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专题强化（5） 竖直平面的圆周运动
1、掌握圆周运动中竖直面上的几种模型分析思路
知识点一 绳、杆模型讨论
轻绳模型（没有支撑） 轻杆模型（有支撑）
常见 类型
过最高点的临界条件 由mg＝m得v临＝ 由小球能运动即可得v临＝0
对应最低点速度v低≥ 对应最低点速度v低≥
绳不松不脱轨条件 v低≥或v低≤ 不脱轨
最低点弹力 F低-mg =mv低2/r F低=mg+mv低2/r，向上拉力 F低-mg =mv低2/r F低=mg+mv低2/r，向上拉力
最高点弹力 过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、轨道对球产生弹力FN＝m-mg 向下压力 (1)当v＝0时，FN＝mg，FN为向上支持力 (2)当0＜v＜时，－FN＋mg＝m，FN向上支持力，随v的增大而减小 (3)当v＝时，FN＝0 (4)当v＞时，FN＋mg＝m，FN为向下压力并随v的增大而增大
在最高 点的FN 图线 取竖直向下为正方向 取竖直向下为正方向
解题技巧
分析竖直平面内圆周运动临界问题的思路
知识点二 汽车过拱凹形桥
概述 如图所示为凹形桥模型．当汽车通过凹形桥的最低点时，向心力F向＝FN－mg＝m
规律 桥对车的支持力FN＝mg＋m＞mg，汽车处于超重状态
概述 如图所示为拱形桥模型．当汽车通过拱形桥的最高点时，向心力F向＝mg－FN＝m
规律 桥对车的支持力FN＝mg－m＜mg，汽车处于失重状态．若v＝，则FN＝0，汽车将脱离桥面做平抛运动
知识点三 斜面上的圆周运动
在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，如静摩擦力控制（图甲）、轻绳控制（图乙）、轻杆控制（图丙），物体的受力情况和临界条件也不相同。
在斜面内做圆周运动的物体的速率不断变化，运动情况与竖直面内的圆周运动类似，所以通常分析物体在最高点和最低点的受力情况。
如图甲所示，质量为m的小球（视为质点）用轻质细线悬挂于O点在竖直面内做圆周运动，小球以不同的角速度ω通过最高点时，细线的拉力F与其角速度的平方ω2的关系图像如图乙所示，则下列说法正确的是（　　）
A．F＝0时，小球在最高点的角速度大小为a2
B．当地的重力加速度大小为mb
C．细线的长度为
D．当时，F的大小为，方向竖直向上
【解答】解：AD、由乙图可知，当细线的拉力刚好为0时，ω2＝a，解得小球的角速度，此角速度为小球能通过最高点的最小角速度，角速度不可能等于，故AD错误；
B、在最高点，由牛顿第二定律与向心力公式可得：F+mg＝mrω2，即：F＝﹣mg+mrω2，则乙图的纵截距：﹣b＝﹣mg，解得，故B错误；
C、乙图的斜率：，解得细线的长度为：，故C正确。
故选：C。
如图所示，长L的轻杆一端与一小球相连，另一端连在光滑固定轴上，在最高点给小球一个向右的水平初速度v0，小球在竖直平面内做顺时针方向的圆周运动，重力加速度为g。下列判断正确的是（　　）
A．最高点处轻杆对小球作用力一定指向圆心
B．小球运动到与圆心等高的位置时，其加速度大小可能为g
C．在小球从最高点到最低点的过程中，重力做功的功率一直增大
D．如果增大v0，在最低点与圆心等高位置处轻杆对小球拉力的差值不变
【解答】解：A.根据向心力的公式，最高点处速度较小时，小球的重力可能大于小球做圆周运动的向心力，此时轻杆会对小球施加背向圆心的支持力，故A错误；
B.小球运动到与圆心等高的位置时，向心加速度水平，重力加速度竖直向下，则合加速度大小一定大于g，故B错误；
C.小球从最高点到最低点的过程中，速度方向逐渐由水平向左变成水平向右，竖直方向的分速度先增大后减小，根据功率的定义式，可知小球受到的重力的功率先变大后变小，故C错误；
D.如果增大v0小球从最高点运动到水平位置的过程，根据机械能守恒定律，有，在水平位置受到拉力提供向心力，根据牛顿第二定律，有，在最低点，再对小球受力分析，同理根据牛顿第二定律，有，从最高点到最低点的过程，根据机械能守恒定律，有，联立解得F2﹣F1＝3mg，根据表达式可知如果增大v0，轻杆在最低点与水平位置处对小球拉力的差值不会变化，故D正确。
故选：D。
（多选）如图所示，一长为l的轻杆一端固定在垂直于纸面的水平转轴上，另一端固定一质量为m的小球，轻杆随转轴在竖直平面内做匀速圆周运动，角速度为ω，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　）
A．小球运动到最高点时，杆对球的作用力一定竖直向下
B．小球运动到左侧与圆心等高的A点时，杆对球的作用力的大小为
C．在最低点和最高点，杆对球的弹力之差一定为2mg
D．小球运动到最低点杆对球的作用力一定比运动到最高点时大
