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第十三章　三角形
第1课时
1.知道三角形具有稳定性，能举例说明其在生活中的应用.
2. 理解三角形三边关系定理，能判断三条线段能否组成三角形及求第三边取值范围.
3. 掌握等腰三角形边长分类讨论与验证.
4.学会用分类讨论、方程思想解决问题，提升归纳能力.
5.通过生活实例感受数学应用，在探究中培养严谨思维与合作意识，体会数学与现实的联系.
在下面的小木棍中选取三根，尝试围成一个三角形.
3cm 5cm 7cm 8cm
可以发现，有的三根小木棍可以围成三角形，有的却不能.这跟小木棍的长度有什么关系呢？就让我们走进今天的学习，看看三角形的三条边之间有着怎样的数学奥秘.
活动一：探究三角形三边的关系
任意画一个△ABC，从点B出发，沿三角形的边达到点C，有几条线路可以选择？
有两条路线可以选择.
线路1：直接从点B出发沿BC到达点C.
线路2：从点B出发，沿BA达到点A，再沿AC到达点C.
活动一：探究三角形三边的关系
各条线路的长有什么关系？这说明三角形的边有什么关系？
线路2要比线路1长，也就是：
BA+AC>BC.
这说明三角形两边的和大于第三边.
如何证明这个结论呢？
活动一：探究三角形三边的关系
对于任意一个△ABC，如果把其中任意两个顶点 (例如B，C)看成定点，由 “两点之间，线段最短”，可得：
AB+AC>BC.
同理，把定点看作A、B与A、C可得到：
AC+BC>AB与AB+BC>AC.
这样，我们就证明了，三角形两边的和大于第三边.
活动一：探究三角形三边的关系
①AB+AC>BC ②AB+BC>AC ③AC+BC>AB
对这三个式子进行移项，我们还可以得到：
由②③移项得：BC>AC-AB BC>AB-AC
由①②移项得：AB>BC-AC AB>AC-BC
由①③移项得：AC>BC-AB AC>AB-BC
这就是说：三角形两边的差小于第三边.
总结
三角形三边的关系：
1.两边的和大于第三边；
2.两边的差小于第三边.
如果三条线段中任意两条线段的和大于第三条线段，那么这三条线段能组成三角形；
如果三条线段中有两条线段的和小于或等于第三条线段， 那么这三条线段不能组成三角形．
1
2
活动一：探究三角形三边的关系
上面的结论表明了三角形三边之间的关系．反过来，对于三条线段，当它们满足什么条件时，这三条线段能组成三角形？
在生活中，我们会遇见很多物品都是由三角形构成，比如：
桥梁
自行车车架
为什么这些物品中大量使用三角形，而不用其他形状呢？
活动二：探究三角形的稳定性
活动二：探究三角形的稳定性
工程建筑中也经常采用三角形的结构，如图中的屋顶钢架结构等，其中的道理是什么？
当三角形的三条边长度确定后，它的形状和大小就完全确定了，即三角形的稳定性.
而在工程建筑中，三角形结构能将外力分散传递，保持自身结构的稳定，不会轻易发生形状改变，从而保障建筑的安全性和稳定性.
活动二：探究三角形的稳定性
如图，将三根木条用钉子钉成一个三角形木架，然后扭动它，它的形状会改变吗？
可以发现，三角形木架的形状不会改变，这就是说，三角形是具有稳定性的图形.
活动二：探究三角形的稳定性
三角形的稳定性有着广泛的应用，除了前面提到的桥梁和自行车，你还能举一些例子吗？
输电塔
起重机
相机三脚架
例1 已知三角形三边长分别为2，7，a，求a的取值范围.
经典例题
分析：通过“三角形的三边关系：两边的和大于第三边，两边的差小于第三边”即可求解.
解：由三角形三边的关系可得：7-2所以a的取值范围是5教材
例题
例2 用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形.
(1)如果腰长是底边长的 2 倍，那么各边的长是多少？
(2)能围成有一边的长是 4 cm 的等腰三角形吗？为什么？
解：(1)设底边长为 x cm，则腰长为 2x cm，则
x+2x+2x=18.
解得 x=3.6.
