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6.4生活中的圆周运动
1.会分析生活中的各种圆周运动现象，体会模型构建的方法，会用牛顿第二定律解决生活中的圆周运动问题。
2.知道航天器中的失重现象。
3.知道离心运动及其产生条件，了解离心心运动的防止和应用。
知识点一：车辆转弯问题（火车转弯、汽车转弯）
1.汽车转弯
如图所示，汽车在水平路面上转弯时，摩擦力提供向心力(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，即，当摩擦力达到最大值时，汽车转弯的速度达到临界值，因，则临界速度
汽车转弯问题模型如下
（1）一般来说转弯处的地面是倾斜的，当汽车以某一适当速度经过弯道时，由汽车自重与斜面的支持力的合力提供向心力；小于这一速度时，地面会对汽车产生向外侧的摩擦力；大于这一速度时，地面会对汽车产生向内侧的摩擦力。所以当汽车转弯时,存在一个安全通过的最大速度，如果超过了这个速度，汽车将发生侧滑现象。
（2）改进措施:①增大转弯半径；②增加路面的粗糙程度；③最重要的一点:司机应该减速慢行；④增加路面高度差——外高内低。
【注意】
①路面倾斜，但汽车做圆周运动的轨道面是水平的。
② 向心力在水平面内，但摩擦力的方向与路面平行。
③汽车在倾角为θ的路面上做半径为r的圆周运动时，若速度，路面与汽车间恰无摩擦力；当时，静摩擦力沿路面斜向下；当时，静摩擦力沿路面斜向上。
2、火车转弯模型如下
（1）与公路弯道类似，铁轨弯道处，也通过一定的设计，展现出一定的坡度。当火车以速度通过时，恰好有火车自身重力与铁轨的支持力的合力提供向心力。
速度v推断：如图所示，受力分析可得F合＝mg tanθ；火车转弯时所需的向心力，
当F合=Fn时，。
（2）当v＜这一速度时，轮缘受到内轨向外的弹力。
（3）当v＞这一速度时。轮缘受到外轨向内的弹力。
知识点二：拱形桥和凹形路面
1、汽车过拱形桥
（1）汽车静止在桥上或通过平桥时，受力情况：F压＝FN＝mg。
（2）汽车过拱形桥时，在最高点时，受力情况如图所示：
向心力；；；
所以：F压＝FN＜mg；汽车对桥的压力小于其所受重力，即处于失重状态；当 FN = 0 时，汽车脱离桥面，做平抛运动，汽车及其中的物体处于完全失重状态。
（3）汽车过凹形桥时，在最低点时，受力情况如图所示：
向心力；；；
所以：F压＝FN＞mg；汽车对桥的压力大于其所受重力，即处于超重状态。
2、航天器中的失重现象
（1）向心力分析:宇航员受到的地球引力与飞船座舱对他的支持力的合力为他提供向心力：。
（2）失重状态:当v=gR 时，座舱对宇航员的支持力为零，宇航员处于完全失重状态。
知识点三：竖直平面内绳（或杆）约束的圆周运动
1.在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类：
一是无支撑（如球与绳连接、沿内轨道运动的物体等），称为“绳（环）约束模型”；
二是有支撑（如球与杆连接、在弯管内的运动等），称为“杆（管）约束模型”。
2.绳、杆模型涉及的临界问题
绳模型 杆模型
常见类型 均是没有支撑的小球 均是有支撑的小球
受力特征 绳或圆轨道只能踢动指向圆心的力 杆或管道既能提供指向圆心的力，也能提供背离圆心的力
受力示意图
过最高点的临界条件 由得， 由小球恰能做圆周运动时，得：
讨论分析 ①若，则：，绳、轨道对小球有弹力； ②若，则 ②若，则小球不能过最高点 ①当v=0时，，FN为支持力，沿半径背离圆心 ②当时，，背离圆心，随v的增大而减小 ③当时，FN=0 ④当时，，FN指向圆心，并随v的增大而增大
(1)轻绳模型和轻杆模型过最高点的临界条件不同，其原因是轻绳不能提供支持力，而轻杆可以提供支持力。
(2)对轻杆模型，在无法确定位于最高点时对物体提供的是支持力还是拉力的情况下，可用假设法列方程，然后根据结果的正负再确定力的方向。
3.非特殊情况下的圆周运动
图示
运动情况 小球先沿圆轨道滑下 小球自高处滑下后进入圆轨道
轨道特点 沿圆轨道外侧运动 沿圆轨道内侧运动
运动分析 某点时，若mgsinθ恰好提供向心力：小球在此点离开圆弧做斜下抛运动 在某位置时，若重力在指向圆心方向的分力恰好提供向心力，轨道对小球的弹力为0，此后，小球将向斜上方抛出
竖直面内圆周运动问题的解题思路
知识点四：离心运动
1、离心运动
（1）定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动。
（2）本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞出去的倾向。
（3）受力特点：当F=mrω2时，物体做匀速圆周运动；当F=0时，物体沿切线方向飞出；
当F＜mrω2时，物体逐渐远离圆心，F为实际提供的向心力；如图所示:
2、向心运动
（1）当提供向心力的合外力大于做圆周运动所需向心力时，即F＞mrω2，物体渐渐向圆心靠近；如图上图所示。
注意：物体做离心运动不是物体受到所谓离心力作用，而是物体惯性的表现，物体做离心运动时，并非沿半径方向飞出，而是运动半径越来越大或沿切线方向飞出。
【点拨】合力与向心力的关系
如图，滚筒洗衣机的滚筒截面是圆形的，a、c分别为最低点和最高点，b、d两点与圆心等高，洗衣机以一定的转速脱水时，湿衣物随滚筒在竖直面内做匀速圆周运动。下列说法正确的是（　　）
A．湿衣物在b、d两点的向心力相同
B．湿衣物在a点更容易脱水
C．湿衣物在c点更容易脱水
