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单摆--2025-2026学年高中物理鲁科版选择性必修第一册课时作业
一、多选题
1．如图所示，用完全相同的轻质弹簧P、Q拴接小球A，固定在竖直平面内处于静止状态，此时两弹簧的总长度恰好等于两弹簧的原长之和.已知弹簧的劲度系数为k，小球的质量为m，重力加速度为g，忽略空气阻力.下列说法错误的是( )
A.弹簧P的伸长量为
B.剪断弹簧Q的瞬间，小球A的加速度大小为g
C.剪断弹簧Q后，小球A的机械能守恒
D.剪断弹簧Q后，小球A做简谐运动的振幅为
2．如图甲所示，水平弹簧振子的平衡位置为O点，在B、C两点之间做简谐运动，规定水平向右为正方向.图乙是弹簧振子做简谐运动的图像，则( )
A.弹簧振子从B点经过O点再运动到C点完成了次全振动
B.弹簧振子的振动方程为
C.图乙中的P点对应的时刻，振子的速度方向与加速度方向都沿正方向
D.弹簧振子在前2.5 s内的路程为1 m
3．某质点的振动图像如图所示，下列说法正确的是( )
A.该简谐运动的表达式为
B.1~3 s内，质点的速度方向与加速度方向始终相同
C.时，质点的位移为1 cm
D.和时，质点的速度大小相等，方向相反
4．如图所示是一质点做简谐运动的图像，下列说法正确的是( )
A.时刻质点的加速度最大
B.时刻质点正通过平衡位置向正方向运动
C.时刻质点的位移最大
D.时刻质点正通过平衡位置向正方向运动
5．关于单摆，下列说法正确的有( )
A.确定计算单摆周期公式的是惠更斯
B.单摆所受的合力就是单摆的回复力
C.在绕地球运行的空间站中可以用单摆来计时
D.摆球经过平衡位置时，回复力为零
E.单摆摆球所受回复力跟相对于平衡位置的位移成正比
6．如图所示，在O点用长为L的细绳系着一小球（可视为质点），O点正下方A点处有一固定的光滑钉子，。小球在B点由静止释放，运动至右侧最高点C点的时间为t，AC与竖直方向夹角足够小，重力加速度为g，不计空气阻力，则t可能等于( )
A. B. C. D.
7．图为摆长为的单摆分别在地球表面和某星球表面做受迫振动的共振曲线，其中纵轴为单摆的振幅，横轴为驱动力的频率。取地球表面的重力加速度。下列说法正确的是( )
A.图线I是地球上单摆的共振曲线
B.已知月球表面重力加速度大小约为，火星表面重力加速度大小约为，则该星球可能是月球
C.将一摆钟从地球移到该星球上，摆钟会变快
D.收音机调台时，需要从不同频率的信号中选出我们需要的，其原理和共振类似，此过程称为调谐
8．如图所示，一根较长的细线一端固定，另一端系上沙漏，装置底部有一可以向前移动的长木板。当沙漏左右小幅度摆动时，漏斗中的沙子均匀流出，同时匀速拉动长木板，漏出的沙子在板上形成一条正弦曲线。在曲线上有两个位置P和Q。不计空气阻力，下列说法正确的是( )
A.若要记录沙漏多次全振动的时间，则应该在Q点开始计时
B.随着沙子从漏斗中流出，沙漏摆动的周期将变小
C.位置P处的沙层比Q处的沙层薄一些
D.为在木板上形成更多完整的正弦曲线，应该适当减小拉动速度
二、计算题
9．如图所示是两个弹簧振子A、B做简谐运动的图像，根据图像所给的信息，回答以下问题：
（1）弹簧振子A的振幅和周期分别是多少？
（2）8~10 s内，振子B加速度的大小和方向如何变化？
（3）在时，A、B振子都通过平衡位置，并且它们的速度大小相等、方向相反，从此时起，至少再经过多长时间，它们再次同时通过平衡位置且速度相同？
（4）写出两个弹簧振子的位移与时间的关系式.