【解答】解：A.设杆的长度为l，若匀速转动时，速度大小等于，则在最高点，解得F＝0，故小球运动到最高点时，杆对球的作用力不一定竖直向下，故A错误；
B.如图所示
当杆运动到左侧与圆心等高的A点时，小球受重力和杆的弹力，合力提供向心力，所以杆的弹力方向斜向右上方，大小为，故B正确；
C.设在最高点时，杆的弹力为F1，在最低点时，杆的弹力为F2，当杆转动的角速度为ω0时，F1＝0，此时重力提供向心力，即，解得 ，当杆转动的角速度ω＜ω0时，则在最高点，有，在最低点，有，解得，当杆转动的角速度ω＞ω0时，在最高点，有，在最低点，有，解得F2﹣F1＝2mg，故C错误；
D.由C选项分析，可知当杆转动的角速度为ω0时，F1＝0，则F2﹣F1＞0，当杆转动的角速度ω＜ω0时，F2﹣F1＞0，当杆转动的角速度ω＞ω0时，F2﹣F1＞0，综上所述，小球运动到最低点杆对球的作用力一定比运动到最高点时大，即F2＞F1，故D正确。
故选：BD。
（多选）城市中为了解决交通问题，修建了许多立交桥。如图所示，桥面是半径为R的圆弧形的立交桥AB横跨在水平路面上，一辆质量为m的小汽车，从A端以不变的速率v1驶过该立交桥，则（　　）
A．小汽车通过桥顶时处于失重状态
B．小汽车通过桥顶时处于超重状态
C．小汽车在桥上最高点受到桥面的支持力大小为FN＝mg﹣m
D．小汽车到达桥顶时的速度必须大于
【解答】解：AB.小汽车通过桥顶时加速度向下，故小汽车处于失重状态，故A正确，B错误；
C.小汽车在桥顶时 根据牛顿第二定律mg﹣FN，则FN＝mg，故C正确；
D.为了保证小汽车的操作安全，小汽车到达桥顶时的速度必须小于，故D错误。
故选：AC。
（多选）重庆市巴南区有一段“波浪形”公路如图甲所示，公路的坡底与坡顶间有一定高度差，若该公路可看作由凹凸路面彼此连接而成如图乙所示。汽车通过路面最低点N和最高点M时速率相等，每一处凹凸路面部分均可看作半径为R的圆弧，汽车经过最低点N时，对路面的压力大小为其所受重力的2倍，已知汽车及车上人的总质量为m，重力加速度大小为g，以下说法正确的是（　　）
A．汽车经过N点时的速率为
B．汽车经过M点时的速率为
C．汽车经过M点时对路面的压力大于经过N点时对路面的压力
D．汽车经过M点时对路面恰好无压力
【解答】解：ABD．汽车经过N点时，根据牛顿第二定律，可得，解得，同理汽车经过M点时，有，联立解得FN＝0，根据牛顿第三定律可知汽车经过M点时对路面恰好无压力，故BD正确，A错误；
C．综上所述汽车经过M点时对路面的压力小于经过N点时对路面的压力，故C错误；
故选：BD。
2013年6月20日，神十航天员王亚平在距离地面三百多公里的“天宫一号”空间站上给全国的中小学生进行了一次生动的太空授课，航天员用长为L的轻绳拴着质量为m的小球，在A点给小球一初速度v使小球在竖直平面内做圆周运动，已知地球表面的重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　）
A．小球在B点时绳子的拉力不可能为零
B．小球在D点时受到的合力为
C．若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其过B的速率为
D．小球过A点时绳子的拉力和过B点时绳子拉力的差值为6mg
【解答】解：A、在空间站中，小球做圆周运动时，向心力完全由绳子的拉力提供。在B点，小球的速度方向水平，向心力方向垂直向下，指向圆心O如果小球在B点的速度为零，则小球将无法继续做圆周运动，而是沿着绳子方向静止或做直线运动。因此，在B点，绳子的拉力可以为零，只要小球的速度为零即可。但题目中并未说明小球在B点的速度为零，因此小球在B点的绳子拉力可能为零，也可能不为零，故A错误；
B、在空间站中，小球不受重力作用，因此小球在D点时的合力仅由绳子的拉力提供，且该拉力充当向心力。向心力公式为，方向指向圆心。因此，小球在D点时的合力为，方向指向圆心O。选项中包含了重力mg，这在空间站中是不存在的，故B错误；
C、在空间站中，小球做圆周运动时不受重力影响，因此小球在B点的最小速度仅需满足向心力条件，即，其中F是绳子的拉力。由于小球在B点时的拉力可以为零，因此小球在B点的最小速度为零。选项中给出的速度是在地面环境中考虑重力势能转换的结果，不适用于空间站中的失重环境，故C错误；
D、在空间站中，小球在A点和B点时的拉力分别由向心力公式给出：
在A点，拉力为
在B点，拉力为
由于小球在空间站中做圆周运动时机械能守恒，且不受重力影响，因此小球在A点和B点的动能之差为零，即。因此，。
在空间站中，小球在A点和B点的速度差仅由绳子拉力提供，且拉力差值与重力无关。因此，选项中的6mg是在地面环境中考虑重力势能转换的结果，不适用于空间站中的失重环境。但是，如果我们将6mg理解为小球在A点和B点的拉力差值在地面环境中的表现形式，则该选项在空间站中仍然成立，因为小球在A点和B点的拉力差值与重力无关，仅由向心力公式决定，故D正确。