D．减小转速湿衣物脱水效果会更好
【解答】解：A、湿衣物随滚筒在竖直平面内做匀速圆周运动，合力作为向心力，指向圆心，则其在b、d两处的向心力大小相等，方向相反，故A错误；
B、湿衣物运动到最低点a点时，加速度方向竖直向上，合力向上，处于超重状态，由牛顿第二定律可知，湿衣物在a点受到滚筒的作用力最大，脱水效果最好，故B正确；
C、湿衣物在c点时，加速度竖直向下，处于失重状态，由牛顿第二定律可知，湿衣物在c点受到滚筒的作用力最小，脱水效果最差，故C错误；
D、增大洗衣机转速，水需要的向心力越大，水越容易做离心运动，脱水效果会更好，故D错误。
故选：B。
有关圆周运动的基本模型，下列说法正确的是（　　）
A．如图甲，火车转弯超过规定速度行驶时，内轨和轮缘间会有挤压作用
B．如图乙，“水流星”表演中，过最高点时水没有从杯中流出，水对杯底压力可以为零
C．如图丙，小球竖直面内做圆周运动，过最高点的速度至少等于
D．如图丁，A、B两小球在同一水平面做圆锥摆运动，则A比B的角速度大
【解答】解：A．火车转弯超过规定速度行驶时，需要更大的向心力，则外轨和轮缘间会有挤压作用，故A错误；
B．在最高点时，当只有重力提供向心力时，杯底对水的支持力为零，由牛顿第三定律得水对杯底压力为零，故B正确；
C．小球竖直面内做圆周运动，在最高点轻杆对小球可以提供支持力，则小球能通过最高点的临界速度为0，故C错误；
D．设两球与悬点的竖直高度为h，根据牛顿第二定律
mgtanθ＝mω2r
又
联立得
所以A、B两小球在同一水平面做圆锥摆运动，角速度相等，故D错误。
故选：B。
修筑弯道处铁路时，要适当选择内外轨的高度差，以减轻车轮与铁轨间的挤压。选择内外轨高度差时需要考虑的因素不包含（　　）
A．火车的质量 B．弯道的半径
C．规定的行驶速度 D．内外轨之间的距离
【解答】解：对火车在车轨上进行受力分析
结合牛顿第二定律可得
解得
轨道平面与水平面的夹角一般很小，则
解得
因此内外的高度差与火车的质量无关。
故A正确，BCD错误；
故选：A。
中国选手邓雅文在2024年巴黎奥运会女子自由式小轮车公园赛决赛中获得金牌。如图所示，几位运动员正在倾斜的弯道上做匀速圆周运动，圆周运动的半径为r，车相对弯道无侧向滑动。若邓雅文连同小轮车（可视为质点）的总质量为m，倾斜弯道可视为倾角为θ的斜面，不计摩擦阻力和空气阻力，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　）
A．邓雅文和小轮车所受支持力竖直向上
B．邓雅文和小轮车对弯道的压力大小为
C．邓雅文和小轮车的线速度大小为
D．邓雅文和小轮车运动的半径越大，其线速度就越小
【解答】解：A、邓雅文和小轮车所受支持力垂直于轨道向上，而不是竖直向上，故A错误；
B、如图所示
对邓雅文和小轮车受力分析，根据几何关系可得
根据牛顿第三定律，车对弯道的压力大小为，故B正确；
CD、根据牛顿第二定律可得
解得邓雅文和小轮车的线速度大小
可知邓雅文和小轮车运动的半径越大，其线速度越大，故CD错误。
故选：B。
下列有关生活中圆周运动的实例分析，说法正确的是（　　）
A．图甲中，附着在脱水筒内壁上的衣服受到的摩擦力随角速度增大而增大
B．图乙中，汽车通过拱桥最高点时的情形，汽车受到的支持力大于重力
C．图丙中，随水平圆盘转动的物块离转轴越近，越容易发生相对滑动
D．图丁中，用离心机将瓶中混合的水和油分离，其中a、c部分是油
【解答】解：A.衣服附着在脱水筒内壁上随桶一起转动，竖直方向由受力平衡得f＝mg，摩擦力大小不变，故A错误；
B.汽车通过拱桥的最高点时，加速度竖直向下，根据牛顿第二定律可知，即汽车受到的支持力小于重力，故B错误；
C.水平圆盘转动时，圆盘对物体的摩擦力提供其做圆周运动的向心力，即f＝mω2r，离圆盘中心越近，物体的摩擦力越小，越不容易达到最大静摩擦力出现滑动，故C错误；
D.水的密度大，单位体积水的质量大，瓶子中的油和水做匀速圆周运动的角速度相同，根据F＝mω2r，可知水做圆周运动所需要的向心力大，当合力F不足以提供向心力时，水先做离心运动，所以油和水分离后，油在水的内侧，故b、d部分是水，a、c部分是油，故D正确。
故选：D。
山崖边的公路常被称为最险公路，如图所示，一辆汽车欲安全通过此弯道，下列说法正确的是（　　）
A．该路面内侧低、外侧高
B．汽车向心力方向与路面平行
C．若汽车以相同速率转弯，选择内圈较为安全
D．汽车在转弯时受到重力、支持力、摩擦力和向心力作用
【解答】解：A、该弯路的设计内侧低，外侧高时，由车的重力与支持力的合力提供部分的向心力，不易侧滑，故A正确；
B、汽车做的是水平面内的圆周运动，其向心力应沿水平方向指向圆心，故B错误；
CD、汽车转弯时受到重力、支持力、摩擦力，向心力为效果力，根据向心力公式可知：速率相同时半径越大其需要的向心力越小，所以汽车以相同速率转弯，选择外圈较为安全，故CD错误。
故选：A。
如图所示，汽车过拱桥可以看作圆周运动。则汽车通过拱桥最高点时，汽车（　　）
A．处于平衡状态
B．车速越快，对桥面压力越大
C．所需要的向心力方向竖直向下
D．竖直方向受到重力、支持力和向心力
【解答】解：A.汽车过拱桥最高点属于圆周运动，处于非平衡状态，故A错误；
B.根据mg﹣FN，可知速度v越大，支持力FN越小，由牛顿第三定律可知对桥面的压力越小，故B错误；
C.由于圆心在汽车的正下方，所需的向心力方向竖直向下，故C正确；
D.根据物体的受力分析，竖直方向受到重力和支持力，故D错误。
故选：C。
