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7.3万有引力理论的成就
1.了解万有引力定律在天文学上的应用。
2.掌握解决天体运动问题的基本思路。
3.会用万有引力定律计算天体的质量和密度。
4.掌握综合运用万有引力定律和圆周运动知识分析具体问题的方法。
知识点一：“称量”地球的质量
1. “带换法”称量地球的质量（自力更生）
（1）称量依据：不考虑地球自转的影响，利用在地球表面或附近的物体m，万有引力近似等于重力，即（g为天体表面的重力加速度）
（2）地球质量的大小：
2. 环绕法：借助环绕中心天体做匀速圆周运动的行星（或卫星）计算中心天体的质量，俗称“借助外援法”。
（1）卫星（或航天器）绕地球的运动视为运算圆周运动，所需的向心力有地球对卫星的万有引力提供。
（2）关系式：
①已知卫星做圆周运动的轨道半径为r和周期为T：由，得
②已知卫星做圆周运动的轨道半径r和线速度v ，，得：
③其他方法：，式中a表示向心加速度，而向心加速度又有、、、这样几种表达式，要根据具体问题，把这几种表达式代入方程，讨论相关问题。
知识点二：计算太阳（或中心天体）的质量和密度
【拓展】宇宙中的双星模型
1. 双星系统
如图所示，宇宙中有相距较近、质量可以相比的两个星球，它们离其他星球都较远，因此其他星球对它们的万有引力可以忽略不计．在这种情况下，它们将围绕它们连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动，这种结构叫作“双星”．
2．双星模型的特点
(1)两星的运行轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点．
(2)两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供．
(3)两星的运动周期、角速度都相同．
(4)两星的运动轨道半径之和等于它们之间的距离，即r1＋r2＝L.
3. 双星问题的处理方法
双星间的万有引力提供了他们做圆周运动的向心力，即：，由此可得：
(1)，星体运动的轨道半径和质量成反比，双星系统的转动中心离质量较大的星体近．
(2)由于、r1＋r2＝L，可得：
①两恒星质量之和：；
②两轨道半径：，
④星体转动的周期：
知识点三：发现未知天体
1、到了18世纪，人们已经知道太阳系有7颗行星，其中1781年发现的第七颗行星 —— 天王星的运动轨道有些“古怪”：根据万有引力定律计算出来的轨道与实际观测的结果总有一些偏差。
2、英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶相信未知行星的存在。他们根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出这颗“新”行星的轨道。1846 年 9 月 23 日晚，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星，人们称其为“笔尖下发现的行星”——海王星。
3、海王星发现之后，人们发现它的轨道也与理论计算的不一致。于是几位学者用亚当斯和勒维耶列的方法预言另一颗行星的存在。在预言提出之后，1930年3月14日，汤博发现了这颗行星——冥王星。
4、预言哈雷彗星回归：哈雷依据万有引力定律，用一年时间计算了它们的轨道。发现 1531 年、1607 年和 1682 年出现的这三颗彗星轨道看起来如出一辙，他大胆预言，这三次出现的彗星是同一颗星（图 7.3-3），周期约为 76 年，并预言它将于 1758 年底或 1759 年初再次回归。1759 年 3 月这颗彗星如期通过了近日点，它最近一次回归是 1986 年，它的下次回归将在2061 年左右。
若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”都遵循同样的规律（即“物体受到地球引力的大小与物体到地球中心距离的平方成反比”），在已知地球表面重力加速度、月球绕地球做匀速圆周运动的轨道半径的情况下，还需要知道（　　）
