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三角形全等的判定
第十四章　全等三角形
第5课时
1.经历斜边直角边(HL)判定两直角三角形全等的探究过程，明确“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”．
2.会用斜边直角边(HL)判定两直角三角形全等，并能综合利用全等三角形的性质证明线段和角相等．
3.经历猜想、作图、归纳的几何探究过程，发展逻辑推理能力和几何表达能力．
判定两个三角形全等方法有哪些？
角边角(ASA)
边角边(SAS)
A
B
C
A'
B'
C'
A
B
C
A'
B'
C'
判定两个三角形全等方法有哪些？
角角边(AAS)
边边边(SSS)
A
B
C
A'
B'
C'
A
B
C
A'
B'
C'
对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了？
一直角边及其相
对锐角分别相等
一直角边及其相
邻锐角分别相等
ASA
AAS
对于两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，这两个直角三角形就全等了？
斜边和一锐角分别相等
AAS
两直角边分别相等
SAS
如果满足斜边和一直角边分别相
等，这两个直角三角形全等吗？
活动：探究直角三角形全等的判定方法：HL
如图，在△ABC 和△A′B′C′中，使∠C=∠C′=90°，A′B′=AB，
B′C′=BC，这两个三角形全等吗？
猜想：△A′B′C′≌△ABC.
A
B
C
A'
B'
C'
B(B′)
A(A′)
C(C′)
解：如图，由∠C′＝∠C＝90°可知，如果使点C′与点C重合，并且使射线C′A′与射线CA重合，那么射线C′B′与射线CB重合．
再由B′C′＝BC，可知点B′与点B重合．
如何判断点A'与点A是否重合？
讨论射线CA上除点C，A外的点与点B的连线和边AB的大小关系．
活动：探究直角三角形全等的判定方法：HL
N
M′
M
B(B′)
A(A′)
C(C′)
同理可得BN＞AB．
(1)设点M在直角边AC(不包括端点)上，连接BM，
则∠BMA＞∠C，∠BMA是钝角．
(2)若过点M且垂直于BM的直线与线段AB相交于点M′，
则有AB＞BM′＞BM．
(3)设点N在线段CA的延长线上，连接BN，
因此，在射线CA上，与点B的连线长度等于AB的点只有一个.
活动：探究直角三角形全等的判定方法：HL
这样，△A′B′C′的三个顶点与△ABC的三个顶点
分别重合，△A′B′C′与△ABC能够完全重合，因
而△A′B′C′≌△ABC．
再由点A′在射线CA上，A′B′＝AB，可知点A′与点A重合．
N
M′
M
B(B′)
A(A′)
C(C′)
活动：探究直角三角形全等的判定方法：HL
注意
1.“HL”只适用于判
定直角三角形全等，对于一
般三角形不适用.
2.应用“HL”判定两个直角三
角形全等，在书写时，两个
三角形前一定要加上“Rt”.
判定直角三角形全等的方法：斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等．(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”)
A
B
C
A'
B'
C'
活动：探究直角三角形全等的判定方法：HL
例1 如图，AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分别为C，D，AC＝BD．
求证BC＝AD．
分析：如果能证明Rt△ABC≌Rt△BAD，就可以
得出BC＝AD．由题意可知，Rt△ABC和Rt△BAD
具备 “斜边、直角边”的条件．
教材
例题
经典例题
例2 已知：如图，AC⊥BD于点O，且OA=OC，AB=CD.
求证：AB∥CD.
分析：要证AB∥CD，需要证∠B=∠D或∠A=∠C.
B
A
D
C
O
证含∠B=∠D(或∠A=∠C)的直角三角形全等.
经典例题
例3 如图，AB⊥AD，CD⊥BC，AB=CD，判断AD和BC的位置
关系．
分析：连接BD，利用HL证Rt△ABD和△RtCDB
全等，
A
B
C
再根据全等三角形的性质得∠ADB=∠CBD，
最后根据平行线的判定定理判断AD和BC的位
置关系．
D
经典例题
例3 如图，AB⊥AD，CD⊥BC，AB=CD，判断AD和BC的位置
关系．
A
B
C
D
1. 如图，C是路段AB的中点，两人从C同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达D，E两地，且DA⊥AB，EB⊥AB． D，E到路段AB的距离相等吗？为什么？
教材
练习
教材
练习
2.如图，AB＝CD，AE⊥BC，DF⊥BC，垂足分别为E，F，CE＝BF． 求证AE＝DF．
分析：首先证Rt△AEB和Rt△DFC全等，再根据全等三角形的性质证明AE=DF．
证明：∵CE=BF，
∴CE-EF=BF-EF，即CF=BE．
∵AE⊥BC，DF⊥BC，∴∠AEB=∠DFC=90°．
∴Rt△AEB≌Rt△DFC(HL)．∴AE＝DF．
1.如图，∠B＝∠D=90°，要证明△ABC与△ADC全等，还需要补充的条件是　　　　　 　(写出一个即可)．
AB=AD
限时训练
证直角三角形全等可以使用证一般三角形全等的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS），也可以使用证直角三角形特有的判定方法（HL）．
总结
(或BC=DC或∠BAC=∠DAC或∠ACB=∠ACD)．
C
B
D
A
2.如图，∠A=∠D=90°，AC=DB，则△ABC≌△DCB的依据是( )．
限时训练
A.HL B.ASA 　 C.AAS　　 D.SAS
C
B
D
A
A
3. 如图，在△ABC中，已知BD⊥AC，CE ⊥AB，BD=CE．
求证：△EBC≌△DCB．
限时训练
A
B
C
E
D
限时训练
分析：用HL证Rt△ABF≌Rt△CDE，根据全等
三角形的性质得BF=DE．
4.如图，已知AB=CD，BF⊥AC，DE⊥AC，AE=CF．求证：BF=DE．
证明：∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF，即AF=CE．
∵BF⊥AC，DE⊥AC，
∴∠AFB=∠CED=90°．
∴Rt△ABF≌Rt△CDE（HL）．
∴BF=DE．
5.如图，P为∠AOB内的一点，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别为C，D，且PC=PD，求证：OC=OD．
分析：连接OP，先利用HL证Rt△PDO和Rt△PCO全等，
再根据全等三角形的对应边相等可得OC=OD．
∴Rt△PDO≌Rt△PCO(HL)．∴OC=OD．
B
O
A
C
D
P
限时训练
HL
一般方法
直角三角形的判定
三角形全等的判定法：SAS,ASA,AAS,SSS.
斜边和一直角边分别相等的两个直角三角形全等 (可以简写成 “斜边、直角边”或 “HL”)．
注意
利用“HL”判定两三角形全等时，必须都是直角三角形.
谢谢

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