曝光时间为。由于小球运动，在照片上留下了一条长度约为半径的圆弧形径迹。根据以上数据估算小球在最低点时细线的拉力大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】根据题意可知在曝光时间内小球运动的长度为 近似认为在曝光时间内小球做匀速直线运动，故有 在最低点根据牛顿第二定律有 代入数据解得T=7N
故选C。
8．（2022·山东·高考）无人配送小车某次性能测试路径如图所示，半径为的半圆弧与长的直线路径相切于B点，与半径为的半圆弧相切于C点。小车以最大速度从A点驶入路径，到适当位置调整速率运动到B点，然后保持速率不变依次经过和。为保证安全，小车速率最大为。在段的加速度最大为，段的加速度最大为。小车视为质点，小车从A到D所需最短时间t及在段做匀速直线运动的最长距离l为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【详解】在BC段的最大加速度为a1=2m/s2，则根据 可得在BC段的最大速度为 在CD段的最大加速度为a2=1m/s2，则根据 可得在CD段的最大速度为 可知在BCD段运动时的速度为v=2m/s，在BCD段运动的时间为 AB段从最大速度vm减速到v的时间
位移 在AB段匀速的最长距离为l=8m-3m=5m 则匀速运动的时间 则从A到D最短时间为
故选B。
1．（2025·山东省实验中学·二模）跳台滑雪是一项极富有挑战性的运动。运动简化过程如图乙所示，运动员起跳瞬间速度大小v1，方向与水平方向的夹角为α，着陆瞬间速度大小为v2，方向与水平方向的夹角为β。运动员与滑雪板的总质量为m，所受空气阻力与速度大小成正比，比例系数为k，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）
A．在运动过程中运动员始终处于超重状态
B．运动员在空中的运动为匀变速曲线运动
C．从起跳点A到着陆点C运动员的重力势能减少量为
D．起跳点A到着陆点C的水平距离为
【答案】D
【详解】A．空气阻力与速度方向相反，运动员受到空气阻力与重力作用，竖直方向先向上减速后向下加速，竖直方向上加速度方向向下，可知，在运动过程中运动员始终处于失重状态，故A错误；
B．运动员受到空气阻力与重力作用，由于所受空气阻力与速度大小成正比，可知，运动员所受外力的合力在发生变化，即加速度发生变化，运动员在空中的运动不是匀变速曲线运动，故B错误；
C．令空气阻力做功为，根据动能定理有 其中 解得
故C错误；
D．由于所受空气阻力与速度大小成正比，即有 在水平方向上，根据动量定理有
其中， 解得 故D正确。
故选D。
2．（2025·山东Flawless联考·选考四）猫猫很怕水，当其身上沾到水后，会通过高速抖动的方式将水甩干，于是gs用这样一个模型来研究这一现象：如图所示，将猫猫的躯干视作轴线水平，半径为R的圆柱（其腿长可忽略），某一次抖动时可看作其绕自身轴线旋转，角速度为ω。若要求猫猫正上方头顶的水可以被甩出，重力加速度为g，则角速度ω的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】对最高点的水滴，根据牛顿第二定律得 解得
故选A。
3．（2025·山东淄博·三模）酢浆草的果实成熟后会突然裂开，将种子以弹射的方式散播出去。某次抛出的种子中有两粒的运动轨迹如图所示，其轨迹在同一竖直平面内，抛出点均为O，且轨迹交于P点，抛出时种子1和种子2的初速度分别为v1和v2，其中v1方向水平，v2方向斜向上。忽略空气阻力，关于两种子从O运动到P的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．种子1的加速度小于种子2的加速度
