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专题强化（4）水平面内的圆周运动
1、掌握圆锥摆模型
2、掌握圆锥斗、圆碗、圆盘模型
知识点一 圆锥筒 圆锥摆模型
圆锥筒模型 概述 如图所示，筒内壁光滑，向心力由重力mg和支持力FN的合力提供，即＝m＝mω2r，解得v＝，ω＝
规律 稳定状态下小球所处的位置越高，半径r越大，角速度ω就越小，线速度v就越大，而小球受到的支持力FN＝和向心力F向＝并不随位置的变化而变化
圆锥摆模型 概述 如图所示，轻绳不可伸长，向心力F向＝mgtan θ＝m＝mω2r，且r＝Lsin θ，解得v＝，ω＝
规律 稳定状态下，θ越大，对应的角速度ω和线速度v就越大，小球受到的拉力F＝和向心力F向＝mgtan θ也越大
知识点二 圆碗
受力分析运动分析 正交分解x轴指向心 列方程求解 规律
x:FNsinθ=mω2r y:FNcosθ=mg r=Rsinθ
an=gtanθ; ①同角同向心加速度（B和C） ②同高同角速度（A和C）
知识点三 圆盘模型
1. 两个质量均为m的木块A、B用恰好伸直的轻绳相连，放在水平圆盘上，A恰好处于圆盘中心。
（1）轻绳出现拉力的临界角速度：对木块B分析， ，。
（2）A、B相对圆盘滑动的临界条件：角速度继续增大，绳子出现拉力，B受最大静摩擦力不变，角速度继续增大，A的静摩擦力继续增大，当增大到最大静摩擦力时，A、B相对于转盘开始滑动。
对木块A分析，；对木块B分析，。解得临界角速度为。
结论：当时，轻绳上拉力为0；当时，A、B相对圆盘发生滑动。
2. 两个质量均为m的木块A、B用恰好伸直的轻绳相连，放在水平圆盘上。
（1）轻绳出现拉力的临界角速度：对木块B分析， ，。
（2）A、B相对圆盘滑动的临界条件：角速度继续增大，绳子出现拉力，B受最大静摩擦力不变，角速度继续增大，A的静摩擦力继续增大，当增大到最大静摩擦力时，A、B相对于转盘开始滑动。
对木块A分析，；对木块B分析，。解得临界角速度为。
结论：当时，轻绳上拉力为0；当时，A、B相对圆盘发生滑动。
3. A、B两物块叠放在转盘上
（1）若，则B先相对转盘发生滑动，临界角速度为。
（2）若，则则A先相对B发生滑动，则A先相对B发生滑动。
如图所示，两完全相同的滑块P、Q用长为L的轻绳拴接，轻绳刚好拉直，放在水平的圆形转台上，转台的圆心O与P、Q在同一条直线上，OP，两滑块的质量均为m，与转台间的动摩擦因数为μ，现让转台的角速度从0逐渐增加，当角速度为ω1时，Q所受的摩擦力达到最大静摩擦力，当角速度为ω2时，滑块刚好相对转台滑动，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，两滑块均视为质点，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　）
A．滑块P、Q所受的摩擦力大小之比始终等于1：3
B．ω1
C．ω2
D．转台的角速度为ω2时，轻绳的拉力大小为μmg
【解答】解：A.刚开始角速度比较小时，两滑块的静摩擦力提供所需的向心力，由于滑块Q的半径较大，所需向心力较大，则滑块Q受到的摩擦力先达到最大静摩擦力，此后角速度再增大，轻绳的拉力逐渐增大，滑块Q的静摩擦力不变，而滑块P的静摩擦力逐渐增大，直到增加到最大静摩擦力，所以两滑块P、Q所受的摩擦力之比并不始终等于1：3，故A错误；
B.当角速度为ω1时，对滑块Q由牛顿第二定律得，解得，故B正确；
CD.转台的角速度为ω2时，滑块P受到的摩擦力达到最大，分别对滑块P、Q由牛顿第二定律，有，，联立解得，，故C、D错误。
故选：B。
如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿直径方向放着用轻绳相连的物体A和B，A和B质量都为m。它们分居圆心两侧，与圆心的距离分别为RA＝r，RB＝2r，A、B与盘间的动摩擦因数相同且均为μ。若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，下列说法错误的是（　　）
A．绳子的张力为FT＝3μmg
B．烧断绳子，物体A、B仍将随盘一块转动
C．圆盘的角速度为ω
D．A所受摩擦力方向沿绳指向圆外
【解答】解：分析物体A、B的受力情况当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，A、B都受到绳子的拉力和最大静摩擦力，且向心力由绳子的拉力和最大静摩擦力的合力提供。因为B做圆周运动的半径RB＝2r，大于A做圆周运动的半径RA＝r，根据，可知B需要的向心力更大。所以B受到的最大静摩擦力方向沿半径指向圆心，A受到的最大静摩擦力方向沿半径背离圆心；
对A、B分别列向心力方程，对B：Ft+μmg＝mω2 2r①，对A：②；
求解绳子的张力FT和圆盘的角速度ω，将①﹣②可得：，2amg＝mω2r，将代入②式可得：FT﹣μmg＝2μmg，FT＝3μmg；
