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专题强化（2） 与斜面 曲线结合的平抛运动
1、掌握平抛运动与斜面、曲面结合的平抛运动分析思路
知识点一 沿着斜面平抛
1.斜面上平抛运动的时间的计算 斜面上的平抛(如图)，分解位移（位移三角形） x＝v0t ， y＝gt2，tan θ＝， 可求得t＝。
2.斜面上平抛运动的推论 根据推论可知，tanα=2tanθ，同一个斜面同一个θ，所以，无论平抛初速度大小如何，落到斜面速度方向相同。
3.斜面上平抛运动的运动时间两种坐标系建立求解方法
当v的方向与斜面平行时距离最大 当vy减为0时距离最大
(1) 如图(b)所示，当速度方向与斜面平行时，离斜面最远，v的切线反向延长与v0交点为此时横坐标的中点P， 则tan θ＝＝，t＝. (1) 以抛出点为坐标原点，沿斜面方向为x轴，垂直于斜面方向为y轴，建立坐标系，如图(a)所示 vx＝v0cos θ，vy＝v0sin θ， ax＝gsin θ，ay＝gcos θ. 物体沿斜面方向做初速度为vx、加速度为ax的匀加速直线运动，垂直于斜面方向做初速度为vy、加速度为ay的匀减速直线运动，类似于竖直上抛运动． 令v′y＝v0sin θ－gcos θ·t＝0，即t＝. (2)当t＝时，物体离斜面最远，由对称性可知总飞行时间T＝2t＝， A、B间距离s＝v0cos θ·T＋gsin θ·T2＝.
知识点二 垂直撞斜面平抛运动
方法：分解速度． vx＝v0， vy＝gt， tan θ＝＝， 可求得t＝. 底端正上方平抛撞斜面中的几何三角形
知识点三 撞斜面平抛运动中的最小位移问题
过抛出点作斜面的垂线，如图所示， 当小球落在斜面上的B点时，位移最小，设运动的时间为t，则 水平方向：x＝hcos θ·sin θ＝v0t 竖直方向：y＝hcos θ·cos θ＝gt2，解得v0＝ sin θ，t＝cos θ.
知识点四 半圆平抛运动
（1）在半圆内的平抛运动(如图)，由半径和几何关系制约时间t: h＝gt2，R±＝v0t，联立两方程可求t。 （2）或借助角度θ，分解位移可得：x: R(1+cosθ)=v0t，y: Rsinθ= gt2，联立两方程可求t或v0。
知识点五 平抛与圆相切
对速度v进行分解tanθ= 对速度v进行分解tanθ= 由v的反向延长线为水平位移中点可知小球不能垂直撞击圆弧
如图所示，从倾角为θ的足够长的斜面顶端以大小为v0的水平初速度抛出一个可视为质点的小球，小球落在斜面上。已知重力加速度大小为g，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　）
A．小球在空中运动的时间为
B．小球在空中运动的水平位移大小为
C．若仅将小球的初速度大小变为2v0，则小球在空中运动的水平位移大小变为原来的2倍
D．若仅改变小球的初速度大小，则小球落在斜面上时速度方向可能垂直于斜面
如图所示，斜面倾角为θ，位于斜面底端A正上方的小球以初速度v0正对斜面顶点B水平抛出，小球到达斜面经过的时间为t，重力加速度为g，则下列说法中正确的是（　　）
A．若小球以最小位移到达斜面，则
B．若小球垂直击中斜面，则
C．若小球能击中斜面中点，则
D．无论小球怎样到达斜面，运动时间均为
跳台滑雪是利用跳台进行的一种跳跃滑雪比赛，是冬奥会正式比赛项目之一。如图是简化后的跳台滑雪的雪道示意图，运动员从助滑雪道上由静止开始滑下，到达A点后水平飞出，落到滑道（足够长）上的B点，AB之间的距离为l，P是运动轨迹上的一点，在该点运动员的速度方向与AB平行大小为vp。PC垂直于AB，PD为竖直方向，不计空气阻力，则关于运动员离开A点后的飞行过程，下列说法正确的是（　　）
A．飞行时间t
B．飞行时间t
C．AD的长度小于BD的长度
D．BC的长度等于AC长度的三倍
如图所示，物体从A点以初速度v0水平抛出，飞行一段时间后，垂直撞在倾角为θ的斜面上，则（　　）
A．完成这段飞行的时间是t
B．完成这段飞行的时间是t/tanθ
C．撞击斜面时的速度为v0
D．撞击斜面时的速度为v0sinθ