B．种子2经过最高点时速度为0
C．两种子的运动时间相等
D．种子1的平均速度大于种子2的平均速度
【答案】D
【详解】A．由题意，可知种子1做平抛运动，种子2做斜上抛运动，抛出的两种子在空中均仅受重力作用，加速度均为重力加速度，所以种子1的加速度等于种子2的加速度，故A错误；
B．种子2做斜上抛运动，在最高点时，其竖直方向的速度为零，水平方向的速度不为零，故种子2经过最高点时速度不为零，故B错误；
C．在竖直方向上种子2做竖直上抛运动，即先向上减速再向下加速，而种子1做自由落体运动，故种子2运动时间较长，故C错误；
D．两种子从O点运动到P点的位移相同，种子2运动时间较长，根据平均速度等于位移比时间，可知种子1的平均速度大于种子2的平均速度，故D正确。
故选D。
4．（2025·山东Flawless联考·选考四）平面xOy中某运动物体的 的关系如图所示，则该物体的运动轨迹可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】设在任意一段极小的时间内，物体在x、y方向的分位移分别为、，则 由数学知识可知，上式中表示y-x图像上某点切线的斜率，表示图像上某点与原点O连线的斜率。由题图可知，在一个运动周期内，图像上点按顺时针运动时，先从正无穷大逐渐变化至零，然后再从零逐渐变化至负无穷大，而的变化规律应和的变化规律相同。
AB．在一个运动周期内，图像上点的切线斜率先从正无穷大变化至零，然后再变化至负无穷大，之后再变化至零，最后再变化至正无穷大，变化过程与前面分析不符，故AB不符合题意；
C．在一个运动周期内，图像上点的切线斜率先从零变化至正无穷大，然后再变化至零，变化过程与前面分析不符，故C不符合题意；
D．在一个运动周期内，图像上点的切线斜率先从正无穷大变化至零，然后再变化至负无穷大，变化过程与前面分析相符，故D符合题意。
故选D。
5．（2025·山东齐鲁教研体·考前质量检测）如图1所示，在高度为的水平桌面上有一质量的滑块处于静止状态，时利用风机对滑块吹风，滑块受到水平向右的风力随时间变化的规律如图2所示。已知滑块末恰好离开桌面，时滑块落地，滑块和桌面之间的动摩擦因数，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计其他阻力，重力加速度取。下列判断正确的是（　　）
A．桌面的高度为
B．末滑块的动能为
C．内风力做功为
D．滑块落地时的速度大小为
【答案】D
【详解】A．滑块离开桌面后，竖直方向做自由落体，运动时间，下落高度，即桌面高度，故A错误；
B．桌面与滑块间的最大静摩擦力，结合题图2可知，滑块在时开始运动，在过程中，根据动量定理 解得 则，故B错误；
C．假设滑块在过程中做匀加速直线运动，该时间内的位移 摩擦力做功
实际上滑块做加速度增加的加速运动，则位移小于，克服摩擦力做功少于，动能增加，风力做功小于，故C错误；
D．落地时，竖直分速度，水平分速度，水平方向由动量定理 解得，，故D正确。
故选D。
6．（2025·山东省实验中学·一模）如图甲，辘轳是古代民间提水设施。如图乙为辘轳的工作原理简化图，某次需从井中汲取的水，辘轳绕绳轮轴半径为，水斗的质量为，井足够深且井绳的质量忽略不计。时刻，轮轴由静止开始绕中心轴转动，其角速度随时间变化规律如图丙所示，取，则（　　）
A．井绳拉力随时间均匀增大
B．水斗速度随时间变化的规律为
C．内水斗上升的高度为
D．内井绳拉力所做的功为