如图是宇航员在“天宫课堂”中利用旋转的方法进行水油分离的实验装置，在空间站中快速摇转该装置就可以实现水油分离。关于这个实验，下列说法正确的是（　　）
A．不旋转时，由于水和油受重力会自然分层
B．旋转时，转速越小越容易实现水油分离
C．水油分离时靠近试管底部的是密度较大的水
D．在天宫中利用此装置进行实验，装置必须水平放置才能实现水油分离
【解答】解：A.太空中处于完全失重状态，不旋转时水和油不能分离自然分层，故A错误；
B.旋转时，转速越大越容易发生离心运动，所以更容易实现水油分离，故B错误；
C.水油分离是因为水的密度较大更容易离心而分离的，则靠近试管底部的是密度较大的水，故C正确；
D.在天宫中利用此装置进行实验，处于完全失重状态，则装置竖直放置也能实现水油分离，故D错误。
故选：C。
如图，光滑的水平面上，小球在拉力F作用下做匀速圆周运动，若小球到达P点时F突然发生变化，下列关于小球运动的说法正确的是（　　）
A．F突然变大，小球可能沿轨迹Pb逐渐远离圆心
B．F突然变小，小球可能沿轨迹Pc逐渐靠近圆心
C．F突然变小，小球可能沿轨迹Pa做匀速直线运动
D．F突然消失，小球可能沿轨迹Pa做匀速直线运动
【解答】解：A.F突然增大，合外力大于小球做圆周运动需要的向心力，小球将沿轨迹Pc做近心运动，故A错误；
BC.F突然变小，合外力不能满足做圆周运动所需要的向心力，小球将沿轨迹Pb做离心运动，故BC错误；
D.F突然消失，小球做匀速直线运动，则小球将沿轨迹Pa做离心运动，故D正确。
故选：D。
如图所示，长度不同的两根轻绳L1与L2，一端分别连接质量为m1和m2的两个小球，另一端悬于天花板上的同一点O，两小球质量之比m1：m2＝1：3，两小球在同一水平面内做匀速圆周运动，绳L1、L2与竖直方向的夹角分别为30°与60°，下列说法中正确的是（　　）
A．绳L1、L2的拉力大小之比为
B．小球m1、m2运动的向心力大小之比为1：9
C．小球m1、m2运动的周期之比为
D．小球m1、m2运动的线速度大小之比为3：1
【解答】解：A.小球运动的轨迹圆在水平面内，运动形式为匀速圆周运动，在指向轨迹圆圆心方向列向心力表达式方程，在竖直方向列平衡方程，可得，拉力大小T1，T2，解得，故A错误；
B.向心力大小F1＝m1gtan30°，F2＝m2gtan60°，解得，故B正确；
C.周期T＝2，因连接两小球的绳的悬点距两小球运动平面的距离相等，所以周期相等，故C错误；
D.由v可知，，故D错误。
故选：B。
旋转餐桌的水平桌面上，一个质量为m的茶杯（视为质点）到转轴的距离为r，茶杯与旋转桌面间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g，餐桌带着茶杯以相同转速一起匀速转动时，茶杯与餐桌没有发生相对滑动，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（　　）
A．若减小餐桌的转动转速，则茶杯与餐桌可能发生相对滑动
B．一起匀速转动时茶杯有沿切线方向滑出去的趋势
C．让餐桌加速转动，茶杯与餐桌仍保持相对静止，则茶杯受到的摩擦力的方向指向餐桌的中心
D．将茶杯中的水倒出后仍放在原位置，以相同的转速匀速转动餐桌，茶杯与餐桌仍保持相对静止
【解答】解：A．根据题意可知，茶杯转动时，所需的向心力为，若减小餐桌的转动转速，所需向心力减小，则茶杯与餐桌不可能发生相对滑动，故A错误；
B．匀速转动时，茶杯所受静摩擦力提供茶杯做匀速圆周运动的向心力，力的方向指向圆心，茶杯有背离圆心的运动趋势，故B错误；
C．餐桌加速转动，茶杯与餐桌仍保持相对静止，摩擦力沿着半径方向的分力改变线速度的方向，摩擦力沿着切线方向的分力改变线速度的大小，可知，茶杯受到的摩擦力的方向不指向餐桌的中心，故C错误；
D．餐桌带着茶杯以相同转速一起匀速转动时，茶杯与餐桌恰好没有发生相对滑动时，有μmg＝m （2πn）2r＝4π2mn2r，解得μg＝（2πn）2r＝4π2n2r，与质量无关，将茶杯中的水倒出后仍放在原位置，等式仍然成立，可知茶杯与餐桌仍保持相对静止，故D正确。
故选：D。
如图所示，当列车以恒定速率v通过一段半径为r的水平圆弧形弯道时，乘客发现在车厢顶部悬挂玩具小熊的细线与车厢侧壁平行，同时观察放在桌面上水杯内的水面（与车厢底板平行）。已知此弯道路面的倾角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g，则下列判断正确的是（　　）
A．列车转弯时的速率v
B．列车的轮缘与轨道均无侧向挤压作用
C．水杯受到指向桌面外侧的静摩擦力
D．水杯内水面与水平方向的夹角大于θ
【解答】解：A、设玩具小熊的质量为m，则玩具受到的重力mg、细线的拉力FT的合力提供玩具小熊随车做水平面内圆弧运动的向心力F（如图），则根据牛顿第二定律有：mgtanθ＝m，可知列车在转弯时的速率为v，故A错误；
B、根据牛顿第二定律有：mgtanθ＝ma，列车的向心加速度a＝gtanθ，由列车的重力与轨道的支持力的合力提供，故列车与轨道均无侧向挤压作用，故B正确；
C、水杯的向心加速度a＝gtanθ，由水杯的重力与桌面的支持力的合力提供，水杯与桌面间的静摩擦力为零，故C错误；
D、在杯内水面取一微小质量元，此微元受到的重力与支持力的合力产生的加速度大小为a＝gtanθ，可知水杯内水面与水平方向的倾斜角等于θ，水杯内水面与桌面平行，故D错误。
故选：B。
如图甲所示，一长为l轻绳，一端固定在过O点，另一端固定一质量未知的小球，整个装置绕O点在竖直面内转动。小球通过最高点时，绳对小球的拉力F与其速度平方v2的关系如图乙所示，重力加速度为g，下列判断正确的是（　　）
