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第十三章　三角形
第2课时
1.了解三角形中线、角平分线和高的概念并掌握其性质，会用工具准确画出三角形中线、角平分线和高.
2. 区分不同类型三角形（锐角三角形、直角三角形、钝角三角形）的中线、角平分线和高的特点.
3. 钝角三角形高的作法及理解三角形三条高所在直线交于一点这一性质.
4.运用三角形中线、角平分线和高的性质解决实际问题，体会数学在实际生活中的作用，激发学生爱数学的热情.
金字塔、篮球架和自行车中含有三角形元素，在这些三角形里，是否存在一些特殊的线段，它们对三角形的特性和功能起着重要的作用呢？
活动一：探究三角形的中线
连接△ABC的顶点A和它所对的边BC的中点D，所得线段AD叫作
△ABC的边BC上的中线.
如图在△ABC中，AD⊥BC，E是BC边上一点，若BE= CE，△ABE的面积和△ACE的面积有什么关系 试说明.
E
三角形的中线能将三角形的面积平分.
活动一：探究三角形的中线
活动一：探究三角形的中线
如图所示，分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条中线，观察它们中线的交点有什么规律
O
O
O
规律：一个三角形有三条中线，这三条中线相交于一点.
三角形三条中线的交点叫作三角形的重心.
活动一：探究三角形的中线
取一块质地均匀的三角形木板，钉住三条中线的交点，木板会发生什么情况？
木板保持平衡，因为三条中线的交点就是这块三角形木板的重心.
活动二：探究三角形的角平分线
A
B
C
D
在三角形中，一个内角的角平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段，叫做三角形的角平分线.
角的平分线是射线，而三角形的角平分线是线段.
活动二：探究三角形的角平分线
角的平分线与三角形的角平分线有什么区别？
A
B
C
D
1
2
活动二：探究三角形的角平分线
请分别画出锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的角平分线，观察三条角平分线你有什么发现
A
B
C
D
F
E
A
B
A
B
C
C
D
D
E
E
F
F
三角形的三条角平分线相交于一点.
活动三：探究三角形的高
过三角形的一个顶点，如何画出它的对边的垂线
A
B
C
如图：过△ABC的顶点A向它所对的边BC所在直线画垂线，垂足为D，所得线段为AD .
D
活动三：探究三角形的高
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形这边上的高线，简称三角形的高.
A
B
C
D
活动三：探究三角形的高
分别画出锐角三角形、直角三角形、钝角三角形的三条高，你有什么发现？
A
B
C
A
A
B
B
C
C
①锐角三角形的三条高都在三角形的内部；
②直角三角形有两条高恰好是它的两条直角边；
③钝角三角形有两条高在三角形的外部，两个垂足落在边的延长线上.
E
F
G
H
A.2个 B.3个 C.4个 D.5个
C
分析:根据三角形的中线的性质可得
④正确;根据角平分线的性质、直角
三角形的两锐角互余以及对顶角相等判断②正确;
经典例题
例2 如图，在 △ABC中，若AB=4，BC=8，则△ABC的高AD与CE的比是多少？
A
B
C
分析：根据三角形的面积公式列等量关系，再根据等量关系求解.
经典例题
D
E
1.如图，过△ABC的顶点C分别画出它的中线、角平分线和高.
分析：根据三角形的中线角平分线、高的定义画图.
解：如图所示，CD为中线，CE为角平分线，CF为高.
D
E
F
教材
练习
3
1
2
4
DC
AC
AF
∠2
∠ABC
∠4
分析：(1)根据AD，BE，CF是△ABC的
三条中线，结合中线的定义即可解答.
教材
练习
分析：(2)根据AD，BE，CF是△ABC的三条角平分线，结合角平分线的定义即可解答.
1.下列结论正确的是( )
A.直角三角形的高只有一条
B.三角形的高至少有一条在三角形内部
C.三角形的角平分线、中线和高都在三角形内部
D.钝角三角形的三条高都在三角形外部
限时训练
分析：A.直角三角形的高有3条，不是只有1条.B.三角形的高至少有一条在三角形内部.C.三角形的角平分线、中线在三角形内部，但三角形的高可能在三角形的外部.D.钝角三角形有2条高在三角形的外部，有1条在三角形内部，此项错误.故选B.
B
限时训练
C
C
B
A
3.如图，在△ABC中，下列关于高的说法正确的是( )
限时训练
A.线段AD是AC边上的高
C.线段CF是AC边上的高
B.线段CF是BC边上的高
D.线段BE是AC边上的高
D
分析：本题考查了三角形的高的定义：从三角形的一个顶点向它的对边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫做三角形的高.
C
A
B
D
E
F
4.如图，CD、CE、CF分别是△ABC的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是( )
限时训练
C
B
A
C
分析：根据三角形高、中线、角平分线的定义进行逐一判断即可.
F
E
D
中线
高
①在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段叫作三角形的中线.
②三角形的一条中线可将三角形分成面积相等的两部分.
三角形的中线、
角平分线、高
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足间的线段叫作三角形的高.
角平分线
三角形的一个内角的平分线与这个角的对
边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫作三角形的角平分线.
实践作业：生活中的三角形
任务：利用三角形中线、角平分线和高的知识，设计一个生活中的应用方案（如土地分割、建筑设计等），并说明设计原理.
要求：应用方案需逻辑清晰，原理阐述准确，可配合示意图、流程图等辅助说明.
示例：为社区设计一个三角形花坛，将其平均分成六个区域种植不同花卉.
谢谢

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