【答案】C
【详解】AB．根据图乙有 由于 解得 可知，水斗向上做匀加速直线运动，加速度
根据牛顿第二定律 可知井绳拉力保持不变，故AB错误；
C．0~10s内水斗上升的高度 故C错误；
D．0~10s内井绳拉力所做的功为 联立解得 故D错误。
故选C。
7．（2025·山东日照·一模）一般河流的河道是弯曲的，外侧河堤会受到流水冲击产生的压强。如图所示，河流某弯道处可视为半径为的圆弧的一部分。假设河床水平，河道在整个弯道处宽度和水深均保持不变，水的流动速度大小恒定，，河水密度为，忽略流水内部的相互作用力。取弯道某处一垂直于流速的观测截面，则在一段极短时间内（　　）
A．流水速度改变量的方向沿河道的切线方向
B．流水速度改变量的大小为
C．外侧河堤受到的流水冲击产生的压强为
D．通过观测截面水的动量改变量大小为
【答案】C
【详解】A．根据题意可知，流水做匀速圆周运动，水流所受外力的合力方向指向圆心，即流水的加速度方向指向圆心，即流水速度改变量的方向指向圆心，故A错误；
B．由于，结合上述，向心加速度 根据加速度的定义式有 解得 故B错误；
C．极短时间内流过截面的水流质量 令外侧河堤对内流过截面的水流的冲击力为，则有 根据牛顿第三定律有 则外侧河堤受到的流水冲击产生的压强为 解得故C正确；
D．结合上述可知，流水速度改变量的大小 则通过观测截面水的动量改变量大小 结合上述解得 故D错误。
故选C。
8．（2025·山东省实验中学·四诊）如图所示，支架固定在底座上，它们的总质量为M。质量分别为2m和m的小球A、B（可视为质点）固定在一根长度为L的轻杆两端，该轻杆通过光滑转轴O安装在支架的横梁上，O、A间的距离为，两小球和轻杆一起绕轴O在竖直平面内做圆周运动，运动过程中支架和底座一直保持静止。当转动到图示竖直位置时，小球A的速度为v，重力加速度为g。对于该位置，下列说法正确的是（　　）
A．小球A、B的向心加速度大小相等
B．小球A的向心力大于B球的向心力
C．若，则底座对水平地面的压力为Mg＋2mg
D．A、B两球恰好做匀速圆周运动
【答案】D
【详解】A．两小球和轻杆一起绕轴O在竖直平面内做圆周运动，所以两小球的角速度相同，根据
可知，小球A、B的加速度之比为 故A错误；
B．根据 可知，A、B的向心力之比为 故B错误；
C．若，对A有 解得轻杆对A的支持力为 根据 可知 对B有 解得轻杆对B的拉力为 以支架、底座和轻杆为对象，水平地面对底座的支持力为N =Mg+3mg 根据牛顿第三定律可知，底座对水平地面的压力为N =Mg+3mg 故C错误；
D．根据重力做功特点可知，重力做功W=mgh 由题意可知，，， 则转动过程，两球重力对系统做功为零，转动过程合外力对系统做功为零，系统的动能不变，两球的线速度大小保持不变，则两球恰好做匀速圆周运动，故D正确。
故选D。
9．（2025·山东齐鲁名校·大联考）如图所示，内壁粗糙的半径的圆弧轨道竖直固定在水平地面上，最底端与足够长的水平地面相切。将一质量的滑块（视为质点）从与圆心O等高处沿圆弧轨道由静止释放，滑块经过圆弧轨道最低点P后最终停止在Q点，已知P、Q间的距离，滑块与水平地面间的动摩擦因数，取，下列说法正确的是（　　）
A．滑块经过P点时速度大小为2m/s
B．滑块在水平地面上运动的时间为0.2s
C．滑块经过圆弧轨道最低点P时，对轨道的压力大小为15N
D．滑块沿圆弧轨道滑动的过程中，克服摩擦力做的功为0.5J
【答案】D
【详解】A．滑块从P点到Q点，做匀减速直线运动，根据牛顿第二定律有 解得 由匀变速运动规律，可知 解得 故A错误；
B．滑块在水平地面上运动的时间 故B错误；
