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平昌中学2025-2026学年度秋季学期高二第一次月考
数学试题
考试时间：120分钟 总分：150分
一、单选题（每小题5分，共40分）
1.已知向量，，则（ ）
A. B. C. D.
2.若倾斜角为45°的直线l经过两点，，则m的值为（ ）
A.－2 B.1 C.2 D.3
3.在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是5或6”，事件C表示“向上的点数小于5”，则下列说法正确的是（ ）
A.A与B是对立事件 B.B与C是对立事件 C.A与C是互斥事件 D.A与B是互斥事件
4.如图，在空间四边形OABC中，，，，点M在OA上，且，N为BC的中点，则等于（ ）
A. B. C. D.
5.在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
A.点关于平面yOz对称的点的坐标是
B.若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，则
C.已知O为空间任意一点，A，B，C，P四点共面，且任意三点不共线，若，则
D.若直线l方向向量与平面α的法向量的夹角为120°，则直线l与平面α所成的角为30°
7.已知是空间一点，直线l过点且一个方向向量为，则M到直线l的距离为（ ）
A.1 B. C.2 D.3
8.甲乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中任想一个数字记为a，再由乙猜甲刚才想的数字，把乙猜的数字记为b，且a，．若，则称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则二人“心有灵犀”的概率为（ ）
A. B. C. D.
二、多选题（每小题6分，共18分，错选多选不得分，少选得部分分）
9.已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（ ）
A.与是共线向量 B.与同向的单位向量是
C.在方向上的投影向量是 D.与的夹角为90°
10.下列说法正确的有（ ）
A.甲乙两人独立地解题，已知各人能解出的概率分别是，，则题被解出的概率是
B.若A，B是互斥事件，则
C.已知事件A，B发生的概率分别为，，且，则事件A，B相互独立
D.一位男生和两位女生随机排成一列，则两位女生相邻的概率是
11.在正方体中，，E为的中点，F是正方形内部及边界上一动点，则下列说法正确的是（ ）
A.平面平面
B.当时，点F的轨迹长度为
C.存在直线EF与平面内的直线成30°角
D.若G，H分别为的三等分点，则的最小值为
三、填空题（每小题5分，共15分）
12．某种心脏手术，成功率为0．9，现采用随机模拟方法估计“3例心脏手术全部成功”的概率：先利用计算器或计算机产生0~9之间取整数值的随机数，由于成功率是0.9，我们用0表示手术不成功，1，2，3，4，5，6，7，8，9表示手术成功；再以每3个随机数为一组，作为3例手术的结果，经随机模拟产生如下10组随机数：812，832，569，683，271，989，730，537，925，907由此估计“3例心脏手术全部成功”的概率为______．
13.已知平面α，β的法向量分别是，，若，则______．
14.在长方体中，，，E，F，G分别是棱，BC，的中点，M是平面ABCD内一动点，若直线与平面EFG平行，则的最小值为______．
四、解答题（本题共5个小题，共77分）
15.（13分）如图，在长方体中，，，，点E、F、G分别是棱BC、CD、的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线AG到平面的距离．
16.（15分）将一次考试所有学生的成绩，做成的频率分布直方图如图所示，第一组成绩在，第二组成绩在，第三组成绩在，第四组成绩在，第五组成绩在．
（1）求图中a的值，估计本次考试成绩的平均分；
（2）老师准备将在本次考试中成绩排名在前的同学定为优秀，发奖鼓励，估计此次考试成绩优秀的分数线；
（3）若本次考试共20人参加，现计划从分数低于70分的同学中随机抽取2人谈心，求2人分数都在的概率．
17.（15分）某次答辩活动有4道题目，第1题1分，第2题2分，第3题3分，第4题4分，每道题目答对给满分，答错不给分，甲参加答辩活动，每道题都要回答，答对第1，2，3，4题的概率分别为，，，，且每道题目能否答对都是相互独立的．
（1）求甲得10分的概率；
（2）求甲得3分的概率；
18.（17分）如图，已知在平行六面体中，，，，，，M，N分别是，的中点．
（1）若对角线的长度为时，求θ的值．
（2）求证：．
19.（17分）在中，，，，D，E分别是AC，AB上的点，满足且DE经过的重心，将沿DE折起到的位置，使，M是的中点，如图所示．
（1）求证：平面BCDE；
（2）求CM与平面所成角的大小；
（3）在线段上是否存在点N，使平面CBM与平面BMN成角余弦值为？若存在，求出CN的长度；若不存在，请说明理由．

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