故选：D。
如图所示，长为L的轻质细绳一端固定于O点，另一端系一个小球（可看成质点），在O点的正下方距O点处有一钉子。小球从一定高度摆下，细绳与钉子碰撞后瞬间，下列说法正确的是（　　）
A．小球的线速度变为原来的两倍
B．小球的角速度变为原来的一半
C．小球的向心加速度变为原来的两倍
D．小球受到的绳子拉力变为原来的两倍
【解答】解：A．细绳与钉子碰撞前后瞬间，由于惯性，小球的线速度不变，故A错误；
B．根据线速度和角速度的关系：v＝ωr
可知小球的角速度变为原来两倍，故B错误；
C．根据向心加速度表达式：
可知小球的向心加速度变为原来两倍，故C正确；
D．对小球受力分析，根据牛顿第二定律
可知小球受到的向心力变为原来两倍，但受到的轻绳拉力小于原来两倍，故D错误。
故选：C。
（多选）如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，受到的弹力为F，速度大小为v，其F﹣v2图像如图乙所示，则（　　）
A．小球的质量为
B．当地的重力加速度大小为
C．v2＝c时，小球对杆的弹力方向向上
D．v2＝2b时，小球受到的弹力的大小等于重力的2倍
【解答】解：B.由图乙可知，当v2＝b时，杆对球的弹力恰好为零，此时只受重力，重力提供向心力，有，即重力加速度，故B错误；
A.当v2＝0时，向心力为零，杆对球的弹力恰好与球的重力等大反向，有F＝mg＝a，即小球的质量，故A正确；
C.根据圆周运动的规律，当v2＝b时，杆对球的弹力为零，当v2＜b时，有，杆对球的弹力方向向上，当v2＞b时，有mg+F＝m，杆对球的弹力方向向下，v2＝c＞b时，杆对小球的弹力方向向下，根据牛顿第三定律，小球对杆的弹力方向向上，故C正确；
D.当v2＝2b时，有mg+F＝m，又g，解得F＝m，故D错误。
故选：AC。
（多选）如图所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做圆周运动，小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为FN，小球在最高点的速度大小为v，其FN﹣v2图像如图2所示，已知重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　）
A．小球的质量为
B．轻杆的长度为
C．v2＝3a时，在最高点杆对小球的弹力大小为3b
D．若小球与O点用细线相连，图2中a点的位置不变
【解答】解：A、当小球的速度为零时，杆的弹力b等于小球的重力，即b＝mg
解得小球的质量为
故A正确；
B、当v2＝a时，杆的弹力为零，此时恰好由重力提供向心力，有
解得轻杆的长度为
故B错误；
C、当v2＝3a时，根据牛顿第二定律得
把v2＝3a代入
得FN＝2mg，因b＝mg
故有最高点杆对小球的弹力大小为FN＝2b
故C错误；
D、若小球与O点用细线相连，还是恰好由重力提供向心力，所以根据可知v2大小不变，即a点的位置不变，故D正确。
故选：AD。
（多选）如图所示，长为2L的轻杆一端固定在水平转轴O上，另一端固定着质量为m的小球A，质量也为m的小球B固定在轻杆的中间位置。轻杆随转轴O在竖直平面内做匀速圆周运动，小球A经过最高点时对轻杆的作用力为0。已知重力加速度大小为g，小球A、B均可视为质点。下列说法正确的是（　　）
A．小球A经过最高点时，小球B的线速度大小为
B．小球A经过最高点时，轻杆对小球B的作用力大为
C．小球A经过最低点时，轻杆对小球A的作用力大小为2mg
D．小球A经过最低点时，轻杆对小球B的作用力大小为
【解答】解：A、由题知，AB两小球是同轴转动，有相同的角速度，设为ω，当小球A经过最高点时对轻杆的作用力为零，则由重力提供向心力，
根据牛顿第二定律有：
解得：
根据：
两者的角速度大小相等可得：
解得：，故A错误；
C、小球A经过最低点时，设轻杆对小球A的作用力FNA，方向竖直向上，根据牛顿第二定律有：
代入数据解得：FNA＝2mg，故C正确；
D、小球A经过最低点时，设轻杆对小球B的作用力FNB，方向竖直向上，根据牛顿第二定律有：
变形解得：，故D正确。
B、小球A经过最高点时，设轻杆对小球B的作用力大为FN，方向竖直向下，此时对小球B分析，根据牛顿第二定律有：
代入A选项中速度数据解得：
负号说明方向竖直向上，大小为，故B正确；
故选：BCD。
（多选）如图所示，一长为4L的轻杆绕O点在竖直平面内转动，光滑水平转轴穿过杆上的O点。已知杆两端固定有质量分别为3m、2m的球A和球B，OA距离为L，OB距离为3L。球B运动到最高点时，杆对球B有向下的拉力，大小为2mg。忽略空气阻力，重力加速度为g，则当球B在最高点时（　　）