C．在圆弧轨道最低点P时，根据牛顿第二定律，有 解得 根据牛顿第三定律可知，滑块对轨道的压力大小 故C错误；
D．滑块沿圆弧轨道滑动过程中，根据动能定理，有 解得 故D正确。
故选D。
10．（2025·山东德州·三模）如图甲所示，“天鲲号”不仅是我国疏浚装备制造技术的巅峰之作，更是综合国力提升的重要象征。不计空气阻力，“天鲲号”在吹沙填海工程中喷出泥沙的运动可视为斜上抛运动，以排泥管口为坐标原点，建立图乙所示坐标系。排泥管口的仰角为，距海面的高度h，泥沙喷出的初速度大小为，在排泥过程中“天鲲号”始终保持静止，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　）
A．喷出的泥沙相对于海平面的最大高度为
B．泥沙从排泥管口喷出到落至海平面所用的时间为
C．喷出的泥沙在空中运动的轨迹方程为
D．调整仰角，泥沙在海面落点坐标的最大值为
【答案】AC
【详解】A．喷出的泥沙做斜抛运动，抛出时在竖直方向的分速度为 竖直方向做竖直上抛，由运动学知识可知喷出的泥沙相对于海平面的最大高度为 A正确；
B．泥沙上升过程由运动学知识有 下落过程在竖直方向做自由落体运动，由运动学知识有则泥沙从排泥管口喷出到落至海平面所用的时间为 联立解得泥沙从排泥管口喷出到落至海平面所用的时间为 B错误；
C．喷出的泥沙在水平方向做匀速直线运动，由运动学公式有 竖直方向做竖直上抛运动，由运动学知识有 联立解得喷出的泥沙在空中运动的轨迹方程为 C正确；
D．泥沙在水平方向做匀速直线运动，由运动学知识有 其中 联立解得落在海面上时的水平位移为 可知当时水平位移有最大值，最大位移为 D错误。
故选AC。
11．（2025·山东Flawless联考·选考四）某海洋乐园里正在进行海豚戏球表演，海豚与高台边缘的水平距离为H。驯兽师在高台边缘，距水面高度为H处静止释放球的同时，海豚以一初速度v 跃出水面，速度方向与水面夹角为θ，如图所示。设海豚跃出水面后姿势保持不变，不计空气阻力，若海豚可以顶到球，则下列选项中可能正确的是（　　）
A． B． C．θ=30° D．
【答案】ABD
【详解】海豚若能顶到球，则水平方向H=v0cosθt竖直方向则 当海豚在落水前所经历的时间为 故当海豚落水时恰好顶到球，则有
解得 故当时，海豚可以顶到球，则选项AB均可。
故选ABD。
12．（2025·山东·高考冲刺卷（二））消防员用靠在一起的两支水枪喷水灭火，两水柱的最高点在同一水平线上，不计空气阻力、甲、乙水柱喷出时的速度大小分别为v1、v2，甲、乙水柱到达斜面上A、B两点时相对于各自刚喷出时速度的偏转角分别为、，以下说法正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】BC
【详解】AB．水柱在竖直方向运动的最大高度相同，可知竖直方向的初速度vy相同，从喷出点到最高点，乙的水平方向的位移更大，由平抛运动的规律有，，可知水平方向的初速度又喷出时的速度 可得甲、乙水柱喷出时的速度大小关系为，故A错误，B正确；
CD．喷出点水柱速度与水平方向的夹角 水柱到达A、B处时，甲水柱竖直速度较大，水平速度较小，此时水柱速度与水平方向的夹角 综上所述，水柱到达A、B处时相对于刚喷出时速度偏转角的大小关系为，故D错误，C正确。
故选BC。
13．（2025·山东聊城·学考模拟三）如图所示，阳光垂直照射到斜面草坪上，在斜面顶端O点把一小球水平击出让其在与斜面垂直的竖直面内运动，小球刚好落在斜面的底端C点。B点是小球运动过程中距离斜面的最远处，A点是在阳光照射下小球经过B点的投影点，不计空气阻力，则（　　）
