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第十三章　三角形
第2课时
1.通过三角形内角和定理推断出直角三角形的两个锐角互余.
2.发现直角三角形的性质和判定之间的互逆关系，掌握有两个角互余的三角形是直角三角形.
3.会运用直角三角形的两个锐角互余进行计算.
4.通过观察、猜想、验证、推理等活动，经历探索直角三角形角性质和判定的过程，体会数形结合思想.
应县木塔（全称 “佛宫寺释迦塔”）是中国现存最早、最高的纯木结构楼阁式塔.塔高 67 米，经历54 次地震，却能屹立 900 多年，建筑“不倒之谜”就藏在成直角三角形的斗拱结里.
今天，我们就从这座 “建筑奇迹” 中探寻直角三角形的性质与判定，解码古人的数学智慧！
活动一：探究直角三角形的性质
这是我们常用的一副直角三角尺，量一量自己手上的这两把三角尺，其两锐角的度数之和分别是多少？
30°+60°=90°
45°+45°=90°
对任意直角三角形这个结论还成立吗
活动一：探究直角三角形的性质
如图，在直角三角形ABC中， ∠C=90°，两锐角的和等于多少呢？
A
B
C
由此，你可以得到直角三角形有什么性质呢？
在直角三角形ABC中，因为 ∠C=90°，
由三角形内角和定理，得
∠A +∠B+∠C=180°，
即 ∠A +∠B+90°=180°，
所以 ∠A +∠B=90°
活动一：探究直角三角形的性质
A
B
C
几何语言：
在△ABC 中，如果　∠C =90°，那么　∠A +∠B =90°．　
直角三角形的表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC 可以写成 Rt△ABC ．
直角三角形的两个锐角互余．
直角三角形的性质：
注意
Rt△后必须紧跟表示直角三角形的三个顶点的大写字母，不能单独使用.
活动一：探究直角三角形的性质
如图①，∠B=∠C=90°，AD 交 BC 于点 O，∠A 与 ∠D 有什么关系
B
A
O
C
D
解法一：(利用平行线的判定和性质)
∵∠B=∠C=90°，∴AB // CD.
∴∠A=∠D
解法二：(利用直角三角形和对顶角的性质)
∵∠B=∠C=90°
∴∠A+∠AOB=90°，∠D+∠COD=90°.
∵∠AOB=∠COD，∴∠A=∠D.
图①
活动一：探究直角三角形的性质
如图②，∠B=∠D=90°，AD 交BC于点O，∠A与∠C有什么关系 请说明理由.
解：∠A=∠C. 理由如下：
∵∠B=∠D=90°，
∴∠A+∠AOB=90°，∠C+∠COD=90°.
∵∠AOB=∠COD，
∴∠A=∠C.
图②
活动一：探究直角三角形的性质
图②
观察图①和图②，你发现了什么规律？
B
A
O
C
D
图①
模型思想：“8字模型”
∠A+∠B=∠C+∠D.
∠A=∠D.
活动二：探究直角三角形的判定
有两个角互余的三角形是直角三角形吗 试说明理由.
如图，在△ABC中， ∠A +∠B=90° ， 那么△ABC是直角三角形吗？
A
B
C
在△ABC中，
因为 ∠A +∠B +∠C=180°，
又 ∠A +∠B=90°，
所以∠C=90°.
即△ABC是直角三角形.
活动二：探究直角三角形的判定
几何语言：在△ABC 中，
∵　∠A +∠B =90°，
∴　△ABC 是直角三角形．
注意
在直角三角形中，若已知一个锐角或者两个锐角之间的关系，可以直接运用两个锐角互余求解，不需要再利用三角形的内角和定理求解.
有两个角互余的三角形是直角三角形．
直角三角形的判定：
A
B
C
活动二：探究直角三角形的判定
若∠ACD=∠B，∠ACB=90°，则CD是△ACB 的高吗 为什么
C
A
B
D
在△ABC中，
因为 ∠ACB=90°，所以∠A +∠B=90°，
又因为∠ACD=∠B，
所以∠A +∠ACD=90°，
所以∠ADC =90° ，
所以CD是△ACB 的高.
两个角互余的三角形是直角三角形.
活动二：探究直角三角形的判定
若∠ACD=∠B，CD AB，△ACB 为直角三角形吗 为什么
C
A
B
D
在△ACD中，
因为 CD AB，所以∠A +∠ACD=90°，
又因为∠ACD=∠B，
所以∠A +∠B=90°，
所以△ACB 为直角三角形.
两个角互余的三角形是直角三角形.
例1 如图，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于点 E. 比较∠CAE与∠DBE 的大小.
分析：根据对顶角相等可得∠AEC= ∠BED，再根据直角三角形两锐角互余求解即可.
教材
例题
解：在Rt△ACE中，∠CAE=90 °– ∠AEC.
在Rt△BDE中， ∠DBE=90 °– ∠BED.
∵ ∠AEC= ∠BED，
∴ ∠CAE= ∠DBE.