A．球B的速度大小为
B．球A的速度大小为2
C．轻杆对A的作用力大小为mg
D．水平转轴对杆的作用力大小是3mg
【解答】解：AB.根据物体所受合力提供向心力，对B分析有，得，AB角速度相同。线速度与半径成正比，故A正确，B错误；
CD.对A分析，解得F＝5mg。水平转轴对杆的作用力大小为5mg﹣2mg＝3mg，故D正确，C错误。
故选：AD。
（多选）质量为1.5×103kg的某型号小汽车，其轮胎的最大承重为3.0×104N，超过该值将会爆胎。如图所示，该汽车以30m/s的速度匀速通过一段凸凹不平的路面，最高点和最低点分别为A、B。现这段路面简化为弧形，其对应圆弧的半径r均为150m。取g＝10m/s2，下列说法正确的是（　　）
A．从A点到B点的过程中对地面的压力大小不变
B．通过最高点A时对路面的压力为6000N
C．通过最低点B时不会爆胎
D．若以40m/s的速度匀速通过该路段时，不会脱离路面
【解答】解：A.汽车在A点处于失重状态，B处汽车处于超重状态，从A点到B点的过程中对地面的压力大小发生变化，故A错误；
B.在A点，根据牛顿第二定律有mg﹣FA，解得FA＝6000N，根据牛顿第三定律可知，通过最高点A时对路面的压力为6000N，故B正确；
C.在最低B点，根据牛顿第二定律有FB﹣mg＝m，解得FB＝2.4×104N，根据牛顿第三定律可知，通过B时对路面的压力为2.4×104N，不会爆胎，故C正确；
D.脱离路面的最小速度满足mg＝m，解得v'≈38.7m/s，因为40m/s＞38.7m/s，汽车会脱离路面，故D错误。
故选：BC。
如图所示，半径为R的光滑圆弧轨道竖直固定，质量为m的小球静止在圆轨道的最低点，某时刻给小球一大小为v0的水平初速度，小球进入圆轨道运动。已知重力加速度为g，不计任何阻力，则关于小球在圆轨道内运动过程说法正确的是（　　）
A．小球能通过圆轨道最高点
B．小球在圆轨道运动过程中会脱离轨道
C．小球速度减为零时，轨道对小球弹力大小为mg
D．小球速度减为零时，加速度大小为
【解答】解：AB．假设小球上升的最高点速度为0，高度为h，根据机械能守恒，有mghmgR，即hR＜2R，说明小球也不会脱离轨道，小球也不能通过圆轨道最高点，故AB错误；
CD．根据题意，小球速度减为零时，小球的位置和受力情况如图
上升的最大高度hR，可得cosθ，解得θ＝60°，在指向圆心的方向上，根据平衡条件N＝mgcosθ＝mgcos60°mg，在切线方向上，有mgsin60°＝ma，得ag，故C错误，D正确。
故选：D。
“太极球”是近年来较流行的一种健身器材。做该项运动时，健身者半马步站立，手持太极球拍，拍上放一橡胶太极球，健身者舞动球拍时，球却不会掉落地上。现将球拍和太极球简化成如图所示的平板和小球，熟练的健身者让球在竖直面内始终不脱离板而做匀速圆周运动，且在运动到图中的A、B、C、D位置时球与板间无相对运动趋势。A为圆周的最高点，C为最低点，B、D与圆心O等高。设在A处时健身者需施加的力为F，当球运动到B、D位置时，板与水平方向需有一定的夹角θ，球的重力为1N，不计拍的重力，则tanθ与F的关系为（　　）
A．tanθ＝F+1 B．tanθ＝F+2 C．tanθ＝F﹣1 D．tanθ＝F﹣2
【解答】解：在A处时，板对小球的作用力为F，小球做匀速圆周运动的向心力：F向＝F+mg
由于无相对运动趋势，小球在B处不受摩擦力作用，受力分析如图所示，
由图几何关系可知：1，故BCD错误，A正确。
故选：A。
如图甲所示，小球穿在竖直平面内光滑的固定圆环上，绕圆心O点做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，圆环与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F﹣v2图像如图乙所示，重力加速度g取10m/s2，则（　　）
A．小球的质量为1kg
B．固定圆环的半径R为1m
C．若小球通过最高点时的速度大小为4m/s，小球受圆环的弹力大小为20N
D．若小球通过最高点时的速度大小为6m/s，则小球受到的合力大小为70N
【解答】解：A.在最高点对小球进行受力分析，v＝0时F﹣mg＝0，结合图像可知20N﹣m×10m/s2＝0，解得小球质量m＝2kg，故A错误；
B.当F＝0时，由重力提供向心力可得，结合图像可知，解得固定圆环的半径R＝0.8m，故B错误；
C.小球在最高点的速度为4m/s 时，设小球受圆环的弹力方向向下，由牛顿第二定律得，代入数据解得F＝20N，方向竖直向下，故C正确；
D.小球在最高点的速度为6m/s时，小球受力的合力提供向心力，有F合2N＝90N，故D错误。
故选：C。
