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专题04 功与能
考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势
考点1 功与功率 2023、2025 对功、功率、动能、重力势能、弹性势能、机械能守恒定律、功能关系等基本概念和规律的考查贯穿始终。在功和功率方面，常结合实际生活中的做功场景，如汽车发动机做功、起重机提升重物做功等，考查功的计算方法和功率的概念理解，区分平均功率和瞬时功率 。对于各种形式的能量，注重考查其概念的内涵和相互转化关系，例如物体在自由落体过程中，重力势能转化为动能；弹簧振子在振动过程中，动能和弹性势能相互转化 。机械能守恒定律的应用是重点，通过设置各种物理情境，如光滑斜面上物体的下滑、摆动的单摆等，判断系统在运动过程中机械能是否守恒，并运用机械能守恒定律求解相关物理量 。功能关系则强调功是能量转化的量度，通过分析力做功的过程，确定能量的转化情况，如合外力做功等于物体动能的变化 。命题常与生活、科技场景紧密结合，如新能源汽车的能量转化效率分析、机械工作过程中的能耗计算等，同时也会与牛顿运动定律、曲线运动等知识综合，考查学生对能量观念的深刻理解和在复杂物理过程中的综合应用能力。
考点2 动能与动能定理 2021、2023
考点3 机械能守恒定律 2024、2025
考点4 功能关系 2022
考点5 能量守恒定律 2021
考点01 功与功率
1．（2025·山东·高考）一辆电动小车上的光伏电池，将太阳能转换成的电能全部给电动机供电，刚好维持小车以速度v匀速运动，此时电动机的效率为。已知小车的质量为m，运动过程中受到的阻力（k为常量），该光伏电池的光电转换效率为，则光伏电池单位时间内获得的太阳能为（　　）
A． B． C． D．
2．（2023·山东·高考）质量为M的玩具动力小车在水平面上运动时，牵引力F和受到的阻力f均为恒力，如图所示，小车用一根不可伸长的轻绳拉着质量为m的物体由静止开始运动。当小车拖动物体行驶的位移为时，小车达到额定功率，轻绳从物体上脱落。物体继续滑行一段时间后停下，其总位移为。物体与地面间的动摩擦因数不变，不计空气阻力。小车的额定功率P0为（ ）

A． B．
C． D．
3．（2023·山东·高考）《天工开物》中记载了古人借助水力使用高转筒车往稻田里引水的场景。引水过程简化如下：两个半径均为R的水轮，以角速度ω匀速转动。水筒在筒车上均匀排布，单位长度上有n个，与水轮间无相对滑动。每个水筒离开水面时装有质量为m的水，其中的60%被输送到高出水面H处灌入稻田。当地的重力加速度为g，则筒车对灌入稻田的水做功的功率为（ ）

A． B． C． D．nmgωRH
考点02 动能与动能定理
4．（2023·山东·高考）如图所示，物块A和木板B置于水平地面上，固定光滑弧形轨道末端与B的上表面所在平面相切，竖直挡板P固定在地面上。作用在A上的水平外力，使A与B以相同速度向右做匀速直线运动。当B的左端经过轨道末端时，从弧形轨道某处无初速度下滑的滑块C恰好到达最低点，并以水平速度v滑上B的上表面，同时撤掉外力，此时B右端与P板的距离为s。已知，，，，A与地面间无摩擦，B与地面间动摩擦因数，C与B间动摩擦因数，B足够长，使得C不会从B上滑下。B与P、A的碰撞均为弹性碰撞，不计碰撞时间，取重力加速度大小。
（1）求C下滑的高度H；
（2）与P碰撞前，若B与C能达到共速，且A、B未发生碰撞，求s的范围；
（3）若，求B与P碰撞前，摩擦力对C做的功W；
（4）若，自C滑上B开始至A、B、C三个物体都达到平衡状态，求这三个物体总动量的变化量的大小。

5．（2021·山东·高考）如图所示，三个质量均为m的小物块A、B、C，放置在水平地面上，A紧靠竖直墙壁，一劲度系数为k的轻弹簧将A、B连接，C紧靠B，开始时弹簧处于原长，A、B、C均静止。现给C施加一水平向左、大小为F的恒力，使B、C一起向左运动，当速度为零时，立即撤去恒力，一段时间后A离开墙壁，最终三物块都停止运动。已知A、B、C与地面间的滑动摩擦力大小均为f，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弹簧始终在弹性限度内。（弹簧的弹性势能可表示为：，k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量）
（1）求B、C向左移动的最大距离和B、C分离时B的动能；
（2）为保证A能离开墙壁，求恒力的最小值；
（3）若三物块都停止时B、C间的距离为，从B、C分离到B停止运动的整个过程，B克服弹簧弹力做的功为W，通过推导比较W与的大小；
（4）若，请在所给坐标系中，画出C向右运动过程中加速度a随位移x变化的图像，并在坐标轴上标出开始运动和停止运动时的a、x值（用f、k、m表示），不要求推导过程。以撤去F时C的位置为坐标原点，水平向右为正方向。
6．（2021·山东·高考）如图所示，粗糙程度处处相同的水平桌面上有一长为L的轻质细杆，一端可绕竖直光滑轴O转动，另一端与质量为m的小木块相连。木块以水平初速度出发，恰好能完成一个完整的圆周运动。在运动过程中，木块所受摩擦力的大小为（　　）
A． B． C． D．
考点03 机械能守恒定律
7．（2025·山东·高考）如图所示，内有弯曲光滑轨道的方形物体置于光滑水平面上，P、Q分别为轨道的两个端点且位于同一高度，P处轨道的切线沿水平方向，Q处轨道的切线沿竖直方向。小物块a、b用轻弹簧连接置于光滑水平面上，b被锁定。一质量的小球自Q点正上方处自由下落，无能量损失地滑入轨道，并从P点水平抛出，恰好击中a，与a粘在一起且不弹起。当弹簧拉力达到时，b解除锁定开始运动。已知a的质量，b的质量，方形物体的质量，重力加速度大小，弹簧的劲度系数，整个过程弹簧均在弹性限度内，弹性势能表达式（x为弹簧的形变量），所有过程不计空气阻力。求：
(1)小球到达P点时，小球及方形物体相对于地面的速度大小、；
(2)弹簧弹性势能最大时，b的速度大小及弹性势能的最大值。
8．（2024·山东·高考）如图甲所示，质量为M的轨道静止在光滑水平面上，轨道水平部分的上表面粗糙，竖直半圆形部分的表面光滑，两部分在P点平滑连接，Q为轨道的最高点。质量为m的小物块静置在轨道水平部分上，与水平轨道间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。已知轨道半圆形部分的半径，重力加速度大小。
（1）若轨道固定，小物块以一定的初速度沿轨道运动到Q点时，受到轨道的弹力大小等于3mg，求小物块在Q点的速度大小v；
（2）若轨道不固定，给轨道施加水平向左的推力F，小物块处在轨道水平部分时，轨道加速度a与F对应关系如图乙所示。
（i）求μ和m；
（ii）初始时，小物块静置在轨道最左端，给轨道施加水平向左的推力，当小物块到P点时撤去F，小物块从Q点离开轨道时相对地的速度大小为7m/s。求轨道水平部分的长度L。