半径为R半圆形的弯曲面固定放置在水平地面上的C点，O是圆心，AB是水平直径，OC是竖直半径，D是圆弧上的一个小孔，∠COD＝60°，现让视为质点的小球（直径略小于小孔D的直径）从O点水平向右抛出，经过D（与小孔无碰）落到水平地面的E点，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　）
A．小球在D点的速度方向垂直于过D点圆弧的切线
B．小球从O到D的时间等于D到E的时间
C．小球在O点的速度大小为
D．小球在O点的速度大小为
（多选）如图所示，在竖直平面内有一半圆形轨道，半径为1m，O1为轨道圆心，OB为其水平直径，O1C为竖直半径，半径O1P与水平方向成53°角。现以O为坐标原点建立直角坐标系，在xOy平面内有一弹射器（图中未画出）可以沿x轴正方向发射速度大小可调的弹丸（可看作质点），若要使弹丸垂直撞击轨道P点，弹丸发射点位置坐标可能值是（　　）
A．（0.8m，0） B．（0.7m，﹣0.2m）
C．（0.25m，0.1m） D．（0.1m，0.2m）
（多选）如图所示为一开口向上的竖直半圆形轨道，半径为R，直径AB水平，现将小球以不同的初速度v0从A点出发做平抛运动落在轨道上，下列说法正确的是（　　）
A．当时，小球飞行时间最长
B．当时，小球能垂直打在轨道上
C．当时，小球打在轨道上时的速度为
D．如果两次初速度不同，但恰好都飞行时间t后打在轨道上，则两次初速之和等于
如图所示，水平固定的半球形碗的球心为O点，最低点为B点。在碗的边缘向着球心分别以初速度v1，v2，v3平抛出三个小球，分别经过t1，t2，t3的时间落在A、B、C点，抛出点及落点A、B、C点在同一个竖直面内，且A、C点等高，则下列说法正确的是（　　）
A．三个小球平抛运动时间的大小关系为t1＜t2＜t3
B．三个小球平抛初速度的大小关系为v1＜v2＜v3
C．落在C点的小球，在C点的瞬时速度可能与C点的切线垂直
D．落在B点的小球，在B点的瞬时速度方向与水平方向夹角小于60°
如图所示，半径为a的四分之一圆弧面紧靠竖直墙壁固定在水平面上，其圆心正上方3a处有一小球以某速度水平抛出，其轨迹恰与圆弧面相切（图中未画出）。则在相切处，小球速度与水平方向夹角的余弦值为（　　）
A．2 B．3﹣2 C．4﹣2 D．
（多选）如图所示为固定的半圆形竖直轨道，AB为水平直径，O为圆心，同时从A点水平抛出甲、乙两个小球，初速度分别为v1、v2，落在轨道上的C、D两点，OC、OD连线与竖直方向的夹角均为30°，忽略空气阻力，两小球均可视为质点。则（　　）
A．甲、乙两球不会同时落到轨道上
B．v1：v2＝1：3
C．乙球与甲球的速度变化量相同
D．乙球在D点速度的反向延长线一定过O点
（多选）如图所示，四分之一圆弧面的半径R与斜面的竖直高度相等，斜面的倾角为60°，圆弧面的圆心为图中O点，在斜面的顶端A点将多个小球以不同的水平速度抛出，设小球碰到接触面后均不再反弹，已知重力加速度为g，则以下说法正确的是（　　）
A．小球有可能垂直打到圆弧面上
B．小球抛出的初速度越大，则运动时间越短
C．小球抛出的速度等于时，运动时间最长
D．若小球抛出的速度小于，则落到接触面时速度偏角均相同
从足够长的光滑斜面顶端以v0水平抛出一个弹性小球，小球在斜面上经多次弹性碰撞（沿斜面方向速度不变，垂直斜面方向速度大小不变）后，运动轨迹如图所示。则四个选项中与实际符合最好的是（　　）
A． B．
C． D．
如图所示，从固定斜面顶端A处水平抛出一个小球，经过一段时间后小球落在斜面上的B点。当把小球的初速度变为原来的两倍后，依然从顶端A处水平抛出，小球落在斜面上的C点，则下列判断正确的是（　　）
A．AB：BC＝1：1 B．AB：BC＝1：2 C．AB：BC＝1：3 D．AB：BC＝1：4
如图所示，两个相对的斜面，倾角分别为37°和53°。在顶点把两个相同的小球以同样大小的初速度分别向左、向右水平抛出，小球都落在斜面上。若不计空气阻力，则A、B两个小球的水平位移之比为（　　）
A．3：4 B．4：3 C．16：9 D．9：16
如图所示，从倾角为θ的斜面上的P点，以初速度v0水平抛出一个小球，经时间t落在斜面上Q点，此时小球速度大小为v，方向与斜面的夹角为α。若将小球从斜面上的P′点以初速度2v0水平抛出，要使小球仍能落在Q点。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　）
