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(共30张PPT)
角的平分线
第十四章　全等三角形
第1课时
1.会用尺规作一个角的平分线，理解尺规作角的平分线的方法和原理；
2.通过观察、测量等方法，探索并证明角的平分线的性质；
3.通过具体练习，能利用角的平分线的性质构造全等三角形，证明与线段相等有关的简单问题；
4.通过让学生经历观察演示，动手操作，合作交流，自主探究等过程，培养学生用数学知识解决问题的能力，激发学生应用数学的热情.
小明参加风筝比赛，他想制作一个造型独特的风筝，这个风筝需要有两条对称的边，并且两条边所夹的角要被一条线平分，这样风筝才能更加平衡和美观.
同学们，你们想知道小明为什么不用度量就能确定AC是角平分线吗 这背后其实蕴含着角的平分线的知识，让我们一起去探索其中的奥秘吧!
小明经过思考，制作了一个特殊结构的风筝骨架，
他根据AB = AD，BC=DC的原理，不用度量，就知道连
接AC后，AC就是这个角的平分线.最终，他制作的风筝不仅飞得又高又稳，而且外观还十分漂亮，在风筝比赛中获得了大奖.
A
B
D
C
活动一：探究角的平分线的尺规作图
你能通过折纸的方法做一个角的平分线吗？
折痕 OC平分∠AOB 吗 为什么呢
O
B
A
C
O
B
A
D
折叠是轴对称变换，折叠后∠AOC与∠COD完全重合，即∠AOC=∠COD.两个能完全重合的角大小相等，这表明OC将∠AOB分成了两个相等的角，所以折痕OC平分∠AOB.
活动一：探究角的平分线的尺规作图
请在折纸上标上如下字母：
如图，OC 是∠AOB的平分线，P是OC上的任意一点，M，N分别是OA，OB上的点. 当 OM 与ON 满足什么关系时，PM=PN
在△OPM 和△OPN中，
OP=OP，∠POM=∠PON.
如果OM=ON，
那么△OPM≌△OPN(SAS)，
就有PM=PN.
活动一：探究角的平分线的尺规作图
如图，M，N 分别是∠AOB的边OA，OB 上的点，OM=ON.点P在∠AOB 的内部.当 PM 与PN 满足什么关系时，点P在∠AOB的平分线上
连接OP，在△OPM 和△OPN中，
OP=OP，OM=ON.
如果PM=PN，那么△OPM≌△OPN(SSS)，
就有∠POM=∠PON.
即P在∠AOB的平分线上.
活动一：探究角的平分线的尺规作图
由上述结论，你能想到如何作一个角的平分线吗
先在角的两边上分别作出与角的顶点距离相等的两点；
在角的内部作出与这两点距离相等的点；
以角的顶点为端点，作过这个点的射线.
1
2
3
你能写出已知和求证，并用尺规作出一个角的角平分线吗？
活动一：探究角的平分线的尺规作图
已知： ∠AOB.
求作：∠AOB的平分线.
A
B
M
N
C
作法：
(1)以点O为圆心，适当长为半径作弧，交OA于点M，交OB于点N.
O
(3)作射线OC. 射线OC即为∠AOB的平分线.
活动一：探究角的平分线的尺规作图
A
B
O
M
N
B
M
N
A
O
没有交点
难以精确标记
活动一：探究角的平分线的尺规作图
为什么OC为∠AOB的平分线？如何证明我们的作法是正确的呢
A
B
M
N
C
O
由作图可得OM=ON，MC=NC，由这两个条件证明射线OC平分∠AOB即可.
证明：连接CM，CN.
由作图可得OM=ON，MC=NC
则在△OCM和△OCN中，
∴△OCM ≌ △OCN(SSS)
∴∠MOC=∠NOC，
即射线OC平分∠AOB.
活动一：探究角的平分线的尺规作图
已知：平角∠AOB.如何作平角∠AOB的角平分线
O
B
A
结论：作平角的平分线的方法就是过直线上一点作这条直线的垂线的方法.
活动二：探究角的平分线的性质
请同学们把一个角沿角平分线折叠，任意剪一刀后再展开，有什么发现
特殊情况
活动二：探究角的平分线的性质
OC是 AOB的平分线，点P是射线OC上的任意一点.
操作测量：在OC上任取三点P1，P2，P3，分别作OA、OB的垂线，交OA于D1，D2，D3，交OB于E1，E2，E3，测量这六条线段的长，将数据填入表中，你有什么发现？
PD PE
第一次
第二次
第三次
猜想：角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
P1D1=1.2
P1E1=1.2
P2D2=1.3
P2E2=1.3
P3D3=1.4
P3E3=1.4
活动二：探究角的平分线的性质
写出上述命题的题设(已知)和结论(求证).
你能画出图形，并用几何语言描述吗
题设：一个点在一个角的平分线上.
结论：这个点到这个角两边的距离相等.
几何语言：
已知：如图，OC 是 AOB 的平分线，点P在OC上，PD OA，PE OB，垂足分别为D，E.
求证：PD=PE.
O
B
A
E
D
C
P
活动二：探究角的平分线的性质
你能利用三角形全等证明这个猜想吗
分析：如果能证明△OPD≌△OPE，就可以得到PD=PE.由题意可知，△OPD 和△OPE 具备“角角边”的条件.
证明： ∵OC是 AOB 的平分线，∴ AOC= BOC.
∵PD OA， PE OB，
∴ PDO= PEO=90°.
在△OPD 和△OPE中，
O
B
A
E
D
C
P
活动二：探究角的平分线的性质
一般情况下，我们要证明一个几何命题时，可以按照类似的步骤进行，即
明确命题中的已知和求证；
根据题意，画出图形，并用数学符号表示已知和求证；
经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程.
