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第十三章　三角形
第1课时
1.理解三角形内角和定理的内容，能应用平行线的性质证明这一定理，应用它解决简单的实际问题；
2.通过探究证明三角形内角和定理的活动，了解三角形内角和定理的证明过程，提高推理能力；
3.在操作活动中，培养动手操作能力和运用新知解决问题的能力，渗透转化的数学思想，发展空间观念.
17 世纪巴黎街头，一位少年在地板上画满三角形.这是 12 岁的帕斯卡，他被父亲禁止学数学，却偷偷用粉笔探索奥秘.
“如果长方形内角和是 360°，那三角形……”
他作高分割任意三角形，数字如魔法般重组为 180°.
今天，我们将沿着他的思路，像小侦探一样揭开三角形内角和的推理密码.
活动一：探究三角形的内角和
在小学四年级我们已经知道任意一个三角形的内角和是180°，还记得你是怎样得到这个结论的吗？接下来请大家拿出学习袋中的三角形纸片进行探究.
度量
60°
48°
72°
60°＋48°＋72°＝180°
活动一：探究三角形的内角和
剪拼
三角形的三个内角拼在一起恰好构成一个平角.
在小学四年级我们已经知道任意一个三角形的内角和是180°，还记得你是怎样得到这个结论的吗？接下来请大家拿出学习袋中的三角形纸片进行探究.
活动一：探究三角形的内角和
以上两种方法获得的结论可靠吗？
　　由于测量常常有误差，这样验证三角形的内角和等于180°,不能完全令人信服；又由于形状不同的三角形有无数个，我们不可能用上述方法一一验证所有三角形的内角和等于180°．
　　因此，需要通过推理的方法去证明：任意一个三角形的内角和等于180°．
活动一：探究三角形的内角和
直线 l 与△ABC 的边 BC 有什么关系？
在图(1)中将△ABC的∠B和∠C剪下，分别拼在∠A的左右，三个角合起来形成一个平角，出现一条过点A的直线l，移动后的∠B和∠C各有一条边在直线l上．
直线 l 与△ABC的边BC平行.
活动一：探究三角形的内角和
你能由这个图想出证明“三角形的内角和等于180°的方法吗？
过△ABC的顶点A作直线 l 平行于△ABC的边BC．由平行线的性质与平角的定义就能证明“三角形的内角和等于180°”这个结论．
你能写出已知和求证，并进行证明吗？
活动一：探究三角形的内角和
已知：△ABC
求证：∠A＋∠B＋∠C＝180°．
证明：如图，过点A作直线 l，使l∥BC．
∵ l∥BC，
∴∠2＝∠4（两直线平行，内错角相等）．
同理 ∠3＝∠5．
∵ ∠1，∠4，∠5组成平角，
∴ ∠1＋∠4＋∠5＝180°（平角定义）．
∴ ∠1＋∠2＋∠3＝180°（等量代换）．
三角形内角和定理：
三角形三个内角的和等于180°
总结
活动一：探究三角形的内角和
你能根据图（2）给出这个定理的其他证法吗
证明：如图，过点C作直线l，使l∥AB，延长BC．
∵ l∥AB
∴∠1＝∠4， ∠2＝∠5
∵ ∠3，∠4，∠5组成平角，
∴ ∠3＋∠4＋∠5＝180°.
∴ ∠1＋∠2＋∠3＝180°.
5
A
B
C
1
2
3
4
l
三角形三个内角的和等于180°
活动一：探究三角形的内角和
你还有其他方法证明三角形内角和等于180°吗？
证明：过D作DE∥AC交AB于点E，作DF∥AB交AC于点F.
∴ ∠C=∠EDB，∠B=∠FDC.
(两直线平行，同位角相等)
∠A+∠AED=180°，
∠AED+∠EDF=180°，
(两直线平行，同旁内角相补)
∴ ∠A=∠EDF.
C
B
A
F
E
D
∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°.
活动一：探究三角形的内角和
多种方法证明三角形内角和是180°的核心是什么？
为了证明的需要，在原来的图上添加的线叫做辅助线，在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
借助平行线的“移角”的功能，将三个角转化成一个平角．
例1 如图，在△ABC 中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC 的角平分线. 求∠ADB的度数.
教材
例题
教材
例题
例1 如图，在△ABC 中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC 的角平分线.求∠ADB的度数.
例2 如图，CD是∠ACB的平分线，DE∥BC，∠A=50°，∠B=70°，求∠EDC，∠BDC的度数.
经典例题
分析：CD是∠ACB的平分线，则∠3=∠4.
DE∥BC，根据平行线的性质，∠1=∠3，可求出∠1即∠EDC的度数，再根据三角形的内角和是180°，可求出∠BDC的度数.
A
C
B
E
D
2
1
3
4
经典例题
解：∵∠A=50°，∠B=70°，
∴∠ACB=180°-∠A-∠B=60°.
∵ CD是∠ACB的平分线，
∴∠3=∠4=30°．
∵DE∥BC，
∴∠1=∠3=30°，即∠EDC=30°．
在△BDC中，∠2=180°-∠B-∠3=80°．
即∠BDC=80°．
A
C
B
E
D
2
1
3
4
例3 如图是A，B，C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东50°方向，B岛在A岛的北偏东80°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向.从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是多少度？从C岛看A，B两岛的视角∠ACB呢？
教材
例题
分析：A，B，C三岛的连线构成△ABC，所求的∠ACB是△ABC的一个内角.如果能求出∠CAB，∠ABC，就能求出∠ACB.