10．小王在实验室做单摆实验时得到如图甲所示的单摆振动情形，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的左右最远位置，此时的摆动角度为，小王通过实验测得当地重力加速度为，并且根据实验情况绘制了单摆的振动图象如图乙所示，设图中单摆向右摆动为正方向。求：
(1)单摆的振幅、摆长约为多少；
(2)估算单摆振动时最大速度v。(可能用到的公式)(计算结果均保留三位有效数字)
11．如图所示，单摆摆长为l，在悬点O正下方A点钉一颗钉子，其中,则此摆振动的周期为多少？
三、单选题
12．一个单摆在地面上做受迫振动，其共振曲线（振幅A与驱动力频率f的关系）如图所示，则( )
A.此单摆的固有周期约为0.5 s
B.此单摆的摆长约为1 m
C.若摆长增大，单摆的固有频率增大
D.若摆长增大，共振曲线的峰值将向右移动
13．下列说法正确的是( )
A.做简谐振动的物体，经过同一位置时，速度一定相同
B.在同一地点，当摆长不变时，摆球质量越大，单摆做简谐运动的周期越小
C.系统做稳定的受迫振动时，系统振动的频率一定等于系统的固有频率
D.一弹簧振子的位移y随时间t变化的关系式为（单位都是国际单位制），在时，振子的运动速度为零
14．单摆是秋千、摆钟等实际摆的理想化模型，下列有关单摆的说法中正确的是( )
A.单摆在任何情况下的运动都是简谐运动
B.单摆做简谐运动的振动周期由摆球的质量和摆角共同决定
C.当单摆的摆球运动到最低点时，回复力为零，但是所受合力不为零
D.单摆移到太空实验舱中可以用来研究简谐运动的规律
15．下列有关单摆的说法正确的是( )
A.在做单摆实验时，要尽可能选择质量小、体积大的球
B.同一个单摆在赤道和两极的周期相同
C.单摆的周期与摆球质量和振幅无关
D.摆角很大时，单摆也可以看成做简谐运动
16．将一台智能手机水平粘在秋千的座椅上，使手机边缘与座椅边缘平行（图甲），让秋千以小摆角（小于）自由摆动，此时秋千可看作一个理想的单摆，摆长为L。从手机传感器中得到了其垂直手机平面方向的关系图如图乙所示。则以下说法正确的是( )
A.秋千从摆动到停下的过程可看作受迫振动
B.当秋千摆至最低点时，秋千对手机的支持力小于手机所受的重力
C.秋千摆动的周期为
D.该地的重力加速度
17．细长轻绳下端拴一小球构成单摆，摆长为L，在悬挂点正下方摆长处有一个能挡住摆线的钉子A，如图所示。现将单摆向左方拉开一个小角度然后无初速度释放。忽略空气阻力，不考虑运动过程中的机械能损失，对于以后的运动，下列说法中正确的是( )
A.摆球在平衡位置左右两侧扫过的最大摆角相等
B.摆球往返运动一次的周期比无钉子时的单摆周期小
C.摆球经过最低点时，摆线与钉子接触前后的瞬间摆线的拉力大小不变
D.摆球在右侧上升的最大高度大于左侧最大高度
18．若单摆的摆长不变，摆球的质量增加为原来的4倍，摆球经过平衡位置时的速度减为原来的，则单摆的振动的物理量变化的情况是( )
A.频率不变，振幅不变 B.频率不变，振幅改变
C.频率改变，振幅改变 D.频率改变，振幅不变
19．如图甲所示，在一条张紧的绳子上挂几个摆，a、c摆的摆长相同且小于b摆的摆长。当a摆振动的时候，通过张紧的绳子给其他各摆施加驱动力，使其余各摆也振动起来。图乙是c摆稳定以后的振动图像，重力加速度为g，不计空气阻力，则下列说法正确的是( )
A.a、b、c单摆的固有周期关系为
B.b、c摆振动达到稳定时，c摆振幅较大
C.达到稳定时b摆的振动周期最大
D.由图乙可知，此时b摆的振动周期小于
20．如图甲所示，用细线悬挂一个除去了柱塞的注射器，注射器内装有墨汁，将注射器拉开一个小角度，当注射器摆动时，沿着垂直于摆动的方向以速度匀速拖动木板，滴在木板上的墨汁图样如图乙所示，测得长为，墨汁图样与木板边缘的交点P、Q恰好是墨汁最远处，已知重力加速度，则该“单摆”的等效摆长为( )