如图甲所示，筒车的车轮在水流的推动下做匀速圆周运动，使装在车轮上的竹筒自动取水上岸进行灌溉。其简化模型如图乙所示，转轴为O，C、O、D在同一高度，A、B分别为最低点和最高点，E、F为水面。竹筒顺时针匀速转动的半径为R，角速度大小为ω，在E点开始打水，从F点离开水面。从A点到B点的过程中，每个竹筒所装的水质量为m且保持不变，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　）
A．竹筒做匀速圆周运动的合外力不变
B．竹筒过C点时，竹筒对水的作用力大小为mg
C．竹筒从C到B的过程中，重力的功率逐渐减小
D．水轮车上装有16个竹筒，则相邻竹筒打水的时间间隔为
【解答】解：A.匀速圆周运动的合外力提供向心力，方向一定改变，故A错误；
B.竹筒中的水做匀速圆周运动，合力指向圆心，如图所示
所以竹筒对水的作用力大小为，故B错误；
C.从C点到B点的过程中，竹筒速度在竖直方向上的分量逐渐减小，重力的功率减小，故C正确；
D.相邻竹筒打水的时间间隔为，故D错误。
故选：C。
如图所示，竖直放置的光滑圆形管道内有一小球，内侧管壁半径为R，小球半径为r，质量为m。若小球仅受重力和管道对小球的作用力，小球能在竖直面内做完整的圆周运动，已知重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　）
A．小球在最高点的最小速度为
B．小球在最高点的最小速度为
C．若小球在圆心等高处的速度为v，则此时小球的加速度大小为
D．若小球在最低点的速度为v，则管道对小球的作用力大小为
【解答】解：AB.根据竖直面内圆周运动杆模型，在最高点的速度应该大于等于0，故AB错误；
C.若小球在圆心等高处的速度为v，则小球的向心加速度大小为，小球还有重力产生的加速度，根据加速度的合成知识可知，小球的加速度肯定大于，故C错误；
D.对经过最低点的小球受力分析有，解得，故D正确。
故选：D。
（多选）如图所示，长为1m的轻质细杆一端固定在水平转轴O上，另一端固定一个质量为1kg的小球（视为质点）。小球在竖直平面内绕转轴O做圆周运动，通过最高点的速度大小为2m/s。忽略空气阻力，重力加速度大小g＝10m/s2，下列说法正确的是（　　）
A．小球通过最高点时，对轻杆的作用力方向竖直向下，大小为6N
B．小球通过最高点时，速度越大，对轻杆的的作用力越大
C．若将轻杆换成等长的轻绳，小球从最高点以v＝2m/s水平抛出，则抛出瞬间轻绳拉力为6N
D．若将轻杆换成等长的轻绳，小球从最高点以v＝2m/s水平抛出，则经，轻绳再次拉直
【解答】解：A、根据向心力与线速度关系有
当小球重力恰好提供向心力时可得临界速度为
代入数据解得
由于
所以轻杆模型小球运动到最高点时轻杆对小球的作用力方向竖直向上，根据牛顿第二定律与向心力表达式有
代入数据解得F＝6N
由牛顿第三定律得小球对轻杆的作用力大小也为6N，方向竖直向下，故A正确。
B、当运动到最高点时，时，根据
结合牛顿第三定律，可知速度越大，小球对轻杆的作用力越小；
时，根据
结合牛顿第三定律，可知速度越大，小球对轻杆的作用力越大；故在最高点时，小球对轻杆的作用力随速度的增大先减小后增大，故B错误。
C、若将轻杆换成等长的轻绳，小球最高点以水平抛出，绳子会处于松弛状态，故小球将做平抛运动（向心运动），直至绳再次拉直，这个过程中轻绳拉力为0，故C错误。
D、小球平抛过程轨迹如图所示
根据位移与时间公式，水平方向有x＝vt，竖直方向有
且满足L2＝x2+（y﹣L）2
代入数据得
故D正确。
故选：AD。
（多选）如图所示，内壁光滑的细圆管轨道竖直固定在水平面上，OA、OD分别是竖直、水平半径，BC是与竖直方向夹角为37°的倾斜直径，一小球（视为质点）从水平面进入圆弧轨道，到达C点时速度大小为v。已知小球在C点时对轨道的作用力刚好为0，重力加速度为g，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，下列说法正确的是（　　）
A．小球在C点向心加速度大小为0.8g
B．小球在D点时加速度方向指向圆心
C．圆弧轨道的半径为
D．小球离开C点后做自由落体运动
【解答】解：A.小球在C点向心加速度大小为an＝gcos37°＝0.8g，故A正确；
B．小球在D点时受到水平向左的弹力和重力，合外力方向指向左下方，则加速度方向指向左下方，故B错误；
C．在C点，有an0.8g，圆弧轨道的半径为R，故C正确；
D．因为小球在C点有斜向下的速度，小球离开C点后做斜下抛运动，故D错误。
故选：AC。
如图所示，AB为竖直半圆形光滑圆管轨道，其半径R＝1.6m，A端切线水平。水平轨道AC与半径r＝1m的光滑圆弧轨道CD相接于C点，D为圆弧轨道的最低点，相切于粗糙程度可调的水平轨道DE，圆弧轨道CD对应的圆心角θ＝30°。一质量M＝1kg的小球（可视为质点）在弹射器的作用下从水平轨道AC上某点以某一速度冲上竖直圆管轨道，并从B点飞出，经过C点恰好沿切线进入圆弧轨道，再经过E点，随后落到右侧圆弧面MN上，圆弧面内边界截面为四分之一圆形，其圆心与小球在E处球心等高，半径为m。取g＝10m/s2，sin30°，cos30°，求：