分析烧断绳子后A、B的运动情况烧断绳子后，A、B的向心力由静摩擦力提供。
对于A：需要的向心力，
而A的最大静摩擦力为μmg，2mg＞μmg，所以A会发生滑动，
对于B：需要的向心力，
而B的最大静摩擦力为μmg，4μmg＞μmg，所以B会发生滑动；
由上述计算可知FT＝3μmg，故A正确；
烧断绳子后，A、B所需向心力大于最大静摩擦力，都会发生滑动，故B错误；
由上述计算可知，故C正确；
由此分析可知A所受摩擦力方向沿绳指向圆外，故D正确。故ACD正确，B错误。
故选：B。
（多选）如图，一水平圆转台上放有物块A和B，mAm，mB＝m，两物块间用不可伸长的轻绳连接，轻绳伸直但无弹力，分别放置在转台同一直径的两侧，物块A和B距离转台中心转轴的距离分别为2r和r，物块A与转台间的动摩擦因数均为3μ，物块B与转台间的动摩擦因数为μ。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g，物块A和B均可视为质点。现缓慢增大转台的转速，下列说法正确的是（　　）
A．若AB间没有绳子，逐渐增大转台的转速，A先相对于圆台滑动
B．当转台的角速度大于时，绳子有张力
C．当两物块都将要相对转台滑动时，绳子的拉力大小为5μmg
D．当转台的角速度等于时，物块A不受摩擦力
【解答】解：A.若A、B间没有绳子，A、B做圆周运动的向心力由静摩擦力提供，当达到最大静摩擦力后发生滑动，对A有，对B有，可得ωA，ωB。由于ωB＜ωA，可知B先相对于圆台滑动，故A错误。
B.根据A选项分析可知当转台的角速度ω＞ωB时，绳子有张力，故B正确。
C.当两物块都将要相对转台滑动时，对A有，对B有，解得绳子的拉力为T＝5μmg，故C正确。
D.物块A不受摩擦力时，对A有，对B有，联立解得，故D错误。
故选：BC。
（多选）如图，两个圆锥内壁光滑，竖直放置在同一水平面上，圆锥母线与竖直方向夹角分别为30°和60°，有A、B两个质量相同的小球在两圆锥内壁等高处做匀速圆周运动，下列说法正确的是（　　）
A．A、B球受到的支持力之比为
B．A、B球的向心力之比为1：1
C．A、B球运动的角速度之比为3：1
D．A、B球运动的线速度之比为
【解答】解：A、根据题意分析可知，设小球受到的支持力为FN，向心力为F，则有FNsinθ＝mg
代入题中数据，可得，故A正确；
B、根据题意分析可知，由平行四边形定则可知向心力
代入题中数据，可得FA：FB＝3：1，故B错误；
C、根据题意分析可知，小球运动轨道高度相同，则半径R＝htanθ
可知RA：RB＝1：3
由F＝mω2R
联立可得ωA：ωB＝3：1，故C正确；
D、根据题意分析可知，由v＝ωR
联立可得vA：vB＝1：1，故D错误。
故选：AC。
如图所示，质量相同的小球甲、乙、丙用长度不同的轻绳悬于O点，均在水平面内做匀速圆周运动。已知甲、乙在同一水平面内运动，乙、丙经过同一抛物线，则（　　）
A．甲、乙的向心力大小相等
B．甲、乙的向心加速度大小相等
C．乙、丙的角速度大小相等
D．乙、丙的线速度大小相等
【解答】解：A、对其中一个小球受力分析，设绳子与竖直方向之间的夹角为θ，如图所示：
将重力与拉力合成，合力指向圆心，由几何关系得向心力为：F＝mgtanθ，故乙的向心力大于甲的向心力，故A错误；
B、由牛顿第二定律得到：mgtanθ＝ma，解得：a＝gtanθ，乙的向心加速度大于甲的向心加速度，故B错误；
C、设绳子与悬挂点间的高度差为h，由几何关系，得：r＝htanθ
由向心力公式得到：mgtanθ＝mω2r，解得：ω，所以丙的角速度大于乙，故C错误；
D、设绳子与悬挂点间的高度差为h，由几何关系，得：r＝htanθ
根据向心力公式得到：mgtanθ＝m，解得：v2＝ghtan2θ
设平抛运动的初速度为v0，在抛物线上某点竖直方向的速度为vy，速度方向偏向角为α，则有：tanα
联立解得线速度大小为：v＝v0，故乙、丙的线速度大小相等，故D正确。
故选：D。
如图所示，一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，其中A的质量大于B的质量，则以下说法中正确的是（　　）
A．小球A的角速度等于小球B的角速度
B．小球A的运动周期小于小球B的运动周期
C．小球A的线速度小于小球B的线速度
D．小球A的向心加速度等于小球B的向心加速度
【解答】解：A、小球A和B紧贴着内壁分别在水平面内做匀速圆周运动，其中一个小球如图所示
根据受力分析可知
同理可知另一个小球受到的合力表达式也是
根据向心力的公式Fn＝mω2r
可得
由于小球A的轨道半径大于小球B的轨道半径，则小球A的角速度小于小球B的角速度，故A错误；
B、由周期公式T，ω大的T小，所以小球A的运动周期大于小球B的运动周期，故B错误；
C、由向心力的计算公式
可得v
小球A的轨道半径大于小球B的轨道半径，小球A的线速度大于小球B的线速度，故C错误；