例2 如图，在△ABC中，∠A=90°，D，E分别是AB，AC上的点，已知∠ADE+∠C=90°.
(1)试说明DE // BC.
(2)若EF平分∠DEC，∠B=56°，求∠DEF的度数.
经典例题
分析：(1)根据直角三角形性质得∠B+∠C=90°，再根据∠ADE+∠C=90°得∠B=∠ADE，然后根据同位角相等两直线平行即可得出结论;
(1)证明：在△ABC中，∠A=90°，
∴∠B+∠C=90°，
∵∠ADE+∠C=90°
∴∠B=∠ADE.
∴DE // BC.
例2 如图，在△ABC中，∠A=90°，D，E分别是AB，AC上的点，已知∠ADE+∠C=90°.
(2)若EF平分∠DEC，∠B=56°，求∠DEF的度数.
经典例题
分析：(2)先求出∠C=34°，再根据(1)的结论求出
∠DEC的度数，然后根据角平分线的定义即可得出∠DEF的度数.
(2)解：∵∠B=56°，
∠B+∠C=90°，
∴∠C=90°-∠B=34°.
由(1)可知：DE // BC，
∴∠DEC+∠C=180°.
教材
练习
1.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD AB，垂足为D，∠ACD 与∠B 有什么关系 为什么
C
A
B
D
解：在△ABC中，
因为 ∠ACB=90°所以∠A +∠B=90°，
在△ACD中，
因为CD AB，所以 ∠ADC=90°，
所以∠A +∠ACD=90°，
所以∠ACD =∠B .
同角的余角相等.
教材
练习
A
C
B
D
E
(
(
1
2
解：在Rt△ABC中，
∠2+ ∠A=90 °.
∵ ∠1= ∠2，
∴∠1 + ∠A=90 °.
∴△ADE是直角三角形.
2.如图，在△ABC中，∠C=90 °，点D，E分别在边AB，AC上， 且∠1= ∠2，△ADE是直角三角形吗？为什么？
限时训练
1. 具备下列条件的△ABC中，不是直角三角形的是( )
A．∠A+∠B=∠C
B．∠A–∠B=∠C
C．∠A：∠B：∠C=1：2：3
D．∠A=∠B=3∠C
D
分析：利用三角形内角和定理和已知条件，计算出最大的角再判断△ABC的形状.
D项中，∠A=∠B=3∠C，即7∠C=180°，三个角没有90°的角，故不是直角三角形.
限时训练
3.如图，在△ABC中，∠B=80°，∠C=40°，AE平分∠BAC，AD是BC边上高，则∠DAE的度数是 .
20°
2. 如图，已知直线l1//l2，AB CD于点D，∠2=40°，则∠1的度数是( )
A．40° B．45° C．50° D．60°
C
分析：根据∠B=80°，∠C=40°，结合三角形内角和定理得∠BAC=60°.结合角的平分线和高线的定义，得到∠CAE=30°，∠ADC=90°，∠CAD=50°.根据∠DAE=∠CAD-∠CAE解答即可.
限时训练
A
B
C
D
E
M
证明：∵AD是BC边上的高，
∴∠DMC+∠DCM=90°.
∵∠DMC=∠AME，∠DCM=∠MAE.
∴∠AME+∠MAE=90°.
∴∠AEM=90°.
∴△ACE是直角三角形.
4.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，点E是AB边上的一点，CE交AD于点M，且∠DCM=∠MAE. 求证：△ACE是直角三角形.
限时训练
5. 如图，在△ABC中， ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分 ABC，分别交CD，AC于点F，E.
(1)若 CEF=62°，求 A的度数；
(2)证明： CFE= CEF.
(1)解：∵ ACB=90°， CEF=62°，
∴ CBE=28°
∵BE平分 ABC，
∴ ABC=2×28°=56°.
∴ A=90°- ABC=90°-56°=34°.
限时训练
5. 如图，在△ABC中， ACB=90°，CD为AB边上的高，BE平分 ABC，分别交CD，AC于点F，E.
(2)证明： CFE= CEF.
(2)证明：如右图：
∵ ACB=90°
∴ 1+ 3=90°
∵CD AB
∴ 2+ 4=90°
又∵BE平分 ABC，
∴ 1= 2，
∴ 3= 4.
∵ 4= 5,
∴ 3= 5,
∴ CFE= CEF.
性质
判定
直角三角形的两个锐角互余.
直角三角形的性质和判定
有两个角互余的三角形是直角三角形.
任务：一部分学生收集生活中至少 5 个直角三角形的物品，使用量角器测量除直角外的两个锐角的度数，记录测量结果，并计算它们的度数之和，验证“直角三角形的两个锐角互余”这一性质；其他学生制作一些三角形纸片，其中部分三角形两个角的度数之和为 90°（但不标注角度数值），随机抽取一张三角形纸片，用量角器测量三个角的度数.记录每次测量和判断的结果，分析当两个角互余时，第三个角的度数情况.
实践作业：生活中的直角三角形
谢谢

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