9．（2024·山东·高考）如图所示，质量均为m的甲、乙两同学，分别坐在水平放置的轻木板上，木板通过一根原长为l的轻质弹性绳连接，连接点等高且间距为d（dA． B．
C． D．
考点04 功能关系
10．（2022·山东·高考）我国多次成功使用“冷发射”技术发射长征十一号系列运载火箭。如图所示，发射舱内的高压气体先将火箭竖直向上推出，火箭速度接近零时再点火飞向太空。从火箭开始运动到点火的过程中（ ）
A．火箭的加速度为零时，动能最大
B．高压气体释放的能量全部转化为火箭的动能
C．高压气体对火箭推力的冲量等于火箭动量的增加量
D．高压气体的推力和空气阻力对火箭做功之和等于火箭动能的增加量
考点05 能量守恒定律
11．（2021·山东·高考）某乒乓球爱好者，利用手机研究乒乓球与球台碰撞过程中能量损失的情况。实验步骤如下：
①固定好手机，打开录音功能；
②从一定高度由静止释放乒乓球；
③手机记录下乒乓球与台面碰撞的声音，其随时间（单位：s）的变化图像如图所示。
根据声音图像记录的碰撞次序及相应碰撞时刻，如下表所示。
碰撞次序 1 2 3 4 5 6 7
碰撞时刻（s） 1.12 1.58 2.00 2.40 2.78 3.14 3.47
根据实验数据，回答下列问题：
（1）利用碰撞时间间隔，计算出第3次碰撞后乒乓球的弹起高度为___________m（保留2位有效数字，当地重力加速度）。
（2）设碰撞后弹起瞬间与该次碰撞前瞬间速度大小的比值为k，则每次碰撞损失的动能为碰撞前动能的___________倍（用k表示），第3次碰撞过程中___________（保留2位有效数字）。
（3）由于存在空气阻力，第（1）问中计算的弹起高度___________（填“高于”或“低于”）实际弹起高度。
1．（2025·山东潍坊·三模）某次训练投掷中，运动员将质量的铅球以初速度斜向上抛出，忽略空气阻力，重力加速度。已知铅球在时动能达到最小值。以抛出点所在水平面为零势能面，下列反映铅球在空中运动过程中动能、重力势能，随时间t或高度h变化关系的图像正确的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2025·山东齐鲁教研体·考前质量检测）如图1所示为消防员采用的高压水枪，图2为某次灭火的示意图，消防员将出水管与水平地面成角架好，着火点与出水口的竖直距离，水平距离，水落在着火点。已知出水管的横截面积 ，灭火过程中水枪机器的效率，水的密度，重力加速度取，忽略空气阻力及出水口与水箱液面的高度差，则水枪机器消耗的功率为（　　）
A． B． C． D．50kW
3．（2025·山东潍坊·三模）如图所示，一轻质刚性杆可在竖直平面内绕固定转轴O自由转动，杆长为2L。杆的中点M处固定一质量为2m的小球a，另一端N处固定一质量为m的小球b。现将杆从水平位置由静止释放，忽略空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）
A．杆转动至竖直位置时，OM段杆对小球a的作用力大小为
B．杆转动至竖直位置时，OM段杆对小球a的作用力大小为
C．从释放到转动至竖直位置过程中，杆对小球a做的功为
D．从释放到转动至竖直位置过程中，杆对小球a做的功为
4．（2025·山东德州·三模）如图所示，某实验小组用轻质压缩弹簧代替推进剂，来研究火箭单级推进与多级推进。火箭的总质量为m，重力加速度为g，弹簧始终处于弹性限度内，火箭始终在竖直方向上运动，不计空气阻力。
方案一：将两根相同的轻弹簧并排放置在火箭底部（不连接），模拟火箭的单级推进，将两根弹簧进行同样的压缩，释放后火箭在极短时间内获得速度（此过程忽略重力的影响），此后上升的最大高度为h。
方案二：将火箭分为质量相等的两级，将方案一中的两根轻弹簧分别放置在两级火箭的底部（均不连接），将两级火箭上下叠放，并使两根轻弹簧分别压缩与方案一相同长度，以此模拟火箭的二级推进过程。实验时，先释放一级火箭底部的弹簧进行一级推进，使两级火箭迅速获得一共同速度，一级推进完成瞬间立即自动释放两级之间的弹簧进行二级推进，推进过程忽略重力影响。下列说法正确的是（　　）
A．两个方案中，火箭运动过程中机械能守恒
B．方案二中，一级推进完成瞬间，火箭速度的大小为
C．方案二中，二级火箭上升的最大高度为
D．方案一中，压缩的单根弹簧储存的弹性势能为
5．（2025·山东省实验中学·一模）如图所示，竖直平面内固定一根竖直杆和水平杆，两杆在同一平面内，杆的延长线与杆的交点为。质量为的小球A和质量为的小球B分别套在杆和杆上，套在杆上的轻质弹簧上端固定，下端与小球A相连。小球A、B间用长为的轻杆通过铰链分别连接。弹簧处于原长时AB间的轻杆与杆的夹角，小球A从该位置由静止释放后在竖直杆上做往复运动，下降的最大距离为。已知轻质弹簧的弹性势能，x为弹簧的形变量，为弹簧的劲度系数，整个过程弹簧始终处在弹性限度内，不计一切摩擦，重力加速度为g，。则下列说法正确的是（　　）
A．弹簧的劲度系数为
B．小球运动到点时，小球B的速度最大
C．小球A从最高点运动到点的过程，水平杆对小球B的作用力始终大于
D．从撤去外力到的过程中，轻杆对球做功为
6．（2025·山东泰山教育联盟·4月联考）如图所示，O为固定在水平面的转轴，质量均为m的小球A、B通过铰链与两根轻杆连接后，再与O点的转轴连接，杆长度均为L，B球置于水平地面上，B、O之间用一轻质弹簧连接。给A球施加一外力，当两杆夹角时，系统处于静止状态，弹簧为原长。撤去外力，将A球从该位置由静止释放，A球此时的加速度大小为a。当时，B球的速度大小为v。A、B两球始终位于同一竖直平面，弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，重力加速度为g。对于该过程，下列说法正确的是（ ）
A．撤去外力的瞬间，球B的加速度大小一定为
B．球A机械能的减少量小于B球机械能的增加量
C．球A机械能的减少量为
D．弹簧弹性势能增加量为
7．（2025·山东泰山教育联盟·4月联考）一健身器材的简化图如图所示，一根不可伸长的轻绳跨过两个相同定滑轮，连接质量为的相同配重。现施加竖直向下的拉力拉绳的中点，当点以速度匀速竖直下降高度时，两绳夹角恰为。忽略滑轮质量、轴承摩擦和空气阻力，重力加速度为。下列说法正确的是（ ）
A．该过程中配重处于失重状态
B．此时拉力的功率为
C．该过程中单侧绳子拉力对配重做功为
D．该过程中拉力做功为
8．（2025·山东十三校·4月联考）如图所示，套在光滑竖直杆上的轻弹簧与杆一起固定在水平地面上，弹簧的另一端与穿在杆上的小球相连，绕过定滑轮点的轻绳一端连接小球，另一端连接放在光滑固定斜面上的小滑块。初始时托住小滑块，使轻绳刚好伸直但恰好无拉力，之后由静止释放小滑块，小球从点沿杆向点运动。已知斜面的倾角为，小球的质量为，小滑块的质量为，长度为，与垂直。初始时轻绳与杆的夹角为，点左侧的轻绳与斜面平行，小球经过点时弹簧的弹力大小与初始时相等，重力加速度为，。在小球从点向上运动到点的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．小球和小滑块组成的系统机械能守恒
