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第十三章　三角形
第3课时
1.在操作活动中，探索并了解三角形的外角的两条性质，初步学会数学说理.
2.通过小组学习等活动，得出三角形的外角概念和三角形的外角性质.学会运用简单的说理来计算三角形相关的角.
3.通过观察和动手操作，体会探索过程，学会推理的数学思想方法，培养主动探索、勇于发现，敢于实践及合作交流的习惯.
1.三角形内角和定理是 .
三角形的内角和等于180°
2.在△ABC中，∠A=50°，∠B=23°，则∠C= .
3.在△ABC中，∠A=110°，∠B=35°，则∠C= .
107°
35°
4.我们知道，三角形有 个内角.
数一数，如图中现在有个 角.
分别是： ， ， ，
.
C
B
A
D
3
4
∠A
∠B
∠ACD
∠ACB
∠ACD与△ABC有什么样的关系呢？
活动一：探究三角形外角的定义
如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD.像这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角.
观察右图，想一想三角形的外角有怎样的特征？
外角的顶点在三角形的一个顶点上；
外角的一条边是三角形的一条边；
外角的另一条边是三角形的某条边的延长线.
1
2
3
活动一：探究三角形外角的定义
画出△ABC的所有外角，回答下面的问题.
每一个三角形都有___个外角.
每一个顶点相对应的外角都有___个.
这6个外角中有____对外角相等.
6
2
3
研究有关外角的问题时，通常每个顶点处取一个外角.
活动二：探究三角形外角的性质
如图，△ABC的外角∠ACD与其相邻的内角∠ACB有什么关系？
不相邻的内角
三角形的外角
相邻的内角
因为∠ACD＋∠ACB=180°，
所以∠ACD与∠ACB互补．
三角形的外角与相邻的内角互补，那么三角形的外角与不相邻的内角又有什么关系呢？你能推测出来吗？
活动二：探究三角形外角的性质
证明：能，∠ACD＝∠A＋∠B. 理由如下：
∵三角形内角和是180，
∴∠A＋∠B＋∠ACB=180°.
∵∠ACB＋∠ACD=180°，(平角定义)
∴∠ACD＝∠A＋∠B＝70°＋60°＝130°.(等量代换)
如图，在△ABC中，∠A=70°，∠B=60°，∠ACD是△ABC的一个外角.能由∠A，∠B求出∠ACD吗？猜测∠ACD与∠A，∠B有什么关系？
任意一个三角形的一个外角与它不相邻的两个内角是否都有这种关系？
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
猜想
如图，∠ADC是△ADB的一个外角，猜测它与∠B，∠BAD之间的关系.
证明：∠ADC＝∠BAD＋∠B. 理由如下：
∵三角形内角和是180，
∴∠BAD＋∠B＋∠ADB=180°.
∵∠ADB＋∠ADC=180°，（平角定义)
∴∠ADC＝∠BAD＋∠B.（等量代换）
A
D
C
B
对任意三角形：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
活动二：探究三角形外角的性质
活动二：探究三角形外角的性质
三角形外角的性质:
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.
推论是由定理直接推出的结论．和定理一样，推论可以作为进一步推理的依据.
01
02
由三角形内角和得出的推论
例1 如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三个外角，它们的和是多少？
分析：根据三角形外角的性质，可知∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2.
因为三角形内角和是180°所以∠1+∠2+∠3=180°，由此可求出∠BAE，∠CBF，∠ACD的和.
教材
例题
解：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得
∠BAE=∠2+∠3，
∠CBF=∠1+∠3，
∠ACD=∠1+∠2.
所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=2（∠1+∠2+∠3）.
由∠1+∠2+∠3=180°，得∠BAE+∠CBF+∠ACD=2×180°=360°.
教材
例题
你还能给出其他解法吗？
分析：根据三角形的外角与相邻的内角互补解题即可.
教材
例题
解：由三角形的一个外角与其相邻的内角互补，得
∠BAE+∠1=180°，
∠CBF+∠2=180°，
∠ACD+∠3=180°.
所以∠BAE+∠CBF+∠ACD+∠1+∠2+∠3=540°.
由∠1+∠2+∠3=180°，
得∠BAE+∠CBF+∠ACD=540°-180°=360°.
在三角形的每个顶点各取一个外角，这三个外角的和叫作三角形的外角和.
三角形的外角和为360°.
总结
经典例题
例2 如图，D是△ABC的BC边上一点，∠B=∠BAD，∠ADC=80°，∠BAC=70°.