A. B. C.1 m D.
21．如图是同一地点两个单摆的振动图像，可知( )
A.甲、乙的摆长之比为1:2
B.时，两单摆的回复力最大
C.甲、乙两个单摆的摆球质量之比为1:2
D.甲摆摆球位移随时间变化的关系式为
22．如图所示，长为L的绝缘细绳下方悬挂一带正电的小球，另一端固定在O点，O点与正下方的点连线的左侧空间存在竖直向下的匀强电场，在该匀强电场中小球受的电场力为重力的3倍。将小球向右拉开，使细绳恰好伸直并与竖直方向成约2°的小角度后由静止释放，从释放时刻开始计时。设小球相对于其平衡位置的水平位移为x，向右为正。下列描述小球在开始一个周期内的图像可能正确的是( )
A. B.
C. D.
23．力传感器连接到计算机上就可以测量快速变化的力。图甲中O点为单摆的固定悬点，现将摆球拉至A点，此时细线处于张紧状态，释放摆球，则摆球将在竖直平面内的A、B、C之间来回摆动。B点为运动中的最低位置，小于5°且是未知量。图乙是细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线，且图中时刻为摆球从A点开始运动的时刻，摆球可视为质点，重力加速度。下列说法正确的是( )
A.此单摆的振动周期为
B.此单摆的摆长为0.4 m
C.此单摆摆球的质量为0.5 kg
D.此摆球运动过程中的最大速度为0.5 m/s
四、填空题
24．如图甲所示，这是某高中物理课外探究小组自制的力传感器。如图乙所示，该组同学将单摆悬挂在力传感器上，现将摆球拉开一小角度θ由静止释放，摆球来回摆动。力传感器测得细线对摆球的拉力大小F随时间t变化的曲线如图丙所示，时释放该单摆，取重力加速度大小。
（1）单摆的周期______s。
（2）单摆的摆长L=______m。
（3）摆球的质量m=______kg。
25．如图所示，小球m自A点以初速度向AD方向运动，已知弧长，AB圆弧半径，，A、B、C、D在同一水平面内。欲使小球恰好能够通过D点，其初速度应取_________。（重力加速度，结果可以保留π）
五、实验题
26．智能手机软件中的“磁力计”可显示磁感应强度大小随时间变化的关系，小王同学用该软件设计实验测量单摆的周期及当地重力加速度。用细线拴一块形状不规则的铁块并悬挂，铁块下面吸一小块磁铁，让手机内置磁敏元件位于小球静止位置正下方，做成如图甲所示的单摆。
(1)用毫米刻度尺测量摆线长度l，使铁块在竖直面内做小角度摆动，手机软件显示磁感应强度大小随时间变化如图乙所示，则铁块摆动的周期___。
(2)多次改变摆线的长度，重复实验，得到多组摆线长度l及铁块摆动的周期T，作出如图丙所示图像，图像不过原点的原因是___，图像不过原点对重力加速度的测量___（填“有”或“没有”）影响，根据图丙可得重力加速度的测量值为___。（计算结果保留3位有效数字）
(3)小王同学认为手机内也含有铁等金属，由于手机对小磁铁的吸引，会使g的测量值___真实值（选填“大于”“小于”或“等于”）。
参考答案
1．答案：ABC
解析：静止时，两弹簧的总长度恰好等于两弹簧的原长之和，两弹簧完全相同，所以此时P的伸长量等于Q的压缩量，设为x，则有，得，A错误；剪断弹簧Q的瞬间，小球A受重力以及P对小球向上的弹力，则合力为，由牛顿第二定律有，此时A的加速度为，方向竖直向下，B错误；剪断弹簧Q后，弹簧P对小球做功，小球A的机械能不守恒，C错误；剪断Q后，小球在重力和弹簧P的弹力作用下沿竖直方向做简谐运动，合力为零的位置为平衡位置，设此位置弹簧伸长量为，则有，得，剪断弹簧Q时小球处于简谐运动的上方最大位移处，则振幅为，D正确.本题选说法错误的，故选A、B、C.