A．小球在空中运动的时间变为2t
B．小球在Q点的速度大小变为4v
C．P′Q之间的距离是PQ之间距离的2倍
D．小球在Q点的速度方向与斜面的夹角变为2α
A、D分别是斜面的顶端、底端，B、C是斜面上的两个点，AB＝BC＝CD，E点在D点的正上方，与A等高，从E点水平抛出质量相等的两个小球，球1落在B点，球2落在C点，忽略空气阻力。关于球1和球2从抛出到落在斜面上的运动过程（　　）
A．球1和球2运动的时间之比为2：1
B．球1和球2运动的时间之比为1：2
C．球1和球2抛出时初速度之比为2：1
D．球1和球2运动时单位时间内速度变化量之比为1：1
如图甲所示为运动员高台滑雪的情景，过程可简化为图乙所示。若阳光垂直照射到斜面上，运动员在倾斜滑道顶端A处以水平初速度飞出，刚好落在斜面底端C处。B点是运动过程中距离斜面的最远处，D点是运动员在阳光照射下经过B点的投影点。不计空气阻力，运动员可视为质点，则下列说法错误的是（　　）
A．运动员在斜面上的投影做匀加速直线运动
B．AD与DC长度之比为1：3
C．若E点在B点的正下方，则AE＝EC
D．若运动员水平初速度减小，落到斜面时的速度与斜面的夹角仍不变
（多选）跳台滑雪是一种勇敢者的滑雪运动。图甲为某跳台滑雪运动员从跳台a（长度可忽略不计）处沿水平方向飞出，经2s在斜坡b处着陆的示意图，图乙为运动员从a到b飞行时，速度的平方随飞行时间t变化的关系图像。不计空气阻力作用，重力加速度g取10m/s2，则下列说法正确的是（　　）
A．运动员在a处的速度大小为20m/s
B．斜坡的倾角为30°
C．运动员运动到b处时速度方向与水平方向夹角为45°
D．运动员在1s末时离坡面的距离最大
如图所示，做平抛运动的一小球，经过t＝2s刚好垂直落到倾角为θ＝45°的斜面上，取g＝10m/s2，求：
（1）小球做平抛运动的初速度v0；及落到斜面上时的速度大小v；
（2）小球从抛出点到落点间的距离s。
“抛石机”是古代战争中常用的一种设备。如图所示，某学习小组用自制的抛石机演练抛石过程。已知所用抛石机长臂的长度L＝2m，质量m＝1kg的石块装在长臂末端的口袋中，开始时长臂处于静止状态，与水平面间的夹角α＝30°，现对短臂施力，当长臂转到竖直位置时立即停止转动，水平抛出前，石块受到长臂顶部口袋向下的压力为2.5N，抛出后垂直打在倾角为45°的斜面上，不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2。求：
（1）石块在长臂顶部时速度v0的大小；
（2）石块抛出后到打在斜面上的水平位移x大小；
（3）斜面的右端点A距抛出点的水平距离s。
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专题强化（2） 与斜面 曲线结合的平抛运动
1、掌握平抛运动与斜面、曲面结合的平抛运动分析思路
知识点一 沿着斜面平抛
1.斜面上平抛运动的时间的计算 斜面上的平抛(如图)，分解位移（位移三角形） x＝v0t ， y＝gt2，tan θ＝， 可求得t＝。
2.斜面上平抛运动的推论 根据推论可知，tanα=2tanθ，同一个斜面同一个θ，所以，无论平抛初速度大小如何，落到斜面速度方向相同。
3.斜面上平抛运动的运动时间两种坐标系建立求解方法
当v的方向与斜面平行时距离最大 当vy减为0时距离最大
(1) 如图(b)所示，当速度方向与斜面平行时，离斜面最远，v的切线反向延长与v0交点为此时横坐标的中点P， 则tan θ＝＝，t＝. (1) 以抛出点为坐标原点，沿斜面方向为x轴，垂直于斜面方向为y轴，建立坐标系，如图(a)所示 vx＝v0cos θ，vy＝v0sin θ， ax＝gsin θ，ay＝gcos θ. 物体沿斜面方向做初速度为vx、加速度为ax的匀加速直线运动，垂直于斜面方向做初速度为vy、加速度为ay的匀减速直线运动，类似于竖直上抛运动． 令v′y＝v0sin θ－gcos θ·t＝0，即t＝. (2)当t＝时，物体离斜面最远，由对称性可知总飞行时间T＝2t＝， A、B间距离s＝v0cos θ·T＋gsin θ·T2＝.