D、根据合力提供向心力可得，可得向心加速度，所以它们的向心加速度大小相等，故D正确。
故选：D。
如图，半径为R的半球形陶罐，固定在水平转台上，转轴与过陶罐球心O的对称轴OO'重合，一质量为m的小物块放入陶罐内，随着陶罐一起以角速度ω匀速旋转。已知小物块和O点的连线与OO′之间的夹角θ为60°，小物块与罐壁间的动摩擦因数μ＝0.5，重力加速度大小为g。若ω，则小物块所受的摩擦力的大小为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：当物块与罐壁恰好没有摩擦力时，重力与支持力提供向心力，由
得
当ω时，所需向心力更大，则摩擦力沿罐壁向下，与水平方向成60°角，根据正交分解，竖直方向平衡则Ffsin60°+mg＝FNcos60°，水平方向合力提供向心力则
得。
故B正确，ACD错误。
故选：B。
如图（a）所示，倾斜圆盘与水平面的夹角θ＝30°，它可绕过圆心且垂直于圆盘的转轴匀速转动，在圆盘平面内以圆心O为原点建立平面直角坐标系，x轴沿水平方向，y轴沿盘面向上。圆盘上一小滑块始终与圆盘保持相对静止，其所受摩擦力沿x、y轴的投影fx、fy的关系如图（b）所示。则滑块与圆盘之间的动摩擦因数至少为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：设图（b）圆与fy，轴正方向的交点的纵坐标为f1，则解得：f1＝8N结合图（b）知，滑块运动至最高点时，所受的静摩擦力最小，方向指向圆心，大小为f2＝2N由牛顿第二定律得滑块运动至最低点时，所受的静摩擦力最大，方向指向圆心，大小为f1＝8N由牛顿第二定律得且满足f1≤μmgcosθ联立知，滑块与圆盘之间的动摩擦因数，故C正确，ABD错误。
故选：C。
如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合。转台以一定角速度匀速转动，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，此时小物块受到的摩擦力恰好为零，它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为60°。重力加速度大小为g。则转台转动的角速度为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：当摩擦力恰为零时，支持力和重力的合力提供向心力，如图所示，
则，r＝Rsinθ，解得，故C正确，ABD错误。
故选：C。
如图所示，与水平方向成θ角放置的圆形沙画板上表面覆盖着一层细沙，每粒沙与画板间的动摩擦因数μ均相同，且μ＞tanθ。当画板绕垂直于板面的中心转轴匀速转动一段时间后，画板上沙粒形成的沙画图像（阴影部分）可能是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：画板上沙粒与画板相对静止一起做匀速圆周运动，在画板上的每粒沙转动到圆周轨迹最低点时受到的静摩擦力f最大，对与中心轴距离为r处的沙粒在圆周轨迹最低点时，根据牛顿第二定律得：
f﹣mgsinθ＝mω2r
由此可知，r越大，f越大，当f等于最大静摩擦力时r最大，设r的最大值为rm，可知与中心轴距离大于rm的沙粒在画板转动一段时间后均会相对画板滑动做离心运动而离开画板。可得最终留在画板上的沙粒形成的沙画图像是半径等于rm的圆形区域，故B正确，ACD错误。
故选：B。
如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴转动的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合。转台以一定角速度匀速转动，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，此时它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为60°，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）
A．若此时摩擦力为0，则物块对陶罐的作用力为2mg
B．若此时摩擦力为0，则物块的线速度为v
C．若转速增加，物块与陶罐间的摩擦力增大
D．若转速增加，物块将沿罐壁向上滑动
【解答】解：AB、若此时摩擦力为0，对物块受力分析，如图所示
根据牛顿第二定律有FNcosθ＝mg
解得：FN＝2mg，，故A正确，B错误；
CD、因为此时转速并不确定，所以物块所受摩擦力方向并不确定，如果线速度小于，则所受摩擦力方向沿切线方向向上，若转速增加，则物块与陶罐之间的摩擦力减小；如果线速度大于，则物块所受摩擦力方向沿切线方向向下，若转速增加，则物块与陶罐之间的摩擦力增大；若所受摩擦力方向向上，物块有向下的运动趋势，故CD错误。
