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(共33张PPT)
你能在下面这些图中找到形状、大小相同的图形吗？
本章我们以全等三角形为例研究全等形，重点学习全等三角形的性质和判定三角形全等的方法.
铺设地面的方砖
钢架桥中的三角形结构
足球比赛的场地
形状、大小相同的图形是全等形.
上一章我们通过推理论证得到了三角形的哪些重要结论？
在本章推理论证将发挥更大的作用.我们将通过证明三角形全等来证明线段相等或角相等，利用全等三角形证明角的平分线的性质，通过本章的学习，你对三角形的认识会更加丰富，推理能力会进一步提升.
三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边；
三角形三个内角的和等于180°；
直角三角形的两个锐角互余；有两个角互余的三角形是直角三角形.
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和.
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2
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1.了解全等形的概念、全等三角形的概念和性质，能识别全等三角形的对应点、对应边、对应角.
2.能运用全等三角形的性质解决简单的问题，培养学生解决问题的能力.
3.初步帮助学生建立平移、翻折、旋转三种图形变化与全等形的关系.
4.在图形变换和实际操作的过程中发展空间观念，培养学生的几何直观和核心素养.
从前，三角形、圆形、平行四边形和梯形约好一起出去玩，结果到了约定的时间，圆形、平行四边形和梯形都来了，只有三角形没有来，请问这种情形叫什么
猜 谜 语
全等三角形
活动一：探究全等图形的定义及性质
如图，对开的大门、邮票、设计的图案中都有形状、大小相同的图形的形象，你能再举出一些类似的例子吗
发现他们能完全重合.
如果把他们叠加着放在一起，能发现什么？
活动一：探究全等图形的定义及性质
能够完全重合的两个图形叫作全等形.
完全重合说明两个图形的周长和面积相等；
周长或面积相等的两个图形不一定是全等形.
全等图形性质：
如果两个图形全等，它们的形状和大小一定都相等.
1
2
把一块三角尺按在纸板上，画下图形，照图形裁下来的纸板和三角尺的形状、大小完全一样吗 把三角尺和裁得的纸板放在一起能够完全重合吗
完全重合
你能尝试说出全等三角形的定义吗？
能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形.
活动二：探究全等三角形的定义及性质
活动二：探究全等三角形的定义及性质
如图，把△ABC 沿直线BC平移，得到DEF. 图中的两个三角形全等吗
A
B
C
D
E
F
经过平移后的两个三角形全等.
总结
平移
活动二：探究全等三角形的定义及性质
如图，把△ABC 沿直线BC 翻折 180°，得到△DBC. 图中的两个三角形全等吗
经过翻折后的两个三角形全等.
总结
B
C
A
D
翻折
活动二：探究全等三角形的定义及性质
如图，把△ABC 绕点 A 旋转，得到 △ADE. 图中的两个三角形全等吗
D
E
A
B
C
　
旋转
经过旋转后的两个三角形全等.
总结
一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等.
活动二：探究全等三角形的定义及性质
全等三角形的表示方法：
全等用符号“≌”表示，读作“全等于”.
如图，图中的△ABC 和△DEF 全等，记作△ABC≌△DEF.读作△ABC全等于△DEF.
将两个全等三角形重合在一起
A
B
C
D
E
F
重合的顶点叫对应顶点.
重合的边叫对应边.
重合的角叫对应角.
活动二：探究全等三角形的定义及性质
观察图形并思考：如图，△ABC 和△DEF全等，当△ABC 和△DEF重合时：
①有哪些对应顶点
点A和点D，点B和点E，点C和点F是对应顶点.
②有哪些对应顶角
∠A和∠D， ∠B和∠E， ∠C和∠F是对应角.
③有哪些对应顶边
AB与DE， AC与DF， BC与EF′是对应边.
