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第十三章　三角形
章综合复习
通过完成导学任务，请同学展示本章的知识结构图.
三角形
三角形的有关概念及分类
三角形外角的性质
三角形的外角和
与三角形有关的线段
三角形三边的关系
三角形的稳定性
三角形的中线、角平分线、高
与三角形有关的角
三角形的内角和定理
直角三角形的性质及判定
三角形的外角
按内角分
按边分
推出
三角形：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形.
概念
三角形的表示
与三角形有关的概念
通常用三个大写字母表示三角形的顶点，如用A、B、C表示三角形的三个顶点时，此三角形可记作△ABC，其中线段 AB、BC、AC是三角形的三条边，∠A、∠B、∠C分别表示三角形的三个内角.
构成三角形需要有三个条件：
①三条线段；②不在同一条直线上；③首尾顺次相接.
A
B
C
等腰三角形：有两边相等的三角形叫作等腰三角形.
三角形的分类
与三角形有关的概念
等边三角形：三边都相等的三角形叫作等边三角形.
等边三角形是特殊的等腰三角形，等腰三角形包括等边三角形.
按角分
锐角三角形
钝角三角形
直角三角形
按边分
三边都不相等的三角形
等腰三角形
等边三角形
底边和腰不相等的等腰三角形
关系
三角形的三边关系
三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.
(1)在实际运用中，只需检验最短的两边之和大于第三边，则可说明能组成三角形；
(2)已知两边，则第三边的取值范围为：两边之差<第三边<两边之和;
(3)所有通过周长相加减求三角形的边，求出两个答案的，要注意检查每个答案能否组成三角形.
三角形的三边确定了，那么它的形状、大小都确定了，三角形的这个性质就叫做三角形的稳定性.
概念
三角形的角平分线
三角形的角平分线：三角形一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线.
①三角形的角平分线是一条线段，可以度量，而角的平分线是经过角的顶点且平分此角的一条射线.
②三角形有三条角平分线且相交于一点，这一点一定在三角形的内部.
概念
三角形的中线
三角形的中线：连接三角形的一个顶点和它所对的边的中点，所得的线段叫做三角形的中线.
三角形的重心：三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心.
①一个三角形有三条中线，都在三角形的内部，并且相交于一点；
②三角形的中线是一条线段；
③三角形的中线将三角形分为面积相等的两部分.
概念
三角形的高
三角形的高：从三角形的一个顶点向它所对的边所在直线画垂线，顶点和垂足间的线段叫做三角形的高.
三条高的位置
锐角三角形：三条高都在三角形的内部；
直角三角形：有两条高恰好是直角三角形的两条直角边，另一条高在三角形的内部；
钝角三角形：有两条高在三角形外部，另一条高在三角形内部.
拓展：①三角形的一个外角大于与它不相邻的任一内角；
②三角形的外角和等于 360°；
③三角形的一个外角与和它相邻的内角互补.
三角形内角和定理
三角形的内角和与外角
三角形内角和定理：三角形三个内角的和等于180°.
三角形的外角
概念：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.
性质：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
由此可推出：三角形最多只有一个直角或者钝角，最少有两个锐角.
性质
判定
直角三角形的性质与判定
表示：直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形ABC 可以写成 Rt△ABC.
性质：直角三角形的两个锐角互余.
有两个角互余的三角形是直角三角形.
拓展：同角的余角相等.
A
B
C
如图，图中三角形的个数为 ；
以AB为边的三角形是 ；
以 C为一个内角的三角形是 ；
在△ADE中， ADE的对边是 .
图中的三角形有△ABD、△ABE、△ABC、△ADE、△ADC、
△AEC，共6个；
以AB为边的三角形有△ABD、△ABE、△ABC.
以 C为一个内角的三角形是△ACE、△ACD、△ACB；
△ADE中 ADE的对边是AE.
6
△ABD、△ABE、△ABC
△ACE、△ACD、△ACB
AE
一个三角形的三个内角的度数比是1:1:2，其中最大的一个角是( )度，按角分，这是一个( )三角形，按边分，这是一个( )三角形.
90
直角
等腰
下列说法：①平分三角形内角的射线是三角形的角平分线；②三角形的中线、角平分线、高都是线段；③一个三角形有三条角平分线和三条中线；④直角三角形只有一条高；⑤三角形的中线、角平分线、高都在三角形的内部.其中正确的个数( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
B
①三角形的角平分线是线段，不是射线，故说法错误；④直角三角形有两条直角边和直角顶点到对边的垂线段共三条高，故说法错误；⑤三角形的中线、角平分线都在三角形的内部，而钝角三角形的高有两条在三角形外部，故说法错误.
正确的说法有两个：②和③.故选：B.
已知某三角形的三边长分别为3，x，8，其中x为正整数，则满足条件的x值的和为 .
40
∵三角形的三边长分别为3，x，8.
∴8-3∵x为正整数，
∴x的值为6，7，8，9，10，
∴满足条件的x值的和为6+7+8+9+10=40.
故答案为：40.
如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，AF是中线，则下列结论正确的是( )
A. B+ BAE=90° B. S△ABC =2S△ABF
C. BAF= CAF D.BE=CE
∵AD是高，∴ ADB=90°，∴∠B+∠BAD=90°，故A错误；
∵AF是中线，∴BF=CF，S△ABC =2S△ABF，故D错误，B正确；
∵AE是角平分线，∴ BAE= CAE，故C错误；
故选：B.
B
如图，在Rt△ABC中， BAC=90°，点D在边BC上，将△ABD沿AD折叠，使点B恰好落在边AC上的点E处，若 C=28°，则
CDE= °.
