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7.2万有引力定律
1.知道万有引力存在于任意两个物体间，明确其表达式和适用范围。
2.理解定律的推导过程，认识发现科学规律过程中猜想与求证的重要性。
3.知道万有引力定律发现的重大意义。
4.会用万有引力定律解决引力计算问题，了解引力常量 G的测定方法。
知识点一：行星与太阳间的引力
1.太阳对行星的引力：
（1）模型构建
假设行星以太阳为圆心做匀速圆周运动，那么太阳对地球的引力就为做匀速圆周运动的地球提供向心力F．
（2）太阳对行星引力的推导
设行星的质量为m，运动线速度为v，地球到太阳的距离为r，太阳的质量为M．则由匀速圆周运动的规律可知：
…… ①
…… ②
由①②得，． ③
又由开普勒第三定律，……④
由③④式得 …… ⑤
即：……⑥
这表明：太阳对不同行星间的引力，跟行星的质量成正比，跟行星与太阳距离的平方成反比．
2.行星对太阳的引力：太阳对行星的引力与行星对太阳的引力是一对作用力和反作用力，则有F∝。
3.行星与太阳之间的引力：将上面二式联立，得，写成等式为，式中的G与太阳、行星都没有关系。
【特别提示】
（1）G是比例系数，，与行星和太阳均没有关系。
（2）太阳与行星间引力的方向沿着二者的连线。
（3）由于太阳的质量远大于各行星的质量，一般只考虑太阳与行星间的引力，不计行星间的相互吸引力。
知识点二：月——地检验
1.条件：已知月球与地球中心的距离r约为地球半径R的60倍。
2.假设：地球对苹果、月球的吸引力是同一种力，同样遵从平方反比的规律，则
a月 = ，a苹 = ，所以， = ≈ 2.78×10－4
（1）验证：已知自由落体加速度 g 为 9.8 m/s2，月球中心距离地球中心的距离r为 3.8×108 m，月球公转周期为 27.3 d，T约 2.36×106 s。
代入得 a月 = r≈2.7×10－3 m/s2
= ≈2.76×10－4
（2）结论：地球对苹果、月球的吸引力是同一种力，遵从相同的规律。
知识点三：万有引力定理
1. 万有引力定理
（1）内容：
自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的方向沿两物体的连线，引力的大小F与这两个物体质量的乘积成正比，与这两个物体间距离r的平方成反比。
（2）公式
，其中G为万有引力常量，
（3）适用条件
①万有引力公式适用于质点间引力大小的计算。对于实际物体间的相互作用，两个物体的距离远大于本身大小（物体可视为质点）时也适用。
②两个质量分布均匀的球体间的万有引力，也可用此定律来计算，其中r是两球心间的距离。
③ 一个均匀球体与球外一个质点之间的万有引力也可用此定律来计算，其中r为球心到质点间的距离
知识点四：万有引力常量的测定
1. 卡文迪许
牛顿得出了万有引力与物体质量及它们之间距离的关系，但没有测出引力常量G.
英国物理学家卡文迪什通过实验推算出引力常量G的值.通常情况下取G＝6.67×10－11 N·m2/kg2.
2. 引力常量的测定意义
（1）卡文迪什实验对引力常量测定，证实了万有引力的存在及万有引力定律的正确性;
（2）引力常量的测定使万有引力定律能进行定量计算，显示出真正的实用价值;
（3）扭秤实验巧妙地利用“光杠杆”使微小量放大，开创了测量弱力的新时代;
（4）万有引力常量G的测定表明：物理瑰丽的发现需要理论上的推力和实验的反复验证才能完成
知识点五：重力和万有引力的关系
1. 物体在地球表面上所受引力与重力的关系：
除两极以外，地面上其他点的物体，都围绕地轴做圆周运动，这就需要一个垂直于地轴的向心力。地球对物体引力的一个分力F′提供向心力，另一个分力为重力G，如图所示.