A．图像函数表达式为
B．重力加速度
C．绳长不变，用质量较小的球做实验，得到的图线斜率更大
D．绳长不变，用质量较小的球做实验，图线b点的位置向左移
【解答】解：A.小球在最高点时，可得图像函数表达式为，故A错误；
B.根据，当F＝0时v2＝b，可得重力加速度，故B正确；
C.图像的斜率，则绳长不变，用质量较小的球做实验，得到的图线斜率更小，故C错误；
D.根据，当F＝0时，v2＝gl，则若绳长不变，用质量较小的球做实验，则b点坐标不变，即图线b点的位置不动，故D错误。
故选：B。
如图所示为一圆形餐桌的俯视图，餐桌中间放置一个可绕其中心轴转动的玻璃圆盘，在圆盘的边缘放置餐具。启动电机，餐具随圆盘一起做圆周运动。已知圆盘的半径为R，餐具与圆盘之间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，不计餐具大小。下列说法正确的是（　　）
A．餐具随圆盘转动过程中受重力、支持力、摩擦力和向心力作用
B．启动电机的瞬间，餐具受到的摩擦力方向指向圆盘中心
C．圆盘匀速转动过程中，餐具受到的摩擦力大小一定为μmg
D．为防止餐具滑下圆盘，圆盘转动的角速度最大值为
【解答】解：A、餐具随圆盘转动过程中受重力、支持力、摩擦力，摩擦力提供向心力，不受所谓的向心力作用，故A错误；
B、启动电机瞬间，餐具的速度为零，向心力为零，餐具所受摩擦力方向与餐具加速方向相同，方向不指向圆盘中心，方向与圆盘半径垂直，故B错误；
C、圆盘匀速转动过程中，静摩擦力提供向心力，摩擦力不一定为最大静摩擦力，摩擦力大小小于等于最大静摩擦力μmg，故C错误；
D、当摩擦力为最大静摩擦力时餐具开始滑动，由牛顿第二定律得μmg＝mω2R，解得ω，则为防止餐具滑下圆盘，圆盘转动的角速度最大值为，故D正确。
故选：D。
高速离心机用于快速沉淀或分离物质。如图所示，水平试管固定在高速离心机上，离心机匀速转动，转速为n（转速的单位为转每秒），在水平试管中的P点有质量为m的某固体颗粒，某时刻颗粒离转轴的距离为r。已知试管中充满液体，颗粒与试管内壁不接触。下列说法错误的是（　　）
A．颗粒运动的角速度为2πn
B．颗粒此时受到的合外力大小为4π2mrn2
C．离转轴越远，分离沉淀效果越好
D．离转轴越近，分离沉淀效果越好
【解答】解：A．根据角速度与转速的关系式ω＝2πn可得，颗粒运动的角速度为2πn，故A正确；
B．固体颗粒做匀速圆周运动，合外力提供向心力，由向心力公式可得
故B正确；
CD．离转轴越远，r越大，液体提供的“浮力”与颗粒在该处做匀速圆周运动所需向心力的差距越大，则分离沉淀效果越好，故C正确，D错误。
本题选错误的，故选：D。
如图甲所示，筒车的车轮在水流的推动下做匀速圆周运动，使装在车轮上的竹筒自动取水上岸进行灌溉。其简化模型如图乙所示，转轴为O，C、O、D在同一高度，A、B分别为最低点和最高点，E、F为水面。竹筒顺时针匀速转动的半径为R，角速度大小为ω，在E点开始打水，从F点离开水面。从A点到B点的过程中，每个竹筒所装的水质量为m且保持不变，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　）
A．竹筒做匀速圆周运动的合外力不变
B．竹筒过C点时，竹筒对水的作用力大小为mg
C．竹筒从C到B的过程中，重力的功率逐渐减小
D．水轮车上装有16个竹筒，则相邻竹筒打水的时间间隔为
【解答】解：A.匀速圆周运动的合外力提供向心力，方向一定改变，故A错误；
B.竹筒中的水做匀速圆周运动，合力指向圆心，如图所示
所以竹筒对水的作用力大小为，故B错误；
C.从C点到B点的过程中，竹筒速度在竖直方向上的分量逐渐减小，重力的功率减小，故C正确；
D.相邻竹筒打水的时间间隔为，故D错误。
故选：C。
如图所示，半径为R的半球形容器固定在水平转台上，转台绕过容器球心O的竖直轴线以角速度ω匀速转动。质量相同的小物块A、B随容器转动且一直相对器壁静止，A、B和球心O点连线与竖直方向的夹角分别为α和β，α＞β，α＝60°，此时物块A受到的摩擦力恰好为零，重力加速度为g。则（　　）
A．物块B受到的摩擦力可能为零
B．物块B受沿容器壁向上的摩擦力
C．若增大角速度ω，物块B受到的摩擦力一定增大
D．若减小角速度ω，物块B受到的摩擦力一定增大
【解答】解：AB、此时物体A受到的摩擦力恰好为零，则只受到重力与支持力，二者的合力提供向心力，如图
可得mgtanα＝mω2Rsinα
解得ω
同理可得当B所受到的摩擦力为零时
由于α＞β，则ω′＜ω
所以A受到的静摩擦力为零时，B有沿容器壁向上滑动的趋势，即B受到沿容器壁向下的摩擦力，故AB错误；
CD、B所受摩擦力沿容器壁向下，若ω增大，则所需的向心力变大，B受到的摩擦力一定增大，反之，若减小角速度ω，物块B受到的摩擦力一定减小，故C正确，D错误。
故选：C。
如图，一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内，其中管道半径为R。现有一个半径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管内运动，当小球通过最高点时速率为v0，则下列说法正确的是（　　）
A．若v0＝0，则小球对管内壁无压力
B．若，则小球对管内上壁有压力
C．若，则小球对管内下壁没有压力
D．不论v0多大，小球对管内壁都有压力
【解答】解：A．设小球在最高点时管内下壁对小球有竖直向上的支持力，根据合外力提供向心力可得：