∵在Rt△ABC中， BAC=90°， C=28°
∴ B=90°- C=90°-28°=62°
由折叠知 AED= B=62°.
∵ AED= C+ CDE，
∴ CDE=62°-28°=34°.故答案为：34.
34
A
B
D
C
E
△ABC的三边分别为a，b，c，下列条件能判定△ABC为直角三角形的是( )
A.a:b:c=1:2:2 B. A+ B=2 C C. B= C- A D. A: B: C=3:4:5
A、a:b:c=1:2:2，△ABC只为等腰三角形，不能构成直角三角形；
B、∵ A+ B=2 C， A+ B+ C=180°，
∴ C=60°， A+ B=120°，不能确定 △ABC为直角三角形，
C、∵ B= C- A， ∴ A+ B= C. ∵ A+ B+ C=180°，∴ C=90°，即△ABC为直角三角形，故本选项符合题意；
D、∵ A: B: C=3:4:5， A+ B+ C=180°，
∴ C=75°，即 △ABC为锐角三角形，故选：C.
C
如图， A+ B+ C+ D+ E等于( )
A.100° B.200° C.180° D.360°
∵ B+ E= BFC， A+ D= DGC
∴ A+ B+ C+ D+ E= C+ GFC+ FGC=180°
故选：C.
C
A
B
C
D
G
E
F
方法总结
三角形中的角度计算：
①三角形的内角和为 180°；
②直角三角形中两锐角和为 90°；
③三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.
三角形三边关系：
①判断三边能不能构成三角形，只要两短边之和大于最长边即可构成三角形；
②已知两边 a、b，那么第三边c的取值范围为：|a-b|如图，点E，F，M，N分别在线段AB，AC，BC上， 1+ 2=180°， 3= B. 求证： CEB= NFB.
证明：∵ 1+ 2=180°， 1+ 3+ CEF=180°，
∴ 2= 3+ CEF，
∵ 3= B，
∴ 2= B+ CEF，
∵ 2是△BFN的外角，
∴ 2= B+ NFB，
∴ CEB= NFB.
已知 △ABC的三边长分别为a，b，c，且a，b，c都是整数.
(1)若a=2，b=5，且c为奇数，求△ABC的周长.
(2)化简：|a-b+c|+|b-c-a|.
(1)解：∵a=2，b=5，
∴5-2∵第三边长c为奇数，∴c=5.
△ABC的周长为2+5+5=12.
(2)解：a，b，c是三角形的三边长，
故b+c>a，a+c>b，a+b>c，
∴a+c-b>0，b-c-a<0
∴|a-b+c|+|b-c-a|
=a+c-b+a+c-b
=2(a+c-b)
方法总结
根据三角形三边关系判断代数式值的符号，再去掉绝对值符号.
如图，在 △ABC中，AD，AF分别是 △ABC的中线和高，BE是△ABD的角平分线.
(1)若 △ABC的面积为60，BD=10，求AF的长；
(2)若 BED=42°， BAD=25°，求 BAF的大小.
如图，在 △ABC中，AD，AF分别是 △ABC的中线和高，BE是△ABD的角平分线.
(1)若 △ABC的面积为60，BD=10，求AF的长；
(2)若 BED=42°， BAD=25°，求 BAF的大小.
(2)解：∵ BED=42°， BAD=25°，
∴ ABE= BED- BAD=42°-25°=17°.
∵BE是 △ABD的角平分线， ∴ ABF=2 ABE=34°.
∵AF是△ABC的高，∴ AFB=90°.
∴ BAF=90°- ABF=90°-34°=56°.
如图，AD平分 BAC， EAD= EDA.
(1)求证： EAC= B；
(2)若 B=45°， CAD: E=2:5，求 E的度数.
(1)证明：∵AD平分 BAC，
∴ BAD= CAD，
又∵ EAD= EDA，
∴ EAC= EAD- CAD= EDA- BAD= B.
如图，AD平分 BAC， EAD= EDA.
(1)求证： EAC= B；
(2)若 B=45°， CAD: E=2:5，求 E的度数.
(2)解：设 CAD=2x°，则 E=5x°.
∵ B=45°，∴ EAC= B=45°
∴ EAD= EDA=(2x+45)°
在△EAD中， E+ EAD+ EDA=180°
∴5x+2(2x+45)=180，解得：x=10.
∴ E=50°.
在△ABC中，定义∠A的平分线所在直线与∠B的外角平分线所在直线所夹的锐角∠APB为∠C的伴随角.
(1)如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，则∠C的伴随角∠APB的度数为_________；
(2)小明试图探究任意△ABC中∠C的伴随角∠APB与∠C之间的数量关系，于是他动手画了∠C分别为直角、锐角、钝角的三个图，猜想∠C的伴随角∠APB与∠C之间的数量关系：________；
(3)请你选择∠C是锐角或钝角的情况，画出图形帮小明证明他的猜想.
在△ABC中，定义∠A的平分线所在直线与∠B的外角平分线所在直线所夹的锐角∠APB为∠C的伴随角.
(1)如图，在△ABC中，∠C=90°，∠BAC=60°，则∠C的伴随角∠APB的度数为_________；
1
45°
(2)小明试图探究任意△ABC中∠C的伴随角∠APB与∠C之间的数量关系，于是他动手画了∠C分别为直角、锐角、钝角的三个图，猜想∠C的伴随角∠APB与∠C之间的数量关系：___________；
(3)请你选择∠C是锐角或钝角的情况，画出图形帮小明证明他的猜想.
谢谢

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