知识点二 垂直撞斜面平抛运动
方法：分解速度． vx＝v0， vy＝gt， tan θ＝＝， 可求得t＝. 底端正上方平抛撞斜面中的几何三角形
知识点三 撞斜面平抛运动中的最小位移问题
过抛出点作斜面的垂线，如图所示， 当小球落在斜面上的B点时，位移最小，设运动的时间为t，则 水平方向：x＝hcos θ·sin θ＝v0t 竖直方向：y＝hcos θ·cos θ＝gt2，解得v0＝ sin θ，t＝cos θ.
知识点四 半圆平抛运动
（1）在半圆内的平抛运动(如图)，由半径和几何关系制约时间t: h＝gt2，R±＝v0t，联立两方程可求t。 （2）或借助角度θ，分解位移可得：x: R(1+cosθ)=v0t，y: Rsinθ= gt2，联立两方程可求t或v0。
知识点五 平抛与圆相切
对速度v进行分解tanθ= 对速度v进行分解tanθ= 由v的反向延长线为水平位移中点可知小球不能垂直撞击圆弧
如图所示，从倾角为θ的足够长的斜面顶端以大小为v0的水平初速度抛出一个可视为质点的小球，小球落在斜面上。已知重力加速度大小为g，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　）
A．小球在空中运动的时间为
B．小球在空中运动的水平位移大小为
C．若仅将小球的初速度大小变为2v0，则小球在空中运动的水平位移大小变为原来的2倍
D．若仅改变小球的初速度大小，则小球落在斜面上时速度方向可能垂直于斜面
【解答】解：A、根据平抛运动的规律有
解得
故A错误；
BC、水平方向做匀速直线运动，故水平方向有
仅将小球的初速度大小变为2v0，则小球在空中运动的水平位移大小变为原来的4倍，故B正确，C错误；
D、设落到斜面的速度与水平方向的夹角为α，则
倾斜角度为定值，所以落在斜面上速度与水平方向的夹角为定值，与速度大小无关，故D错误。
故选：B。
如图所示，斜面倾角为θ，位于斜面底端A正上方的小球以初速度v0正对斜面顶点B水平抛出，小球到达斜面经过的时间为t，重力加速度为g，则下列说法中正确的是（　　）
A．若小球以最小位移到达斜面，则
B．若小球垂直击中斜面，则
C．若小球能击中斜面中点，则
D．无论小球怎样到达斜面，运动时间均为
【解答】解：A.小球以最小位移到达斜面，小球的位移与斜面垂直，分解小球的位移可
解得
故A错误；
B．小球垂直击中斜面，小球的速度与斜面垂直，分解小球速度可得
解得
故B正确；
C．若小球能击中斜面中点，分解位移，由几何关系可得，，
解得
故C错误；
D．小球到达斜面的位置不一样，在空中运动的时间也不一样，故D错误。
故选：B。
跳台滑雪是利用跳台进行的一种跳跃滑雪比赛，是冬奥会正式比赛项目之一。如图是简化后的跳台滑雪的雪道示意图，运动员从助滑雪道上由静止开始滑下，到达A点后水平飞出，落到滑道（足够长）上的B点，AB之间的距离为l，P是运动轨迹上的一点，在该点运动员的速度方向与AB平行大小为vp。PC垂直于AB，PD为竖直方向，不计空气阻力，则关于运动员离开A点后的飞行过程，下列说法正确的是（　　）
A．飞行时间t
B．飞行时间t
C．AD的长度小于BD的长度
D．BC的长度等于AC长度的三倍
【解答】解：ABD.依题意，以A点为原点，以AB为x轴，以垂直AB向上方向为y轴，建立坐标系，对运动员的运动进行分解，y轴方向做类竖直上抛运动，x轴方向做匀加速直线运动，当运动员到P点速度方向与轨道平行时，在y轴方向上到达最高点，根据竖直上抛运动的对称性可知：AP运动时间等于BP运动时间，而x轴方向运动员做匀加速运动，初速度不为零，可得BC：AC≠3：1，C点对应沿斜面方向匀变速运动的中间时刻，vp相当于匀变速运动的中间时刻瞬时速度即全程平均速度，时间t，故AD错误，B正确；
C.由几何关系可知DC＝PCtanθ，如果θ较大，DC也将较大，AD＝AC+DC，不一定有AD＜BD，故C错误。
故选：B。
如图所示，物体从A点以初速度v0水平抛出，飞行一段时间后，垂直撞在倾角为θ的斜面上，则（　　）
A．完成这段飞行的时间是t
B．完成这段飞行的时间是t/tanθ
C．撞击斜面时的速度为v0
D．撞击斜面时的速度为v0sinθ
【解答】解：A、小球撞在斜面上的速度与斜面垂直，将该速度分解，如图。