B．弹簧的劲度系数为
C．在运动过程中小滑块的速度始终大于小球的速度
D．小球运动到点时的速度大小为
9．（2025·山东济宁·考前押题联考）一物体在力F作用下由静止开始竖直向上运动，力F随高度x的变化关系如图所示，物体能上升的最大高度为h，。（、h、H已知，重力加速度为g），下列说法正确的是（ ）
A．物体上升到时加速度为零
B．物体刚开始运动时和上升到最大高度时加速度相同
C．物体的加速度最大值为
D．物体的动能最大值为
10．（2025·山东省实验中学·一模）如图甲所示，两足够长的光滑平行金属导轨固定在水平面内，处于磁感应强度为，方向竖直向上的匀强磁场中，导轨间距为，左端连接一定值电阻和理想交流电流表，一质量为、电阻为的金属棒垂直导轨放置，与导轨始终接触良好。现对金属棒施加一个平行于导轨的拉力，使得金属棒运动的速度随时间按如图乙所示的正弦规律变化。其中已知，不计导轨的电阻。下列说法正确的是（　　）
A．电流表的示数
B．在的过程中，拉力所做的功
C．的过程中流过线圈的电量为
D．的过程中流过线圈的电量为
11．（2025·山东淄博七中·一模）质量为M的光滑半圆形凹槽静止在光滑水平地面上，在凹槽左侧与圆心等高处由静止释放一质量为m、可视为质点的小球，小球相对地面运动的轨迹为半个椭圆，如图甲中虚线所示。运动过程中小球的动能随时间变化图像如图乙所示，已知椭圆半长轴与半短轴之比为。下列说法正确的是（　　）
A．半圆形凹槽与小球组成的系统动量不守恒
B．小球质量与凹槽质量之比
C．时刻，小球受到凹槽的支持力方向与速度垂直
D．时刻，小球受到凹槽的支持力大于小球的重力
12．（2025·山东齐鲁名校·联考）如图所示，质量的物块A（可看作质点）和的长木板B叠放在水平地面上，A放在B的最左端。A与B、B与地面间的动摩擦因数分别为 ，。敲击A，A立即获得方向水平向右、大小为的初速度，A刚好没有在B上掉下来。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取。
(1)求B的长度；
(2)当A刚运动到B的右端时，B的右端刚好到达点，在点右侧合适的位置固定一个光滑半圆轨道，轨道最低点的高度和B的高度相同，轨道半径，为竖直方向的直径；质量的滑块C（可看作质点）静止在半圆轨道的最低点。当B与轨道相碰时立即被锁定，A与C发生弹性碰撞。要使A与C能发生碰撞且C在中途不脱离半圆轨道，求的水平距离应满足的条件；
(3)在第（2）问中，若，求离开轨道后的落点与静止时的距离。
13．（2025·山东滨州·二模）如图所示，在火星上执行救援任务中，工程师设计了一款应急轨道装置。水平轨道长度，与半径的四分之一竖直光滑圆轨道在底部相切且固定在水平地面上。一质量的物资箱从水平轨道最左端开始，在方向与水平面夹角、大小的恒力作用下，由静止开始沿着水平轨道运动，且整个运动过程中恒力始终存在。已知物资箱与水平轨道表面动摩擦因数，火星表面重力加速度，忽略空气阻力。求：
(1)物资箱到达圆轨道底端时对轨道的压力的大小；
(2)物资箱从静止开始到第一次落地过程中，距离水平轨道的最大高度。
14．（2025·山东济宁·考前押题联考）如图，长为l=0.1m的轻绳一端固定在O点，另一端拴一小球A。木板C静止在光滑水平面上，小物块B静止在木板最左端。开始时，木板右端与墙P相距L=0.08m，A、B、C质量均为m=1kg，B、C间的动摩擦因数为。现将小球A拉到O点正上方，以的初速度水平向左抛出。当小球运动至最低点时与B发生正碰，碰后A、B不再发生作用，木板C的长度可以保证小物块在运动过程中不与墙接触。已知轻绳拉直瞬间小球沿绳方向的分速度突变为零，小物块B可看作质点，所有碰撞均为弹性碰撞，不计碰撞时间。重力加速度。
(1)通过计算判断绳被拉直时小球A的位置及A第一次运动到最低点时的速度；
(2)求从小球A与B碰撞后到BC达到共同速度过程中，木板C与墙碰撞的次数n及所用的时间t；
(3)求从小球A与B碰撞后到BC达到共同速度过程中，B相对C的位移和墙对木板C的总冲量I。
15．如图所示，光滑水平地面上一个质量为的木板紧靠平台静置，的上表面与光滑平台相平。质量为、倾角为的光滑斜面体静止在平台上。质量为的物块静置在木板上。斜面体固定在平台上，将质量为的物块从斜面上距平台高度为处由静止释放，物块A脱离斜面体B后，与平台发生相互作用，物块垂直于平台方向的速度分量瞬间变为零，沿平台方向的速度分量不变。已知物块和均视为质点，与木板上表面的动摩擦因数均为，重力加速度，求
(1)物块在平台上运动时的速率；
(2)若物块和物块不能发生碰撞，物块到木板左端的最小距离；
(3)若斜面体不固定，从斜面上高度为处静止释放，开始时物块到木板左侧的距离为，物块与物块的碰撞为弹性碰撞，求物块与木板第一次共速时，物块与物块之间的距离。
16．（2025·山东省实验中学·一模）质量、可视为质点的小石片从距液面高处的点以初速度水平飞出后，从点与液面成射入某种液体中，然后从点与液面成射出液面做斜上抛运动，到达最高点时距离液面的高度。已知小石片从点运动到点的过程中，水对小石片的作用力在水平和竖直方向上的分量保持不变，A、B两点间的距离，重力加速度，，不计空气阻力。求：
(1)小石片从点运动到点的过程中，该液体对小石片做的功；
(2)小石片从抛出到第二次进入液面运动的时间。
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题04 功与能
考点 五年考情（2021-2025） 命题趋势
考点1 功与功率 2023、2025 对功、功率、动能、重力势能、弹性势能、机械能守恒定律、功能关系等基本概念和规律的考查贯穿始终。在功和功率方面，常结合实际生活中的做功场景，如汽车发动机做功、起重机提升重物做功等，考查功的计算方法和功率的概念理解，区分平均功率和瞬时功率 。对于各种形式的能量，注重考查其概念的内涵和相互转化关系，例如物体在自由落体过程中，重力势能转化为动能；弹簧振子在振动过程中，动能和弹性势能相互转化 。机械能守恒定律的应用是重点，通过设置各种物理情境，如光滑斜面上物体的下滑、摆动的单摆等，判断系统在运动过程中机械能是否守恒，并运用机械能守恒定律求解相关物理量 。功能关系则强调功是能量转化的量度，通过分析力做功的过程，确定能量的转化情况，如合外力做功等于物体动能的变化 。命题常与生活、科技场景紧密结合，如新能源汽车的能量转化效率分析、机械工作过程中的能耗计算等，同时也会与牛顿运动定律、曲线运动等知识综合，考查学生对能量观念的深刻理解和在复杂物理过程中的综合应用能力。
考点2 动能与动能定理 2021、2023
考点3 机械能守恒定律 2024、2025
考点4 功能关系 2022
考点5 能量守恒定律 2021
考点01 功与功率