故选：A。
如图所示，长为L的细绳一端固定，另一端系一质量为m的小球。给小球一个合适的初速度，小球便可在水平面内做匀速圆周运动，这样就构成了一个圆锥摆，设细绳与竖直方向的夹角为θ。下列说法中正确的是（　　）
A．小球受重力、绳的拉力作用
B．小球受的重力和绳的拉力的合力为一恒力
C．θ越大，小球运动的速度越大
D．θ越大，小球运动的周期越大
【解答】解：AB.小球只受重力和绳的拉力作用，二者合力提供向心力，大小不变，但方向时刻改变是变力，故AB错误；
CD.小球做圆周运动的半径为r＝Lsinθ，由牛顿第二定律，解得，，可知θ越大，线速度越大，周期越小，故C正确，D错误。
故选：C。
如图所示，水平圆盘左右边缘各系一不可伸长的轻绳p、q，轻绳p的长度大于轻绳q的长度，两轻绳另一端分别悬挂可视为质点的小球。当小球随圆盘绕竖直中心轴O1O2匀速转动时，轻绳与转轴在同一竖直平面内，轻绳p、q与竖直方向的夹角分别为θ1、θ2，不计一切阻力。则（　　）
A．θ1＞θ2 B．θ1＝θ2 C．θ1＜θ2 D．无法判断
【解答】解：小球在水平面内做匀速圆周运动，设圆盘半径为R，细绳长为l，设细绳与竖直方向夹角为θ，根据牛顿第二定律有mgtanθ＝m（R+lsinθ）ω2
代入数据解得
由题意可知两小球角速度相同，由于Lq＜Lp，所以根据以上公式可知θ1＞θ2，故A正确，BCD错误。
故选：A。
如图所示，长为l的绳子下端连着质量为m的小球，上端悬于天花板上，当把绳子拉直时，绳子与竖直方向的夹角为60°，此时小球静止于固定的光滑水平桌面上，重力加速度为g。则（　　）
A．当小球以一定的角速度在水平面内做圆锥摆运动时，小球一定受到重力，支持力和绳子拉力的作用
B．当小球以一定的角速度在水平面内做圆锥摆运动时，小球可能受到重力，支持力和向心力的作用
C．当小球以角速度为2做圆锥摆运动时，桌面对小球的支持力FN恰好为0
D．当小球以角速度为做圆锥摆运动时，绳子的张力大小为5mg，桌面对小球的支持力为0
【解答】解：AC．当小球以一定的角速度在水平面内做圆锥摆运动时，小球有可能只受到重力和绳子拉力的作用；
对球分析，当支持力FN恰好为0时，则有
解得
故AC错误；
B．向心力是效果力，小球可能受到的力中不可能有向心力，故B错误；
D．对球分析，因为，所以小球离开桌面，则有FN2＝0
绳子的拉力沿水平方向的分力提供向心力，则
解得F2＝5mg
故D正确。
故选：D。
如图所示，竖直放置一光滑的大圆环，圆心为O，半径为R。一根轻质细绳一端固定在大圆环的最高点，另一端连接一质量为M且套在大圆环上的小圆环，静止时细绳与竖直轴之间的夹角为30°，现让大圆环绕过圆心O的竖直轴O1O2，从静止开始缓慢增加转动的角速度，直至小圆环将要沿着大圆环向上滑动，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　）
A．细绳拉力先减小后增大，大圆环对小圆环的弹力一直减小
B．细绳对小圆环的拉力比大圆环对小圆环的弹力先达到零
C．角速度增大到时，大圆环对小圆环的弹力为零
D．角速度增大到时，细绳对小圆环的拉力为零
【解答】解：AB、根据题意分析可知，对小圆环进行受力分析，受力分析如图所示
Tsinθ﹣Ncosθ＝mω2r
Tcosθ＝Nsinθ+mg
随着ω的增大，拉力T和支持力N都会变小，其中T一直减小，而N会先减小到0再反向增大，故AB错误；
C、根据题意分析可知，若支持力
N＝0
圆周运动的半径
代入上式，解得
故C正确；
D、根据题意分析可知，若拉力
T＝0
此时N已经反向，根据牛顿第二定律和圆周运动的公式有
Tsinθ+Ncosθ＝mω2r
Tcosθ+Nsinθ＝mg
解得
故D错误；
故选：C。
如图所示，小木块a和b（可视为质点）用轻绳连接置于水平圆盘上，开始时轻绳处于伸直状态但无拉力，a的质量为3m，b的质量为m。它们分居圆心两侧，与圆心的距离分别为r和2r，a、b与盘间的动摩擦因数相同（最大静摩擦力等于滑动摩擦力）。圆盘从静止开始绕转轴极缓慢地加速转动，木块和圆盘始终保持相对静止，a、b所受摩擦力大小随ω2变化的图像正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：在轻绳出现拉力前，a和b的静摩擦力提供向心力，则有fa＝3mrω2，fb＝2mrω2，第一段图像斜率大的为a，斜率小的为b，b先达到最大静摩擦力fbm，此时fa﹣fbm＝mω2r，ω增大，fbm不变，fa增大；直到a的摩擦力增加到最大静摩擦力fam时，fam﹣fbm＝mω2r，ω增大，fam不变，fb减小，故C正确，ABD错误。
故选：C。
图甲为“雪地转转”游戏，游戏时细转轴带动中心轮盘转动，中心轮盘通过轻绳牵引带动橡胶圈在水平面内做圆周运动，游客在橡胶圈中乘坐体验游戏带来的快乐。游戏装置可简化为如图乙所示，橡胶圈和游客可视为质点，牵引某橡胶圈的轻绳为AO。若橡胶圈做圆周运动的过程中半径始终不变，则关于橡胶圈及游客整体下列说法正确的是（　　）