A．月球表面的重力加速度
B．月球公转的周期
C．月球的半径
D．月球的质量
【解答】解：若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”都遵循同样的规律（即“物体受到地球引力的大小与物体到地球中心距离的平方成反比”），则需验证
a
在已知地球表面重力加速度g、地球半径R和月球绕地球做匀速圆周运动的轨道半径r的情况下，只需知道月球公转的加速度a即可，而
a
故要计算月球公转的加速度，还需要知道月球公转的周期，故ACD错误，B正确。
故选：B。
科幻电影《流浪地球2》中，人类利用地球赤道上的“行星发动机”将地球送至距离太阳系很远的比邻星附近，成为比邻星的行星。若太阳质量为m1，流浪前地球绕太阳运行轨道半径为r1，周期为T1，流浪后地球绕比邻星运行的轨道半径为r2，周期为T2，则比邻星的质量为（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：地球绕太阳运转时，根据牛顿第二定律有
当地球绕比邻星运行时，根据牛顿第二定律得
联立解得比邻星的质量为
，故A正确，BCD错误。
故选：A。
2022年2月10日，经历半年多的飞行，“天问一号”探测器完成“刹车”减速，开始它的环绕火星之旅。它先是花了半个月时间多次调整轨道，让自己观察火星的距离更近一些，视角更好一些；然后是仔仔细细考察火星地形，拍摄高清照片，为火星车考察着陆区地形。已知“天问一号”探测器的运行轨道距离火星地面的高度为H，火星半径为R，自转周期为T，火星表面的重力加速度为g，探测器每次经过火星赤道上空的时候，携带的摄像机都可以对赤道进行一次拍摄，要使摄像机在火星1天（火星自转一周）的时间内将整个赤道拍摄下来，则每次拍摄赤道的长度至少为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：由万有引力定律得：
转一圈两次经过赤道，所以1天时间内探测器经过火星赤道的次数为：
探测器每次拍摄赤道的长度至少：
解得：，故B正确，ACD错误。
故选：B。
我国“祝融号”火星车在火星低纬度地区发现了液态水的痕迹，这一发现为揭开火星的奥秘提供了新的线索。假设火星可视为半径为R的均匀球体，探测卫星沿圆轨道绕火星运动，轨道高度为h，周期为T，万有引力常量为G。则下列判断正确的是（　　）
A．根据以上条件，可求出卫星的质量
B．根据以上条件，可求出火星的质量
C．根据以上条件，可求出卫星的密度
D．根据以上条件，可求出卫星所受火星的引力
【解答】解：AB、设卫星的质量为m，火星的质量为M。
探测卫星沿圆轨道绕火星运动，根据万有引力提供向心力得
Gm（R+h）
解得：M
可见能求出火星的质量M，不能求出卫星的质量m，故A错误，B正确；
CD、不能求出卫星的质量m，也就不能求出卫星的密度和卫星所受火星的引力，故CD错误。
故选：B。
我国计划在2030年前实现载人登月计划，该计划各项工作进展顺利。假设我国航天员登陆月球后，从月表以初速度v0竖直向上抛出一颗小球（可视为质点），经过时间t小球落回到抛出点。已知月球半径为R，引力常量为G，月球无空气且不考虑月球自转。求：
（1）月球表面的重力加速度g月；
（2）月球的质量M。
【解答】解：（1）小球在月球表面以初速度v0做竖直上抛运动，其加速度等于月球表面的重力加速度g月，则有
t
可得
g月
（2）在月球表面，根据物体的重力等于万有引力，得
mg月＝G
联立解得：M
答：（1）月球表面的重力加速度g月为；
（2）月球的质量M为。
如图所示，地球绕着太阳公转，而月球又绕着地球转动，他们的运动均可近似看成匀速圆周运动．如果要通过观测求得地球的质量，需要测量下列哪些量（　　）
A．地球绕太阳公转的半径和周期
B．月球绕地球转动的半径和周期
C．地球的半径和地球绕太阳公转的周期
D．地球的半径和月球绕地球转动的周期
【解答】解：AC、中心天体是太阳，根据万有引力提供向心力只能求出中心天体的质量，所以无法求出地球的质量，故AC错误；