2. 两个特殊位置的重力
（1）在赤道上：物体的万有引力的两个分力F向和mg在一条直线上，则F=F向+mg，所以mg=F－F向=G－mω2R最大，此时重力最小。
（2）当在两极处：向心力为零，故重力等于万有引力，即：mg＝F引mg＝G.
【特别提示】
从赤道到两极：随着纬度增加，向心力F向＝mω2r减小，F向与F引夹角增大，所以重力G在增大，重力加速度增大.
2.重力与高度的关系
若距离地面的高度为h，则mg′＝G（R为地球半径，g′为离地面h高度处的重力加速度）.在同一纬度，距地面越高，重力加速度越小.
【特别提示】
重力是物体由于地球吸引产生的，但重力并不是地球对物体的引力.
在忽略地球自转的情况下，认为mg＝G
在万有引力定律理论建立的过程中，有许多科学家做出了杰出的贡献，关于科学家和他们的贡献，下列说法中正确的是（　　）
A．开普勒通过对第谷的观测数据的研究，认为行星的运动轨道都是圆
B．牛顿通过扭秤实验测出了万有引力常量，成为测出地球质量的第一人
C．开普勒发现在相等时间内，地球与太阳的连线和火星与太阳的连线扫过的面积相等
D．月地检验验证了地面物体的重力与太阳对行星的引力是同一性质的力
下列说法中正确的是（　　）
A．第谷设计扭秤实验装置，借助实验放大法，比较准确地测出了引力常量
B．根据F＝G得G，可知引力常量G与F、r、m1、m2有关
C．牛顿经典力学适用于宏观、高速运动
D．“月—地检验”可以证实万有引力定律的正确性
海边会发生潮汐现象，潮来时，水面升高；潮退时，水面降低。太阳、月球对某一区域海水引力的周期性变化，就引起了潮汐现象。已知太阳质量约为月球质量的3×107倍，太阳到地球与地球到月球距离的比值约为400。对同一片海水来说，太阳对海水的引力与月球对海水的引力的比值大约为（　　）
A．1：180 B．180：1 C．75000：1 D．1：75000
如图所示，两球间的距离为r，两球的质量分布均匀，质量大小分别为m1、m2，半径大小分别为r1、r2，则两球间的万有引力大小为（　　）
A．G
B．G
C．G
D．G
密度均匀的球体半径为R、质量为m，现从球体A中挖去直径为R的球体B，将球体B放置在距离球体A的球心O为2R处，如图所示，白色部分为挖去后的空心.已知半径为R的球体的体积为，引力常量为G，则球体A剩余部分对球体B的万有引力大小为（　　）
A． B．
C． D．
（多选）对于万有引力定律的表达式，下列说法正确的是（　　）
A．牛顿推理万有引力定律的过程用到了牛顿运动定律
B．当物体间的距离趋近于0时，物体间的万有引力无穷大
C．两物体对彼此的万有引力总是大小相等
D．只有天体间存在万有引力，人与人间不存在万有引力
两个大小相等的实心均质小球，球心间距为L时，它们之间的万有引力大小为F，若把两小球球心间距离增大为2L时，则它们之间的万有引力大小为（　　）
A．F B． C．4F D．
地球质量大约是月球质量的81倍，一颗卫星在地球和月球之间。当地球对它的引力和月球对它的引力大小之比为4：1时，该卫星距地心距离与距月心距离之比为（　　）
A．2：9 B．9：2 C．1：81 D．81：1
一颗人造卫星在地球引力作用下，绕地球做匀速圆周运动，已知地球的质量为M，地球的半径为R，卫星的质量为m，卫星离地面高度为h，引力常量为G，则地球对卫星的万有引力大小为（　　）
A．G B．G
C．G D．G
（多选）要使两物体间的万有引力减小到原来的，下列办法可以采用的是（　　）
A．使其中一个物体的质量减半，二者距离增一倍
B．使两物体间的距离和质量都减为原来的
C．使其中一个物体的质量减小到原来的，距离不变
D．使两物体间的距离增为原来的4倍，其中一个物体质量变为原来的2倍
