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6.1平面向量的概念
人教A版2019必修第二册
第 六 章 平面向量及其应用
教学目标
1.通过对力、速度、位移等的分析,了解平面向量的实际背景,理
解平面向量、零向量、向量的模、单位向量、平行向量（共线向量）
的意义和两个向量相等的含义.
2.能够在熟悉的实际问题情境中,理解平面向量的几何表示和基
本要素.
情境导入
思考：老鼠为什么认为猫是“傻猫”?
10????/????
?
50????/????
?
结论：猫的速度再快也没用，因为方向错了。
速度是既有大小又有方向的量
类似的，你能举例生活中既有大小又有方向的量吗？
情境导入
生活中的量
身高
体重
衡量孩子成长情况的基本要素？
只有大小，没有方向
速度 力
影响距离的因素？
既有大小，又有方向
影响命中的因素？
位移 力 加速度
既有大小，又有方向
概念讲解
一本书、一棵树、一支笔…
只有大小的数量“1”
数量
既有大小又有方向
向量
位移、速度、重力、浮力…
只有大小没有方向的量叫做数量
既有大小又有方向的量叫做向量
定义
抽象成
抽象成
概念讲解
思考：向量是否可以比较大小？
数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、能比较大小；
向量具有大小和方向这双重要素，由于方向不能比较大小，故向量不能比较大小.
概念辨析
1.举例：根据向量与数量的定义，将学过的 量 进行分类
数量：路程、面积、身高、体重、功、功率……
向量：位移、速度、重力、……
2.判断下列说法是否正确,并说明理由:
①.由于零上温度可以用正数来表示,零下温度可以用负数来表示,所以温度是向量.
错误,因为温度没有方向。
②.坐标平面上的x轴和y轴是向量.
错误,因为无法刻画x轴和y轴的大小。
向量的几何表示
用实数表示：如0、3、?3.2、2……；
几何表示：
?
概念讲解
探究：由于实数与数轴上的点一一对应，数量常常用数轴上的一个点表示，那么，怎么表示向量呢？
概念讲解
向量的几何表示我们以位移为例：
小船以????为起点，????为终点，我们可以用连接????，???? 两点的线段长度代表小船行进的距离，并在终点????处加上箭头表示小船行驶的方向．
于是，这条“带有方向的线段”可以表示位移。
受此启发，我们可以用带箭头的线段来表示向量，它的长短表示向量的大小，箭头指向表示向量的方向。
?
????
?
????
?
具有方向的线段叫做有向线段
有向线段三要素：起点、方向、长度
概念讲解
向量的几何表示：
向量常用一条有向线段来表示
①有向线段的长度表示向量的大小.
②箭头所指的方向表示向量的方向
????(终点)
?
????(起点)
?
????
?
????????
?
向量的符号表示：
①向量可以用有向线段的起点和终点字母表示
比如：以点A为起点，点B为终点的向量记作????????，读作向量AB
②在印刷时,常用粗黑体小写字母????,????,????….表示;
③手写时，则可用带箭头的小写字母????,????,????来表示.
?
概念讲解
向量的模：
定义：向量的大小称为向量的长度，或向量的模
表示：在向量符号的两端加上短竖：
如：向量????????的长度表示成????????，读作向量????????的模
特殊向量： ①零向量：模为零的向量叫做零向量，记作????
②单位向量：模为1的向量叫做单位向量
?
注意：1.向量不能比较大小，但向量的模可以比大小；
2.零向量的长度为0，方向不确定，它的方向是任意的；
3.单位向量长度为1，每个单位向量的方向是确定的（由题设规定）
例题剖析
例1.如图，分别用向量表示????地至????、????两地的位移，并根据图中的比例尺求出????地至????、????两地的实际距离（精确到?????????????）
?
解： ????????表示????地至????地的位移,且????????≈___________;
????????表示????地至????地的位移, 且????????≈ ___________.
?
相等向量与共线向量
概念讲解
思考1：????????,????????表示同一个有向线段吗？ ????????,????????表示同一个向量吗？为什么？
?
A
B
C
D
A
B
C
D
不同的有向线段（起点不同）
同一个向量（大小、方向相同）
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. 记作????=????.
?
相等向量
概念讲解
思考2：观察右图的向量，你能发现什么？
????
?
????
?
????
?
????
?
????????,????????方向相反，大小相等，所以称????????与????????是两个平行向量。
?
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量.用有向线段表示的向量????与????是两个平行向量.向量????与????平行，记作????//????.
规定：零向量与任意向量平行.即对于任意向量????，都有0//????.
?
概念讲解
任何一组平行向量都可以移到同一直线上，所以平行向量也叫做共线向量。
如图????，????，????，是一组平行向量，经过平移都可以移到一条直线上
?
概念辨析
判断正误.
1.如果|AB|>|CD|，那么AB>CD. ( )
2.若????，????都是单位向量，则????=????. ( )
3.力、速度和质量都是向量. ( )
4.零向量的大小为0，没有方向. ( )
5.若两个单位向量平行，则这两个单位向量相等. ( )
6.向量????????与向量????????的大小相等. ( )
?
【答案】：×，×，×，×，×，√.
?
例题剖析
例2：如图，设O是正六边形ABCDEF的中心.
(1)写出图中的共线向量；
(2)分别写出图中与OA，OB，OC相等的向量.
?
解：(1)????????，????????，????????，????????是共线向量；????????，????????，????????，????????是共线向量；
????????，????????，????????，????????是共线向量.
(2)????????=????????=????????；
????????=????????=????????；
????????=??????=????????=????????.
?
课堂巩固
课堂巩固
1.下列量中是向量的为( )
A.课桌的高度 B.一段路程的公里数
C.上课时老师敲击黑板的频率 D.小汽车受到路面的弹力
√
课堂巩固
2.［2025·洛阳高一期中］下列结论正确的是( )
A.若????与????都是单位向量，则????=????
B.方向为南偏西60? 的向量与方向为北偏东60? 的向量是共线向量
C.直角坐标平面上的????轴、???? 轴都是向量
D.若????与????是平行向量，则????=????
?
√
课堂巩固
3.如图，在平行四边形????????????????中，????，???? 分别是
????????，????????的中点，则图中所示的向量中与???????? 平行
的有( )
?
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
√
概念讲解
4.（多选题）如图所示,四边形????????????????,????????????????,????????????????是全等的菱形,????????
与????????相交于点???? ,则下列结论一定成立的是( )
?
A.|????????|=|????????| B.????????与???????? 共线
C.????????与????????共线 D.????????与???????? 共线
?
√
√
√
5.如图，????，????，????，???? 分别是四边形
???????????????? 各边的中点，分别指出图中：
（1）与向量???????? 相等的向量；
?
（2）与向量???????? 平行的向量；
?
（3）与向量???????? 模相等的向量；
?
（4）与向量???????? 模相等、方向相反的向量.
?
解：∵????，????，????，????分别是四边形???????????????? 各边的
中点，
∴????????=2????????=2????????，????????=2????????=2???????? ，
????????//????????//????????，????????//????????//????????，
∴ 四边形???????????????? 是平行四边形.
与向量????????相等的向量是???????? .
?
（1）与向量???????? 相等的向量；
?
（2）与向量???????? 平行的向量；
?
解： 与向量????????平行的向量是????????,????????,????????,???????? ,
???????? .
?
（3）与向量???????? 模相等的向量；
?
解： 与向量????????模相等的向量是????????,????????,???????? .
?
（4）与向量???????? 模相等、方向相反的向量.
?
解： 与向量????????模相等、方向相反的向量是????????,???????? .
?
课堂小结
课堂小结

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