A．做匀速圆周运动时，受到沿轨迹切线方向的滑动摩擦力和指向圆心方向的静摩擦力
B．做匀速圆周运动时，轻绳AO的延长线与转轴相交
C．角速度逐渐增大时，所受合力方向与其速度方向的夹角为锐角
D．角速度逐渐增大时，细绳拉力方向与橡胶圈的速度方向相垂直
【解答】解：A、橡胶圈相对于雪地滑动，橡胶圈受到的摩擦力为滑动摩擦力，故A错误；
B、绳子拉力的竖直分力与转轴平行，水平分力与摩擦力的合力提供向心力，因此绳子拉力的作用线与转轴无交点，故B错误；
C、当角速度增大时，橡胶圈的线速度增大，因此橡胶圈所受合力沿切线方向的分力提供切线方向的加速度，指向圆心方向的分力提供向心力，因此橡胶圈所受合力方向与其速度方向的夹角为锐角，故C正确；
D、当角速度增大时，细绳拉力在水平方向的分力与速度不垂直，所以细绳拉力与橡胶圈的速度方向不垂直，故D错误。
故选：C。
如图所示，A、B、C三个物体放在旋转台上，动摩擦因数均为μ，A的质量为2m，B、C的质量均为m，A、B离轴的距离为R，C离轴的距离为2R，则当圆台旋转时（设A、B、C都没有滑动，最大静摩擦力等于滑动摩擦力）（　　）
A．C的向心力最大
B．B的向心加速度最小
C．当圆台转速增大时，A比B先滑动
D．当圆台转速增大时，C将最先滑动
【解答】解：AB、根据向心加速度与角速度的关系公式
a＝ω2r
A、B、C角速度相等，根据半径关系可知，A、B的向心加速度大小相同
根据向心力表达式
F＝mω2r
可得
可知A、C的向心力大小相同，故AB错误；
CD、当A、B、C的摩擦力均达到最大时，根据牛顿第二定律与向心力表达式
各自的临界角速度分别为
整理上式解得
可知当圆台转速增大时，C将最先滑动，A与B后滑动且一起滑动，故C错误，D正确。
故选：D。
摩擦传动是传动装置中的一个重要模型，如图所示的两个水平放置的轮盘靠摩擦力传动，其中O、O′分别为两轮盘的轴心，已知两个轮盘的半径比r甲：r乙＝2：1，且在正常工作时两轮盘不打滑。今在两轮盘上分别放置两个同种材料制成的滑块A、B，两滑块与轮盘间的动摩擦因数相同，两滑块距离轴心O、O′的间距RA＝2RB。若轮盘乙由静止开始缓慢地转动起来，且转速逐渐增加，则下列叙述正确的是（　　）
A．滑块A和B在与轮盘相对静止时，角速度之比为ω甲：ω乙＝2：1
B．滑块A和B在与轮盘相对静止时，向心加速度大小的比值为aA：aB＝9：2
C．滑块A和B在与轮盘相对静止时，线速度之比为vA：vB＝1：1
D．转速增加后两滑块一起发生滑动
【解答】解：A．转盘之间由摩擦传动，可知轮盘边缘的线速度大小相等，而
r甲：r乙＝2：1
根据
v＝ωr
可知，滑块A和B在与轮盘相对静止时，角速度之比为
ω甲：ω乙＝1：2
故A错误；
B．由
a＝ω2r
可知滑块A和B在与轮盘相对静止时，向心加速度大小的比值为
故B错误；
C．由
v＝ωr
可知滑块A和B在与轮盘相对静止时，线速度之比为
vA：vB＝ω甲RA：ω乙RB，解得vA：vB＝1：1
故C正确；
D．转速增加后，假设滑块B先发生滑动，则对B有
μmBg＝mBaB
此时对A有
则此时滑块A还没有发生滑动，即转速增加后B先发生滑动，故D错误；
故选：C。
当做圆周运动的物体角速度ω变化时，我们可以引用角加速度β来描述角速度ω的变化快慢，即β。图甲中某转盘自t＝0时由静止开始转动，其前4s内角加速度β随时间t变化如图乙所示。则（　　）
A．t＝1s时刻，ω1＝5rad/s
B．t＝3s时刻，ω3＝17.5rad/s
C．0～1s过程中，圆盘转过的角度θ＝5rad
D．0～1s过程中，圆盘边缘的某质点所需向心力随时间正比例增加
【解答】解：AB.根据可知，Δω＝βΔt，可知图线与横轴围成的面积表示角速度的变化量，第1s末，角速度的变Δω11×5rad/s＝2.5rad/s，同理，当t＝3s时，Δω34×10rad/s﹣2.5rad/s＝17.5rad/s，从静止开始转动，故ω1＝2.5rad/s，ω3＝17.5rad/s，故A错误，B正确；
C.根据公式θ＝ωt，0～1s内转盘的角加速度均匀增加，则转盘转过的角度为θω1t2.5×1rad＝1.25rad，故C错误；
D.根据向心力表达式F＝mrω2＝mr（βt）2，可知圆盘边缘的质点所需向心力随时间非正比例增加，故D错误。
故选：B。
某游戏转盘装置如图所示，游戏转盘水平放置且可绕转盘中心的转轴O1O2转动。转盘上放置两个物块A、B，物块A、B通过轻绳相连。开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使其角速度ω缓慢增大。整个过程中，物块A、B都相对于盘面静止，物块A、B到转轴的距离分别为r、2r，A物块的质量为3m，B物块的质量为m，与转盘间的动摩擦因数均为μ，接触面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　）