1．（2025·山东·高考）一辆电动小车上的光伏电池，将太阳能转换成的电能全部给电动机供电，刚好维持小车以速度v匀速运动，此时电动机的效率为。已知小车的质量为m，运动过程中受到的阻力（k为常量），该光伏电池的光电转换效率为，则光伏电池单位时间内获得的太阳能为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】根据题意小车匀速运动，则有 小车的机械功率 由于电动机的效率为，则有 光伏电池的光电转换效率为，即 可得
故选A。
2．（2023·山东·高考）质量为M的玩具动力小车在水平面上运动时，牵引力F和受到的阻力f均为恒力，如图所示，小车用一根不可伸长的轻绳拉着质量为m的物体由静止开始运动。当小车拖动物体行驶的位移为时，小车达到额定功率，轻绳从物体上脱落。物体继续滑行一段时间后停下，其总位移为。物体与地面间的动摩擦因数不变，不计空气阻力。小车的额定功率P0为（ ）

A． B．
C． D．
【答案】A
【详解】设物体与地面间的动摩擦因数为μ，当小车拖动物体行驶的位移为S1的过程中有
F－f－μmg = (m＋M)a
v2= 2aS1
P0= Fv
轻绳从物体上脱落后
a2= μg
v2= 2a2(S2－S1)
联立有
故选A。
3．（2023·山东·高考）《天工开物》中记载了古人借助水力使用高转筒车往稻田里引水的场景。引水过程简化如下：两个半径均为R的水轮，以角速度ω匀速转动。水筒在筒车上均匀排布，单位长度上有n个，与水轮间无相对滑动。每个水筒离开水面时装有质量为m的水，其中的60%被输送到高出水面H处灌入稻田。当地的重力加速度为g，则筒车对灌入稻田的水做功的功率为（ ）

A． B． C． D．nmgωRH
【答案】B
【详解】由题知，水筒在筒车上均匀排布，单位长度上有n个，且每个水筒离开水面时装有质量为m的水、其中的60%被输送到高出水面H处灌入稻田，则水轮转一圈灌入农田的水的总质量为
m总 = 2πRnm × 60% = 1.2πRnm
则水轮转一圈灌入稻田的水克服重力做的功
W = 1.2πRnmgH
则筒车对灌入稻田的水做功的功率为
联立有
故选B。
考点02 动能与动能定理
4．（2023·山东·高考）如图所示，物块A和木板B置于水平地面上，固定光滑弧形轨道末端与B的上表面所在平面相切，竖直挡板P固定在地面上。作用在A上的水平外力，使A与B以相同速度向右做匀速直线运动。当B的左端经过轨道末端时，从弧形轨道某处无初速度下滑的滑块C恰好到达最低点，并以水平速度v滑上B的上表面，同时撤掉外力，此时B右端与P板的距离为s。已知，，，，A与地面间无摩擦，B与地面间动摩擦因数，C与B间动摩擦因数，B足够长，使得C不会从B上滑下。B与P、A的碰撞均为弹性碰撞，不计碰撞时间，取重力加速度大小。
（1）求C下滑的高度H；
（2）与P碰撞前，若B与C能达到共速，且A、B未发生碰撞，求s的范围；
（3）若，求B与P碰撞前，摩擦力对C做的功W；
（4）若，自C滑上B开始至A、B、C三个物体都达到平衡状态，求这三个物体总动量的变化量的大小。

【答案】（1）；（2）；（3）；（4）
【详解】（1）由题意可知滑块C静止滑下过程根据动能定理有 代入数据解得
（2）滑块C刚滑上B时可知C受到水平向左的摩擦力，为 木板B受到C的摩擦力水平向右
为 B受到地面的摩擦力水平向左，为所以滑块C的加速度为
木板B的加速度为 设经过时间t1，B和C共速，有
代入数据解得 木板B的位移 共同的速度 此后B和C共同减速，加速度大小为 设再经过t2时间，物块A恰好撞上木板B，有 整理得 解得，（舍去） 此时B的位移
共同的速度 综上可知满足条件的s范围为
（3）由于 所以可知滑块C与木板B没有共速，对于木板B，根据运动学公式有 整理后有 解得，（舍去）滑块C在这段时间的位移 所以摩擦力对C做的功
（4）因为木板B足够长，最后的状态一定会是C与B静止，物块A向左匀速运动。木板B向右运动0.48m时，有
此时A、B之间的距离为 由于B与挡板发生碰撞不损失能量，故将原速率反弹。接着B向左做匀减速运动，可得加速度大小 物块A和木板B相向运动，设经过t3时间恰好相遇，则有 整理得 解得
，（舍去）
此时有 方向向左；方向向右。接着A、B发生弹性碰撞，碰前A的速度为v0=1m/s，方向向右，以水平向右为正方向，则有
代入数据解得
而此时 物块A向左的速度大于木板B和C向右的速度，由于摩擦力的作用，最后B和C静止，A向左匀速运动，系统的初动量
末动量 则整个过程动量的变化量 即大小为9.02kg m/s。
5．（2021·山东·高考）如图所示，三个质量均为m的小物块A、B、C，放置在水平地面上，A紧靠竖直墙壁，一劲度系数为k的轻弹簧将A、B连接，C紧靠B，开始时弹簧处于原长，A、B、C均静止。现给C施加一水平向左、大小为F的恒力，使B、C一起向左运动，当速度为零时，立即撤去恒力，一段时间后A离开墙壁，最终三物块都停止运动。已知A、B、C与地面间的滑动摩擦力大小均为f，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弹簧始终在弹性限度内。（弹簧的弹性势能可表示为：，k为弹簧的劲度系数，x为弹簧的形变量）
（1）求B、C向左移动的最大距离和B、C分离时B的动能；
（2）为保证A能离开墙壁，求恒力的最小值；
（3）若三物块都停止时B、C间的距离为，从B、C分离到B停止运动的整个过程，B克服弹簧弹力做的功为W，通过推导比较W与的大小；
（4）若，请在所给坐标系中，画出C向右运动过程中加速度a随位移x变化的图像，并在坐标轴上标出开始运动和停止运动时的a、x值（用f、k、m表示），不要求推导过程。以撤去F时C的位置为坐标原点，水平向右为正方向。
【答案】（1）；；（2）；（3）；（4）
【详解】（1）从开始到B、C向左移动到最大距离的过程中，以B、C和弹簧为研究对象，由功能关系得 弹簧恢复原长时B、C分离，从弹簧最短到B、C分离，以B、C和弹簧为研究对象，由能量守恒得 联立，解得，
（2）当A刚要离开墙时，设弹簧的伸长量为，以A为研究对象，由平衡条件得 若A刚要离开墙壁时B的速度恰好等于零，这种情况下恒力为最小值，从弹簧恢复原长到A刚要离开墙的过程中，以B和弹簧为研究对象，由能量守恒得 结合第（1）问结果可知 根据题意舍去 所以恒力的最小值为
（3）从B、C分离到B停止运动，设B的路程为，C的位移为，以B为研究对象，由动能定理得 以C为研究对象，由动能定理得 由B、C得运动关系得 联立，解得
（4）小物块B、C向左运动过程中，由动能定理得 解得撤去恒力瞬间弹簧弹力为 则坐标原点的加速度为 之后C开始向右运动过程（B、C系统未脱离弹簧）加速度为 可知加速度随位移为线性关系，随着弹簧逐渐恢复原长，减小，减小，弹簧恢复原长时，B和C分离，之后C只受地面的滑动摩擦力，加速度为 负号表示C的加速度方向水平向左；从撤去恒力之后到弹簧恢复原长，以B、C为研究对象，由动能定理得 脱离弹簧瞬间后C速度为，之后C受到滑动摩擦力减速至0，由能量守恒得 解得脱离弹簧后，C运动的距离为 则C最后停止的位移为 图像如图所示