活动二：探究全等三角形的定义及性质
有公共顶点或公共边或公共角的图形，寻找对应边、对应角有什么规律
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
有公共边
A
B
C
D
O
A
B
C
D
O
A
B
C
D
E
A
B
D
C
E
有公共点
活动二：探究全等三角形的定义及性质
寻找对应元素的规律：
有公共边的，公共边是对应边；
有公共角的，公共角是对应角；
有对顶角的，对顶角是对应角；
长边对长边，短边对短边；
大角对大角，小角对小角.
△ABC≌△FDE
注意
记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上.
1
2
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4
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活动二：探究全等三角形的定义及性质
摆一摆 利用平移，翻折，旋转等变换所得到的三角形与原三角形组成各种各样新的图形，你还能拼出什么不同的造型吗？比一比看谁更有创意！
活动二：探究全等三角形的定义及性质
平移型
常见的全等三角形的类型：
旋转型
翻折型
活动二：探究全等三角形的定义及性质
如图，△ABC 和△DEF全等，对应边有什么关系 对应角呢
AB=DE
BC=EF
AC=DF
∠A=∠D
∠B=∠E
∠C=∠F
对应边
对应角
全等三角形的性质：
全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等.
几何语言：
∵△ABC≌△DEF，
∴AB=DE， BC=EF，AC=DF，
∠A=∠D， ∠B=∠E， ∠C=∠F.
活动二：探究全等三角形的定义及性质
如图，△ABC 和△DEF全等，对应边上的高、中线，对应角的平分线有什么关系？
对应边上的高、中线，对应角的平分线相等.
全等三角形的面积、周长相等吗？
相等.
分析：根据全等三角形对应角相等求出 ABD的度数，
进而可得 CBD的度数；利用三角形内角和为180°可得 AEB的度数.
例1 如图，△ABC≌△BAD，点A和点B，点C和点D是对应顶点， BAC=65°， ABC=26°，AC，BD的延长线相交于点E.
求 CBD， AEB 的度数.
解：∵△ABC≌△BAD，∴ ABD= BAC=65°.
∴ CBD= ABD- ABC=65°-26°=39°
在△AEB 中， AEB+ BAE+ ABE=180°
∴ AEB=180°- BAE- ABE=180°-65°-65°=50°.
教材
例题
经典例题
分析：先根据三角形外角的性质求出
ACA'= A+ B=27°+40°=67°.
再由△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A'B'C，得到 △ABC≌△A'B'C，
∴ ACB= A'CB'.
∴ ACB– B'CA= A'CB'– B'CA， 即 BCB'= ACA'. ∴ BCB'=67°.
∴∠ACB'=180°–∠ACA'–∠BCB'=180°–67°–67°=46°.
例2 如图所示，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转至△A'B'C，使点A'落在BC的延长线上.已知 A=27°， B=40°，则 ACB'为_______度.
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例3 如图所示，已知△ABD≌△CFD，AD BC于D.
(1)判断CE与AB的位置关系，并说明理由；
(2)已知BC=7，AD=5，求AF的长.
分析：(1)根据垂线的定义得到 ADC=90°，由全等三角形的性质得到 DAB= DCF，据此可利用三角形内角和定理证明
AEF= CDF=90°，据此可得结论.
经典例题
例3 如图所示，已知△ABD≌△CFD，AD BC于D.
(1)判断CE与AB的位置关系，并说明理由；
(2)已知BC=7，AD=5，求AF的长.
经典例题
解：(1)CE AB，理由如下：
∵AD BD，∴ ADC=90°
∵△ABD≌△CFD，∴ DAB= DCF.
又∵ AFE= CFD，
AEF+ AFE+ EAF= DFC+ DCF+ CDF=180°
∴ AEF= CDF=90°，即CE AB.
例3 如图所示，已知△ABD≌△CFD，AD BC于D.
(1)判断CE与AB的位置关系，并说明理由；
(2)已知BC=7，AD=5，求AF的长.
分析：(2)根据全等三角形的性质可得BD=FD，AD=CD=5，从而求得BD=FD=2，即可求解.
经典例题
解：∵△ABD≌△CFD，
∴BD=FD， AD=CD.