（多选）某同学在学习中记录了一些与地球、月球有关的数据资料如表中所示，利用这些数据来计算地球表面与月球表面之间的最近距离，则下列表达式中正确的是（　　）
地球半径 R＝6.4×106m
月球半径 r＝1.74×106m
地球表面重力加速度 g0＝9.80m/s2
月球表面重力加速度 g＝1.56m/s2
月球绕地球转动的线速度 v＝1km/s
月球绕地球转动的周期 T＝27.3天
光速 c＝3.0×108m/s
用激光器从地球表面上正对月球表面处向月球表面发射激光束，经过t＝2.56s接收到反射回来的激光信号
A．s＝ct
B．
C．
D．
如图所示，是卡文迪什测量万有引力常数的实验示意图，根据胡克定律及转动理论可知，两平衡球受到的等大反向且垂直水平平衡杆的水平力F与石英丝N发生扭转的角度Δθ成正比，即F＝kΔθ，k的单位为N/rad，Δθ可以通过固定在T形架上平面镜M的反射点在弧形刻度尺上移动的弧长求出来，弧形刻度尺的圆心正是光线在平面镜上的入射点，半径为R。已知两平衡球质量均为m，两施力小球的质量均为m′，与对应平衡球的距离均为r，施加给平衡球的力水平垂直平衡杆，反射光线在弧形刻度尺上移动的弧长为Δl，则测得万有引力常数为（平面镜M扭转角度为Δθ时，反射光线扭转角度为2Δθ）（　　）
A． B．
C． D．
已知物体放在质量分布均匀的球壳内部时受到球壳的万有引力为零，假想沿地球的直径打一个小孔隧道。在不考虑地球自转的情况下，从一端释放一个看成质点的光滑小球，小球将沿直径运动到另一端，则小球运动的速度—时间图像正确的是（　　）
A． B．
C． D．
精确的实验发现，在地球表面不同的地方，g的大小一般是不同的。在赤道的海平面处g为9.780m/s2，在北极处g为9.832m/s2。已知地球质量为M，引力常量为G。将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体。在北极有个矿井，矿井深度为d，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。将质量为m的待测物体悬挂在弹簧测力计上，处于静止状态，下列说法正确的是（　　）
A．在北极处，弹簧测力计读数
B．在赤道处，弹簧测力计读数
C．在北极沿地轴方向深d的矿井内，弹簧测力计读数为
D．在轨道半径为R+h的空间站上，弹簧测力计读数为
用弹簧秤称量一个相对地球静止的小物体受到的重力，随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为M，自转周期为T，引力常量为G。将地球视为半径为R，质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响。设在地球北极地面称量时，弹簧秤的读数是F0。
（1）若在北极上空高出地面h处称量，弹簧秤读数为F1，求比值的表达式，并就h＝1.0%R的情形算出具体数值。（计算结果保留2位有效数字）
（2）若在赤道地面称量，弹簧秤读数为F2，求比值的表达式。
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7.2万有引力定律
1.知道万有引力存在于任意两个物体间，明确其表达式和适用范围。
2.理解定律的推导过程，认识发现科学规律过程中猜想与求证的重要性。
3.知道万有引力定律发现的重大意义。
4.会用万有引力定律解决引力计算问题，了解引力常量 G的测定方法。
知识点一：行星与太阳间的引力
1.太阳对行星的引力：
（1）模型构建
假设行星以太阳为圆心做匀速圆周运动，那么太阳对地球的引力就为做匀速圆周运动的地球提供向心力F．
（2）太阳对行星引力的推导