（1）小球到达C点时的速度大小vC；
（2）小球从B点飞出的速度大小vB和在B点受到轨道作用力大小F和方向；
（3）现改变水平轨道DE的粗糙程度，当小球从E点抛出后落到圆弧面MN的速度最小时，小球在E点抛出的水平速度大小为多少。
【解答】解：（1）B到C运动过程，小球做平抛运动，
竖直方向有：
，vy＝gt'，
联立可得：
t'＝0.8s，vy＝8m/s，
因为小球沿切线进入圆弧轨道CD，则：
，
解得：
vC＝16m/s；
（2）B到C运动过程，小球做平抛运动，则在C处有：
，
解得：
vB；
当B处轨道对小球恰好无作用力时，由牛顿第二定律得：
mg，
解得：
vm＝4m/s，
所以B处轨道对小球作用力F方向竖直向下，由牛顿第二定律得：
，
解得：
F＝110N；
（3）小球由E至落在圆弧面MN的过程，做平抛运动，设小球落到圆弧面MN时速度大小为v，小球从E点抛出时水平速度大小为vx，小球落到圆弧面MN时水平位移大小x，竖直位移大小y，
由速度关系可得：
，
由位移关系可得：
x2+y2＝R2，
由运动学规律可得：
x＝vxt，
，
联立变形可得：
，
由数学可知，当时，v最小，
联立可得：
，；
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专题强化（5） 竖直平面的圆周运动
1、掌握圆周运动中竖直面上的几种模型分析思路
知识点一 绳、杆模型讨论
轻绳模型（没有支撑） 轻杆模型（有支撑）
常见 类型
过最高点的临界条件 由mg＝m得v临＝ 由小球能运动即可得v临＝0
对应最低点速度v低≥ 对应最低点速度v低≥
绳不松不脱轨条件 v低≥或v低≤ 不脱轨
最低点弹力 F低-mg =mv低2/r F低=mg+mv低2/r，向上拉力 F低-mg =mv低2/r F低=mg+mv低2/r，向上拉力
最高点弹力 过最高点时，v≥，FN＋mg＝m，绳、轨道对球产生弹力FN＝m-mg 向下压力 (1)当v＝0时，FN＝mg，FN为向上支持力 (2)当0＜v＜时，－FN＋mg＝m，FN向上支持力，随v的增大而减小 (3)当v＝时，FN＝0 (4)当v＞时，FN＋mg＝m，FN为向下压力并随v的增大而增大
在最高 点的FN 图线 取竖直向下为正方向 取竖直向下为正方向
解题技巧
分析竖直平面内圆周运动临界问题的思路
知识点二 汽车过拱凹形桥
概述 如图所示为凹形桥模型．当汽车通过凹形桥的最低点时，向心力F向＝FN－mg＝m
规律 桥对车的支持力FN＝mg＋m＞mg，汽车处于超重状态
概述 如图所示为拱形桥模型．当汽车通过拱形桥的最高点时，向心力F向＝mg－FN＝m
规律 桥对车的支持力FN＝mg－m＜mg，汽车处于失重状态．若v＝，则FN＝0，汽车将脱离桥面做平抛运动
知识点三 斜面上的圆周运动
在斜面上做圆周运动的物体，因所受的控制因素不同，如静摩擦力控制（图甲）、轻绳控制（图乙）、轻杆控制（图丙），物体的受力情况和临界条件也不相同。
在斜面内做圆周运动的物体的速率不断变化，运动情况与竖直面内的圆周运动类似，所以通常分析物体在最高点和最低点的受力情况。
如图甲所示，质量为m的小球（视为质点）用轻质细线悬挂于O点在竖直面内做圆周运动，小球以不同的角速度ω通过最高点时，细线的拉力F与其角速度的平方ω2的关系图像如图乙所示，则下列说法正确的是（　　）
A．F＝0时，小球在最高点的角速度大小为a2
B．当地的重力加速度大小为mb
C．细线的长度为
D．当时，F的大小为，方向竖直向上
如图所示，长L的轻杆一端与一小球相连，另一端连在光滑固定轴上，在最高点给小球一个向右的水平初速度v0，小球在竖直平面内做顺时针方向的圆周运动，重力加速度为g。下列判断正确的是（　　）
A．最高点处轻杆对小球作用力一定指向圆心
B．小球运动到与圆心等高的位置时，其加速度大小可能为g
C．在小球从最高点到最低点的过程中，重力做功的功率一直增大
D．如果增大v0，在最低点与圆心等高位置处轻杆对小球拉力的差值不变
（多选）如图所示，一长为l的轻杆一端固定在垂直于纸面的水平转轴上，另一端固定一质量为m的小球，轻杆随转轴在竖直平面内做匀速圆周运动，角速度为ω，重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　）
A．小球运动到最高点时，杆对球的作用力一定竖直向下
B．小球运动到左侧与圆心等高的A点时，杆对球的作用力的大小为
C．在最低点和最高点，杆对球的弹力之差一定为2mg
D．小球运动到最低点杆对球的作用力一定比运动到最高点时大
