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第十三章　三角形
三角形是一种基本的几何图形.从古埃及的金字塔到现代的建筑物，从巨大的高压输电塔到微小的分子结构，到处都有三角形的形象.
这与三角形的性质有关.
为什么在工程建筑、机械制造中经常采用三角形的结构呢
一个三角形有三条边、三个角. 三条边之间有什么关系 三个角之间有什么关系？
本章我们将比较系统地学习三角形，同时进一步学习推理证明的方法. 学习本章后，我们不仅可以进一步认识三角形，而且可以学习一些几何中研究问题的基本思路和方法.
在小学，我们通过测量、剪拼等方法，知道三角形两边的和大于第三边，三角形的内角和等于 180°等结论.而在几何中，要确认一个命题的正确性，还必须通过推理证明，在本章中，我们就来证明这些结论.
第十三章　三角形
第一节
1.结合具体的实例，理解三角形的概念及其边、顶点、角等基本要素，会用符号、字母表示三角形，进一步强化数学符号意识；
2.能按边的关系对三角形进行分类，培养学生的分类讨论思想；
3.在具体的图形中不重复且不遗漏地识别所有三角形；
4.通过观察、比较、推断获得解决实际问题的方法，使学生体会到数学来源于生活，又在实践中得到解决，培养学生学习数学的兴趣.
找一找下图中的三角形.
你还能在生活中找到哪些三角形的物体 举例说一说.
活动一：探究三角形的概念及其基本要素
请你自己动手画一个三角形，说一说你是怎么画的，并对三角形下个定义.
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫作三角形.
①不在同一条直线上；
②三条线段；
③首尾顺次相接.
要点
活动一：探究三角形的概念及其基本要素
构成三角形的要素有哪些？
顶点
顶点
角
角
角
边：组成三角形的线段叫作三角形的边.
顶点：相邻两边的公共端点叫作三角形的顶点.
角：相邻两边所组成的角叫作三角形的内角，简称三角性的角.
顶点
01
02
03
活动一：探究三角形的概念及其基本要素
如何用符号表示三角形及各要素？
A
B
C
ABC
△
记法：顶点是 A，B，C 的三角形，记作“△ABC ”，读作“三角形 ABC ”
此外 △ABC 还可记作：△BCA，△CAB，△ACB 等.
三角形的角：用∠A、∠B、∠C表示.
三角形的边：分别用 AB，BC，AC 表示.
通常情况下按逆时针的顺序写.
活动一：探究三角形的概念及其基本要素
如何用符号表示三角形？
A
B
C
通常：顶点 A 所对的边 BC用a 表示，顶点 B 所对的边 AC 用b 表示，顶点 C 所对的边 AB 用 c 表示.
边c
边b
边a
三角形的对边与对角：在△ABC中，AB边所对的角是：∠C，∠A所对的边是：BC.
再说几个对边与对角的关系试试.
活动二：探究如何数三角形的个数
如图所示，图中有几个三角形？请分别表示出来.
①图中较小的三角形有：△BEF，△CDF，△BFC.
②两个图形组合为一个三角形的有：△BEC，△BDC，△ABD，△AEC.
③还有最大的一个三角形是：△ABC .
所以，图中有8个三角形.
分析：按照一定的顺序数出三角形的个数，要做到不重不漏，可以借鉴数线段的方法.
活动二：探究如何数三角形的个数
按组成三角形的图形个数来数(如单个三角形，由两个图形组成的三角形，… ，最后求和)；
从图中的某一条线段开始，按一定的顺序找出能组成三角形的另两条边；
先固定一个顶点，再变换另外两个顶点，找出不共线的三点共有多少组.
注意
无论采用哪种方法，数三角形的个数时要做到不重不漏.
01
02
03
数三角形个数的方法
活动三：探究三角形的分类
按照三角形内角的大小，三角形可以分为哪几类
直角三角形
钝角三角形
锐角三角形
如果从三角形三边相等的关系来看，你能找出上面三角形各自的特点吗？
有两条边相等
三边均不相等
三条边均相等
活动三：探究三角形的分类
等腰三角形
等边三角形
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
其中相等的两边叫作腰，另一边叫作底边，两腰的夹角叫作顶角，腰和底边的夹角叫作底角.
腰
腰
底边
底角
顶角
三边都相等的三角形叫做等边三角形.
底边＝腰
你能给下面的三角形起个名字吗？
等边三角形是特殊的等腰三角形.