设行星的质量为m，运动线速度为v，地球到太阳的距离为r，太阳的质量为M．则由匀速圆周运动的规律可知：
…… ①
…… ②
由①②得，． ③
又由开普勒第三定律，……④
由③④式得 …… ⑤
即：……⑥
这表明：太阳对不同行星间的引力，跟行星的质量成正比，跟行星与太阳距离的平方成反比．
2.行星对太阳的引力：太阳对行星的引力与行星对太阳的引力是一对作用力和反作用力，则有F∝。
3.行星与太阳之间的引力：将上面二式联立，得，写成等式为，式中的G与太阳、行星都没有关系。
【特别提示】
（1）G是比例系数，，与行星和太阳均没有关系。
（2）太阳与行星间引力的方向沿着二者的连线。
（3）由于太阳的质量远大于各行星的质量，一般只考虑太阳与行星间的引力，不计行星间的相互吸引力。
知识点二：月——地检验
1.条件：已知月球与地球中心的距离r约为地球半径R的60倍。
2.假设：地球对苹果、月球的吸引力是同一种力，同样遵从平方反比的规律，则
a月 = ，a苹 = ，所以， = ≈ 2.78×10－4
（1）验证：已知自由落体加速度 g 为 9.8 m/s2，月球中心距离地球中心的距离r为 3.8×108 m，月球公转周期为 27.3 d，T约 2.36×106 s。
代入得 a月 = r≈2.7×10－3 m/s2
= ≈2.76×10－4
（2）结论：地球对苹果、月球的吸引力是同一种力，遵从相同的规律。
知识点三：万有引力定理
1. 万有引力定理
（1）内容：
自然界中任何两个物体都是相互吸引的，引力的方向沿两物体的连线，引力的大小F与这两个物体质量的乘积成正比，与这两个物体间距离r的平方成反比。
（2）公式
，其中G为万有引力常量，
（3）适用条件
①万有引力公式适用于质点间引力大小的计算。对于实际物体间的相互作用，两个物体的距离远大于本身大小（物体可视为质点）时也适用。
②两个质量分布均匀的球体间的万有引力，也可用此定律来计算，其中r是两球心间的距离。
③ 一个均匀球体与球外一个质点之间的万有引力也可用此定律来计算，其中r为球心到质点间的距离
知识点四：万有引力常量的测定
1. 卡文迪许
牛顿得出了万有引力与物体质量及它们之间距离的关系，但没有测出引力常量G.
英国物理学家卡文迪什通过实验推算出引力常量G的值.通常情况下取G＝6.67×10－11 N·m2/kg2.
2. 引力常量的测定意义
（1）卡文迪什实验对引力常量测定，证实了万有引力的存在及万有引力定律的正确性;
（2）引力常量的测定使万有引力定律能进行定量计算，显示出真正的实用价值;
（3）扭秤实验巧妙地利用“光杠杆”使微小量放大，开创了测量弱力的新时代;
（4）万有引力常量G的测定表明：物理瑰丽的发现需要理论上的推力和实验的反复验证才能完成
知识点五：重力和万有引力的关系
1. 物体在地球表面上所受引力与重力的关系：
除两极以外，地面上其他点的物体，都围绕地轴做圆周运动，这就需要一个垂直于地轴的向心力。地球对物体引力的一个分力F′提供向心力，另一个分力为重力G，如图所示.
2. 两个特殊位置的重力
（1）在赤道上：物体的万有引力的两个分力F向和mg在一条直线上，则F=F向+mg，所以mg=F－F向=G－mω2R最大，此时重力最小。
（2）当在两极处：向心力为零，故重力等于万有引力，即：mg＝F引mg＝G.
【特别提示】
从赤道到两极：随着纬度增加，向心力F向＝mω2r减小，F向与F引夹角增大，所以重力G在增大，重力加速度增大.
2.重力与高度的关系
若距离地面的高度为h，则mg′＝G（R为地球半径，g′为离地面h高度处的重力加速度）.在同一纬度，距地面越高，重力加速度越小.
【特别提示】
重力是物体由于地球吸引产生的，但重力并不是地球对物体的引力.