则tan（90°﹣θ），则vy＝v0tan（90°﹣θ）＝gt，所以t．故A错误，B正确；
C、根据速度的分解图可知，撞击斜面时的速度为．故C错误，D错误。
故选：B。
半径为R半圆形的弯曲面固定放置在水平地面上的C点，O是圆心，AB是水平直径，OC是竖直半径，D是圆弧上的一个小孔，∠COD＝60°，现让视为质点的小球（直径略小于小孔D的直径）从O点水平向右抛出，经过D（与小孔无碰）落到水平地面的E点，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　）
A．小球在D点的速度方向垂直于过D点圆弧的切线
B．小球从O到D的时间等于D到E的时间
C．小球在O点的速度大小为
D．小球在O点的速度大小为
【解答】解：A.小球从O到D点做平抛运动，根据平抛运动规律速度的反向延长线过水平位移中点，小球从O点抛出，故D点的速度方向不可能由O指向D，故A错误；
CD.小球从O到D点做平抛运动，则有，Rsin60°＝v0t1，解得小球在O点的初速度大小为，故C错误，D正确；
B.根据上述可得，小球由O到D的运动时间，从O到E的运动过程有，解得，则小球从D到E的运动时间为，故B错误；
故选：D。
（多选）如图所示，在竖直平面内有一半圆形轨道，半径为1m，O1为轨道圆心，OB为其水平直径，O1C为竖直半径，半径O1P与水平方向成53°角。现以O为坐标原点建立直角坐标系，在xOy平面内有一弹射器（图中未画出）可以沿x轴正方向发射速度大小可调的弹丸（可看作质点），若要使弹丸垂直撞击轨道P点，弹丸发射点位置坐标可能值是（　　）
A．（0.8m，0） B．（0.7m，﹣0.2m）
C．（0.25m，0.1m） D．（0.1m，0.2m）
【解答】解：若弹丸垂直撞击轨道P点，则弹丸速度与水平方向的夹角为53°，故有
则抛出点和P点连线与水平方向夹角的正切值满足
由几何关系可得P点的坐标：xP＝R（1+cos53°）＝1.6m，yP＝﹣Rsin53°＝﹣0.8m
A．若抛出点坐标为（0.8m，0），则有，与计算的正切值不符，故A错误；
B．若抛出点坐标为（0.7m，﹣0.2m），则有，与计算的正切值相符，故B正确；
C．若抛出点坐标为（0.25m，0.1m），则有，与计算的正切值相符，故C正确；
D．若抛出点坐标为（0.1m，0.2m），则有，与计算的正切值相符，故D正确。
故选：BCD。
（多选）如图所示为一开口向上的竖直半圆形轨道，半径为R，直径AB水平，现将小球以不同的初速度v0从A点出发做平抛运动落在轨道上，下列说法正确的是（　　）
A．当时，小球飞行时间最长
B．当时，小球能垂直打在轨道上
C．当时，小球打在轨道上时的速度为
D．如果两次初速度不同，但恰好都飞行时间t后打在轨道上，则两次初速之和等于
【解答】解：A.小球在空中做平抛运动，飞行的时间由下落高度决定，下落高度越大则飞行时间越长，则由题意及题图可知，当h＝R时，小球飞行时间最长，
则由平抛运动的运动规律可得，竖直方向有：，
解得：，
此时小球的水平位移也是R，水平方向有：R＝v0t，
解得：，故A正确；
BC.结合前面分析可知，当时，小球落在最低点，
由平抛运动的运动规律可得，竖直方向有：vy＝gt，
则小球打在轨道上时的速度大小为：，
联立可得：，
因为小球具有水平方向的分速度，故合速度方向不可能竖直向下，则不能垂直打在轨道上，故B错误，C正确；
D.结合前面分析可知，如果小球飞行时间相同，则下落的高度相同，故在轨道上的落点关于竖直半径对称，根据几何关系可知，两次的水平位移之和为直径2R，
设两次的初速度分别为v1、v2，
则有：x1+x2＝2R，
即：v1t+v2t＝2R，
解得两次初速度之和为：，故D正确；
故选：ACD。
如图所示，水平固定的半球形碗的球心为O点，最低点为B点。在碗的边缘向着球心分别以初速度v1，v2，v3平抛出三个小球，分别经过t1，t2，t3的时间落在A、B、C点，抛出点及落点A、B、C点在同一个竖直面内，且A、C点等高，则下列说法正确的是（　　）
A．三个小球平抛运动时间的大小关系为t1＜t2＜t3
B．三个小球平抛初速度的大小关系为v1＜v2＜v3
C．落在C点的小球，在C点的瞬时速度可能与C点的切线垂直