2．答案：AD
解析：弹簧振子在B、C两点间做简谐运动，则弹簧振子从B点经过O点再运动到C点完成了次全振动，故A正确；根据题图乙可知，弹簧振子的振幅，周期，则频率为，规定向右为正方向，时刻位移为0.1 m，表示振子从B点开始运动，初相为，则振子的振动方程为，故B错误；由题图乙可知，P点对应的时刻，振子的速度方向为负，此时刻振子正在沿负方向做减速运动，则加速度方向为正方向，故C错误；，则振子在前2.5 s内的路程为，故D正确.
3．答案：CD
解析：由振动图像可知，该简谐运动的振幅为2 cm，周期为4 s，则，故简谐运动的表达式为时，，代入解得，故简谐运动的表达式为，故A错误；1~2 s时间内，质点做减速运动，故质点的速度方向与加速度方向相反，故B错误；将代入表达式可得，故C正确；图像上某点的切线斜率表示速度，可知和时质点的速度大小相等，方向相反，故D正确.
4．答案：ACD
解析：从图像可以看出，时刻，质点在正的最大位移处，此时质点速度为零，加速度最大，A项正确；时间内质点的位移为负，因此，时刻质点正通过平衡位置向负方向运动，B项错误；时刻质点在负的最大位移处，C项正确；时刻以后，质点的位移为正，所以该时刻质点正通过平衡位置向正方向运动，D项正确.
5．答案：ADE
解析:A.惠更斯确定了计算单摆的周期公式，故A正确；
B.单摆的回复力是由单摆所受到的重力沿运动轨迹切线方向上的分力提供的，单摆通过平衡位置时回复力为零，但合力不为零，故B错误；
C.在空间站中物体处于完全失重状态，所以不能用单摆来计时，故C错误；
D.回复力是使摆球回到平衡位置的力，在平衡位置回复力为零，故D正确；
E.摆球所受回复力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小成正比，故E正确。
故选ADE。
6．答案：AC
解析：小球摆动过程的摆长为L时，其周期为
小球摆长为时，其周期为
小球在B点由静止释放，摆动的周期为
小球在B点由静止释放，第一次运动至右侧最高点C点的时间为
小球在B点由静止释放，运动至右侧最高点C点的时间为
当时
当时，
故选AC。
7．答案：BD
解析:A.根据单摆周期公式
可知，单摆在地球表面振动的固有周期
则固有频率
图线II是地球上单摆的共振曲线，故A错误；
B.根据
可知
则该星球表面的重力加速度约为，故B正确。
C.由上述分析可知，图线I是该星球上单摆的共振曲线，单摆在该星球表面振动的固有频率较小，固有周期较大，则将一摆钟从地球移到该星球上，摆钟会变慢，故C错误；
D.收音机调台时，通过调整接收电路的固有频率和接收的信号频率相等来达到“电谐振”，从而选出需要的电台，此过程称为调谐，故D正确。
故选BD。
8．答案：CD
解析:A.若要记录沙漏多次全振动的时间，则应该在平衡位置P点开始计时，以减小计时误差，故A错误；
B.随着沙子从漏斗中流出，沙漏的重心先降低后恢复到原来的位置，则摆长先增加后减小，根据周期为，可见单摆的周期先增加后减小，故B错误；
C.由题图可知，Q点位于最大位移处，P点位于平衡位置，沙漏摆动至Q点上方最近时速度最小，运动最慢，所以细沙在Q处堆积的沙子较多，故C正确；
D.根据可知，v越小，t越大；沙湜摆动的周期不变，所以拉动长木板速度慢些，即可形成更多完整的正弦曲线，故D正确。故选CD。
9．答案：（1）1 cm；
（2）大小逐渐减小，方向指向平衡位置
（3）20 s
（4）
解析：（1）由题图可知，振子A的振幅为，
对A，有，解得.