6．（2021·山东·高考）如图所示，粗糙程度处处相同的水平桌面上有一长为L的轻质细杆，一端可绕竖直光滑轴O转动，另一端与质量为m的小木块相连。木块以水平初速度出发，恰好能完成一个完整的圆周运动。在运动过程中，木块所受摩擦力的大小为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】在运动过程中，只有摩擦力做功，而摩擦力做功与路径有关，根据动能定理可得摩擦力的大小
故选B。
考点03 机械能守恒定律
7．（2025·山东·高考）如图所示，内有弯曲光滑轨道的方形物体置于光滑水平面上，P、Q分别为轨道的两个端点且位于同一高度，P处轨道的切线沿水平方向，Q处轨道的切线沿竖直方向。小物块a、b用轻弹簧连接置于光滑水平面上，b被锁定。一质量的小球自Q点正上方处自由下落，无能量损失地滑入轨道，并从P点水平抛出，恰好击中a，与a粘在一起且不弹起。当弹簧拉力达到时，b解除锁定开始运动。已知a的质量，b的质量，方形物体的质量，重力加速度大小，弹簧的劲度系数，整个过程弹簧均在弹性限度内，弹性势能表达式（x为弹簧的形变量），所有过程不计空气阻力。求：
(1)小球到达P点时，小球及方形物体相对于地面的速度大小、；
(2)弹簧弹性势能最大时，b的速度大小及弹性势能的最大值。
【答案】(1)，水平向左，，水平向右
(2)，水平向左，
【详解】（1）根据题意可知，小球从开始下落到处过程中，水平方向上动量守恒，则有
由能量守恒定律有 联立解得， 即小球速度为，方向水平向左，大物块速度为，方向水平向右。
（2）由于小球落在物块a正上方，并与其粘连，小球竖直方向速度变为0，小球和物块水平方向上动量守恒，则有 解得 设当弹簧形变量为时物块的固定解除，此时小球和物块的速度为，根据胡克定律 系统机械能守恒 联立解得，
固定解除之后，小球、物块和物块组成的系统动量守恒，当三者共速时，弹簧的弹性势能最大，由动量守恒定律有 解得，方向水平向左。 由能量守恒定律可得，最大弹性势能为
8．（2024·山东·高考）如图甲所示，质量为M的轨道静止在光滑水平面上，轨道水平部分的上表面粗糙，竖直半圆形部分的表面光滑，两部分在P点平滑连接，Q为轨道的最高点。质量为m的小物块静置在轨道水平部分上，与水平轨道间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力。已知轨道半圆形部分的半径，重力加速度大小。
（1）若轨道固定，小物块以一定的初速度沿轨道运动到Q点时，受到轨道的弹力大小等于3mg，求小物块在Q点的速度大小v；
（2）若轨道不固定，给轨道施加水平向左的推力F，小物块处在轨道水平部分时，轨道加速度a与F对应关系如图乙所示。
（i）求μ和m；
（ii）初始时，小物块静置在轨道最左端，给轨道施加水平向左的推力，当小物块到P点时撤去F，小物块从Q点离开轨道时相对地的速度大小为7m/s。求轨道水平部分的长度L。
【答案】（1）；（2）（i），；（3）
【详解】（1）根据题意可知小物块在Q点由合力提供向心力有 代入数据解得
（2）（i）根据题意可知当F≤4N时，小物块与轨道是一起向左加速，根据牛顿第二定律可知根据图乙有当外力时，轨道与小物块有相对滑动，则对轨道有结合题图乙有 可知 截距 联立以上各式可得，，
（ii）由图乙可知，当时，轨道的加速度为，小物块的加速度为 当小物块运动到P点时，经过t0时间，则轨道有 小物块有 在小物块到P点到从Q点离开轨道的过程中系统机械能守恒有 水平方向动量守恒，以水平向左的正方向，则有 其中，小物块离开Q点时的速度,为此时轨道的速度。联立解得(舍去） 根据运动学公式有 代入数据解得
9．（2024·山东·高考）如图所示，质量均为m的甲、乙两同学，分别坐在水平放置的轻木板上，木板通过一根原长为l的轻质弹性绳连接，连接点等高且间距为d（dA． B．
C． D．
【答案】B
【详解】当甲所坐木板刚要离开原位置时，对甲及其所坐木板整体有 解得弹性绳的伸长量
则此时弹性绳的弹性势能为 从开始拉动乙所坐木板到甲所坐木板刚要离开原位置的过程，乙所坐木板的位移为 则由功能关系可知该过程F所做的功
故选B。
考点04 功能关系
10．（2022·山东·高考）我国多次成功使用“冷发射”技术发射长征十一号系列运载火箭。如图所示，发射舱内的高压气体先将火箭竖直向上推出，火箭速度接近零时再点火飞向太空。从火箭开始运动到点火的过程中（ ）
A．火箭的加速度为零时，动能最大
B．高压气体释放的能量全部转化为火箭的动能
C．高压气体对火箭推力的冲量等于火箭动量的增加量
D．高压气体的推力和空气阻力对火箭做功之和等于火箭动能的增加量
【答案】A
【详解】A．火箭从发射舱发射出来，受竖直向下的重力、竖直向下的空气阻力和竖直向上的高压气体的推力作用，且推力大小不断减小，刚开始向上的时候高压气体的推力大于向下的重力和空气阻力之和，故火箭向上做加速度减小的加速运动，当向上的高压气体的推力等于向下的重力和空气阻力之和时，火箭的加速度为零，速度最大，接着向上的高压气体的推力小于向下的重力和空气阻力之和时，火箭接着向上做加速度增大的减速运动，直至速度为零，故当火箭的加速度为零时，速度最大，动能最大，故A正确；
B．根据能量守恒定律，可知高压气体释放的能量转化为火箭的动能、火箭的重力势能和内能，故B错误；
C．根据动量定理，可知合力冲量等于火箭动量的增加量，故C错误；
D．根据功能关系，可知高压气体的推力和空气阻力对火箭做功之和等于火箭机械能的增加量，故D错误。
故选A。
考点05 能量守恒定律
11．（2021·山东·高考）某乒乓球爱好者，利用手机研究乒乓球与球台碰撞过程中能量损失的情况。实验步骤如下：
①固定好手机，打开录音功能；
②从一定高度由静止释放乒乓球；
③手机记录下乒乓球与台面碰撞的声音，其随时间（单位：s）的变化图像如图所示。
根据声音图像记录的碰撞次序及相应碰撞时刻，如下表所示。
碰撞次序 1 2 3 4 5 6 7
碰撞时刻（s） 1.12 1.58 2.00 2.40 2.78 3.14 3.47
根据实验数据，回答下列问题：
（1）利用碰撞时间间隔，计算出第3次碰撞后乒乓球的弹起高度为___________m（保留2位有效数字，当地重力加速度）。
（2）设碰撞后弹起瞬间与该次碰撞前瞬间速度大小的比值为k，则每次碰撞损失的动能为碰撞前动能的___________倍（用k表示），第3次碰撞过程中___________（保留2位有效数字）。
（3）由于存在空气阻力，第（1）问中计算的弹起高度___________（填“高于”或“低于”）实际弹起高度。
【答案】 0.20 0.95 高于
【详解】（1）[1]第3次碰撞到第4次碰撞用时，根据竖直上抛和自由落体运动的对称性可知第3次碰撞后乒乓球弹起的高度为
（2）[2]碰撞后弹起瞬间速度为，碰撞前瞬间速度为，根据题意可知 则每次碰撞损失的动能与碰撞前动能的比值为
[3]第2次碰后从最高点落地瞬间的速度 第3次碰撞后瞬间速度为 则第3次碰撞过程中
（3）[4]由于存在空气阻力，乒乓球在上升过程中受到向下的阻力和重力，加速度变大，上升的高度变小，所以第（1）问中计算的弹起高度高于实际弹起的高度。