D．落在B点的小球，在B点的瞬时速度方向与水平方向夹角小于60°
【解答】解：A．竖直方向上，做自由落体运动，根据
可得
可知小球竖直位移越大，运动时间越长，故三个小球平抛运动时间的大小关系为
t1＝t3＜t2
故A错误；
B．C小球抛得最远，A小球抛得最近，三个小球下落相同高度的情况下，由x＝vt知平抛初速度满足
v1＜v2＜v3
故B正确；
C．做平抛运动的物体，其某点的瞬时速度反向延长线交于此时水平位移的中点，落在C点的小球，在C点的瞬时速度若与碗垂直，则速度反向延长线交于碗心O点，并不是水平位移中点，故落在C点的小球，在C点的瞬时速度不可能与C点的切线垂直，故C错误；
D．落在B点的小球，此时位移与水平方向的夹角为45°，设速度与水平方向夹角为α，根据平抛运动速度偏转角与位移偏转角的关系
tanα＝2tan45°＝2＞tan60°
速度与水平方向夹角大于60°，故D错误。
故选：B。
如图所示，半径为a的四分之一圆弧面紧靠竖直墙壁固定在水平面上，其圆心正上方3a处有一小球以某速度水平抛出，其轨迹恰与圆弧面相切（图中未画出）。则在相切处，小球速度与水平方向夹角的余弦值为（　　）
A．2 B．3﹣2 C．4﹣2 D．
【解答】解：根据题意有
如图可知，速度偏转角θ的余弦值等于角α的正弦值，对小球水平与竖直位移分析可知
3a﹣asinα
acosα＝v0t
tanθ
联立解得
cosθ＝3﹣2
故ACD错误，B正确。
故选：B。
（多选）如图所示为固定的半圆形竖直轨道，AB为水平直径，O为圆心，同时从A点水平抛出甲、乙两个小球，初速度分别为v1、v2，落在轨道上的C、D两点，OC、OD连线与竖直方向的夹角均为30°，忽略空气阻力，两小球均可视为质点。则（　　）
A．甲、乙两球不会同时落到轨道上
B．v1：v2＝1：3
C．乙球与甲球的速度变化量相同
D．乙球在D点速度的反向延长线一定过O点
【解答】解：AB.由图可知，OC、OD连线与竖直方向的夹角均为30°，则两个小球下落的高度相等，根据hgt2可知，甲、乙两球下落到轨道的时间t相等，两小球同时水平抛出，所以两小球一定同时落到轨道上，且甲球水平位移x1＝R﹣Rsin30°＝RRR＝v1t，乙球的水平位移x2＝R+Rsin30°＝RRR＝v2t，则v1：v2＝1：3，故A错误，B正确；
C.两个物体下落到轨道的时间相等，加速度都为g，根据速度变化量公式Δv＝g Δt，两球速度变化量相同，故C正确；
D.根据平抛运动规律，某点速度方向的反向延长线必过水平位移的中点，如果D点的反向延长线过O点，则D的水平位移必须等于2R，而x2R，所以D点的反向延长线一定不会过O点，故D错误。
故选：BC。
（多选）如图所示，四分之一圆弧面的半径R与斜面的竖直高度相等，斜面的倾角为60°，圆弧面的圆心为图中O点，在斜面的顶端A点将多个小球以不同的水平速度抛出，设小球碰到接触面后均不再反弹，已知重力加速度为g，则以下说法正确的是（　　）
A．小球有可能垂直打到圆弧面上
B．小球抛出的初速度越大，则运动时间越短
C．小球抛出的速度等于时，运动时间最长
D．若小球抛出的速度小于，则落到接触面时速度偏角均相同
【解答】解：A、当小球落在圆弧面上且水平位移为OA的两倍时，此时末速度的反向延长线会经过圆心O，即末速度垂直于圆弧面，故A正确；
B、因小球不确定是落在斜面上还是圆弧面上，故B错误；
CD、当小球落在O正下方时运动时间最长，此时竖直位移，水平位移x＝v0t＝Rtan30°，解得，当速度小于 时，平抛小球均落在左侧斜面上，速度偏角均相同，故C错误，D正确。
故选：AD。
从足够长的光滑斜面顶端以v0水平抛出一个弹性小球，小球在斜面上经多次弹性碰撞（沿斜面方向速度不变，垂直斜面方向速度大小不变）后，运动轨迹如图所示。则四个选项中与实际符合最好的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：根据题意，把初速度与加速度分解到垂直斜面和沿斜面向下方向上，由于小球在斜面上经多次弹性碰撞，则在垂直斜面方向上，小球做自由落体运动，每次离开斜面到撞击斜面的时间不变，沿斜面方向上，做匀加速直线运动，则运动距离越来越大。
故B正确，ACD错误。
故选：B。