1
2
3
要证明一个几何命题时，有哪些步骤呢？
活动二：探究角的平分线的性质
性质定理：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
几何语言：
∵OP是 AOB的平分线，PD OA， PE OB.
∴PD = PE.
O
B
A
E
D
C
P
注意
(1)角的平分线；
(2)点在该平分线上；
(3)垂直距离.
三个条件缺一不可.
例1 如图，在Rt△ABC中， C=90°，用尺规作图法作出射线AE，AE交BC于点D，CD=5. P为AB上一动点，求DP的最小值.
经典例题
分析：由尺规作图可知：AE是 CAB的平分线，由垂线段最短可知：当DP AB时，DP最小.
解：过点D作DF AB于点F.
由尺规作图痕迹可知，AE为 BAC的平分线，
∵ C=90°，∴DF=CD=5.
∴当点P与点F重合时，PD取得最小值，
故DP的最小值为5.
F
利用角的平分线的性质解决问题时，若已知条件中存在一条垂线段，通过作辅助线作出另一条垂线段；若已知条件中不存在垂线段，通过作辅助线作出两条垂线段.
总结
例2 如图，BD是 ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，
PM AD，PN CD，垂足分别是M，N. 求证：PM=PN.
经典例题
分析：根据角平分线的定义可得 ABD= CBD，然后利用SAS证明△ABD≌△CBD;
根据全等三角形对应角相等可得 ADB= CDB，然后根据角平分线的性质证明即可.
例2 如图，BD是 ABC的平分线，AB=BC，点P在BD上，
PM AD，PN CD，垂足分别是M，N. 求证：PM=PN.
经典例题
当题目中要证相等的一组线段分别与一个角的两边垂直，且它们的公共点在这个角的平分线上时，可利用角平分线的性质定理直接得证，所有证明条件的收集都应围绕这个“两垂直，一平分”进行展开.
总结
1.如图，在直线 MN 上求作一点 P，使点 P 在 AOB 的内部，且点 P 到射线 OA 和 OB 的距离相等.
教材
练习
分析：作出 AOB 的角平分线，与 MN 相交于点P，根据角平分线的性质定理“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，即可获得答案.
C
D
Q
P
2.如图，OC是 AOB的平分线，点 P 在 OC 上，PD OA，PE OB，垂足分别为 D，E. 点 F，G 分别在 OA，OB 上，DF=EG，连接 PF，PG. 求证：PF=PG.
教材
练习
∴△PDF≌△PEG(SAS).
∴PF=PG
限时训练
1.如图，OP平分∠AOB，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C，D，下列结论中错误的是(　　)
A.PC＝PD B. OC＝OD
C. ∠CPO＝∠DPO D. OC＝PC
D
2.如图，在△ABC中，∠A=60°，根据作图痕迹推断∠BOC的度数为 .
120°
O
B
A
D
C
P
限时训练
3.如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是(　　)
A．6 B．5 C．4 D．3
D
B
C
E
A
D
分析：由DE⊥AB，DE＝2，AB＝4，得S△ADB＝4.
∴S△ACD＝S△ABC-S△ADB＝3.
过点D作DF⊥AC，根据角平分线性质求出DF=DE＝2.
最后利用△ACD的面积公式列式计算即可得解.
F
限时训练
4.如图，已知AD∥BC，P是∠BAD与∠ABC的平分线的交点，PE⊥AB于E，且PE=3，求AD与BC之间的距离.
解：过点P作MN⊥AD于点M，交BC于点N.
∵ AD∥BC，
∴ MN⊥BC，MN的长即为AD与BC之间的距离.
∵ AP平分∠BAD， PM⊥AD ， PE⊥AB，
∴ PM= PE.
同理， PN= PE.
∴ PM= PN= PE=3.
∴ MN=6.即AD与BC之间的距离为6.
N
M
A
E
B
P
D
C
限时训练
5. 如图，∠AOB=90°，OM 是∠AOB的平分线，将三角板的直角顶点P 在射线 OM 上滑动，两直角边分别与 OA，OB 交于点 C 和点 D.
求证：PC=PD.
分析：①过点P点作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，根据垂直的定义得到∠PEC=∠PFD=90°；
②由OM是∠AOB的平分线，根据角平分线的性质得到PE=PF；
③利用四边形内角和定理可得到∠PCE+∠PDO=180°，而∠PDO+∠PDF=180°，则∠PCE=∠PDF，
④根据“AAS”可判断△PCE≌△PDF，根据全等的性质即可得到PC=PD.
F
E
O
D
C
A
P
M
B
限时训练
F
E
证明：如图，过点P点作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
∴∠PEC=∠PFD=90°.
∵OM是∠AOB的平分线，
∴PE=PF.
∵∠AOB=90°，∠CPD=90°
∴∠PCE+∠PDO=360°-90°-90°
=180°
而∠PDO+∠PDF=180°.
∴∠PCE=∠PDF.
尺规作图
辅助线
添加
尺规作图作一个角的角平分线.
角平分线的性质
过角平分线上一点向两边作垂线段.
性质定理
角平分线上的点到角两边的距离相等.
实践作业：验证角平分线性质定理
任务：1.选取角：在校园或户外选取一个较大的角(如建筑夹角等)，标记为∠AOB，利用量角器作出∠AOB的平分线OC.
2.测距离：在OC上选点P，过P向OA，OB作垂线，用卷尺测垂足距离PD，PE.
3.验证：记录PD，PE数据，验证是否相等，重复选点测量.
成果：实验报告(包含测量数据表格、测量过程照片、对定理验证的结论、拓展探究的思考)
谢谢

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