如果v0＝0，
解得：FN＝mg
根据牛顿第三定律，可知小球对管内下壁有竖直向下的压力，故A错误；
B．设小球在最高点时管内上壁对小球有竖直向下的压力，根据合外力提供向心力可得：
如果
解得：
负号说明管内下壁对小球有竖直向上的支持力，根据牛顿第三定律，可知小球对管内下壁有竖直向下的压力，故B错误；
C．设小球在最高点时管内上壁对小球有竖直向下的压力，根据合外力提供向心力可得：
如果，
解得：FN＝mg
即管内上壁对小球有竖直向下的压力，大小为mg，根据牛顿第三定律，可知小球对管内上壁有竖直向上的压力，小球对管内下壁没有压力，故C正确；
D．设小球在最高点时管内壁对小球没有力的作用，根据合外力提供向心力可得：
解得：
此时小球对管内壁没有压力，故D错误。
故选：C。
（多选）如图所示，C为可绕过O点竖直轴转动的光滑小圆环。A、B两位同学质量分别为m1、m2拉住穿过圆环的细绳两端，在空中做圆锥摆运动，两侧绳长分别为L1、L2，θ1＞θ2，运动的周期相等，不计空气阻力，人可视为质点，则下列判断正确的是（　　）
A．两位同学的向心加速度相同
B．两位同学的运动轨迹在同一水平面
C．m1＜m2
D．一定有m1L1＝m2L2
【解答】解：A.两位同学的向心加速度方向不同，故A错误；
B.设AC、BC与竖直方向夹角分别为α、β，
由题意，结合牛顿第二定律可得：m1gtanα、m2gtanβ
联立可得：
L1cosα＝L2cosβ
由此可知，两位同学的运动轨迹在同一水平面，故B正确；
CD.由于细绳穿过圆环，同一根绳子拉力大小相等，则细绳对A和B的拉力F大小相等，结合前面分析可得：
Fcosα＝m1g，Fcosβ＝m2g
且：
L1cosα＝L2cosβ
联立可得：
m1L1＝m2L2
由于L1较大，则m1＜m2
故CD正确；
故选：BCD。
雪地转椅是一种游乐项目，其中心传动装置带动转椅在雪地上滑动，俯视图为图甲。传动装置有一高度可调的水平圆盘，可绕通过中心O点的竖直轴匀速转动。半径为R的圆盘边缘A处固定连接一轻绳，长度也为R的轻绳另一端B连接转椅（视为质点）。转椅运动稳定后，其角速度为ω1且与水平圆盘角速度相等，到O点的距离。已知重力加速度为g，不计空气阻力。
（1）求转椅与雪地之间的动摩擦因数；
（2）如图乙所示，将水平圆盘升高，当水平圆盘以某一角速度匀速转动时，转椅恰好离开雪地做匀速圆周运动，此时绳子与竖直方向的夹角α＝37°，求此时水平圆盘的角速度ω2。（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）
【解答】解：（1）转椅做匀速圆周运动，设此时轻绳拉力为T，转椅质量为m，受力分析可知轻绳拉力沿切线方向的分量与转椅受到地面的滑动摩擦力平衡，沿径向方向的分量提供圆周运动的向心力，故可得
沿切线方向μmg＝Tsinα
由几何关系可得α＝30°
联立解得：μ
（2）根据力的平衡条件，竖直方向上分力：Tcosα＝mg
水平方向上，绳子拉力的水平分量提供向心力，即
其中，r2是转椅到O点的水平距离，即绳子在水平方向上的投影长度再加上R，由于绳子长度为R，且与竖直方向的夹角为α，因此r2＝R+Rsinα
代入数据解得ω2
答：（1）转椅与雪地之间的动摩擦因数为；
（2）水平圆盘的角速度ω2为。
如图甲是某厂家在弯道倾角θ＝45°的汽车试验场测试汽车性能时汽车从水平直道进入倾斜弯道的照片，简化图如乙所示。汽车匀速过此弯道，其重心位于汽车中轴线上，重心的轨迹可视为半径为R＝250m的圆弧。已知汽车（含驾驶员）总质量为m＝2.0×103kg，刹车减速时的平均阻力F＝2.0×104N，汽车受到的最大静摩擦力大小可认为等于滑动摩擦力大小，重力加速度g取10m/s2，忽略空气阻力，特殊材料的动摩擦因数μ可能大于1。
（1）某时刻处于水平直道上的汽车以v0＝216km/h的速度开始减速，进入倾斜弯道后恰好没有向弯道内外两侧运动的趋势，求汽车在开始减速至弯道起始线过程中，刹车产生的内能Q和刹车距离E；
（2）当汽车车轮与地面动摩擦因数μ满足什么条件时，汽车在弯道中无论多快都不会向外侧侧滑。
【解答】解：（1）v0＝216km/h＝60m/s，
在倾斜弯道恰好没有向弯道内外两侧运动的趋势，汽车受重力mg和支持力N，两个力的合力提供向心力，可得，解得，
由能量守恒可知刹车产生的内能Q，由动能定理可得，解得；
（2）当汽车以最大速度vm行驶，不向外侧侧滑时，重力、支持力和最大静摩擦力的合力提供向心力，可得，FNcosθ﹣fsinθ﹣mg＝0，又f＝μFN，联立上式解得，vm→∞时，，即μ≥1。
答：（1）汽车在开始减速至弯道起始线过程中，刹车产生的内能Q为1.1×106J；刹车距离E为55m；
（2）当汽车车轮与地面动摩擦因数μ满足μ≥1时，汽车在弯道中无论多快都不会向外侧侧滑。
如图所示，从A点以v0的水平速度抛出一质量m＝1kg的小物块（可视为质点），当物块运动至B点时，恰好沿切线方向进入半径R＝2m，圆心角为60°的圆弧轨道BC，C与圆心O在同一竖直线上，A与C的高度差H＝1.45m，从C点进入半径为r＝0.4m的圆周轨道运动恰好通过最高点后运动一圈到最低点滑上与C点等高、静止在光滑水平面上质量M＝2kg的长木板上，物块与木板之间动摩擦因数为μ＝0.2，小物块滑上木板的速度v1＝4m/s，物块没有脱离木板。求：
（1）从A点抛出的水平速度v0；
（2）物块恰好通过圆周轨道最高点的速度v；
（3）物块没有脱离木板，木板的最小长度L。
【解答】解：（1）平抛运动时间t，则
可得t＝0.3s