1．（2025·山东潍坊·三模）某次训练投掷中，运动员将质量的铅球以初速度斜向上抛出，忽略空气阻力，重力加速度。已知铅球在时动能达到最小值。以抛出点所在水平面为零势能面，下列反映铅球在空中运动过程中动能、重力势能，随时间t或高度h变化关系的图像正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【详解】AC．铅球做斜抛运动，在时动能达到最小值，此时到达最高点，且重力势能最大；设抛出时的水平速度为v0x，则 解得 抛出时的竖直速度 可知抛出时的速度方向与水平方向夹角为30°；初动能 则上升过程中t时刻的动能 可知图像是二次函数，不是直线；因 其中h最大值 则图像是倾斜直线且上升时和下降时的图像重合，选项A错误，C正确；
BD．重力势能 可知图像是二次函数，不是直线；图像是一条直线，因h最大值为1.25m，则下降过程图像与上升过程重合，选项BD错误。
故选C。
2．（2025·山东齐鲁教研体·考前质量检测）如图1所示为消防员采用的高压水枪，图2为某次灭火的示意图，消防员将出水管与水平地面成角架好，着火点与出水口的竖直距离，水平距离，水落在着火点。已知出水管的横截面积 ，灭火过程中水枪机器的效率，水的密度，重力加速度取，忽略空气阻力及出水口与水箱液面的高度差，则水枪机器消耗的功率为（　　）
A． B． C． D．50kW
【答案】B
【详解】设水做斜抛运动的初速度为，经时间水打到着火点，在竖直方向有 在水平方向有 联立解得， 设水枪机器消耗的功率为，经时间打出水的质量为
根据能量守恒有 解得
故选B。
3．（2025·山东潍坊·三模）如图所示，一轻质刚性杆可在竖直平面内绕固定转轴O自由转动，杆长为2L。杆的中点M处固定一质量为2m的小球a，另一端N处固定一质量为m的小球b。现将杆从水平位置由静止释放，忽略空气阻力，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）
A．杆转动至竖直位置时，OM段杆对小球a的作用力大小为
B．杆转动至竖直位置时，OM段杆对小球a的作用力大小为
C．从释放到转动至竖直位置过程中，杆对小球a做的功为
D．从释放到转动至竖直位置过程中，杆对小球a做的功为
【答案】A
【详解】AB．轻杆由水平位置转动至竖直位置，系统机械能守恒，且两球具有相同的角速度，设为，则有 解得 对b球分析，根据牛顿第二定律有
解得 对a球分析，根据牛顿第二定律有 解得 故A正确，B错误；
CD．设杆对小球a做的功为，对a分析，根据动能定理有 解得 故CD错误。
故选A。
4．（2025·山东德州·三模）如图所示，某实验小组用轻质压缩弹簧代替推进剂，来研究火箭单级推进与多级推进。火箭的总质量为m，重力加速度为g，弹簧始终处于弹性限度内，火箭始终在竖直方向上运动，不计空气阻力。
方案一：将两根相同的轻弹簧并排放置在火箭底部（不连接），模拟火箭的单级推进，将两根弹簧进行同样的压缩，释放后火箭在极短时间内获得速度（此过程忽略重力的影响），此后上升的最大高度为h。
方案二：将火箭分为质量相等的两级，将方案一中的两根轻弹簧分别放置在两级火箭的底部（均不连接），将两级火箭上下叠放，并使两根轻弹簧分别压缩与方案一相同长度，以此模拟火箭的二级推进过程。实验时，先释放一级火箭底部的弹簧进行一级推进，使两级火箭迅速获得一共同速度，一级推进完成瞬间立即自动释放两级之间的弹簧进行二级推进，推进过程忽略重力影响。下列说法正确的是（　　）
A．两个方案中，火箭运动过程中机械能守恒
B．方案二中，一级推进完成瞬间，火箭速度的大小为
C．方案二中，二级火箭上升的最大高度为
D．方案一中，压缩的单根弹簧储存的弹性势能为
【答案】C
【详解】A．两个方案中，火箭运动过程中弹簧弹簧的弹性势能转化为火箭的动能，火箭机械能增加，故A错误；
D．设压缩的单根弹簧储存的弹性势能为，方案一中，根据弹簧和火箭组成的系统机械能守恒有
得 故D错误；
BC．方案二中，一级推进完成瞬间，设火箭的速度大小为，根据弹簧和火箭组成的系统机械能守恒有 求得 设二级推进完成瞬间，一级火箭和二级火箭的速度分别为和，根据一级火箭、二级火箭以及两级火箭之间弹簧组成的系统动量守恒和机械能守恒分别有
，
联立解得， 设二级火箭上升的最大高度为，则二级推进完成后，根据二级火箭机械能守恒有 解得 故B错误，C正确。
故选C。
5．（2025·山东省实验中学·一模）如图所示，竖直平面内固定一根竖直杆和水平杆，两杆在同一平面内，杆的延长线与杆的交点为。质量为的小球A和质量为的小球B分别套在杆和杆上，套在杆上的轻质弹簧上端固定，下端与小球A相连。小球A、B间用长为的轻杆通过铰链分别连接。弹簧处于原长时AB间的轻杆与杆的夹角，小球A从该位置由静止释放后在竖直杆上做往复运动，下降的最大距离为。已知轻质弹簧的弹性势能，x为弹簧的形变量，为弹簧的劲度系数，整个过程弹簧始终处在弹性限度内，不计一切摩擦，重力加速度为g，。则下列说法正确的是（　　）
A．弹簧的劲度系数为
B．小球运动到点时，小球B的速度最大
C．小球A从最高点运动到点的过程，水平杆对小球B的作用力始终大于
D．从撤去外力到的过程中，轻杆对球做功为
【答案】D
【详解】A．小球A、弹簧和小球B组成的系统机械能守恒，小球A从开始释放到下降到最大距离时，由于在最低点两球的速度均为零，则根据机械能守恒定律有： 解得 故A错误。
B．小球运动到点时，小球B的速度为零，最小，选项B错误；
C．小球A从最高点运动到点的过程，小球B先加速后减速，根据 当aB=0时T=0，可知水平杆对小球B的作用力不是始终大于，选项C错误；
D．轻杆与水平杆Q成θ=30°斜向左上时，设B的速度为vB，A的速度为vA，根据关联速度关系可知：vAcos60°=vBcos30° 根据机械能守恒定律有
联立解得 根据动能定理可知轻杆对小球B做的功为 故D正确；
故选D。
6．（2025·山东泰山教育联盟·4月联考）如图所示，O为固定在水平面的转轴，质量均为m的小球A、B通过铰链与两根轻杆连接后，再与O点的转轴连接，杆长度均为L，B球置于水平地面上，B、O之间用一轻质弹簧连接。给A球施加一外力，当两杆夹角时，系统处于静止状态，弹簧为原长。撤去外力，将A球从该位置由静止释放，A球此时的加速度大小为a。当时，B球的速度大小为v。A、B两球始终位于同一竖直平面，弹簧在弹性限度内，忽略一切摩擦，重力加速度为g。对于该过程，下列说法正确的是（ ）
A．撤去外力的瞬间，球B的加速度大小一定为
B．球A机械能的减少量小于B球机械能的增加量
C．球A机械能的减少量为
D．弹簧弹性势能增加量为
【答案】D
【详解】A．A球自由释放时加速度方向垂直于OA，此时弹簧没有发生形变，弹簧弹力F=0，对A球，由牛顿第二定律得 对球B，由牛顿第二定律得 解得，A错误；
B．选取小球A、小球B、弹簧为研究对象，系统机械能守恒。则在系统变化过程中，A球机械能的减少量等于B球机械能增加量与弹簧弹性势能增加量之和。则球A机械能的减少量大于B球机械能的增加量，B错误；
