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6.2.1 向量的加法
第 六 章 平面向量及其应用
人教A版2019必修第二册
教学目标
1.借助实例和平面向量的几何表示,掌握平面向量加法运算及运
算规则,并理解其几何意义,会用向量加法的三角形法则和平行四边形
法则作出两个向量的和.
2.能够在数学问题情境中,掌握向量加法的交换律与结合律,并会
用它们进行向量运算.
温故知新
1.向量是既有______又有______的量，用__________表示
2.零向量是_______的向量,单位向量是_______的向量
3.平行向量：
4.相等向量：
大小
方向
有向线段
模为0
模为1
方向相同或相反的向量
模相等且方向相同的向量
情境导入
小明在旅游的时候，从A地出发向东行走6千米到达B地，再向北又走了8千米到达C地，那么这时小明在A地的什么方向？到A地的距离是多少？
A
B
6
8
C
小明在A地的“东北方向，距离10 km”
北
东
10
向量的加法的三角形法则
概念讲解
物理中的位移、力是向量，它们可以合成。能否从位移、力的合成中得到启发，引进向量的加法呢？
思考1：如图，某质点从A点经过B走到C.这质点的位移如何表示
A
B
C
分析 :由物理知识可以知道:
从A点到B点然后到C点的合位移,就是从A点到C点的位移.
AB
BC
AC
=
+
从运算的角度看， 可以认为是与的和，
即位移、可以看作向量的加法。
概念讲解
一般的，求两个向量和的运算，叫做向量的加法。
这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。
定义
注意
1.两向量的和仍然是一个向量
2.对与零向量与任意向量规定
3.位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型
概念讲解
A
B
C
思考2.使用向量加法的三角形法则的具体做法是什么？
①两个向量首尾顺次相接，
②第一个向量的起点和后一个向量的终点，并指向后一个向量的终点，就能得到两个向量的和向量。
简记为：首尾相接，首指向尾
向量加法的平行四边形法则
概念讲解
思考3：如图，在光滑的平面上，一个物体同时受到两个外力F1与 F2的作用，你能作出这个物体所受的合力F吗？
根据力的合成法则可知：合力F在以OA,OB为邻边的平行四边形的对角线上，并且大小等于这条对角线的长。
A·
B·
O·
从运算的角度看，F可以看作是F1与 F2的和，即力的合成可以看作向量的加法。
概念讲解
如图，以同一点为起点的两个已知向量，，
以、为邻边作□，
则以为起点的向量（是□的对角线）就是向量与的和．
我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则．
D
B
C
A
思考4.使用向量加法的平行四边形法则的具体做法是什么？
概念讲解
思考5:向量加法的平行四边形法则和三角形法则一致吗？为什么？
b
D
b
C
a
a+b
B
a
A
b
C
a+b
B
a
A
特点：（通过平移）首尾相接
特点：（通过平移）起点相同
不同法则，效果相同
概念讲解
①两个法则的使用条件不同：
三角形法则适用于任意两个非零向量求和
平行四边形法则只适用于两个不共线的相量求和
②三角形法则中强调“首尾相连”；平行四边形法则中强调的是“共起点，不共线”.
③作三个或者三个以上的向量求和时，使用三角形法则更简单.
对向量加法两个法则的理解
练一练
A
B
C
D
E
根据图示填空：
例题剖析
例1：如图，已知向量，，求作向量.
解：作法1：在平面内任取一点(如下图1)，
作，.则.
作法2：在平面内任取一点(如下图2)，
作，.以为邻边作平行四边形□，连接则
图1
图2
向量加法的运算法则
概念讲解
向量三角不等式
已知非零向量 ， ，则
①当 ， 不共线时，作OA= ，AB= ，则 =OB，如图①，根据
三角形的性质有
②当 ， 共线且同向时，作法同上，如图②，此时 ，
此时显然有
③当 ， 共线且反向时，不妨设 ，作法同上，如图③，此时
,有
图①
图②
图③
概念讲解
探究：数的加法满足交换律、结合律，向量的加法是否也满足交换律和结合律呢？
向量加法满足交换律和结合律
例题剖析
例2 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过进行轮渡运输。如图所示，一艘船从长江南岸A地出发，垂直于对岸航行，航行速度的大小为15千米每小时，同时江水的速度为向东6千米每小时。
（1）用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
（2）求船实际航行的速度的大小（结果保留小数点后一位）与方向 （用与江水速度间的夹角表示，精确到1度）。
A
D
B
C
例题剖析
A
B
D
C
解(1)：如图，表示船速，表示江水速度，以为邻边作□，则表示船实际航行的速度.
(2)：在中，
于是
∵所以利用计算工具可得
因此，船实际航行速度的大小约为，方向与江水速度间的夹角约为
例题剖析
例题剖析
课堂巩固
1.设向量，，则 ( )
A. B. C. D.
√
2.化简： 等于( )
A. B. C. D.
√
课堂巩固
3.若在中，，，且， ，
则 的形状是( )
A.等边三角形 B.锐角三角形
C.斜三角形 D.等腰直角三角形
√
课堂巩固
4.（多选题） 已知向量， 均为非零向量，下列说法正确的是
( )
A.若与反向，且，则与 同向
B.若与反向，且，则与 同向
C.若与同向，则与 同向
D.若与同向，则与 同向
√
√
√
课堂巩固
5.如图所示，求：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
课堂巩固
（1） ；
解： .
（2） ；
解： .
（3） ；
解： .
（4） .
解： .
6. 如图,已知,,分别为的边,, 的中点.求
证: .
证明：连接,由题意知, ,
, .
由,,分别为的边,, 的中点可知,
,, .
课堂小结
课堂小结

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