求：(1)∠B的度数；(2)∠C的度数.
分析：(1)根据∠B=∠BAD和三角形外角的性质，求出∠B的度数；(2)根据三角形内角和定理，即可求出∠C的度数.
A
D
C
B
经典例题
例2 如图，D是△ABC的BC边上一点，∠B=∠BAD，∠ADC=80°，∠BAC=70°.
求：(1)∠B的度数；(2)∠C的度数.
解：(1)∵∠ADC是△ABD的一个外角，
∠B=∠BAD，∠ADC=80°
∴∠ADC=∠B＋∠BAD＝80°，
∴∠B=40°.
(2)∵∠BAC＋∠B＋∠C=180°，∠BAC=70°，
∴∠C=180°-∠BAC-∠B=180°-70°-40°=70°.
A
D
C
B
例3 如图，∠A=42°，∠ABD=28°，∠ACE=18°，求∠BFC的度数.
经典例题
分析：因为∠BEC是△AEC的一个外角，∠BFC是△BEF的一个外角，先求出∠BEC的度数，再求出∠BFC的度数.
例3 如图，∠A=42°，∠ABD=28°，∠ACE=18°，求∠BFC的度数.
经典例题
解：∵∠BEC是△AEC的一个外角， ∠A=42°，∠ACE=18°
∴∠BEC=∠A+∠ACE=60°
∵ ∠BFC是△BEF的一个外角，
∠BEC=60°，∠ABD=28°
∴ ∠BFC=∠BEC+∠ABD=88°
教材
练习
1.说出下列各图形中∠1和∠2的度数.
解：(1)∠2=80°+60°=140°，∠1=180°-140°=40°.
(2)∠2=40°+30°=70°，∠1=180°-70°=110°.
(3)∠2=180°-40°=140°，∠1=140°-90°=50°.
1.说出下列各图形中∠1和∠2的度数.
教材
练习
(5)∠1=60°+20°=80°，∠2=180°-60°-80°=40°.
(6)因为对顶角相等，所以∠1=180°-30°-90°=60°，
∠2=180°-60°-90°=30°.
1.如图，∠ BEC是哪个三角形的外角？∠AEC是哪个三角形的外角？∠EFD是哪个三角形的外角？
解：∠BEC是△AEC的外角;
∠AEC是△BEC的外角;
∠EFD是△BEF和△DCF的外角.
限时训练
2.如图，∠1，∠2，∠3的大小关系为　　　　　　　　.
解析：∵∠2是外角，∠1是内角，
　　　∴∠1＜∠2.
　　　∵∠3是外角，∠2是内角，
　　　∴∠2＜∠3，
　　　∴∠1＜∠2＜∠3.
限时训练
∠1＜∠2＜∠3
3.如图，AB∥CD，∠A＝37°，∠C＝63°，那么∠F等于（　）.
A.26°　　B.63°　　C.37°　　D.60°
分析：∵AB∥CD，∠C＝63°,
　　　∴∠FEB=∠C=63°.
　　　∵∠FEB是△AEF的一个外角，∠A＝37°,
　　　∴∠A+∠F=∠FEB,
　　　∴∠F＝63°－37°＝26°
限时训练
A
4.判断下列说法是否正确
(1)三角形的一个外角等于两个内角的和. （ ）
(2)三角形的一个外角大于任何不相邻的一个内角. （ ）
(3)三角形的外角和是指三角形所有外角的和. （ ）
限时训练
分析：(1)三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
(2)三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.
(3)在三角形的每个顶点各取一个外角，这三个外角的和 叫作三角形的外角和.
5.如图，∠B=45°，∠BAE=36°，∠BCE＝20°，求∠AEC的度数.
解：如图，∠ADC是△CBD的一个外角，
　　∵∠B=45°，∠BCE＝20°，
　　∴∠ADC＝∠B＋∠BCE＝65°.
　　∵∠AEC是△ADE的一个外角，∠BAE=36°.
　　∴∠AEC=∠BAE+∠ADC=65°+36°=101°.
分析：根据三角形外角的性质解题.
限时训练
定义
性质
三角形的外角
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角.
三角形外角和
三角形的外角和为360°.
实践作业：观察生活中的三角形外角
任务：用手机或相机拍摄3-5张生活中包含三角形的物体照片（如自行车车架、晾衣架、屋顶、标志牌等）.
要求：在照片中标注出至少一个三角形的外角，并说明外角与内角的关系，提交照片+标注（可用绘图软件或文字说明）.
谢谢

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