C．取OB所在平面为重力势能零点，由几何关系可知初始时A球的机械能为
由题意可知，当时，B球的速度大小，设沿杆方向的速度为，A的速度为，相关图像如下图所示，由几何关系可知， 则 设此时A的机械能为，则
球A机械能的减少量为，C错误；
D．选取小球A、小球B、弹簧为研究对象，系统机械能守恒。取OB所在平面为重力势能零点，设该过程中弹簧弹力做功为，根据弹簧做功性质可知，弹簧弹性势能增加量也为，系统机械能列式可得
由C选项可知，可得，D正确；
故选D。
7．（2025·山东泰山教育联盟·4月联考）一健身器材的简化图如图所示，一根不可伸长的轻绳跨过两个相同定滑轮，连接质量为的相同配重。现施加竖直向下的拉力拉绳的中点，当点以速度匀速竖直下降高度时，两绳夹角恰为。忽略滑轮质量、轴承摩擦和空气阻力，重力加速度为。下列说法正确的是（ ）
A．该过程中配重处于失重状态
B．此时拉力的功率为
C．该过程中单侧绳子拉力对配重做功为
D．该过程中拉力做功为
【答案】D
【详解】A．设两绳子之间的夹角为，P点速度沿绳方向的分量与重物上升的速度大小相等，则
其中逐渐减小，故重物的速度增大，即重物向上做加速运动，故重物处于超重状态，A错误；
B．对P点受力分析由平衡方程可得 重物向上做加速度运动，由牛顿第二定律有
联立可知 故此时拉力的功率大于，B错误；
C．对左侧重物由动能定理有 其中当时，由关联速度可知重物的速度为 联立解得单侧绳子拉力对配重做功为 C错误；
D．对整个系统由功能关系有 联立解得该过程中拉力做功为 D正确。
故选D。
8．（2025·山东十三校·4月联考）如图所示，套在光滑竖直杆上的轻弹簧与杆一起固定在水平地面上，弹簧的另一端与穿在杆上的小球相连，绕过定滑轮点的轻绳一端连接小球，另一端连接放在光滑固定斜面上的小滑块。初始时托住小滑块，使轻绳刚好伸直但恰好无拉力，之后由静止释放小滑块，小球从点沿杆向点运动。已知斜面的倾角为，小球的质量为，小滑块的质量为，长度为，与垂直。初始时轻绳与杆的夹角为，点左侧的轻绳与斜面平行，小球经过点时弹簧的弹力大小与初始时相等，重力加速度为，。在小球从点向上运动到点的过程中，下列说法正确的是（　　）
A．小球和小滑块组成的系统机械能守恒
B．弹簧的劲度系数为
C．在运动过程中小滑块的速度始终大于小球的速度
D．小球运动到点时的速度大小为
【答案】D
【详解】A．由题意可知，小球、小滑块和弹簧组成的系统机械能守恒，故A错误；
B．由几何关系可知，在M点弹簧的压缩量为 在M点由平衡条件 联立可得弹簧的劲度系数为 故B错误；
C．设轻绳与杆的夹角为，根据关联速度关系 当小球运动到N点时，此时滑块的速度为0，则滑块的速度先增大后减小，故在运动过程中小滑块的速度不是始终大于小球的速度，故C错误；
D．由于小球经过点时弹簧的弹力大小与初始时相等，故在M、N两点弹簧的弹性势能相等，由系统机械能守恒定律 解得小球运动到点时的速度大小为 故D正确。 故选D。
9．（2025·山东济宁·考前押题联考）一物体在力F作用下由静止开始竖直向上运动，力F随高度x的变化关系如图所示，物体能上升的最大高度为h，。（、h、H已知，重力加速度为g），下列说法正确的是（ ）
A．物体上升到时加速度为零
B．物体刚开始运动时和上升到最大高度时加速度相同
C．物体的加速度最大值为
D．物体的动能最大值为
【答案】AC
【详解】AB．由图像，力F随高度均匀减小，所以加速度先减小到0后反向增加，由对称性可知开始运动和到最高点时加速度等大反向且为最大，在中点时加速度为零。故A正确，B错误；
C．该过程中的平均力为 由功能关系 得 由 得
C正确；
D．由动能定理 得 D错误。
故选AC。
10．（2025·山东省实验中学·一模）如图甲所示，两足够长的光滑平行金属导轨固定在水平面内，处于磁感应强度为，方向竖直向上的匀强磁场中，导轨间距为，左端连接一定值电阻和理想交流电流表，一质量为、电阻为的金属棒垂直导轨放置，与导轨始终接触良好。现对金属棒施加一个平行于导轨的拉力，使得金属棒运动的速度随时间按如图乙所示的正弦规律变化。其中已知，不计导轨的电阻。下列说法正确的是（　　）
A．电流表的示数
B．在的过程中，拉力所做的功
C．的过程中流过线圈的电量为
D．的过程中流过线圈的电量为
【答案】ABD
【详解】A．图乙可知 故棒产生的电动势 则电流表示数 联立解得 故A正确；
B．在的过程中，由能量守恒有 联立解得 故B正确；
CD．的过程中流过线圈的电量为 因为， 联立解得 故C错误，D正确。
故选ABD。
11．（2025·山东淄博七中·一模）质量为M的光滑半圆形凹槽静止在光滑水平地面上，在凹槽左侧与圆心等高处由静止释放一质量为m、可视为质点的小球，小球相对地面运动的轨迹为半个椭圆，如图甲中虚线所示。运动过程中小球的动能随时间变化图像如图乙所示，已知椭圆半长轴与半短轴之比为。下列说法正确的是（　　）
A．半圆形凹槽与小球组成的系统动量不守恒
B．小球质量与凹槽质量之比
C．时刻，小球受到凹槽的支持力方向与速度垂直
D．时刻，小球受到凹槽的支持力大于小球的重力
【答案】AD
【详解】A．小球向下运动过程中，在竖直方向的分加速度方向先向下后向上，小球先处于失重后处于超重状态，可知，半圆形凹槽与小球组成的系统所受外力的合力不为0，即半圆形凹槽与小球组成的系统动量不守恒，故A正确；
B．令凹槽半径为R，根据图中所示半个椭圆可知，半长轴为R，则半短轴为，短轴为，即小球在水平方向的分位移半圆形凹槽与小球组成的系统在水平方向动量守恒，则有 其中 解得 故B错误；
C．根据图乙的对称性可知，时刻小球位于凹槽最低点，则时刻小球位于释放点与凹槽最低点之间的某一位置，小球相对地面运动的轨迹为半个椭圆，轨迹的最低点即为凹槽的最低点，时刻小球受到凹槽的支持力方向指向凹槽圆心，速度方向沿半椭圆轨迹切线方向，可知，时刻，小球受到凹槽的支持力方向与速度方向不垂直，故C错误；
D．结合上述可知，时刻小球位于凹槽最低点，小球相对于凹槽做圆周运动，小球在最低点相对于凹槽的速度方向水平向右，由于小球小球相对于凹槽做圆周运动，则小球在最低点沿半径方向的合力提供向心力，此时加速度方向竖直向上，则时刻，小球受到凹槽的支持力大于小球的重力，故D正确。
故选AD。
12．（2025·山东齐鲁名校·联考）如图所示，质量的物块A（可看作质点）和的长木板B叠放在水平地面上，A放在B的最左端。A与B、B与地面间的动摩擦因数分别为 ，。敲击A，A立即获得方向水平向右、大小为的初速度，A刚好没有在B上掉下来。最大静摩擦力等于滑动摩擦力，取。
(1)求B的长度；
(2)当A刚运动到B的右端时，B的右端刚好到达点，在点右侧合适的位置固定一个光滑半圆轨道，轨道最低点的高度和B的高度相同，轨道半径，为竖直方向的直径；质量的滑块C（可看作质点）静止在半圆轨道的最低点。当B与轨道相碰时立即被锁定，A与C发生弹性碰撞。要使A与C能发生碰撞且C在中途不脱离半圆轨道，求的水平距离应满足的条件；
(3)在第（2）问中，若，求离开轨道后的落点与静止时的距离。
【答案】(1)6m