如图所示，从固定斜面顶端A处水平抛出一个小球，经过一段时间后小球落在斜面上的B点。当把小球的初速度变为原来的两倍后，依然从顶端A处水平抛出，小球落在斜面上的C点，则下列判断正确的是（　　）
A．AB：BC＝1：1 B．AB：BC＝1：2 C．AB：BC＝1：3 D．AB：BC＝1：4
【解答】解：设斜面的倾角为θ，根据平抛运动规律可得
可知运动时间
当把小球的初速度变为原来的两倍，小球在空中的运动时间变为原来的2倍，设小球做平抛运动的位移为s，则
初速度变为原来的2倍，则位移变为原来的4倍，所以AB：BC＝1：3，故C正确，ABD错误。
故选：C。
如图所示，两个相对的斜面，倾角分别为37°和53°。在顶点把两个相同的小球以同样大小的初速度分别向左、向右水平抛出，小球都落在斜面上。若不计空气阻力，则A、B两个小球的水平位移之比为（　　）
A．3：4 B．4：3 C．16：9 D．9：16
【解答】解：设斜面的倾角为θ，小球在空中做平抛运动，小球落在斜面上时，有tanθ，则得小球运动的时间t，因为A、B两个小球初速度大小相等，则A、B两个小球的运动时间之比为tA：tB＝tan37°：tan53°＝9：16。
水平位移x＝v0t，初速度大小相等，则水平位移之比等于运动时间之比，则A、B两个小球的水平位移之比为9：16，故ABC错误，D正确。
故选：D。
如图所示，从倾角为θ的斜面上的P点，以初速度v0水平抛出一个小球，经时间t落在斜面上Q点，此时小球速度大小为v，方向与斜面的夹角为α。若将小球从斜面上的P′点以初速度2v0水平抛出，要使小球仍能落在Q点。不计空气阻力，下列说法正确的是（　　）
A．小球在空中运动的时间变为2t
B．小球在Q点的速度大小变为4v
C．P′Q之间的距离是PQ之间距离的2倍
D．小球在Q点的速度方向与斜面的夹角变为2α
【解答】解：A.根据得
，初速度变为原来的2倍，则小球在空中的运动时间变为原来的2倍；故A正确。
B.小球在Q点的速度大小为：
当初速度为2v0时，小球在Q点的速度大小：
当初速度为2v0时，水平位移和竖直位移都不变，则
x＝2v0t′，x＝v0t，
联立解得：。
将代入可得
4v，故B错误。
C.根据知，初速度变为原来的2倍，则水平位移变为原来的4倍，则PQ间距变为原来的4倍。故C错误。
D.速度与水平方向夹角的正切值，可知速度方向与水平方向夹角正切值是位移与水平方向夹角正切值的2倍。因为位移与水平方向夹角不变，则速度与水平方向夹角不变，所以两个角度之差，即α不变x＝v0t，与初速度无关，故D错误。
故选：A。
A、D分别是斜面的顶端、底端，B、C是斜面上的两个点，AB＝BC＝CD，E点在D点的正上方，与A等高，从E点水平抛出质量相等的两个小球，球1落在B点，球2落在C点，忽略空气阻力。关于球1和球2从抛出到落在斜面上的运动过程（　　）
A．球1和球2运动的时间之比为2：1
B．球1和球2运动的时间之比为1：2
C．球1和球2抛出时初速度之比为2：1
D．球1和球2运动时单位时间内速度变化量之比为1：1
【解答】解：AB．因为AC＝2AB
因此球2的竖直位移是球1竖直位移的2倍，根据在竖直方向上做自由落体运动，可得
得
解得运动的时间比为
故AB错误；
C．因为BD＝2CD
球1的水平位移是球2水平位移的2倍，根据水平方向做匀速运动可得x＝v0t
得
解得初速度之比为
故C错误；
D．单位时间内速度变化量即为加速度
而平抛运动的加速度都为g相同，故D正确。
故选：D。
如图甲所示为运动员高台滑雪的情景，过程可简化为图乙所示。若阳光垂直照射到斜面上，运动员在倾斜滑道顶端A处以水平初速度飞出，刚好落在斜面底端C处。B点是运动过程中距离斜面的最远处，D点是运动员在阳光照射下经过B点的投影点。不计空气阻力，运动员可视为质点，则下列说法错误的是（　　）
A．运动员在斜面上的投影做匀加速直线运动
B．AD与DC长度之比为1：3
C．若E点在B点的正下方，则AE＝EC
D．若运动员水平初速度减小，落到斜面时的速度与斜面的夹角仍不变
【解答】解：AB、将小球的运动分解为沿斜面和垂直斜面两个分运动，可知小球沿斜面方向做初速度为v0cosθ，加速度为gsinθ的匀加速直线运动，则小球在斜面上的投影做匀加速直线运动。