BD、设地球质量为M，月球质量为m，根据万有引力提供向心力，有，得地球的质量，所以知道月球绕地球转动的半径和周期能求出地球的质量，故B正确；D错误；
故选：B。
火星探测卫星在火星的近地轨道做匀速圆周运动，其周期为T。该卫星降落火星后完成了火星表面的自由落体实验，测得物块下降h高度所用时间为t，由此可求得火星的半径为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：设火星的质量为M，火星表面附近质量为m的飞船所受重力等于火星对它产生的万有引力，则
对在火星表面附近绕火星做匀速圆周运动的飞船，由牛顿第二定律可得：
结合自由落体的运动公式：
联立解得：R，故C正确，ABD错误；
故选：C。
天文学家新发现了太阳系外的一颗行星，这颗行星的体积是地球的a倍，质量是地球的b倍．已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为T，已知引力常量为G，则该行星的平均密度为（　　）
A． B．
C． D．条件不足，无法判断
【解答】解：对于近地卫星，设其质量为m，地球的质量为M，半径为R，则
根据万有引力提供向心力，得地球的质量M，地球的密度为ρ。
密度公式为ρ，已知行星的体积是地球的a倍，质量是地球的b倍，则得行星的平均密度是地球的倍，所以该行星的平均密度为 。
故C正确、ABD错误。
故选：C。
“北斗“是我国自主研制、独立运行的全球卫星导航系统，某同步卫星的对地张角为2θ，运行轨道如图中圆形虚线所示。已知地球半径为R、自转周期为T、地球表面重力加速度为g，万有引力常量为G。由此可知地球的质量为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A.根据黄金代换式mg，得M，故A错误；
BCD.设同步卫星的轨道半径为r，则有sinθ，又由mr，联立解得M，故C正确，BD错误。
故选：C。
假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面的重力加速度在两极处的大小为g0，在赤道处的大小为g，地球的半径为R，则地球的自转周期为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：两极处有
赤道处有
联立解得
。
故D正确，ABC错误。
故选：D。
人类设想在赤道平面内建造垂直于地面并延伸到太空的电梯，又称“太空电梯”如图甲所示。图乙中，图线A表示地球引力对航天员产生的加速度大小与航天员距地心的距离r的关系，图线B表示航天员相对地面静止时而产生的向心加速度大小与r的关系。图乙中R（地球半径），r0为已知量，地球自转的周期为T，引力常量为G，地球表面重力加速度为g，下列说法正确的有（　　）
A．太空电梯停在r0处时，航天员对电梯舱的弹力为mg
B．地球的质量为
C．太空电梯中的物体均处于完全失重状态
D．随着r的增大，航天员对电梯舱的弹力逐渐减小
【解答】解：A.由图乙，太空电梯在r0时，航天员所受地球的引力完全提供其随地球自转所需的向心力，此时，航天员与电梯舱间的弹力为0，故A错误；
B.太空电梯在r0时，由于航天员的引力完全提供其所需的向心力，设地球的质量为M，航天员的质量为m，则，解得 ，故B正确；
CD.随着r的增加，航天员所需的向心力逐渐增加，在r＝r0时，引力完全提供向心力，此时航天员与电梯舱的弹力为0，当r＜r0时，电梯舱对航天员的弹力表现为支持力，根据，解得，FN随着r的增大而减小，当r＞r0时，电梯舱对航天员的弹力表现为指向地心的压力，此时，FN随着r的增大而增大，物体不一定处于完全失重状态，故CD错误。
故选：B。
如果我们能测出月球表面的加速度g、月球的半径R和月球绕地球运转的周期T，就能根据万有引力定律“称量”月球的质量了。已知引力常量为G，用M表示月球的质量，则月球质量可表示为（　　）
A．M B．M
C．M D．M
【解答】解：AB、在月球表面重力与万有引力相等有：mg