总结
活动三：探究三角形的分类
如何将三角形进行分类呢
三边都不相等的三角形
等腰三角形
等边
三角形
等腰
三角形
按边分
三边都不相等的三角形
等腰三角形
等边三角形
底边和腰不相等的等腰三角形
三角形
按角分
锐角三角形
钝角三角形
直角三角形
钝角三角形
直角三角形
锐角三角形
三角形
例1 如图，在△ABC 中，点 D 在边 BC 上，BD=AD=DC=AC .
(1)写出以点 C 为顶点的三角形；
(2)写出以 AB 为边的三角形；
(3)找出图中的等腰三角形和等边三角形.
分析：根据三角形顶点的定义，只要三角形中有一个顶点是C 即可.
解：(1)以点 C 为顶点的三角形是△ABC，△ADC.
分析：依据三角形边的定义，只要三角形中有一条边是 AB 就行.
解：(2)以 AB 为边的三角形是△ABC，△ABD .
教材
例题
例1 如图，在△ABC 中，点 D 在边 BC 上，BD=AD=DC=AC .
(1)写出以点 C 为顶点的三角形；
(2)写出以 AB 为边的三角形；
(3)找出图中的等腰三角形和等边三角形.
分析：有两边相等的三角形叫做等腰三角形；三条边都相等的三角形叫做等边三角形.
解：(3)等腰三角形是△ABD，△ADC；等边三角形是△ADC .
教材
例题
例2 (1)说出图中的各个三角形，并表示出来.
(2)图中，以 BC 为边的三角形有哪些？
A
D
B
E
C
解：(1)△ABE
△BCE
△CDE
△ABC
△BCD
分析：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的封闭图形叫做三角形. 按照三角形的定义查找即可，要做到不重不漏.
经典例题
例2 (1)说出图中的各个三角形，并表示出来.
(2)图中，以 BC 为边的三角形有哪些？
A
D
B
E
C
解：(2)
分析：只要三角形中包含 BC 这条边，就符合要求.
△BCE
△ABC
△BCD
经典例题
例3 如图，根据图形填空.
(1)△ADE的三个内角是 ，其中 ADE的对边是 ；
(2)△ABE的三边分别是 ，三个顶点分别是 ，其中边BE的所对的角是 ， B是由 和 两边组成的内角.
(3) DAE是△ADC的内角吗 .
分析：根据三角形的角，边定义进行求解即可.
ADE 、 DAE 、 AED
AE
AB、 BE、AE
A 、B、 E
BAE
AB
BE
不是
经典例题
1.如图，在△ABC中，AB=BC=CA，点O在△ABC内，OA=OB=OC，找出图中的等腰三角形和等边三角形.
分析：有两边相等的三角形叫做等腰三角形；
三条边都相等的三角形叫做等边三角形.根据定义进行解答即可.
教材
练习
解：等腰三角形：△ABC、△OAB、△OBC、△OCA；
等边三角形：△ABC.
2.如图，在△ABC 中， BAC 是直角，AD BC，垂足为 D，点 E 在线段 BD 上，找出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形.
分析：根据锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的定义进行解答即可.
教材
练习
解：锐角三角形：△AEC；
直角三角形：△ABC、△ABD、△ADE、△ADC；
钝角三角形：△ABE.
限时训练
2.用下面的图表示三角形的分类，其中不正确的是( )
D
1. 如图，图中直角三角形共有(　　)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
C
限时训练
3.判断：
(1)不等边三角形就是有两边不相等的三角形.( )
(2)等边三角形是特殊的等腰三角形.( )
(3)等腰三角形的腰和底一定不相等.( )
(4)等边三角形是锐角三角形.( )
(5)等腰直角三角形不是等腰三角形.( )
包括三条边都不相等的三角形和等腰三角形.
例：等边三角形
等腰直角三角形的两直角边相等.
限时训练
4. 如图，回答下列问题：
(1)写出以 B 为顶点的三角形；
(2)写出 A 为内角的三角形；
(3)写出以 BC 为边的三角形.
解：(1)以 B 为顶点的三角形有：△ABD，△ABC，△CBD，△BEF，△BCF，△BCE.
(2)以 A 为内角的三角形有：△ABD，△AEC，△ABC.
(3)以 BC 为边的三角形有：△ABC，△BCE，△BCD，△BCF.
概念
分类
由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形.
有两边相等的三角形叫作等腰三角形.
三边都相等的三角形叫作等边三角形.
三角形
按角分
按边分
实践作业：生活中的三角形
任务：观察并记录生活中的三角形，并对三角形进行分类.
要求：至少拍摄10张生活中不同形状的三角形照片，然后绘制出它们的图形，对它们进行分类，最后绘制出分类树状图.
示例：街边的交通指示三角牌，按角分是锐角三角形，按边分是等边三角形.

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