A．当ω时，物块B受到的摩擦力大小为μmg
B．当ω时，物块B受到的摩擦力逐渐减小
C．当ω时，物块B不受摩擦力
D．为了确保物块A、B都相对于转盘静止，转盘的角速度不能超过
【解答】解：A.根据题意，当时，A、B两物块所需要的向心力分别为
故A错误；
B.当B达到最大静摩擦力时，临界
此时
随角速度进一步增大，A所受摩擦力增大到最大值，此时有
3mω2r＝T+3μmg，T+μmg＝mω2 2r
解得
当时，物块B受到的摩擦力不变，故B错误；
C.当B摩擦力减为0时，有
3mω2r＝T+3μmg
T＝mω2 2r
解得
结合上述可知，当时，物块B不受摩擦力，故C正确；
D.结合上述可知，当角速度比大时，随角速度的增大B所受摩擦力反向，大小逐渐增大，随后达到最大静摩擦力，此时有
3mω2r＝T+3μmg
T﹣μmg＝mω2 2r
解得
若角速度大于，两物块将滑离圆盘，即为了确保物块A、B都相对于转盘静止，转盘的角速度不能超过，故D错误。
故选：C。
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专题强化（4）水平面内的圆周运动
1、掌握圆锥摆模型
2、掌握圆锥斗、圆碗、圆盘模型
知识点一 圆锥筒 圆锥摆模型
圆锥筒模型 概述 如图所示，筒内壁光滑，向心力由重力mg和支持力FN的合力提供，即＝m＝mω2r，解得v＝，ω＝
规律 稳定状态下小球所处的位置越高，半径r越大，角速度ω就越小，线速度v就越大，而小球受到的支持力FN＝和向心力F向＝并不随位置的变化而变化
圆锥摆模型 概述 如图所示，轻绳不可伸长，向心力F向＝mgtan θ＝m＝mω2r，且r＝Lsin θ，解得v＝，ω＝
规律 稳定状态下，θ越大，对应的角速度ω和线速度v就越大，小球受到的拉力F＝和向心力F向＝mgtan θ也越大
知识点二 圆碗
受力分析运动分析 正交分解x轴指向心 列方程求解 规律
x:FNsinθ=mω2r y:FNcosθ=mg r=Rsinθ
an=gtanθ; ①同角同向心加速度（B和C） ②同高同角速度（A和C）
知识点三 圆盘模型
1. 两个质量均为m的木块A、B用恰好伸直的轻绳相连，放在水平圆盘上，A恰好处于圆盘中心。
（1）轻绳出现拉力的临界角速度：对木块B分析， ，。
（2）A、B相对圆盘滑动的临界条件：角速度继续增大，绳子出现拉力，B受最大静摩擦力不变，角速度继续增大，A的静摩擦力继续增大，当增大到最大静摩擦力时，A、B相对于转盘开始滑动。
对木块A分析，；对木块B分析，。解得临界角速度为。
结论：当时，轻绳上拉力为0；当时，A、B相对圆盘发生滑动。
2. 两个质量均为m的木块A、B用恰好伸直的轻绳相连，放在水平圆盘上。
（1）轻绳出现拉力的临界角速度：对木块B分析， ，。
（2）A、B相对圆盘滑动的临界条件：角速度继续增大，绳子出现拉力，B受最大静摩擦力不变，角速度继续增大，A的静摩擦力继续增大，当增大到最大静摩擦力时，A、B相对于转盘开始滑动。
对木块A分析，；对木块B分析，。解得临界角速度为。
结论：当时，轻绳上拉力为0；当时，A、B相对圆盘发生滑动。
3. A、B两物块叠放在转盘上
（1）若，则B先相对转盘发生滑动，临界角速度为。
（2）若，则则A先相对B发生滑动，则A先相对B发生滑动。
如图所示，两完全相同的滑块P、Q用长为L的轻绳拴接，轻绳刚好拉直，放在水平的圆形转台上，转台的圆心O与P、Q在同一条直线上，OP，两滑块的质量均为m，与转台间的动摩擦因数为μ，现让转台的角速度从0逐渐增加，当角速度为ω1时，Q所受的摩擦力达到最大静摩擦力，当角速度为ω2时，滑块刚好相对转台滑动，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，两滑块均视为质点，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　）
A．滑块P、Q所受的摩擦力大小之比始终等于1：3
B．ω1
C．ω2
D．转台的角速度为ω2时，轻绳的拉力大小为μmg
如图所示，在匀速转动的水平圆盘上，沿直径方向放着用轻绳相连的物体A和B，A和B质量都为m。它们分居圆心两侧，与圆心的距离分别为RA＝r，RB＝2r，A、B与盘间的动摩擦因数相同且均为μ。若最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，下列说法错误的是（　　）
A．绳子的张力为FT＝3μmg
B．烧断绳子，物体A、B仍将随盘一块转动
C．圆盘的角速度为ω
D．A所受摩擦力方向沿绳指向圆外
（多选）如图，一水平圆转台上放有物块A和B，mAm，mB＝m，两物块间用不可伸长的轻绳连接，轻绳伸直但无弹力，分别放置在转台同一直径的两侧，物块A和B距离转台中心转轴的距离分别为2r和r，物块A与转台间的动摩擦因数均为3μ，物块B与转台间的动摩擦因数为μ。已知最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g，物块A和B均可视为质点。现缓慢增大转台的转速，下列说法正确的是（　　）