可得月球的质量为：M，故A错误，B正确；
CD、根据万有引力提供圆周运动向心力可以求得中心天体的质量，故根据月球绕地球圆周运动周期和轨道半径只能求得中心天体地球的质量，故CD均错误。
故选：B。
（多选）我国“天问二号”小行星探测器计划于2025年5月发射，主要任务是对近地小行星2016HO3开展伴飞、探测并取样返回。假设“天问二号”小行星探测器在小行星的静止轨道上运行时速度为v，公转周期为T，降落在小行星表面采样时发现同一样品在赤道时的重力是其在北极时重力的倍。已知小行星的两极加速度为g，引力常量G，则下列说法正确的是（　　）
A．小行星的质量为
B．小行星的质量为
C．小行星半径为
D．小行星半径为
【解答】解：AB.根据，而v，联立解得M，故A正确，B错误；
CD.在小行星北极，根据黄金代换式mg，在小行星赤道处mRmg，联立解得R，故C正确，D错误。
故选：AC。
（多选）研究表明：在太阳系中行星绕太阳的运动轨迹是椭圆。如图为地球绕太阳的运动轨迹，BD是椭圆的长轴，AC是椭圆的短轴，O是椭圆中心，椭圆半长轴为a，地球绕太阳一周的时间为T，万有引力常量为G，忽略其他星体对地球的引力作用。则下列说法正确的是（　　）
A．地球在B点速度小于在D点的速度
B．地球在经过B点时所受的太阳引力等于向心力
C．地球从A运动到B所用时间为tT
D．根据题中条件可知，太阳的质量为M
【解答】解：A．根据开普勒第二定律可知，地球在B点速度大于在D点的速度，故A错误；
B．地球在B点速度方向与万有引力方向垂直，可知地球在经过B点时所受的太阳引力等于向心力，故B正确；
C．根据开普勒第二定律，地球与太阳距离越近速率越大，可知地球从A运动到B所用时间小于T，故C错误；
D．根据万有引力提供向心力公式，可得太阳的质量，故D正确。
故选：BD。
（多选）一颗人造卫星绕地球做匀速圆周运动，运行周期为T，线速度为v，万有引力引力常量为G，下列说法正确的是（　　）
A．该人造卫星的轨道半径为
B．该人造卫星的轨道半径为
C．地球的质量为
D．地球的质量为
【解答】解：AB.根据v，得轨道半径r，故A正确，B错误；
CD.根据，得地球的质量为M，故C正确，D错误。
故选：AC。
2023年2月10日，远在火星执行全球遥感科学探测任务的“天问一号”火星探测器已经在火星“上岗”满两年。两年来探测器“履职尽责”，获得一手探测数据，取得丰硕科研成果。设火星为质量均匀分布的球体，半径为R。在火星表面h高处由静止释放一可视为质点的小物体，测出物体落地时间为t。忽略火星自转。不计火星表面气体阻力，引力常量为G，依据题中信息，火星密度为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由题可知，小物体在火星上做自由落体运动，则有：
在火星表面根据万有引力提供重力可得：
根据密度与质量的关系可得：M＝ρV，
联立以上关系式可解得：，故ABD错误，C正确。
故选：C。
假设地球可视为质量均匀分布的球体，地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G，地球的质量为（　　）
A．
B．
C．
D．
【解答】解：在两极有：，
在赤道有：，
联立两式解得M。
故选：B。
中国科学院沈阳自动化研究所主持研制的“海斗一号”在无缆自主模式下刷新了中国下潜深度纪录，最大下潜深度超过了10000米，若把地球看成质量分布均匀的球体，地球的质量为M，半径为R，且质量分布均匀的球壳对壳内任一质点的万有引力为零，忽略地球的自转，当“海斗一号”下潜深度为h时，所处的重力加速度大小g是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：地球的质量M
当“海斗一号”下潜深度为h时，：Gmg'
其中M′
解得：g'（R﹣h），故B正确，ACD错误。
故选：B。
