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一、例题讲解
例1. 如图，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面底面，
且，若、分别为、的中点.
求证：（1）// 平面； （2）平面平面.
证明：（1）连结，∵ 底面是边长为的正方形，
∴与互相平分，
∵为的中点， ∴为与的交点，
在中，∵为的中点， ∴//，
又 ∵平面，平面， ；
（2）∵ 面面，平面面，平面，，
　　 ∴ 平面，
∵平面， ，
又 ∵， ∴，
∴是等腰直角三角形，且，即，
　　 ∵ ， ∴ 面，
　　 又 ∵面， ∴ 面面.
例2. 如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和俯视图在下面画出（单位：cm）.
（1）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图；
（2）按照给出的尺寸，求该多面体的体积；
（3）在所给直观图中连结，证明：面.
（Ⅰ）解：如图

（Ⅱ）解：所求多面体体积为；
（Ⅲ）证明：在长方体中，连结，则，
∵分别为、中点，∴，
∵，∴，
又∵面，平面，∴面.
例3. 已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC =∠BAD =，AB = BC = 2 AD = 4， E、F分别是AB、CD上的点，EF∥BC，AE = x，G是BC的中点．沿EF将梯形ABCD翻折，使平面AEFD⊥平面EBCF ( 如图 ) .
(1) 当x = 2时，求证：BD⊥EG；
(2) 若以F、B、C、D为顶点的三棱锥的体积记为 f ( x )，求f ( x ) 的最大值.
（1）证明: 作DH⊥EF于H，连结BH、GH，
由平面平面，得DH⊥平面EBCF，
∵ EG平面EBCF， ∴ EG⊥DH，
在梯形ABCD中，∵ EF∥BC，AD∥BC， ∴ EF∥AD，
∵∠ABC =∠BAD =， ∴ ∠EBC =∠BEF =∠AEF =，
∴ AE∥DH，∴ 四边形AEHD为矩形，∴ AD = EH，
∵ AB = BC = 2 AD = 4，G是BC的中点， ∴ BG = EH，
∴ 四边形BGHE为正方形， ∴ EG⊥BH，
∵ BHDH＝H，∴ EG⊥平面DBH，
而BD平面DBH，∴BD⊥EG；
（2）解：∵ AD∥BC，BC面BFC，AD面BFC，∴ AD∥面BFC，
∴ VD - BFC ＝ VA - BFC ＝＝ 4(4-x)x，
即当时，有最大值为.
注意：平面图形的翻折，要注意翻折前后的长度、角度、位置的变化，翻折前后在同一个三角形中的角度、长度不变；
二、练习：
1. 已知是平面，是直线，则下列命题中不正确的是（ ）
A、若∥，则　 B、若∥，则∥
C、若，则∥　 D、若，则
2. 设表示平面，表示直线，给定下列四个命题：
①；②；③；④.
其中正确命题的个数有 ( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
3. 已知一个实心铁质的几何体的正视图、侧视图和俯视图都是半径为3的圆，将6个这样的几何体熔成一个实心正方体，则该正方体的表面积为（ ）
A． B． C． D．
4. 下图是由哪个平面图形旋转得到的（ ）
A B C D
5. 如图，水平放置的三棱柱的侧棱长和底边长均为2，且侧棱
，正视图是边长为2的正方形，该三棱柱的
侧视图面积为（ ）
A. B. C. D.
6. 对于任意直线l与平面，在平面内必有直线m，使m与l（　　）.
（A）平行　　　　　 （B）相交　　 （C）垂直　　　　　（D）互为异面直线
7. 将边长为的正方体沿对角线折起，使得，则三棱锥的体积为 .
8. 已知一几何体的三视图如下，正视图和侧视图都是矩形，俯视图为正方形，在该几何体上任意选择4个顶点，它们可能是如下各种几何形体的4个顶点，这些几何形体是 （写出所有正确结论的编号）
① 矩形；
② 不是矩形的平行四边形；
③ 有三个面为直角三角形，有一个面为等腰三角形的四面体；
④ 每个面都是等腰三角形的四面体；
⑤ 每个面都是直角三角形的四面体.
9. 如图，在四棱锥中，侧面是正三角形，且与底面垂直，底面是边长
为的菱形，，是中点，截面交于.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求证：⊥平面；
（Ⅲ）求三棱锥的体积.
10. 图1是某储蓄罐的平面展开图，其中，
且，．若将五边形看成底面，
为高，则该储蓄罐是一个直五棱柱.
（1）图2为面的直观图，请以此为底面将该储
蓄罐的直观图画完整；
（2）已知该储蓄罐的容积为，求制作该
储蓄罐所需材料的总面积（精确到整数位，材料厚
度、接缝及投币口的面积忽略不计）．
三、练习的参考答案：
1. B 2. B 3. A 4. A 5. B 6. C
6. 解析：抓住题中的关键词“任意”与“必有”，那么l可以在平面外，也可以在平面内；当l在平面外时，还有与平面相交与平行两种可能，不管在何种情况下，平面内必有直线m⊥l.
7. 解析：先作图如下：
对照平面图形（图1）和立体图形（图2）可知：折叠前的线段DO和BO，它们在折叠后的长度未变，仍为. 由勾股定理的逆定理可得，在立体图形（图2）中，∠DOB = 90°. 折叠前与AC垂直的线段BD虽被折成两段，但与AC的垂直关系并没有改变，即DO⊥AC. 因此易知DO即为三棱锥
的高，从而易求出三棱锥的体积.
8. ①③④⑤
9. 证明：（Ⅰ）∵ 底面是边长为的菱形，∴，
∵平面，平面，
∴平面， ……2分
∵平面，平面平面，
∴； ……4分
（Ⅱ）取的中点，连结、、，
∵ 底面是边长为的菱形，，
∴ 是正三角形， ∴ ，
同理可得，，
又 ∵ ，∴平面，
∵ 平面， ∴， ………………6分
∵，是中点，∴， ………………8分
∵， ∴⊥平面； ………………9分
（Ⅲ）∵ 侧面底面，侧面底面，，
∴ 底面， ………………11分
∵ 是边长为2的正三角形， ∴，
∵ 是边长为2的正三角形， ∴，
∴ 三棱锥的体积V . …………14分
10. 解：(1) 该储蓄罐的直观图如右图所示；
(2) 设，则五边形的面积为=，
∴ 该储蓄罐的容积为，解得，
∴ 该储蓄罐的展开图的面积为
，
∴ 制作该储蓄罐所需材料的总面积约为.

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