（2）由题图可知振子B的周期为内，振子向平衡位置运动，加速度减小，方向指向平衡位置.
（3）时，A、B振子都通过平衡位置，它们的速度大小相等、方向相反，从此刻起，设再经过时间t，它们再次通过平衡位置且速度相同，其中B振子将多振动半个周期，设A振子振动的次数为n，则有①，或②，，由①解得应为整数，不合理，舍去，由②解得，所以时间.
（4）弹簧振子A的振幅，圆频率为，初相位为，
则弹簧振子A的位移与时间的关系式为，
同理，弹簧振子B的振幅，圆频率为，
初相位为0，则弹趪振子B的位移与时间的关系式为.
10．答案：(1)0.75s；(2)12cm
解析:(1)简谐波的波前相距，设两列波经时间为t相遇，则
解得
(2)两列波经相遇在PQ的中点M，所以M点在时开始振动。两列波的周期
由图可知，两列波同时到达M点时，引起质点振动的方向均沿y轴负方向，所以两列波在M点的振动加强，即M点的振幅为
时，M点振动了，即；根据简谐运动的周期性，M点运动的路程
11．答案：
解析：碰钉子之前，摆长为l，单摆周期为
碰钉子之后，摆长为，单摆周期为
所以此单摆的周期为
12．答案：B
解析：A.驱动力频率为0.5 Hz时共振，所以固有频率为0.5 Hz，固有周期为2 s，故A错误；
B.由单摆周期公式
得摆长约为1 m，故B正确；
C.摆长变大，由单摆周期公式知固有周期变大，从而固有频率变小，故C错误；
D.由C项分析知，若摆长增大，则固有频率变小，所以共振曲线峰值向左移动，故D错误；
故选B。
13．答案：D
解析：A.做简谐振动的物体，经过同一位置时，速度大小相同，方向不一定相同，故A错误；
B.单摆做简谐运动的周期为，周期与摆球的质量无关，故B错误；
C.系统做稳定的受迫振动时，系统振动的频率等于驱动力频率，故C错误；
D.在时，振子的位移为，振子位于偏离平衡位置最大位移处，振子的运动速度为零，故D正确。
故选D。
14．答案：C
解析：A.由单摆的条件可知单摆在摆角很小的情况下才做简谐运动，故A错误；B.由单摆做简谐运动的周期公式即振动周期与摆球的质量和摆角无关，故B错误；C.当单摆的摆球运动到最低点时，回复力为零，但是单摆的向心力不为零，所受合力不为零，故C正确；D.单摆移到太空实验舱中，由于完全失重，其回复力为零，单摆不能做简谐运动，更不能研究简谐运动的规律，故D错误。故选C。
15．答案：C
解析：在做单摆实验时，要尽可能选择质量大、体积小的球，选项A错误；赤道和两极的重力加速度不同，同一单摆的周期不同，选项B错误；单摆的周期与摆球质量和振幅无关，选项C正确；摆角很大时，就不满足简谐运动规律，选项D错误。
16．答案：D
解析：这群原子能辐射出种不同频率的光子，故A错误；处于能级的氢原子具有的能量为，则至少需吸收能量的光子才能电离，故B正确；根据能级差公式可知氢原子从能级跃迁到能级，辐射光子的能量最小，氢原子辐射光子的最小能量为，故C错误；根据能级差公式，则氢原子从能级跃迁到能级，辐射光子的能量最大，波长最小，故D错误。
17．答案：B
解析：AD.摆球运动过程中只有重力做功，故摆球在右侧上升的高度与左侧开始下落的高度相同，则设摆球开始下落时与竖直方向的夹角为α，摆到右侧最高点时与竖直方向的夹角为β则
即
AD错误；
B.无钉子时的单摆周期为
有钉子时摆球往返运动一次的周期为
故
B正确；
C.摆球经过最低点时，摆线与钉子接触前后的瞬时速度相等，故摆线与钉子接触前有
摆线与钉子接触后有
故
C错误。
故选B。
18．答案：B