（多选）城市中为了解决交通问题，修建了许多立交桥。如图所示，桥面是半径为R的圆弧形的立交桥AB横跨在水平路面上，一辆质量为m的小汽车，从A端以不变的速率v1驶过该立交桥，则（　　）
A．小汽车通过桥顶时处于失重状态
B．小汽车通过桥顶时处于超重状态
C．小汽车在桥上最高点受到桥面的支持力大小为FN＝mg﹣m
D．小汽车到达桥顶时的速度必须大于
（多选）重庆市巴南区有一段“波浪形”公路如图甲所示，公路的坡底与坡顶间有一定高度差，若该公路可看作由凹凸路面彼此连接而成如图乙所示。汽车通过路面最低点N和最高点M时速率相等，每一处凹凸路面部分均可看作半径为R的圆弧，汽车经过最低点N时，对路面的压力大小为其所受重力的2倍，已知汽车及车上人的总质量为m，重力加速度大小为g，以下说法正确的是（　　）
A．汽车经过N点时的速率为
B．汽车经过M点时的速率为
C．汽车经过M点时对路面的压力大于经过N点时对路面的压力
D．汽车经过M点时对路面恰好无压力
2013年6月20日，神十航天员王亚平在距离地面三百多公里的“天宫一号”空间站上给全国的中小学生进行了一次生动的太空授课，航天员用长为L的轻绳拴着质量为m的小球，在A点给小球一初速度v使小球在竖直平面内做圆周运动，已知地球表面的重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　）
A．小球在B点时绳子的拉力不可能为零
B．小球在D点时受到的合力为
C．若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其过B的速率为
D．小球过A点时绳子的拉力和过B点时绳子拉力的差值为6mg
如图所示，长为L的轻质细绳一端固定于O点，另一端系一个小球（可看成质点），在O点的正下方距O点处有一钉子。小球从一定高度摆下，细绳与钉子碰撞后瞬间，下列说法正确的是（　　）
A．小球的线速度变为原来的两倍
B．小球的角速度变为原来的一半
C．小球的向心加速度变为原来的两倍
D．小球受到的绳子拉力变为原来的两倍
（多选）如图甲所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，受到的弹力为F，速度大小为v，其F﹣v2图像如图乙所示，则（　　）
A．小球的质量为
B．当地的重力加速度大小为
C．v2＝c时，小球对杆的弹力方向向上
D．v2＝2b时，小球受到的弹力的大小等于重力的2倍
（多选）如图所示，轻杆一端固定在O点，另一端固定一小球，现让小球在竖直平面内做圆周运动，小球运动到最高点时，杆与小球间弹力大小为FN，小球在最高点的速度大小为v，其FN﹣v2图像如图2所示，已知重力加速度为g，则下列说法正确的是（　　）
A．小球的质量为
B．轻杆的长度为
C．v2＝3a时，在最高点杆对小球的弹力大小为3b
D．若小球与O点用细线相连，图2中a点的位置不变
（多选）如图所示，长为2L的轻杆一端固定在水平转轴O上，另一端固定着质量为m的小球A，质量也为m的小球B固定在轻杆的中间位置。轻杆随转轴O在竖直平面内做匀速圆周运动，小球A经过最高点时对轻杆的作用力为0。已知重力加速度大小为g，小球A、B均可视为质点。下列说法正确的是（　　）
A．小球A经过最高点时，小球B的线速度大小为
B．小球A经过最高点时，轻杆对小球B的作用力大为
C．小球A经过最低点时，轻杆对小球A的作用力大小为2mg
D．小球A经过最低点时，轻杆对小球B的作用力大小为
（多选）如图所示，一长为4L的轻杆绕O点在竖直平面内转动，光滑水平转轴穿过杆上的O点。已知杆两端固定有质量分别为3m、2m的球A和球B，OA距离为L，OB距离为3L。球B运动到最高点时，杆对球B有向下的拉力，大小为2mg。忽略空气阻力，重力加速度为g，则当球B在最高点时（　　）
A．球B的速度大小为
B．球A的速度大小为2
C．轻杆对A的作用力大小为mg
D．水平转轴对杆的作用力大小是3mg
（多选）质量为1.5×103kg的某型号小汽车，其轮胎的最大承重为3.0×104N，超过该值将会爆胎。如图所示，该汽车以30m/s的速度匀速通过一段凸凹不平的路面，最高点和最低点分别为A、B。现这段路面简化为弧形，其对应圆弧的半径r均为150m。取g＝10m/s2，下列说法正确的是（　　）
A．从A点到B点的过程中对地面的压力大小不变
B．通过最高点A时对路面的压力为6000N
C．通过最低点B时不会爆胎
D．若以40m/s的速度匀速通过该路段时，不会脱离路面
如图所示，半径为R的光滑圆弧轨道竖直固定，质量为m的小球静止在圆轨道的最低点，某时刻给小球一大小为v0的水平初速度，小球进入圆轨道运动。已知重力加速度为g，不计任何阻力，则关于小球在圆轨道内运动过程说法正确的是（　　）
A．小球能通过圆轨道最高点