一质量为m的物块在北极与在赤道上的重力差为ΔF，地球同步卫星运动的周期为T。则可求出地球半径R为（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：设物块在北极的重力为mg，在赤道上的重力为mg0。物块在北极时，万有引力等于重力，根据牛顿第二定律有
物块在赤道上时，由牛顿第二定律有
根据题意有
mg﹣mg0＝ΔF
联立解得
，故A正确，BCD错误；
故选：A。
2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭在酒泉点火发射，17时46分，与空间站组合体完成自主快速交会对接。若地球半径为R，质量为M，引力常量为G，对接前空间站组合体质量为m，距地球表面高度为h，则对接前空间站组合体对地球的万有引力大小是（　　）
A．等于 B．小于
C．等于 D．大于
【解答】解：已知地球半径为R，对接前空间站组合体距地球表面高度为h，到地心的距离为R+h，则根据万有引力定律可得对接前空间站组合体对地球的万有引力大小为
，故A正确，BCD错误。
故选：A。
我国自行研制的“天问1号”火星探测器于2021年5月19日成功着陆火星。设着陆前探测器对火星完成了“绕、着、巡”三项目标考查。探测器经过一系列的制动减速进入火星近地圆轨道绕火星做匀速圆周运动，之后再经过制动在火星表面着陆。着陆后，探测器上的科研装置，将一个小球从离地面h的高度由静止释放，做自由落体运动，测得小球经过时间t落地。已知引力常量为G，火星的半径为R，求：
（1）火星表面重力加速度；
（2）火星的质量M及平均密度ρ。
【解答】解：（1）由自由落体运动得，得；
（2）设火星表面有一质量为m的物体，则，得，由密度，得。
答：（1）火星表面重力加速度为；
（2）火星的质量M为，平均密度ρ为。
2025年1月7日，我国在西昌卫星发射中心使用长征三号乙运载火箭，成功将实践二十五卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。已知二十五号卫星的离地高度为h，地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，忽略地球自转的影响，求：
（1）地球的密度；
（2）二十五号卫星的线速度大小。
【解答】解：（1）在地球表面附近，万有引力近似等于重力：，解得，又，解得；
（2）根据万有引力提供向心力有：，解得v
答：（1）地球的密度等于；
（2）二十五号卫星的线速度大小等于。
中国载人登月工程规划在2030年前后实现航天员登月。设想在2029年4月27日，中国宇航员登上月球。由于月球表面无空气，也就是没有空气阻力。宇航员在月球表面借助智能机器人完成这样一个实验：沿水平方向将一个质量m＝0.30kg的小球以某一初速度从P点水平抛出，恰好从光滑圆弧轨道ABC的A点的切线方向进入圆弧轨道（进入圆弧时无机械能损失）。已知圆弧轨道的半径R＝0.40m，θ＝45°，P点与A点的水平距离（DA间距）d＝0.60m，小球到达A点时的速度vAm/s。已知万有引力常量为G，月球的半径R月约为1.8×106m，不考虑月球的自转。解答下列问题：（计算结果保留两位有效数字）
（1）求月球表面的重力加速度g月（可用分数表示）；
（2）估算月球的第一宇宙速度v1；
（3）求小球到达圆弧轨道最低点B时对轨道的压力FN。
【解答】解：（1）小球到A点的速度如图所示，小球做平抛运动的初速度v0等于vA的水平分速度，
由图可知：，
小球运动至A点时竖直方向的分速度为，
又已知P点与A点的水平距离DA为d＝0.60m，则有d＝v0t，
又vy＝g月t，
解得：；
（2）月球的第一宇宙速度即为近月卫星的运行速度v1，对质量为m的近月卫星，由万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律，
月球表面上万有引力等于重力，对于质量为m0的物体，有，
联立解得；
（3）小球从A点到达圆弧最低点B过程机械能守恒，由机械能守恒得：，
轨道对它的弹力为FN，由圆周运动向心力公式得：，
代入数据解得：FN＝2.3N，
由牛顿第三定律可知，小球对轨道的压力大小FN′＝FN＝2.3N，方向竖直向下。