在忽略地球自转的情况下，认为mg＝G
在万有引力定律理论建立的过程中，有许多科学家做出了杰出的贡献，关于科学家和他们的贡献，下列说法中正确的是（　　）
A．开普勒通过对第谷的观测数据的研究，认为行星的运动轨道都是圆
B．牛顿通过扭秤实验测出了万有引力常量，成为测出地球质量的第一人
C．开普勒发现在相等时间内，地球与太阳的连线和火星与太阳的连线扫过的面积相等
D．月地检验验证了地面物体的重力与太阳对行星的引力是同一性质的力
【解答】解：A、开普勒通过对第谷的观测数据的研究，认为行星的运动轨道都是椭圆，故A错误；
B、牛顿发现了万有引力定律，卡文迪许通过扭秤实验测出了万有引力常量，成为测出地球质量的第一人，故B错误；
C、根据开普勒第二定律可知，对同一行星，行星与太阳的连线在任何相等时间内扫过的面积相等，故C错误；
D、月地检验验证了地面物体的重力与太阳对行星的引力是同一性质的力，故D正确。
故选：D。
下列说法中正确的是（　　）
A．第谷设计扭秤实验装置，借助实验放大法，比较准确地测出了引力常量
B．根据F＝G得G，可知引力常量G与F、r、m1、m2有关
C．牛顿经典力学适用于宏观、高速运动
D．“月—地检验”可以证实万有引力定律的正确性
【解答】解：A．卡文迪什设计扭秤实验装置，借助实验放大法，比较准确地测出了引力常量，故A错误；
B．根据F＝G得G，但引力常量G与F、r、m1、m2无关，故B错误；
C．牛顿经典力学适用于宏观、低速运动，故C错误；
D．“月—地检验”可以证实万有引力定律的正确性，故D正确。
故选：D。
海边会发生潮汐现象，潮来时，水面升高；潮退时，水面降低。太阳、月球对某一区域海水引力的周期性变化，就引起了潮汐现象。已知太阳质量约为月球质量的3×107倍，太阳到地球与地球到月球距离的比值约为400。对同一片海水来说，太阳对海水的引力与月球对海水的引力的比值大约为（　　）
A．1：180 B．180：1 C．75000：1 D．1：75000
【解答】解：根据万有引力定律F可得：180，故B正确，ACD错误。
故选：B。
如图所示，两球间的距离为r，两球的质量分布均匀，质量大小分别为m1、m2，半径大小分别为r1、r2，则两球间的万有引力大小为（　　）
A．G
B．G
C．G
D．G
【解答】解：两个球的半径大小分别为r1、r2，两球之间的距离为r，所以两球心间的距离为r1+r2+r，根据万有引力定律得两球间的万有引力大小为：
F＝G，故ABC错误，D正确。
故选：D。
密度均匀的球体半径为R、质量为m，现从球体A中挖去直径为R的球体B，将球体B放置在距离球体A的球心O为2R处，如图所示，白色部分为挖去后的空心.已知半径为R的球体的体积为，引力常量为G，则球体A剩余部分对球体B的万有引力大小为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：在小球内部挖去一个半径为 R的球体，挖去小球的质量为：m′，
假若不挖去小球前球，A与B球的万有引力：F″，
被挖部分对B球的引力为：F′
所以剩余部分对B球的万有引力F＝F″﹣F′，故ABC错误，D正确。
故选：D。
（多选）对于万有引力定律的表达式，下列说法正确的是（　　）
A．牛顿推理万有引力定律的过程用到了牛顿运动定律
B．当物体间的距离趋近于0时，物体间的万有引力无穷大
C．两物体对彼此的万有引力总是大小相等
D．只有天体间存在万有引力，人与人间不存在万有引力
【解答】解：A.牛顿在推导万有引力定律时，借助了牛顿运动定律，例如牛顿第二定律分析天体运动的向心力等，故A正确；
B.当物体间距趋近于0时，便不能看作是质点，此时需要考虑的是两个物体不同部分间的吸引力，因此引力不是无穷大，故B错误；