A．若斜面内D点在B点的正下方，则OD与DC长度相等
B．小球在斜面上的投影做匀速运动
C．OA与AC长度之比为1∶3
D．小球在B点的速度与OC段平均速度大小相等
【答案】AD
【详解】A．小球被水平击出后做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动，设小球被击出时速度为，从O点运动到C点所用时间为，则有 得 设小球从O点运动到B点所用时间为，则小球经过B点时速度平行于斜面，有 得 则 即小球由O点到B点和由B点到C点水平方向的位移相等，OD与DC长度相等，故A正确；
BC．将小球的初速度和重力加速度沿斜面和垂直斜面方向分解，二者均有沿斜面向下的分量，所以小球沿斜面方向的分运动为沿斜面向下的匀加速直线运动，即小球在斜面上的投影做匀加速直线运动，OA与AC长度之比不为1∶3，故BC错误；
D．根据题意有 得 OC段的平均速度大小为 所以小球在B点的速度与OC段平均速度大小相等，故D正确。
故选AD。
14．（2025·山东齐鲁名校·联考）如图所示，边长为L的正方形光滑斜面ABCD固定在水平地面上，其倾角θ（0°<θ<90°）可以调节，斜面上固定一光滑四分之一圆弧轨道AE，圆心为AB的中点O，OE垂直于AB。将可视为质点的小球从圆弧轨道的A点由静止释放，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）
A．只要倾角θ足够小，小球可能从CD边离开斜面
B．小球一定会从BC边离开斜面
C．当θ=30°时，小球离开斜面时的速度大小为
D．小球离开斜面后在水平地面上的落点刚好在DC的延长线上
【答案】BC
【详解】AB．小球从A到E，由动能定理可得 解得 假设小球从BC边离开，平行于DC方向则有 沿BC方向则有 假设成立，则小球一定会从BC边离开斜面，故A错误，B正确；
C．当θ=30°时，根据动能定理可得 解得，故C正确；
D．小球从BC边离开后做斜下抛运动，和在斜面上的运动相比较，运动时间变短，沿GC方向的分速度不变，故落到在DC的里面，故D错误。
故选BC。
15．（2025·山东省实验中学·一模）如图甲所示，在光滑水平面上有A、B、C三个小球，A、B两球分别用水平轻杆通过光滑铰链与C球连接，A、B两球间夹有劲度系数足够大、长度可忽略的轻弹簧，弹簧与球不栓接，此时弹簧处于压缩状态。若C球固定，释放弹簧，球被弹簧弹开瞬间杆中弹力大小。已知A、B两球的质量均为，C球的质量，杆长。下列说法正确的是（　　）
A．A球被弹开瞬间的速度大小为
B．释放前弹簧的弹性势能为
C．若C球不固定，释放弹簧后C球的最大速度为
D．若C球不固定，释放弹簧后C球的最大速度为
【答案】AC
【详解】AC．由对称性可知球与弹簧分离时球的速度相等，设为，对球，由牛顿第二定律有
可得 由系统机械能守恒定律得 解得 故A正确，B错误；
CD．三个球在一条直线上时，球速度与杆垂直，加速度等于0，速度最大，A、B球速度分别为由对称性可知 由系统动量守恒定律可知 由系统机械能守恒定律得
解得 故C正确，D错误。
故选AC。
16．（2025·山东齐鲁名校·大联考）“离心轨道演示仪”是演示物体在竖直平面内做圆周运动的实验仪器，其原理示意图如图所示。某同学调整小球初始位置与圆形轨道最高点等高后，由静止释放小球，已知圆形轨道半径，取，小球可视为质点，不计轨道厚度，不计摩擦力和空气阻力。下列说法正确的是（ ）
A．小球对轨道的最小压力为0
B．小球离开圆形轨道后做平抛运动
C．小球离开轨道时的速度大小为
D．小球进入圆形轨道后运动的最高点与释放点的高度差为