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7.3万有引力理论的成就
1.了解万有引力定律在天文学上的应用。
2.掌握解决天体运动问题的基本思路。
3.会用万有引力定律计算天体的质量和密度。
4.掌握综合运用万有引力定律和圆周运动知识分析具体问题的方法。
知识点一：“称量”地球的质量
1. “带换法”称量地球的质量（自力更生）
（1）称量依据：不考虑地球自转的影响，利用在地球表面或附近的物体m，万有引力近似等于重力，即（g为天体表面的重力加速度）
（2）地球质量的大小：
2. 环绕法：借助环绕中心天体做匀速圆周运动的行星（或卫星）计算中心天体的质量，俗称“借助外援法”。
（1）卫星（或航天器）绕地球的运动视为运算圆周运动，所需的向心力有地球对卫星的万有引力提供。
（2）关系式：
①已知卫星做圆周运动的轨道半径为r和周期为T：由，得
②已知卫星做圆周运动的轨道半径r和线速度v ，，得：
③其他方法：，式中a表示向心加速度，而向心加速度又有、、、这样几种表达式，要根据具体问题，把这几种表达式代入方程，讨论相关问题。
知识点二：计算太阳（或中心天体）的质量和密度
【拓展】宇宙中的双星模型
1. 双星系统
如图所示，宇宙中有相距较近、质量可以相比的两个星球，它们离其他星球都较远，因此其他星球对它们的万有引力可以忽略不计．在这种情况下，它们将围绕它们连线上的某一固定点做周期相同的匀速圆周运动，这种结构叫作“双星”．
2．双星模型的特点
(1)两星的运行轨道为同心圆，圆心是它们之间连线上的某一点．
(2)两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供．
(3)两星的运动周期、角速度都相同．
(4)两星的运动轨道半径之和等于它们之间的距离，即r1＋r2＝L.
3. 双星问题的处理方法
双星间的万有引力提供了他们做圆周运动的向心力，即：，由此可得：
(1)，星体运动的轨道半径和质量成反比，双星系统的转动中心离质量较大的星体近．
(2)由于、r1＋r2＝L，可得：
①两恒星质量之和：；
②两轨道半径：，
④星体转动的周期：
知识点三：发现未知天体
1、到了18世纪，人们已经知道太阳系有7颗行星，其中1781年发现的第七颗行星 —— 天王星的运动轨道有些“古怪”：根据万有引力定律计算出来的轨道与实际观测的结果总有一些偏差。
2、英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶相信未知行星的存在。他们根据天王星的观测资料，各自独立地利用万有引力定律计算出这颗“新”行星的轨道。1846 年 9 月 23 日晚，德国的伽勒在勒维耶预言的位置附近发现了这颗行星，人们称其为“笔尖下发现的行星”——海王星。
3、海王星发现之后，人们发现它的轨道也与理论计算的不一致。于是几位学者用亚当斯和勒维耶列的方法预言另一颗行星的存在。在预言提出之后，1930年3月14日，汤博发现了这颗行星——冥王星。
4、预言哈雷彗星回归：哈雷依据万有引力定律，用一年时间计算了它们的轨道。发现 1531 年、1607 年和 1682 年出现的这三颗彗星轨道看起来如出一辙，他大胆预言，这三次出现的彗星是同一颗星（图 7.3-3），周期约为 76 年，并预言它将于 1758 年底或 1759 年初再次回归。1759 年 3 月这颗彗星如期通过了近日点，它最近一次回归是 1986 年，它的下次回归将在2061 年左右。
若想检验“使月球绕地球运动的力”与“使苹果落地的力”都遵循同样的规律（即“物体受到地球引力的大小与物体到地球中心距离的平方成反比”），在已知地球表面重力加速度、月球绕地球做匀速圆周运动的轨道半径的情况下，还需要知道（　　）
A．月球表面的重力加速度
B．月球公转的周期
C．月球的半径
D．月球的质量
科幻电影《流浪地球2》中，人类利用地球赤道上的“行星发动机”将地球送至距离太阳系很远的比邻星附近，成为比邻星的行星。若太阳质量为m1，流浪前地球绕太阳运行轨道半径为r1，周期为T1，流浪后地球绕比邻星运行的轨道半径为r2，周期为T2，则比邻星的质量为（　　）