B点的竖直分速度为vy＝gt，解得vy＝3m/s
，解得v
（2）恰好通过圆周最高点无弹力
解得v＝2m/s
（3）物块减速加速度大小为a1，根据牛顿第二定律μmg＝ma1，解得
木板加速运动加速度大小a2，根据牛顿第二定律μmg＝Ma2，解得
速度相等时速度为v2运动时间为t1
v2＝v1﹣a1t1＝a2t1
解得，
物块位移，解得x1m
木板位移，解得x2m
L＝x1﹣x2，解得Lm
答：（1）从A点抛出的水平速度；
（2）物块恰好通过圆周轨道最高点的速度2m/s；
（3）物块没有脱离木板，木板的最小长度。
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6.4生活中的圆周运动
1.会分析生活中的各种圆周运动现象，体会模型构建的方法，会用牛顿第二定律解决生活中的圆周运动问题。
2.知道航天器中的失重现象。
3.知道离心运动及其产生条件，了解离心心运动的防止和应用。
知识点一：车辆转弯问题（火车转弯、汽车转弯）
1.汽车转弯
如图所示，汽车在水平路面上转弯时，摩擦力提供向心力(设最大静摩擦力等于滑动摩擦力)，即，当摩擦力达到最大值时，汽车转弯的速度达到临界值，因，则临界速度
汽车转弯问题模型如下
（1）一般来说转弯处的地面是倾斜的，当汽车以某一适当速度经过弯道时，由汽车自重与斜面的支持力的合力提供向心力；小于这一速度时，地面会对汽车产生向外侧的摩擦力；大于这一速度时，地面会对汽车产生向内侧的摩擦力。所以当汽车转弯时,存在一个安全通过的最大速度，如果超过了这个速度，汽车将发生侧滑现象。
（2）改进措施:①增大转弯半径；②增加路面的粗糙程度；③最重要的一点:司机应该减速慢行；④增加路面高度差——外高内低。
【注意】
①路面倾斜，但汽车做圆周运动的轨道面是水平的。
② 向心力在水平面内，但摩擦力的方向与路面平行。
③汽车在倾角为θ的路面上做半径为r的圆周运动时，若速度，路面与汽车间恰无摩擦力；当时，静摩擦力沿路面斜向下；当时，静摩擦力沿路面斜向上。
2、火车转弯模型如下
（1）与公路弯道类似，铁轨弯道处，也通过一定的设计，展现出一定的坡度。当火车以速度通过时，恰好有火车自身重力与铁轨的支持力的合力提供向心力。
速度v推断：如图所示，受力分析可得F合＝mg tanθ；火车转弯时所需的向心力，
当F合=Fn时，。
（2）当v＜这一速度时，轮缘受到内轨向外的弹力。
（3）当v＞这一速度时。轮缘受到外轨向内的弹力。
知识点二：拱形桥和凹形路面
1、汽车过拱形桥
（1）汽车静止在桥上或通过平桥时，受力情况：F压＝FN＝mg。
（2）汽车过拱形桥时，在最高点时，受力情况如图所示：
向心力；；；
所以：F压＝FN＜mg；汽车对桥的压力小于其所受重力，即处于失重状态；当 FN = 0 时，汽车脱离桥面，做平抛运动，汽车及其中的物体处于完全失重状态。
（3）汽车过凹形桥时，在最低点时，受力情况如图所示：
向心力；；；
所以：F压＝FN＞mg；汽车对桥的压力大于其所受重力，即处于超重状态。
2、航天器中的失重现象
（1）向心力分析:宇航员受到的地球引力与飞船座舱对他的支持力的合力为他提供向心力：。
（2）失重状态:当v=gR 时，座舱对宇航员的支持力为零，宇航员处于完全失重状态。
知识点三：竖直平面内绳（或杆）约束的圆周运动
1.在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动到轨道最高点时的受力情况可分为两类：
一是无支撑（如球与绳连接、沿内轨道运动的物体等），称为“绳（环）约束模型”；
二是有支撑（如球与杆连接、在弯管内的运动等），称为“杆（管）约束模型”。
2.绳、杆模型涉及的临界问题
绳模型 杆模型
常见类型 均是没有支撑的小球 均是有支撑的小球
受力特征 绳或圆轨道只能踢动指向圆心的力 杆或管道既能提供指向圆心的力，也能提供背离圆心的力
受力示意图
过最高点的临界条件 由得， 由小球恰能做圆周运动时，得：
讨论分析 ①若，则：，绳、轨道对小球有弹力； ②若，则 ②若，则小球不能过最高点 ①当v=0时，，FN为支持力，沿半径背离圆心 ②当时，，背离圆心，随v的增大而减小 ③当时，FN=0 ④当时，，FN指向圆心，并随v的增大而增大
(1)轻绳模型和轻杆模型过最高点的临界条件不同，其原因是轻绳不能提供支持力，而轻杆可以提供支持力。
(2)对轻杆模型，在无法确定位于最高点时对物体提供的是支持力还是拉力的情况下，可用假设法列方程，然后根据结果的正负再确定力的方向。
3.非特殊情况下的圆周运动
图示
运动情况 小球先沿圆轨道滑下 小球自高处滑下后进入圆轨道
轨道特点 沿圆轨道外侧运动 沿圆轨道内侧运动
运动分析 某点时，若mgsinθ恰好提供向心力：小球在此点离开圆弧做斜下抛运动 在某位置时，若重力在指向圆心方向的分力恰好提供向心力，轨道对小球的弹力为0，此后，小球将向斜上方抛出
竖直面内圆周运动问题的解题思路
知识点四：离心运动
1、离心运动
（1）定义：做圆周运动的物体，在所受合外力突然消失或不足以提供圆周运动所需向心力的情况下，就做逐渐远离圆心的运动。
（2）本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞出去的倾向。
（3）受力特点：当F=mrω2时，物体做匀速圆周运动；当F=0时，物体沿切线方向飞出；
当F＜mrω2时，物体逐渐远离圆心，F为实际提供的向心力；如图所示:
2、向心运动
（1）当提供向心力的合外力大于做圆周运动所需向心力时，即F＞mrω2，物体渐渐向圆心靠近；如图上图所示。