小球垂直斜面方向做初速度为v0sinθ，加速度为gcosθ的匀减速直线运动，B点是运动过程中距离斜面的最远处，则此时小球垂直斜面方向的分速度刚好为0，根据对称性可知，A到B与B到C的时间相等，均为，则有：
可得：，
则有：，故A正确，B错误；
C、将小球的运动分解为水平方向的匀速运动和竖直方向的自由落体运动。
小球从A到B的过程中有：xAB＝v0t
小球从A到C的过程中有：xAC＝v0 2t＝2xAB
若E点到B点的正下方，则有：AC＝2AE，可知E点是AC的中点，则AE＝EC，故C正确；
D、小球落到斜面上时，速度与水平方向夹角的正切值则知速度方向与水平方向夹角不变，所以两个角度之差，即α不变，与初速度无关。故D正确。
本题选择错误的，故选：B。
（多选）跳台滑雪是一种勇敢者的滑雪运动。图甲为某跳台滑雪运动员从跳台a（长度可忽略不计）处沿水平方向飞出，经2s在斜坡b处着陆的示意图，图乙为运动员从a到b飞行时，速度的平方随飞行时间t变化的关系图像。不计空气阻力作用，重力加速度g取10m/s2，则下列说法正确的是（　　）
A．运动员在a处的速度大小为20m/s
B．斜坡的倾角为30°
C．运动员运动到b处时速度方向与水平方向夹角为45°
D．运动员在1s末时离坡面的距离最大
【解答】解：A、运动员在a处的速度沿水平方向，根据平抛运动规律可知（gt）2，由乙图可知，联立可得va＝10m/s，故A错误；
BC、设斜面倾角为α，b处速度与水平方向夹角为β，在b处竖直速度为vy＝gt＝10×2m/s＝20m/s
所以tanβ2，根据平抛运动推论tanβ＝2tanα，所以 tanα＝1，即α＝45°，故B错误，C正确；
D、在a处，把速度沿垂直斜面及平行斜面分解得垂直斜面的分速度为v⊥＝vasin45°＝10m/s＝5m/s
把重力加速度沿垂直斜面及平行斜面分解得垂直斜面的分加速度为a＝gcos45°＝10m/s2＝5m/s2
当v1减为零时，离斜面最远，设经过时间为t1，则v⊥＝at1，解得t1s＝1s，故D正确；
故选：CD。
如图所示，做平抛运动的一小球，经过t＝2s刚好垂直落到倾角为θ＝45°的斜面上，取g＝10m/s2，求：
（1）小球做平抛运动的初速度v0；及落到斜面上时的速度大小v；
（2）小球从抛出点到落点间的距离s。
【解答】解（1）小球落在斜面时的竖直速度vy＝gt＝10×2m/s＝20m/s
小球垂直落到倾角为θ＝45°的斜面上，小球的初速度大小v0＝vytan45°＝20tan45°m/s＝20m/s
小球落到斜面上时的速度大小vm/s＝20m/s
（2）小球的水平位移x＝v0t＝20×2m＝40m
竖直分位移ym＝20m
抛出点到落地点间的距离sm＝20m
答：（1）小球做平抛运动的初速度是20m/s，落到斜面上时的速度大小是20m/s；
（2）小球从抛出点到落点间的距离是20m。
“抛石机”是古代战争中常用的一种设备。如图所示，某学习小组用自制的抛石机演练抛石过程。已知所用抛石机长臂的长度L＝2m，质量m＝1kg的石块装在长臂末端的口袋中，开始时长臂处于静止状态，与水平面间的夹角α＝30°，现对短臂施力，当长臂转到竖直位置时立即停止转动，水平抛出前，石块受到长臂顶部口袋向下的压力为2.5N，抛出后垂直打在倾角为45°的斜面上，不计空气阻力，重力加速度g取10m/s2。求：
（1）石块在长臂顶部时速度v0的大小；
（2）石块抛出后到打在斜面上的水平位移x大小；
（3）斜面的右端点A距抛出点的水平距离s。
【解答】解：（1）根据牛顿第二定律
N+mg＝m
解得
v0＝5m/s
（2）石块被抛出后做平抛运动，速度垂直于斜面，
tan45°
解得
vy＝v0＝5m/s
从水平抛出到落到斜面上所经历的时间为
t
解得
t＝0.5s
故水平位移和竖直高度为
x＝v0t
h
解得
x＝2.5m
h＝1.25m
则石块打在斜面上的点距离地面高度为
H＝L+Lsina﹣h
解得
H＝1.75m
（3）该点到斜面的右端点A距抛出点的水平距离为
s
解得
s＝1.75m
故斜面右端点A距抛出点的水平距离为
Δx＝x﹣s＝2.5m﹣1.75m＝0.75m
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