(2)或
(3)0.875m
【详解】（1）对A，由牛顿第二定律有 对B由牛顿第二定律有 当A、B共速时，A刚好运动到B的右端，则有 解得 故B的长度
（2）设A与C碰后C获得的速度太小为， 当C恰好能通过最高点F时有 且该过程有 联立解得 当C运动到与圆心等高处速度为0时有 解得 即或 设A与C碰前的速度大小为，对A、C碰撞过程有
，
联立以上解得或 对A、B整体，一起匀减速运动时，有
解得或
（3）把代人第(2)问的相关公式，得碰后A、C的速度分别为 由题意可知，C到达最高点F前会离开轨道做斜抛运动，如图所示
设C离开轨道的位置为P点，PO与水平方向的夹角为，从E到P由动能定理
在P位置，由牛顿第二定律及向心力表达式有 联立解得 假设C做斜抛运动能够落到长木板B上，则， 联立解得 P、E水平距离 即C刚好落到E点，则A碰后到静止的位移大小为 可知C离开轨道后的落点与A静止时的距离为0.875m。
13．（2025·山东滨州·二模）如图所示，在火星上执行救援任务中，工程师设计了一款应急轨道装置。水平轨道长度，与半径的四分之一竖直光滑圆轨道在底部相切且固定在水平地面上。一质量的物资箱从水平轨道最左端开始，在方向与水平面夹角、大小的恒力作用下，由静止开始沿着水平轨道运动，且整个运动过程中恒力始终存在。已知物资箱与水平轨道表面动摩擦因数，火星表面重力加速度，忽略空气阻力。求：
(1)物资箱到达圆轨道底端时对轨道的压力的大小；
(2)物资箱从静止开始到第一次落地过程中，距离水平轨道的最大高度。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）对物资箱进行受力分析，根据牛顿第二定律可得 竖直方向上根据受力平衡得 又 联立解得 在水平轨道的运动过程中，根据运动学公式得 解得 在圆轨道最低点，根据牛顿第二定律得 解得 根据牛顿第三定律可知，物资箱对轨道的压力大小为
（2）从圆轨道最低点到圆轨道最高点的过程中，外力做得功为 根据动能定理可得 解得 离开圆轨道后，在竖直方向上，物资箱做匀减速直线运动，根据牛顿第二定律得 解得 根据运动学公式可得 到水平轨道的最大高度为 联立解得
14．（2025·山东济宁·考前押题联考）如图，长为l=0.1m的轻绳一端固定在O点，另一端拴一小球A。木板C静止在光滑水平面上，小物块B静止在木板最左端。开始时，木板右端与墙P相距L=0.08m，A、B、C质量均为m=1kg，B、C间的动摩擦因数为。现将小球A拉到O点正上方，以的初速度水平向左抛出。当小球运动至最低点时与B发生正碰，碰后A、B不再发生作用，木板C的长度可以保证小物块在运动过程中不与墙接触。已知轻绳拉直瞬间小球沿绳方向的分速度突变为零，小物块B可看作质点，所有碰撞均为弹性碰撞，不计碰撞时间。重力加速度。
(1)通过计算判断绳被拉直时小球A的位置及A第一次运动到最低点时的速度；
(2)求从小球A与B碰撞后到BC达到共同速度过程中，木板C与墙碰撞的次数n及所用的时间t；
(3)求从小球A与B碰撞后到BC达到共同速度过程中，B相对C的位移和墙对木板C的总冲量I。
【答案】(1)
(2)，
(3)，方向水平向左
【详解】（1）设小球从最高点恰好做圆周运动，需满足 得 小球初速度 故小球抛出后做平抛运动 设绳子拉直时与水平方向夹角为θ，平抛运动时间为t，则：水平方向 竖直方向 可求得 即小球运动到绳子刚好水平时被拉直； 绳子拉直瞬间沿绳方向分速度突变为零，剩下竖直方向速度 此后开始做圆周运动到最低点，由动能定理 解得
（2）小球在最低点与物块B发生弹性碰撞，由动量守恒、机械能守恒
解得 小物块与木板发生相对滑动，木板从静止开始做匀加速运动。设木板加速度为a，经历时间后与墙第一次碰撞，碰撞时速度为，由牛顿第二定律 由运动学公式， 解得， 两者共速前，在每两次碰撞之间，木板做加速度恒定的匀减速直线运动，木板与墙碰后到返回初始位置，所用时间为。设二者达到共速v之前木板与墙碰撞了n次，设第n次碰撞木板回到初始位置后经时间二者共速。由运动学公式 即 因木板速率只能在之间，故 解得 n取正整数，故 同时解得 从小球A与小物块B碰撞后到BC达到共同速度所用时间
（3）从小球A与小物块B碰撞后到BC达到共同速度时，系统损失的机械能等于摩擦产生的热量，对系统有能量守恒 解得 此过程中墙对木板的总冲量改变了系统的总动量，设向右为正，对系统由动量定理 方向水平向左
15．如图所示，光滑水平地面上一个质量为的木板紧靠平台静置，的上表面与光滑平台相平。质量为、倾角为的光滑斜面体静止在平台上。质量为的物块静置在木板上。斜面体固定在平台上，将质量为的物块从斜面上距平台高度为处由静止释放，物块A脱离斜面体B后，与平台发生相互作用，物块垂直于平台方向的速度分量瞬间变为零，沿平台方向的速度分量不变。已知物块和均视为质点，与木板上表面的动摩擦因数均为，重力加速度，求
(1)物块在平台上运动时的速率；
(2)若物块和物块不能发生碰撞，物块到木板左端的最小距离；
(3)若斜面体不固定，从斜面上高度为处静止释放，开始时物块到木板左侧的距离为，物块与物块的碰撞为弹性碰撞，求物块与木板第一次共速时，物块与物块之间的距离。
【答案】(1)
(2)
(3)
【详解】（1）根据题意，设物块滑到斜面B底端时的速度为，由机械能守恒定律有
解得 物块在平台上运动时的速率
（2）根据题意，对A、C、D系统，由动量守恒定律和能量守恒定律有
，
解得
（3）根据题意，对A、B系统，由机械能守恒定律有 水平方向由动量守恒定律有 由几何关系有 又有 联立解得 物块A滑上木板C后，物块A的加速度为 物块D和木板C整体加速度为 则有
解得 物块A与物块D碰撞前，物块A的速度 木板C和物块D的速度 物块A和物块D发生弹性碰撞，由动量守恒定律和能量守恒定律有
，
解得， 碰撞后物块A以加速度 向右做匀加速直线运动，碰撞后物块D以加速度 向右做匀减速直线运动，木板C以加速度 向右做匀加速直线运动，物块D与木板C第一次共速有 解得 此时物块D和物块A速度分别为
，
此时物块A与物块D之间的距离为
16．（2025·山东省实验中学·一模）质量、可视为质点的小石片从距液面高处的点以初速度水平飞出后，从点与液面成射入某种液体中，然后从点与液面成射出液面做斜上抛运动，到达最高点时距离液面的高度。已知小石片从点运动到点的过程中，水对小石片的作用力在水平和竖直方向上的分量保持不变，A、B两点间的距离，重力加速度，，不计空气阻力。求：
(1)小石片从点运动到点的过程中，该液体对小石片做的功；
(2)小石片从抛出到第二次进入液面运动的时间。
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）由平抛运动规律可知，小石片在点速度大小 小石片在点速度大小 由机械能守恒定律有 从点运动到点 解得
（2）从点运动到点，时间 从点运动到点，水平方向有 从点运动到点，逆向思维法可知 根据对称性可知
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