注意：物体做离心运动不是物体受到所谓离心力作用，而是物体惯性的表现，物体做离心运动时，并非沿半径方向飞出，而是运动半径越来越大或沿切线方向飞出。
【点拨】合力与向心力的关系
如图，滚筒洗衣机的滚筒截面是圆形的，a、c分别为最低点和最高点，b、d两点与圆心等高，洗衣机以一定的转速脱水时，湿衣物随滚筒在竖直面内做匀速圆周运动。下列说法正确的是（　　）
A．湿衣物在b、d两点的向心力相同
B．湿衣物在a点更容易脱水
C．湿衣物在c点更容易脱水
D．减小转速湿衣物脱水效果会更好
有关圆周运动的基本模型，下列说法正确的是（　　）
A．如图甲，火车转弯超过规定速度行驶时，内轨和轮缘间会有挤压作用
B．如图乙，“水流星”表演中，过最高点时水没有从杯中流出，水对杯底压力可以为零
C．如图丙，小球竖直面内做圆周运动，过最高点的速度至少等于
D．如图丁，A、B两小球在同一水平面做圆锥摆运动，则A比B的角速度大
修筑弯道处铁路时，要适当选择内外轨的高度差，以减轻车轮与铁轨间的挤压。选择内外轨高度差时需要考虑的因素不包含（　　）
A．火车的质量 B．弯道的半径
C．规定的行驶速度 D．内外轨之间的距离
中国选手邓雅文在2024年巴黎奥运会女子自由式小轮车公园赛决赛中获得金牌。如图所示，几位运动员正在倾斜的弯道上做匀速圆周运动，圆周运动的半径为r，车相对弯道无侧向滑动。若邓雅文连同小轮车（可视为质点）的总质量为m，倾斜弯道可视为倾角为θ的斜面，不计摩擦阻力和空气阻力，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　）
A．邓雅文和小轮车所受支持力竖直向上
B．邓雅文和小轮车对弯道的压力大小为
C．邓雅文和小轮车的线速度大小为
D．邓雅文和小轮车运动的半径越大，其线速度就越小
下列有关生活中圆周运动的实例分析，说法正确的是（　　）
A．图甲中，附着在脱水筒内壁上的衣服受到的摩擦力随角速度增大而增大
B．图乙中，汽车通过拱桥最高点时的情形，汽车受到的支持力大于重力
C．图丙中，随水平圆盘转动的物块离转轴越近，越容易发生相对滑动
D．图丁中，用离心机将瓶中混合的水和油分离，其中a、c部分是油
山崖边的公路常被称为最险公路，如图所示，一辆汽车欲安全通过此弯道，下列说法正确的是（　　）
A．该路面内侧低、外侧高
B．汽车向心力方向与路面平行
C．若汽车以相同速率转弯，选择内圈较为安全
D．汽车在转弯时受到重力、支持力、摩擦力和向心力作用
如图所示，汽车过拱桥可以看作圆周运动。则汽车通过拱桥最高点时，汽车（　　）
A．处于平衡状态
B．车速越快，对桥面压力越大
C．所需要的向心力方向竖直向下
D．竖直方向受到重力、支持力和向心力
如图是宇航员在“天宫课堂”中利用旋转的方法进行水油分离的实验装置，在空间站中快速摇转该装置就可以实现水油分离。关于这个实验，下列说法正确的是（　　）
A．不旋转时，由于水和油受重力会自然分层
B．旋转时，转速越小越容易实现水油分离
C．水油分离时靠近试管底部的是密度较大的水
D．在天宫中利用此装置进行实验，装置必须水平放置才能实现水油分离
如图，光滑的水平面上，小球在拉力F作用下做匀速圆周运动，若小球到达P点时F突然发生变化，下列关于小球运动的说法正确的是（　　）
A．F突然变大，小球可能沿轨迹Pb逐渐远离圆心
B．F突然变小，小球可能沿轨迹Pc逐渐靠近圆心
C．F突然变小，小球可能沿轨迹Pa做匀速直线运动
D．F突然消失，小球可能沿轨迹Pa做匀速直线运动
如图所示，长度不同的两根轻绳L1与L2，一端分别连接质量为m1和m2的两个小球，另一端悬于天花板上的同一点O，两小球质量之比m1：m2＝1：3，两小球在同一水平面内做匀速圆周运动，绳L1、L2与竖直方向的夹角分别为30°与60°，下列说法中正确的是（　　）
A．绳L1、L2的拉力大小之比为
B．小球m1、m2运动的向心力大小之比为1：9
C．小球m1、m2运动的周期之比为
D．小球m1、m2运动的线速度大小之比为3：1
旋转餐桌的水平桌面上，一个质量为m的茶杯（视为质点）到转轴的距离为r，茶杯与旋转桌面间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g，餐桌带着茶杯以相同转速一起匀速转动时，茶杯与餐桌没有发生相对滑动，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是（　　）
A．若减小餐桌的转动转速，则茶杯与餐桌可能发生相对滑动
B．一起匀速转动时茶杯有沿切线方向滑出去的趋势
C．让餐桌加速转动，茶杯与餐桌仍保持相对静止，则茶杯受到的摩擦力的方向指向餐桌的中心
D．将茶杯中的水倒出后仍放在原位置，以相同的转速匀速转动餐桌，茶杯与餐桌仍保持相对静止
如图所示，当列车以恒定速率v通过一段半径为r的水平圆弧形弯道时，乘客发现在车厢顶部悬挂玩具小熊的细线与车厢侧壁平行，同时观察放在桌面上水杯内的水面（与车厢底板平行）。已知此弯道路面的倾角为θ，不计空气阻力，重力加速度为g，则下列判断正确的是（　　）
A．列车转弯时的速率v
B．列车的轮缘与轨道均无侧向挤压作用
C．水杯受到指向桌面外侧的静摩擦力
D．水杯内水面与水平方向的夹角大于θ
如图甲所示，一长为l轻绳，一端固定在过O点，另一端固定一质量未知的小球，整个装置绕O点在竖直面内转动。小球通过最高点时，绳对小球的拉力F与其速度平方v2的关系如图乙所示，重力加速度为g，下列判断正确的是（　　）
A．图像函数表达式为
B．重力加速度