A．若AB间没有绳子，逐渐增大转台的转速，A先相对于圆台滑动
B．当转台的角速度大于时，绳子有张力
C．当两物块都将要相对转台滑动时，绳子的拉力大小为5μmg
D．当转台的角速度等于时，物块A不受摩擦力
（多选）如图，两个圆锥内壁光滑，竖直放置在同一水平面上，圆锥母线与竖直方向夹角分别为30°和60°，有A、B两个质量相同的小球在两圆锥内壁等高处做匀速圆周运动，下列说法正确的是（　　）
A．A、B球受到的支持力之比为
B．A、B球的向心力之比为1：1
C．A、B球运动的角速度之比为3：1
D．A、B球运动的线速度之比为
如图所示，质量相同的小球甲、乙、丙用长度不同的轻绳悬于O点，均在水平面内做匀速圆周运动。已知甲、乙在同一水平面内运动，乙、丙经过同一抛物线，则（　　）
A．甲、乙的向心力大小相等
B．甲、乙的向心加速度大小相等
C．乙、丙的角速度大小相等
D．乙、丙的线速度大小相等
如图所示，一个内壁光滑的圆锥形筒的轴线垂直于水平面，圆锥筒固定不动，有两个小球A和B紧贴着内壁分别在图中所示的水平面内做匀速圆周运动，其中A的质量大于B的质量，则以下说法中正确的是（　　）
A．小球A的角速度等于小球B的角速度
B．小球A的运动周期小于小球B的运动周期
C．小球A的线速度小于小球B的线速度
D．小球A的向心加速度等于小球B的向心加速度
如图，半径为R的半球形陶罐，固定在水平转台上，转轴与过陶罐球心O的对称轴OO'重合，一质量为m的小物块放入陶罐内，随着陶罐一起以角速度ω匀速旋转。已知小物块和O点的连线与OO′之间的夹角θ为60°，小物块与罐壁间的动摩擦因数μ＝0.5，重力加速度大小为g。若ω，则小物块所受的摩擦力的大小为（　　）
A． B． C． D．
如图（a）所示，倾斜圆盘与水平面的夹角θ＝30°，它可绕过圆心且垂直于圆盘的转轴匀速转动，在圆盘平面内以圆心O为原点建立平面直角坐标系，x轴沿水平方向，y轴沿盘面向上。圆盘上一小滑块始终与圆盘保持相对静止，其所受摩擦力沿x、y轴的投影fx、fy的关系如图（b）所示。则滑块与圆盘之间的动摩擦因数至少为（　　）
A． B． C． D．
如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴旋转的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合。转台以一定角速度匀速转动，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后，小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，此时小物块受到的摩擦力恰好为零，它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为60°。重力加速度大小为g。则转台转动的角速度为（　　）
A． B． C． D．
如图所示，与水平方向成θ角放置的圆形沙画板上表面覆盖着一层细沙，每粒沙与画板间的动摩擦因数μ均相同，且μ＞tanθ。当画板绕垂直于板面的中心转轴匀速转动一段时间后，画板上沙粒形成的沙画图像（阴影部分）可能是（　　）
A． B．
C． D．
如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴转动的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合。转台以一定角速度匀速转动，一质量为m的小物块落入陶罐内，经过一段时间后小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，此时它和O点的连线与OO′之间的夹角θ为60°，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　）
A．若此时摩擦力为0，则物块对陶罐的作用力为2mg
B．若此时摩擦力为0，则物块的线速度为v
C．若转速增加，物块与陶罐间的摩擦力增大
D．若转速增加，物块将沿罐壁向上滑动
如图所示，长为L的细绳一端固定，另一端系一质量为m的小球。给小球一个合适的初速度，小球便可在水平面内做匀速圆周运动，这样就构成了一个圆锥摆，设细绳与竖直方向的夹角为θ。下列说法中正确的是（　　）
A．小球受重力、绳的拉力作用
B．小球受的重力和绳的拉力的合力为一恒力
C．θ越大，小球运动的速度越大
D．θ越大，小球运动的周期越大
如图所示，水平圆盘左右边缘各系一不可伸长的轻绳p、q，轻绳p的长度大于轻绳q的长度，两轻绳另一端分别悬挂可视为质点的小球。当小球随圆盘绕竖直中心轴O1O2匀速转动时，轻绳与转轴在同一竖直平面内，轻绳p、q与竖直方向的夹角分别为θ1、θ2，不计一切阻力。则（　　）