∵BC=7，AD=CD=5，
∴BD=BC-CD=7-5=2.
∴FD=2
∴AF=AD-FD=5-2=3.
先找对应边， 再算边长.
总结
1.如图，△ABC≌△BDE， A和 EBD， C和 E是对应角.说出这两个三角形的对应边和另一组对应角.
教材
练习
解：相等的边：AC=DB ，OC=OB， OA=OD.
相等的角： A= D， C= B ， AOC= DOB.
2.如图，△OCA≌△OBD，点C和点B，点A和点D是对应顶点，说出这两个三角形中相等的边和角.
解：△ABC与△BDE的对应边为：
AC与BE，AB与BD ，BC与DE.
△ABC与△BDE的另一组对应角为： ABC和 BDE.
A
B
C
D
限时训练
1.如右图，已知△ABD≌△ACE， C=45°，AC = 8， AE = 5，则 B = ， DC = .
A
E
B
C
D
8
5
5
45°
3
2.如图所示，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是( )
A.△ABD 和△CDB 的面积相等 B.△ABD 和△CDB 的周长相等
C. A + ABD = C + CBD D.AD∥BC，且AD = BC
C
分析：根据全等三角形的性质推出两三角形面积相等，
周长相等.且AD=BC， 1= 2，所以AD∥BC.
由全等得 A= C， ABD= CDB，所以 A+ ABD= C+ CDB≠ C+ CBD，故选C.
1
2
限时训练
3.如图，长方形ABCD沿AM折叠，使D点落在BC上的N点处，AD=7cm， DAM=15°，则AN= cm， NAB= .
分析：∵将长方形ABCD沿AM折叠，使点D落在BC边上的点N，∴△ADM≌△ANM.
∴AN=AD=7cm， DAM= NAM=15°.
∴ NAB=90°- DAM- NAM=60°.故答案为7，60°.
7
60°
4.一个三角形的三边为2，5，a，另一个三角形的三边为b，2，6，若这两个三角形全等，则a+b的值为( )
A.8 B.9 C.10 D.11
D
分析：由全等三角形的性质得a=6，b=5，∴a+b=11.
限时训练
5.如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F.
(1)当DE=8，BC=5时，求线段AE的长.
(2)已知 D=35°， C=60°，求 DBC与 AFD的度数.
分析：(1)根据全等三角形的性质得到AB=DE=8，BE=BC=5，结合图形计算，即可得到答案.
解：(1)∵△ABC≌△DEB，DE=8，BC=5
∴AB=DE=8，BE=BC=5.
∴AE=AB-BE=8-5=3.
A
B
C
D
F
E
A
B
C
D
F
E
限时训练
5.如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F.
(2)已知 D=35°， C=60°，求 DBC与 AFD的度数.
分析：(2)根据全等三角形的性质得到 DBE= C=60°，
A= D=35°，根据三角形内角和定理求出 ABC，即可求得.
解：(2)∵△ABC≌△DEB， D=35°， C=60.
∴ DBE= C=60°， A= D=35°， ABC= DEB.
∴ ABC=180°- A- C=180°-35°-60°=85°.
∴ DBC= ABC- DBE=85°-60°=25°.
∵ ABC=85°，∴ DEB=85°，∴ AED=180°- DEB=180°-85°=95°
∴ AFD= A+ AED=35°+95°=130°.
概念
性质
能够完全重合的两个图形叫作全等形.
能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形.
全等三角形及其性质
全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等.
实践作业：发现生活中的全等三角形
任务：1.观察并寻找生活中至少3组全等三角形的实例.
2.针对每一组全等三角形实例，分析其在实际场景中所发挥的作用.
要求：用拍照或者手绘的方式记录找到的全等三角形实例，并附上简单的文字说明.
示例：晾衣架的支撑结构由多个全等三角形组成.作用：利用全等三角形的稳定性，使晾衣架能够稳固地支撑衣物，不易变形摇晃.
谢谢

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