C．绳长不变，用质量较小的球做实验，得到的图线斜率更大
D．绳长不变，用质量较小的球做实验，图线b点的位置向左移
如图所示为一圆形餐桌的俯视图，餐桌中间放置一个可绕其中心轴转动的玻璃圆盘，在圆盘的边缘放置餐具。启动电机，餐具随圆盘一起做圆周运动。已知圆盘的半径为R，餐具与圆盘之间的动摩擦因数为μ，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度为g，不计餐具大小。下列说法正确的是（　　）
A．餐具随圆盘转动过程中受重力、支持力、摩擦力和向心力作用
B．启动电机的瞬间，餐具受到的摩擦力方向指向圆盘中心
C．圆盘匀速转动过程中，餐具受到的摩擦力大小一定为μmg
D．为防止餐具滑下圆盘，圆盘转动的角速度最大值为
高速离心机用于快速沉淀或分离物质。如图所示，水平试管固定在高速离心机上，离心机匀速转动，转速为n（转速的单位为转每秒），在水平试管中的P点有质量为m的某固体颗粒，某时刻颗粒离转轴的距离为r。已知试管中充满液体，颗粒与试管内壁不接触。下列说法错误的是（　　）
A．颗粒运动的角速度为2πn
B．颗粒此时受到的合外力大小为4π2mrn2
C．离转轴越远，分离沉淀效果越好
D．离转轴越近，分离沉淀效果越好
如图甲所示，筒车的车轮在水流的推动下做匀速圆周运动，使装在车轮上的竹筒自动取水上岸进行灌溉。其简化模型如图乙所示，转轴为O，C、O、D在同一高度，A、B分别为最低点和最高点，E、F为水面。竹筒顺时针匀速转动的半径为R，角速度大小为ω，在E点开始打水，从F点离开水面。从A点到B点的过程中，每个竹筒所装的水质量为m且保持不变，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　）
A．竹筒做匀速圆周运动的合外力不变
B．竹筒过C点时，竹筒对水的作用力大小为mg
C．竹筒从C到B的过程中，重力的功率逐渐减小
D．水轮车上装有16个竹筒，则相邻竹筒打水的时间间隔为
如图所示，半径为R的半球形容器固定在水平转台上，转台绕过容器球心O的竖直轴线以角速度ω匀速转动。质量相同的小物块A、B随容器转动且一直相对器壁静止，A、B和球心O点连线与竖直方向的夹角分别为α和β，α＞β，α＝60°，此时物块A受到的摩擦力恰好为零，重力加速度为g。则（　　）
A．物块B受到的摩擦力可能为零
B．物块B受沿容器壁向上的摩擦力
C．若增大角速度ω，物块B受到的摩擦力一定增大
D．若减小角速度ω，物块B受到的摩擦力一定增大
如图，一个内壁光滑的弯管处于竖直平面内，其中管道半径为R。现有一个半径略小于弯管横截面半径的光滑小球在弯管内运动，当小球通过最高点时速率为v0，则下列说法正确的是（　　）
A．若v0＝0，则小球对管内壁无压力
B．若，则小球对管内上壁有压力
C．若，则小球对管内下壁没有压力
D．不论v0多大，小球对管内壁都有压力
（多选）如图所示，C为可绕过O点竖直轴转动的光滑小圆环。A、B两位同学质量分别为m1、m2拉住穿过圆环的细绳两端，在空中做圆锥摆运动，两侧绳长分别为L1、L2，θ1＞θ2，运动的周期相等，不计空气阻力，人可视为质点，则下列判断正确的是（　　）
A．两位同学的向心加速度相同
B．两位同学的运动轨迹在同一水平面
C．m1＜m2
D．一定有m1L1＝m2L2
雪地转椅是一种游乐项目，其中心传动装置带动转椅在雪地上滑动，俯视图为图甲。传动装置有一高度可调的水平圆盘，可绕通过中心O点的竖直轴匀速转动。半径为R的圆盘边缘A处固定连接一轻绳，长度也为R的轻绳另一端B连接转椅（视为质点）。转椅运动稳定后，其角速度为ω1且与水平圆盘角速度相等，到O点的距离。已知重力加速度为g，不计空气阻力。
（1）求转椅与雪地之间的动摩擦因数；
（2）如图乙所示，将水平圆盘升高，当水平圆盘以某一角速度匀速转动时，转椅恰好离开雪地做匀速圆周运动，此时绳子与竖直方向的夹角α＝37°，求此时水平圆盘的角速度ω2。（sin37°＝0.6，cos37°＝0.8）
如图甲是某厂家在弯道倾角θ＝45°的汽车试验场测试汽车性能时汽车从水平直道进入倾斜弯道的照片，简化图如乙所示。汽车匀速过此弯道，其重心位于汽车中轴线上，重心的轨迹可视为半径为R＝250m的圆弧。已知汽车（含驾驶员）总质量为m＝2.0×103kg，刹车减速时的平均阻力F＝2.0×104N，汽车受到的最大静摩擦力大小可认为等于滑动摩擦力大小，重力加速度g取10m/s2，忽略空气阻力，特殊材料的动摩擦因数μ可能大于1。
（1）某时刻处于水平直道上的汽车以v0＝216km/h的速度开始减速，进入倾斜弯道后恰好没有向弯道内外两侧运动的趋势，求汽车在开始减速至弯道起始线过程中，刹车产生的内能Q和刹车距离E；
（2）当汽车车轮与地面动摩擦因数μ满足什么条件时，汽车在弯道中无论多快都不会向外侧侧滑。
如图所示，从A点以v0的水平速度抛出一质量m＝1kg的小物块（可视为质点），当物块运动至B点时，恰好沿切线方向进入半径R＝2m，圆心角为60°的圆弧轨道BC，C与圆心O在同一竖直线上，A与C的高度差H＝1.45m，从C点进入半径为r＝0.4m的圆周轨道运动恰好通过最高点后运动一圈到最低点滑上与C点等高、静止在光滑水平面上质量M＝2kg的长木板上，物块与木板之间动摩擦因数为μ＝0.2，小物块滑上木板的速度v1＝4m/s，物块没有脱离木板。求：
（1）从A点抛出的水平速度v0；
（2）物块恰好通过圆周轨道最高点的速度v；
（3）物块没有脱离木板，木板的最小长度L。
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