C.两物体对彼此的万有引力属于相互作用力，由牛顿第三定律可知必定大小相等，故C正确；
D.万有引力属于物体间的基本作用力之一，任意两个或以上物体间均存在，故D错误。
故选：AC。
两个大小相等的实心均质小球，球心间距为L时，它们之间的万有引力大小为F，若把两小球球心间距离增大为2L时，则它们之间的万有引力大小为（　　）
A．F B． C．4F D．
【解答】解：根据万有引力定律，球心间距为L时有：
球心间距离增大为2L时有：
解得：，故ABC错误，D正确。
故选：D。
地球质量大约是月球质量的81倍，一颗卫星在地球和月球之间。当地球对它的引力和月球对它的引力大小之比为4：1时，该卫星距地心距离与距月心距离之比为（　　）
A．2：9 B．9：2 C．1：81 D．81：1
【解答】解：设地球质量为81m，月球质量为m，卫星距离地心的距离为a，距离月心的距离为b，
地球对卫星的引力和月球对卫星的引力大小之比为
可得
故B正确，ACD错误。
故选：B。
一颗人造卫星在地球引力作用下，绕地球做匀速圆周运动，已知地球的质量为M，地球的半径为R，卫星的质量为m，卫星离地面高度为h，引力常量为G，则地球对卫星的万有引力大小为（　　）
A．G B．G
C．G D．G
【解答】解：根据万有引力的计算公式有：F，故A正确，BCD错误；
故选：A。
（多选）要使两物体间的万有引力减小到原来的，下列办法可以采用的是（　　）
A．使其中一个物体的质量减半，二者距离增一倍
B．使两物体间的距离和质量都减为原来的
C．使其中一个物体的质量减小到原来的，距离不变
D．使两物体间的距离增为原来的4倍，其中一个物体质量变为原来的2倍
【解答】解：根据万有引力定律，设两物体的质量为M和m，距离为r，则万有引力大小为
F＝G
设变化后的万有引力大小为F′＝G，
A、使其中一个物体的质量减半，二者距离增一倍，则变化后的万有引力大小为
F′F，故A正确；
B、使两物体间的距离和质量都减为原来的，则F′＝F，故B错误；
C、使其中一个物体的质量减小到原来的，距离不变，则变化后的万有引力大小为
F′F，故C正确；
D、使两物体间的距离增为原来的4倍，其中一个物体质量变为原来的2倍，则变化后的万有引力大小为
F′F，故D正确。
故选：ACD。
（多选）某同学在学习中记录了一些与地球、月球有关的数据资料如表中所示，利用这些数据来计算地球表面与月球表面之间的最近距离，则下列表达式中正确的是（　　）
地球半径 R＝6.4×106m
月球半径 r＝1.74×106m
地球表面重力加速度 g0＝9.80m/s2
月球表面重力加速度 g＝1.56m/s2
月球绕地球转动的线速度 v＝1km/s
月球绕地球转动的周期 T＝27.3天
光速 c＝3.0×108m/s
用激光器从地球表面上正对月球表面处向月球表面发射激光束，经过t＝2.56s接收到反射回来的激光信号
A．s＝ct
B．
C．
D．
【解答】解：A、根据题意，激光器发出激光束从发出到接收的时间为t＝2.56s，光速为c，根据运动学公式则有：s＝c ，故A错误；
B、根据题意，月球绕地球转动的线速度为：v＝1km/s，周期为：T＝27.3s，则月球公转的半径为R′，s＝R′﹣R﹣rR﹣r，故B正确；
C、根据题意得月球表面的重力加速度大小g与月球绕地球转动的线速度大小v没有关系，不能得到g，即不能求出sR﹣r．故C错误；
D、以月球为研究对象，月球绕地球公转时，设地球质量为M，月球的质量为m，根据地球对月球的万有引力提供向心力，得：，
又在地球表面，根据万有引力等于重力有：g0；
联立上两式得：R′；则有：s＝R′﹣R﹣rR﹣r．故D正确。
故选：BD。