教材
例题
解：∠CAB＝∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°.
由AD//BE，得∠BAD+∠ABE=180°
所以∠ABE=180°-∠BAD=180°-80°=100°，
∠ABC＝∠ABE-∠CBE=100°-40°=60°.
在△ABC中，∠ACB =180°-∠ABC-∠CAB
=180°-60°-30°=90°.
答：从B岛看A，C两岛的视角∠ABC是60°，
从C岛看A，B两岛的视角∠ACB是90°.
你还能给出其他解法吗？
教材
例题
方法二：可根据平行线的性质解题.过点C作CF平行AD交AB于F，则CF∥BE，先求出∠ACB的度数，再根据三角形内角和为180°，可求出∠ABC的度数.
解：过点C作CF平行AD交AB于F，则CF∥BE.
∴∠ACF=∠CAD=50°，∠BCF=∠CBE=40°.
∴∠ACB=∠ACF＋∠BCF=50°＋40°=90°.
∵∠CAB=∠BAD-∠CAD=80°-50°=30°.
∴∠ABC=180°-∠CAB-∠ACB
=180°-30°-90°=60°
F
经典例题
例4 如图，一艘渔船在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向，另一艘货轮在C处测得灯塔A在北偏东40°的方向，那么在灯塔A处观看B和C处时的视角∠BAC是多少度
分析：A，B，C的连线构成△ABC，所求的∠BAC是△ABC的一个内角.可以根据直角和平角的定义，求出∠ABC，∠BCA，就能求出∠BAC.
经典例题
解：∵在B处测得灯塔A在北偏东60°的方向， ∴∠ABD=60°.
又∵∠DBE=90°,
∴∠ABC=90°-∠ABD=90°-60°=30°.
∵在C处测得灯塔A在北偏东40°的方向，
∴∠ACE=90°-40°=50°.
∴∠BCA=180°-∠ACE=130°.
∴∠BAC= 180°-∠ABC-∠BCA=180°-30°-130°=20°.
答：在灯塔A处观看B和C处时的视角∠BAC是20°.
教材
练习
1.如图，从A处观测C处的仰角∠CAD=30°，从B处观测C处的仰角∠CBD=45°.从C处观测A，B两处的视角∠ACB是多少度？
解：∵∠CBD+∠ABC=180°，∠CAD+∠ACB+∠ABC=180°
∴ ∠CBD=∠CAD+∠ACB，
∴∠ACB=∠CBD-∠CAD=45°-30°=15°.
分析：由平角的定义和三角形△ABC的内角和等于180°进行等量代换，可得∠CBD=∠CAD+∠ACB，就可求得∠ACB ．
C
B
D
A
2.如图，在△ABC中，∠A=40°，求∠B+∠C+∠ADE+∠AED的度数.
教材
练习
分析：由三角形内角和是180°分别求出在△ABC中∠B+∠C的值和在
△ADE中∠ADE+∠AED的值，就能求得∠B+∠C+∠ADE+∠AED.
解：根据三角形内角和定理：三角形内角和等于180°.
∴ △ABC和 △ADE内角和是180°.
∵∠A=40°,
∴ ∠B+∠C= ∠ADE+∠AED=180°-∠A
=180°-40°=140°.
∴ ∠B+∠C+∠ADE+∠AED=140°+140°=280°.
A
E
D
B
C
1.计算出图中∠1的度数.
解：(1)∠1=180°-80°-50°=50°
(2)∠1=180°-105°-30°=45°
(3)∠1=180°-90°-22°=68°
限时训练
2.如图，在△ABC中，CD平分∠ACB交AB于点D，过点D作DE// BC交AC于点E.若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE的大小为( )
A.44° B.40° C.39° D.38°
C
限时训练
3.如图，在△ABC中，∠B=42°，∠C=78°，AD平分∠BAC.
求∠ADC的度数.
解：∵∠B=42°，∠C=78°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=60°
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD=∠BAC=30°，
∴∠ADC=180°-∠C-∠CAD=72°.
分析：AD平分∠BAC，可以先求出∠CAD的度数，根据三角形内角和180°，可以算出∠ADC的度数.
限时训练
4.如图，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，若∠BAC=60°，求∠BPC的度数.
C
B
A
P
分析：由角平分线的定义求得∠PBC+∠PCB，就能求得∠BPC.
限时训练
内角和定理
证明方法
三角形的三个内角和等于180°.
三角形的内角
转化思想：将三个角转化成一个平角或者同旁内角互补等.
准备：
若干张不同类型（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）的三角形纸片、剪刀、量角器、胶水、A4纸.
要求:
1.使用量角器分别测量三角形的三个内角，记录下每个角的度数，然后将三个角的度数相加，从数值上验证三角形内角和定理；
2.把三角形的三个角分别剪下来，然后将它们的顶点拼在一起，利用角的拼接转化，展示三角形内角和与平角的关系；
3.通过折叠改变角的位置，实现角的组合，体现三角形内角和为180°.
实践作业：验证三角形的内角和
谢谢

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