【答案】ACD
【详解】AB．因为小球在与圆形轨道最高点等高处释放，所以一定能过与圆心等高处，不能到圆形轨道最高点，会离开轨道做斜抛运动，离开时对轨道的压力为O，A正确，B错误；
C．设小球离开轨道的位置与圆心的连线与竖直方向的夹角为θ，由动能定理得 由牛顿第二定律得 联立解得 C正确；
D．小球离开轨道时在水平方向的分速度大小 设所求高度为，则，得
D正确。
故选ACD。
17．（2025·山东十三校·4月联考）某小组用如图甲所示的装置探究了小滑块做圆周运动时，向心力与质量、转动半径、角速度大小之间的关系。直杆水平固定在竖直转轴上，一端套有小滑块，另一端竖直固定一挡光条，在水平直杆上固定一力传感器，用轻绳将滑块与力传感器水平相连，竖直转轴由电动机带动匀速旋转。
该小组利用实验所测数据，描点作出两条力传感器示数与小滑块转动角速度的平方的关系图像分别如图乙中、所示，则：
(1)测得挡光条的宽度为，到竖直转轴的距离为，某次挡光条通过光电门时的挡光时间为，则该过程中小滑块绕竖直转轴转动的角速度大小为______（用所给物理量符号表示）；
(2)由图像可知，在分别测量、两图像对应数据时，测时小滑块与水平直杆间的最大静摩擦力______（选填“大于”、“等于”或“小于”）测时小滑块与水平直杆间的最大静摩擦力；
(3)已知测量图像对应数据时所用小滑块的质量为200g，则由图像可知，测量图像对应数据时小滑块到竖直转轴的距离为______m（结果保留2位有效数字）。
【答案】(1)
(2)小于
(3)0.14
【详解】（1）挡光条通过光电门时速度大小为 根据可得该过程中小滑块绕竖直转轴转动的角速度大小为
（2）对小滑块由牛顿第二定律 化简可得 将图像中图线延长，纵截距，则由图可知 故测时小滑块与水平直杆间的最大静摩擦力小于测时小滑块与水平直杆间的最大静摩擦力。
（3）对小滑块由牛顿第二定律 化简可得 将图像中坐标、代入联立解得
18．（2025·山东淄博·一模）某同学利用传感器验证向心力与角速度间的关系。如图甲，电动机的竖直轴与水平放置的圆盘中心相连，将力传感器和光电门固定，圆盘边缘上固定一竖直的遮光片，将光滑小定滑轮固定在圆盘中心，用一根细绳跨过定滑轮连接小滑块和力传感器。实验时电动机带动水平圆盘匀速转动，滑块随圆盘一起转动，力传感器可以实时测量绳的拉力的大小。
(1)圆盘转动时，宽度为d的遮光片从光电门的狭缝中经过，测得遮光时间为，则遮光片的线速度大小为___________，圆盘半径为R，可计算出滑块做圆周运动的角速度为___________。（用所给物理量的符号表示）
(2)保持滑块质量和其做圆周运动的半径不变，改变滑块角速度，并记录数据，做出图线如图乙所示，从而验证与关系。该同学发现图乙中的图线不过坐标原点，且图线在横轴上的截距为，滑块做圆周运动的半径为，重力加速度为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，则滑块与圆盘间的动摩擦因数为___________。（用所给物理量的符号表示）
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）[1] 遮光片的线速度大小为
[2]根据线速度与角速度公式可知
（2）根据图像可知时，，此时有 解得