分析：(1)将底边长设为未知数，然后表示出腰长，进而通过细绳的总长列方程求解未知数.
所以，三角形三边的长分别为3.6 cm，7.2 cm，7.2 cm.
教材
例题
分析：(2)因为长为 4 cm 的边可能是腰，也可能是底边，所以需要分情况讨论．
解：(2)①如果 4 cm 长的边为底边，设腰长为 x cm，则
4+2x=18.
解得 x=7.
例2 用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形.
(1)如果腰长是底边长的 2 倍，那么各边的长是多少？
(2)能围成有一边的长是 4 cm 的等腰三角形吗？为什么？
教材
例题
解：②如果 4 cm 长的边为腰，设底边长为 y cm，则
2×4+y=18.
解得 y=10.
因为4+4<10，不符合“三角形两边的和大于第三边”，所以不能围成腰长是 4 cm 的等腰三角形.
由以上讨论可知，可以围成底边长是 4 cm 的等腰三角形.
例2 用一条长为18 cm的细绳围成一个等腰三角形.
(1)如果腰长是底边长的 2 倍，那么各边的长是多少？
(2)能围成有一边的长是 4 cm 的等腰三角形吗？为什么？
例3 若三角形三边长为a，a+1，a+2，且周长小于30，求a的最大整数值.
经典例题
分析：由周长与三角形三边关系即两边的和大于第三边可以列出方程组. 注意，我们只需要令最小的两条边相加大于最大的那条边即可满足任意两边的和大于第三边.
解：周长C=a+(a+1)+(a+2)<30；
两边的和大于第三边：a+(a+1)>a+2.
所以a的取值范围是1解：前者不能，1+1=2<4；后者能，1+4=5>4.
解：(1)不能，3+4=7<8； (2)不能，5+6=11； (3)能，5+6=11>10.
1.下列长度的三条线段能否组成三角形？为什么？
(1)3，4，8； (2)5，6，11； (3)5，6，10.
2.一根 4 dm 长的木条和两根 1 dm长的木条，能否组成一个等腰三角形？两根 4 dm 长的木条和一根 1 dm 长的木条呢？
教材
练习
解：设第三边长为x，则7-3解：若6为底边，则腰长为(20-6)÷2=7，
此时6+7=13>7能够组成三角形；
若6为腰长，则底边为20-2×6=8，此时6+6=12>8能够组成三角形.
综上所述，其他两边长为7和7或6和8.
1.等腰三角形一边长为6，周长为20，求其他两边长.
2.若三角形两边长为3和7，且第三边为偶数，求第三边长.
限时训练
3.用长度为20 cm的铁丝围成三角形，最长边最长可以为多少？(边长为整数)
解：设最长边为x，则另两边之和为20-x，根据两边的和大于第三边可知：
20-x>x.
所以x<10.
又因为x为整数，故最长边最大为9 cm.
限时训练
4.如图，D是等腰三角形ABC腰上的中点，CD将周长分为12和9两部分，求腰长和底边长.
解：设等腰三角形腰长为2x，底边长为y，由题，会出现如上图两种情况，
因为8+5>8，6+6>9，所以两种情况都符合.
所以该等腰三角形的腰长为8，底边长为5或腰长为6，底边长为9.
12
12
9
9
x
x
x
x
y
y
2x
2x
A
B
C
D
性质
关系
组成三角形的条件
两边的差小于第三边
两边的和大于第三边
任意两边之和大于第三边，
任意两边之差小于第三边.
当三边大小关系能确定时，只需满足最小两边之和大于第三边.
三角形具有稳定性
三角形的边
实践作业：制作三角形
任务：测量并记录生活中的三角形，探究三边关系.
要求：将测量的三角形物体按比例绘制在纸上，标明三边长度.分别计算并比较任意两边的和与第三边的大小关系、任意两边的差与第三边的大小关系.
示例：某篮球架的边长分别为1.5 m、2 m、2.5 m
计算两边的和与第三边的关系：1.5+2=3.5>2.5 ； 1.5+2.5=4>2 ； 2+2.5=4.5>2
计算两边的差与第三边的关系：2.5-2=0.5<1.5 ； 2.5-1.5=1<2； 2-1.5=0.5<2.5
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