A．θ1＞θ2 B．θ1＝θ2 C．θ1＜θ2 D．无法判断
如图所示，长为l的绳子下端连着质量为m的小球，上端悬于天花板上，当把绳子拉直时，绳子与竖直方向的夹角为60°，此时小球静止于固定的光滑水平桌面上，重力加速度为g。则（　　）
A．当小球以一定的角速度在水平面内做圆锥摆运动时，小球一定受到重力，支持力和绳子拉力的作用
B．当小球以一定的角速度在水平面内做圆锥摆运动时，小球可能受到重力，支持力和向心力的作用
C．当小球以角速度为2做圆锥摆运动时，桌面对小球的支持力FN恰好为0
D．当小球以角速度为做圆锥摆运动时，绳子的张力大小为5mg，桌面对小球的支持力为0
如图所示，竖直放置一光滑的大圆环，圆心为O，半径为R。一根轻质细绳一端固定在大圆环的最高点，另一端连接一质量为M且套在大圆环上的小圆环，静止时细绳与竖直轴之间的夹角为30°，现让大圆环绕过圆心O的竖直轴O1O2，从静止开始缓慢增加转动的角速度，直至小圆环将要沿着大圆环向上滑动，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　）
A．细绳拉力先减小后增大，大圆环对小圆环的弹力一直减小
B．细绳对小圆环的拉力比大圆环对小圆环的弹力先达到零
C．角速度增大到时，大圆环对小圆环的弹力为零
D．角速度增大到时，细绳对小圆环的拉力为零
如图所示，小木块a和b（可视为质点）用轻绳连接置于水平圆盘上，开始时轻绳处于伸直状态但无拉力，a的质量为3m，b的质量为m。它们分居圆心两侧，与圆心的距离分别为r和2r，a、b与盘间的动摩擦因数相同（最大静摩擦力等于滑动摩擦力）。圆盘从静止开始绕转轴极缓慢地加速转动，木块和圆盘始终保持相对静止，a、b所受摩擦力大小随ω2变化的图像正确的是（　　）
A． B．
C． D．
图甲为“雪地转转”游戏，游戏时细转轴带动中心轮盘转动，中心轮盘通过轻绳牵引带动橡胶圈在水平面内做圆周运动，游客在橡胶圈中乘坐体验游戏带来的快乐。游戏装置可简化为如图乙所示，橡胶圈和游客可视为质点，牵引某橡胶圈的轻绳为AO。若橡胶圈做圆周运动的过程中半径始终不变，则关于橡胶圈及游客整体下列说法正确的是（　　）
A．做匀速圆周运动时，受到沿轨迹切线方向的滑动摩擦力和指向圆心方向的静摩擦力
B．做匀速圆周运动时，轻绳AO的延长线与转轴相交
C．角速度逐渐增大时，所受合力方向与其速度方向的夹角为锐角
D．角速度逐渐增大时，细绳拉力方向与橡胶圈的速度方向相垂直
如图所示，A、B、C三个物体放在旋转台上，动摩擦因数均为μ，A的质量为2m，B、C的质量均为m，A、B离轴的距离为R，C离轴的距离为2R，则当圆台旋转时（设A、B、C都没有滑动，最大静摩擦力等于滑动摩擦力）（　　）
A．C的向心力最大
B．B的向心加速度最小
C．当圆台转速增大时，A比B先滑动
D．当圆台转速增大时，C将最先滑动
摩擦传动是传动装置中的一个重要模型，如图所示的两个水平放置的轮盘靠摩擦力传动，其中O、O′分别为两轮盘的轴心，已知两个轮盘的半径比r甲：r乙＝2：1，且在正常工作时两轮盘不打滑。今在两轮盘上分别放置两个同种材料制成的滑块A、B，两滑块与轮盘间的动摩擦因数相同，两滑块距离轴心O、O′的间距RA＝2RB。若轮盘乙由静止开始缓慢地转动起来，且转速逐渐增加，则下列叙述正确的是（　　）
A．滑块A和B在与轮盘相对静止时，角速度之比为ω甲：ω乙＝2：1
B．滑块A和B在与轮盘相对静止时，向心加速度大小的比值为aA：aB＝9：2
C．滑块A和B在与轮盘相对静止时，线速度之比为vA：vB＝1：1
D．转速增加后两滑块一起发生滑动
当做圆周运动的物体角速度ω变化时，我们可以引用角加速度β来描述角速度ω的变化快慢，即β。图甲中某转盘自t＝0时由静止开始转动，其前4s内角加速度β随时间t变化如图乙所示。则（　　）
A．t＝1s时刻，ω1＝5rad/s
B．t＝3s时刻，ω3＝17.5rad/s
C．0～1s过程中，圆盘转过的角度θ＝5rad
D．0～1s过程中，圆盘边缘的某质点所需向心力随时间正比例增加
某游戏转盘装置如图所示，游戏转盘水平放置且可绕转盘中心的转轴O1O2转动。转盘上放置两个物块A、B，物块A、B通过轻绳相连。开始时，绳恰好伸直但无弹力，现让该装置从静止开始转动，使其角速度ω缓慢增大。整个过程中，物块A、B都相对于盘面静止，物块A、B到转轴的距离分别为r、2r，A物块的质量为3m，B物块的质量为m，与转盘间的动摩擦因数均为μ，接触面间的最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g。下列说法正确的是（　　）
A．当ω时，物块B受到的摩擦力大小为μmg
B．当ω时，物块B受到的摩擦力逐渐减小
C．当ω时，物块B不受摩擦力
D．为了确保物块A、B都相对于转盘静止，转盘的角速度不能超过
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