19．（2025·山东潍坊·三模）如图甲所示，光滑水平地面上固定一内壁光滑的竖直轨道D，轨道由圆心角为的圆弧轨道和倾角为的足够长直轨道连接而成，圆弧轨道左端与地面相切。一质量为2m的小球A用长为l的轻绳悬挂于P点，P点到地面的距离也为l，其正下方处有一钉子，另一小球B与轻质弹簧连接，静置于地面上。初始时轻绳拉至水平位置，现由静止释放小球A，轻绳碰到钉子后恰好断裂。时小球A与正前方弹簧接触，时与弹簧分离；从到时间内，小球B运动的距离为，弹簧始终处于弹性限度内。小球A与弹簧接触过程中，A、B的图像如图乙所示。已知，整个过程中系统没有机械能损失，重力加速度为g。求：
(1)轻绳的最大张力；
(2)弹簧压缩量的最大值（用、表示）；
(3)若，，小球B以一定的速度从圆弧上端沿切向飞出，试通过计算分析小球B能否按原路返回圆弧轨道？
【答案】(1)
(2)
(3)能
【详解】（1）设A摆至最低点的速度为，根据动能定理有 解得 设轻绳即将断裂时其中的张力为，对A根据牛顿第二定律 解得
（2）设B的质量为，碰后B的速度为，A与B发生弹性正碰，碰撞前后动量守恒
机械能守恒 解得 易知时弹簧压缩量最大，记为。则， 利用动量守恒 两边同乘，得 则 即又 解得
（3）要想使小球B按原路返回，满足题目条件有两种情形，如图所示
沿斜面和垂直斜面分解小球的运动。沿斜面分量， 垂直斜面分量， 设小球B每隔时间与斜面碰撞一次，则 可得第次与斜面碰撞时
①情形1：小球B第次与斜面碰撞时，速度方向垂直于斜面 解得 不符合题意；
②情形2：小球B第次与斜面碰撞后，速度方向竖直向上 解得，可知小球B与斜面碰撞一次后按原路返回圆弧轨道。即小球B能按原路返回圆弧轨道。
20．（2025·山东泰安·二轮复习检测）如图所示，一固定在竖直平面内的光滑圆弧轨道圆心为，半径，底端点切线水平。原长劲度系数的轻弹簧，一端挂在过点的光滑水平轴上，另一端栓接一个质量的小球，小球静止在点。轨道右边光滑水平地面上静止放置一长，质量的木板，A端与端的距离，上表面与点等高。现有一质量的滑块以的水平初速度滑上木板的端，滑块与木板间动摩擦因数，之后的运动中，木板A端碰到端会立即被锁定。滑块和小球均视为质点，取重力加速度大小。
(1)求滑块运动到木板A端时的速度大小；
(2)滑块与小球在点发生正碰，碰撞的恢复系数为。碰撞恢复系数的定义为，其中和分别是滑块和小球碰撞前的速度，和分别是滑块和小球碰撞后的速度。碰后小球随即沿圆弧轨道运动，求出小球脱离轨道时，弹簧与竖直方向夹角的大小。
(3)若（2）中滑块与小球在点发生碰撞后，再次经过点时，给滑块带上的正电荷，在地面上方加上垂直纸面向外的匀强磁场，磁感应强度，解除木板的锁定，其余条件不变。滑块从滑上木板的端到与木板共速经历时间，求滑块与木板共速时，木板端与点的距离。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）滑块在木板上滑动过程中，分别对滑块和木板根据牛顿第二定律有，
解得， 有题意可知，假设此时木板还未到达C点，则滑块运动到木板A端时 解得 此过程木板的位移为 所以，滑块滑到木板A端时，木板还未到达C点与小球发生碰撞。则滑块运动到木板A端时的速度大小为
（2）滑块与小球碰撞，由动量守恒定律可得 根据碰撞恢复系数得 联立，解得， 设弹簧与竖直方向夹角的大小为，则此时根据牛顿第二定律可得
其中 小球从C点运动到脱离轨道过程，根据动能定理 联立，解得 所以
（3）对滑块，根据动能定理 解得 所以，滑块滑上光滑圆弧轨道后会从C点原速率返回到木板，从滑块再次滑上木板，在极短时间内，滑块应用动量定理得
所以，在时间内滑块与木板组成的系统动量守恒，由动量守恒定律可得 解得， 由于在达到共速前任意时刻满足 两边同乘以，并累加可得 解得 所以，木板A端与C点的距离为。
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