B．小球在圆轨道运动过程中会脱离轨道
C．小球速度减为零时，轨道对小球弹力大小为mg
D．小球速度减为零时，加速度大小为
“太极球”是近年来较流行的一种健身器材。做该项运动时，健身者半马步站立，手持太极球拍，拍上放一橡胶太极球，健身者舞动球拍时，球却不会掉落地上。现将球拍和太极球简化成如图所示的平板和小球，熟练的健身者让球在竖直面内始终不脱离板而做匀速圆周运动，且在运动到图中的A、B、C、D位置时球与板间无相对运动趋势。A为圆周的最高点，C为最低点，B、D与圆心O等高。设在A处时健身者需施加的力为F，当球运动到B、D位置时，板与水平方向需有一定的夹角θ，球的重力为1N，不计拍的重力，则tanθ与F的关系为（　　）
A．tanθ＝F+1 B．tanθ＝F+2 C．tanθ＝F﹣1 D．tanθ＝F﹣2
如图甲所示，小球穿在竖直平面内光滑的固定圆环上，绕圆心O点做半径为R的圆周运动。小球运动到最高点时，圆环与小球间弹力大小为F，小球在最高点的速度大小为v，其F﹣v2图像如图乙所示，重力加速度g取10m/s2，则（　　）
A．小球的质量为1kg
B．固定圆环的半径R为1m
C．若小球通过最高点时的速度大小为4m/s，小球受圆环的弹力大小为20N
D．若小球通过最高点时的速度大小为6m/s，则小球受到的合力大小为70N
如图甲所示，筒车的车轮在水流的推动下做匀速圆周运动，使装在车轮上的竹筒自动取水上岸进行灌溉。其简化模型如图乙所示，转轴为O，C、O、D在同一高度，A、B分别为最低点和最高点，E、F为水面。竹筒顺时针匀速转动的半径为R，角速度大小为ω，在E点开始打水，从F点离开水面。从A点到B点的过程中，每个竹筒所装的水质量为m且保持不变，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　）
A．竹筒做匀速圆周运动的合外力不变
B．竹筒过C点时，竹筒对水的作用力大小为mg
C．竹筒从C到B的过程中，重力的功率逐渐减小
D．水轮车上装有16个竹筒，则相邻竹筒打水的时间间隔为
如图所示，竖直放置的光滑圆形管道内有一小球，内侧管壁半径为R，小球半径为r，质量为m。若小球仅受重力和管道对小球的作用力，小球能在竖直面内做完整的圆周运动，已知重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　）
A．小球在最高点的最小速度为
B．小球在最高点的最小速度为
C．若小球在圆心等高处的速度为v，则此时小球的加速度大小为
D．若小球在最低点的速度为v，则管道对小球的作用力大小为
（多选）如图所示，长为1m的轻质细杆一端固定在水平转轴O上，另一端固定一个质量为1kg的小球（视为质点）。小球在竖直平面内绕转轴O做圆周运动，通过最高点的速度大小为2m/s。忽略空气阻力，重力加速度大小g＝10m/s2，下列说法正确的是（　　）
A．小球通过最高点时，对轻杆的作用力方向竖直向下，大小为6N
B．小球通过最高点时，速度越大，对轻杆的的作用力越大
C．若将轻杆换成等长的轻绳，小球从最高点以v＝2m/s水平抛出，则抛出瞬间轻绳拉力为6N
D．若将轻杆换成等长的轻绳，小球从最高点以v＝2m/s水平抛出，则经，轻绳再次拉直
（多选）如图所示，内壁光滑的细圆管轨道竖直固定在水平面上，OA、OD分别是竖直、水平半径，BC是与竖直方向夹角为37°的倾斜直径，一小球（视为质点）从水平面进入圆弧轨道，到达C点时速度大小为v。已知小球在C点时对轨道的作用力刚好为0，重力加速度为g，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，下列说法正确的是（　　）
A．小球在C点向心加速度大小为0.8g
B．小球在D点时加速度方向指向圆心
C．圆弧轨道的半径为
D．小球离开C点后做自由落体运动
如图所示，AB为竖直半圆形光滑圆管轨道，其半径R＝1.6m，A端切线水平。水平轨道AC与半径r＝1m的光滑圆弧轨道CD相接于C点，D为圆弧轨道的最低点，相切于粗糙程度可调的水平轨道DE，圆弧轨道CD对应的圆心角θ＝30°。一质量M＝1kg的小球（可视为质点）在弹射器的作用下从水平轨道AC上某点以某一速度冲上竖直圆管轨道，并从B点飞出，经过C点恰好沿切线进入圆弧轨道，再经过E点，随后落到右侧圆弧面MN上，圆弧面内边界截面为四分之一圆形，其圆心与小球在E处球心等高，半径为m。取g＝10m/s2，sin30°，cos30°，求：
（1）小球到达C点时的速度大小vC；
（2）小球从B点飞出的速度大小vB和在B点受到轨道作用力大小F和方向；
（3）现改变水平轨道DE的粗糙程度，当小球从E点抛出后落到圆弧面MN的速度最小时，小球在E点抛出的水平速度大小为多少。
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