解析：由单摆周期公式可知，决定单摆周期的因素是摆长及当地的重力加速度，与摆球的质量、运动速度均无关，C、D错误。决定振幅的是外在因素，反映在单摆的运动中，可以从能量角度去观察，摆球在平衡位置（即最低点）时的动能为，当m增加为原来的4倍，速度减为原来的时，动能不变，摆球在最高点的重力势能也不变，而重力势能增大，则h变小，振幅减小，A错误，B正确。
19．答案：B
解析：由单摆的周期公式可知，a、b、c单摆的固有周期关系为，选项A错误；根据，可知c摆发生共振，达到稳定时，c摆振幅较大，选项B正确；受迫振动的周期等于驱动力的周期，故三个单摆的周期相同，即，选项C、D错误。
20．答案：C
解析：由题图乙可知，墨汁在木板上留下图样的时间内单摆恰好摆动2.5个周期，对应的时间为，即，故单摆的振动周期为，结合单摆的周期公式，可得等效摆长为，C正确。
21．答案：D
解析：由单摆的周期公式可得甲、乙的摆长之比为，A错误；时，两单摆均处于平衡位置，该位置的回复力为零，B错误；单摆的周期与摆球的质量无关，所以由题中条件无法得到两摆球的质量关系，C错误；由图可知，甲摆的振幅为2 cm，周期为4 s，所以，且零时刻摆球位于平衡位置并开始向正方向运动，故甲摆摆球的位移随时间变化的关系式为，D正确。
22．答案：A
解析：根据单摆周期公式，可知在右侧时，在左侧时，解得，，选项B、D错误。设在右侧时单摆振幅为A，小球运动过程中最低点与最高点高度差为h，如图所示，由于，可认为，由于与相似，则，即，解得，根据能量守恒可知，在左侧单摆摆到的最大高度满足，解得，则在左侧单摆振幅，选项A正确，C错误。
23．答案：B
解析：小球在一个周期内两次经过最低点，小球在最低点时细线对摆球的拉力最大，结合题图乙可知此单摆的振动周期为，选项A错误；根据单摆周期公式，解得此单摆的摆长为，选项B正确；小球在最低点，根据牛顿第二定律可得，小球在最高点，根据牛顿第二定律可得，小球从最高点到最低点，根据动能定理可得，联立解得，选项C、D错误。
24．答案：（1）（2）1.6（3）0.05
解析：（1）当摆球摆到最高点时，细线拉力最小，由题图丙可知，单摆的周期
（2）根据周期公式有
结合上述解得
（3）根据图丙可知，在最低点时细线对摆球的拉力大小
根据牛顿第二定律有
在最高点时细线对摆球的拉力大小
摆球由最高点到最低点的过程中，根据机械能守恒定律有
结合上述解得
25．答案：（，2，3…）
解析：小球m的运动由两个分运动合成，这两个分运动分别是：以速度v沿AD方向的匀速直线运动和在圆弧面AB方向上的往复运动.因为弧长远远小于半径R，所以小球在圆弧面上的往复运动具有等时性，是类单摆，其圆弧半径R即为类单摆的摆长；设小球m恰好能够通过D点，则有
且满足
（，2，3…）
又周期为
联立并代入数据解得
（，2，3…）
26．答案：(1)
(2)l是摆线的长度，不是摆长;没有;
(3)大于
解析：(1)小磁铁经过最低点测得的磁感应强度B最大，小球两次经最低点的时间间隔是半个周期，则
则铁块摆动的周期
(2)图像不过原点的原因是l是摆线的长度，不是摆长；
设铁块和小磁铁整体重心到细线下端距离为r，根据周期公式
可得
故该图像的斜率为
图像不过原点不影响斜率，对重力加速度的测量没有影响；
根据图丙可得
解得重力加速度的测量值为
(3)手机内也含有铁等金属，由于手机对小磁铁的吸引，会使单摆周期减小，图像的斜率变小，g的测量值会大于真实值。
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