如图所示，是卡文迪什测量万有引力常数的实验示意图，根据胡克定律及转动理论可知，两平衡球受到的等大反向且垂直水平平衡杆的水平力F与石英丝N发生扭转的角度Δθ成正比，即F＝kΔθ，k的单位为N/rad，Δθ可以通过固定在T形架上平面镜M的反射点在弧形刻度尺上移动的弧长求出来，弧形刻度尺的圆心正是光线在平面镜上的入射点，半径为R。已知两平衡球质量均为m，两施力小球的质量均为m′，与对应平衡球的距离均为r，施加给平衡球的力水平垂直平衡杆，反射光线在弧形刻度尺上移动的弧长为Δl，则测得万有引力常数为（平面镜M扭转角度为Δθ时，反射光线扭转角度为2Δθ）（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：所施加的力为万有引力，由万有引力定律得：
根据平面镜反射定律及几何关系可知，石英丝N发生扭转的角度为：
又F＝kΔθ
联立解得：，故ABC错误，D正确。
故选：D。
已知物体放在质量分布均匀的球壳内部时受到球壳的万有引力为零，假想沿地球的直径打一个小孔隧道。在不考虑地球自转的情况下，从一端释放一个看成质点的光滑小球，小球将沿直径运动到另一端，则小球运动的速度—时间图像正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：如图
当小球运动至A处，由题意可知，只有A处以内的地球部分对小球作用力产生加速度，满足，又有，联立解得，小球靠近地球球心过程，r减小，a减小，做加速度减小的加速运动，到球心另一侧时，由对称性可知，小球做加速度增大的减速运动，故A正确，BCD错误。
故选：A。
精确的实验发现，在地球表面不同的地方，g的大小一般是不同的。在赤道的海平面处g为9.780m/s2，在北极处g为9.832m/s2。已知地球质量为M，引力常量为G。将地球视为半径为R、质量均匀分布的球体。在北极有个矿井，矿井深度为d，质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零。将质量为m的待测物体悬挂在弹簧测力计上，处于静止状态，下列说法正确的是（　　）
A．在北极处，弹簧测力计读数
B．在赤道处，弹簧测力计读数
C．在北极沿地轴方向深d的矿井内，弹簧测力计读数为
D．在轨道半径为R+h的空间站上，弹簧测力计读数为
【解答】解：A.物体在两极时，万有引力等于重力，则有，故A错误；
B.在赤道地面称量时，万有引力等于重力加上小物体m随地球一起自转所需要的向心力，则有，故B错误；
C.在北极矿井底部称量时，万有引力等于重力，则有，故C正确；
D.在空间站称量时，物体处于完全失重，则有，故D错误。
故选：C。
用弹簧秤称量一个相对地球静止的小物体受到的重力，随称量位置的变化可能会有不同的结果。已知地球质量为M，自转周期为T，引力常量为G。将地球视为半径为R，质量均匀分布的球体，不考虑空气的影响。设在地球北极地面称量时，弹簧秤的读数是F0。
（1）若在北极上空高出地面h处称量，弹簧秤读数为F1，求比值的表达式，并就h＝1.0%R的情形算出具体数值。（计算结果保留2位有效数字）
（2）若在赤道地面称量，弹簧秤读数为F2，求比值的表达式。
【解答】解：（1）在北极，物体受到的重力等于地球的引力。则
在北极上空高出地面h处测量
则
当h＝1.0%R时，将h＝1.0%R代入
则有
（2）在赤道，考虑地球的自转，地球的引力提供重力（大小等于弹簧秤示数）与物体随地球自转需要的向心力；在赤道上小物体随地球自转做匀速圆周运动，受到万有引力和弹簧秤的作用力，有
得
。
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