A．
B．
C．
D．
2022年2月10日，经历半年多的飞行，“天问一号”探测器完成“刹车”减速，开始它的环绕火星之旅。它先是花了半个月时间多次调整轨道，让自己观察火星的距离更近一些，视角更好一些；然后是仔仔细细考察火星地形，拍摄高清照片，为火星车考察着陆区地形。已知“天问一号”探测器的运行轨道距离火星地面的高度为H，火星半径为R，自转周期为T，火星表面的重力加速度为g，探测器每次经过火星赤道上空的时候，携带的摄像机都可以对赤道进行一次拍摄，要使摄像机在火星1天（火星自转一周）的时间内将整个赤道拍摄下来，则每次拍摄赤道的长度至少为（　　）
A． B．
C． D．
我国“祝融号”火星车在火星低纬度地区发现了液态水的痕迹，这一发现为揭开火星的奥秘提供了新的线索。假设火星可视为半径为R的均匀球体，探测卫星沿圆轨道绕火星运动，轨道高度为h，周期为T，万有引力常量为G。则下列判断正确的是（　　）
A．根据以上条件，可求出卫星的质量
B．根据以上条件，可求出火星的质量
C．根据以上条件，可求出卫星的密度
D．根据以上条件，可求出卫星所受火星的引力
我国计划在2030年前实现载人登月计划，该计划各项工作进展顺利。假设我国航天员登陆月球后，从月表以初速度v0竖直向上抛出一颗小球（可视为质点），经过时间t小球落回到抛出点。已知月球半径为R，引力常量为G，月球无空气且不考虑月球自转。求：
（1）月球表面的重力加速度g月；
（2）月球的质量M。
如图所示，地球绕着太阳公转，而月球又绕着地球转动，他们的运动均可近似看成匀速圆周运动．如果要通过观测求得地球的质量，需要测量下列哪些量（　　）
A．地球绕太阳公转的半径和周期
B．月球绕地球转动的半径和周期
C．地球的半径和地球绕太阳公转的周期
D．地球的半径和月球绕地球转动的周期
火星探测卫星在火星的近地轨道做匀速圆周运动，其周期为T。该卫星降落火星后完成了火星表面的自由落体实验，测得物块下降h高度所用时间为t，由此可求得火星的半径为（　　）
A． B．
C． D．
天文学家新发现了太阳系外的一颗行星，这颗行星的体积是地球的a倍，质量是地球的b倍．已知某一近地卫星绕地球运动的周期约为T，已知引力常量为G，则该行星的平均密度为（　　）
A． B．
C． D．条件不足，无法判断
“北斗“是我国自主研制、独立运行的全球卫星导航系统，某同步卫星的对地张角为2θ，运行轨道如图中圆形虚线所示。已知地球半径为R、自转周期为T、地球表面重力加速度为g，万有引力常量为G。由此可知地球的质量为（　　）
A． B．
C． D．
假设地球可视为质量均匀分布的球体，已知地球表面的重力加速度在两极处的大小为g0，在赤道处的大小为g，地球的半径为R，则地球的自转周期为（　　）
A． B． C． D．
人类设想在赤道平面内建造垂直于地面并延伸到太空的电梯，又称“太空电梯”如图甲所示。图乙中，图线A表示地球引力对航天员产生的加速度大小与航天员距地心的距离r的关系，图线B表示航天员相对地面静止时而产生的向心加速度大小与r的关系。图乙中R（地球半径），r0为已知量，地球自转的周期为T，引力常量为G，地球表面重力加速度为g，下列说法正确的有（　　）
A．太空电梯停在r0处时，航天员对电梯舱的弹力为mg
B．地球的质量为
C．太空电梯中的物体均处于完全失重状态
D．随着r的增大，航天员对电梯舱的弹力逐渐减小
如果我们能测出月球表面的加速度g、月球的半径R和月球绕地球运转的周期T，就能根据万有引力定律“称量”月球的质量了。已知引力常量为G，用M表示月球的质量，则月球质量可表示为（　　）
A．M B．M
C．M D．M
（多选）我国“天问二号”小行星探测器计划于2025年5月发射，主要任务是对近地小行星2016HO3开展伴飞、探测并取样返回。假设“天问二号”小行星探测器在小行星的静止轨道上运行时速度为v，公转周期为T，降落在小行星表面采样时发现同一样品在赤道时的重力是其在北极时重力的倍。已知小行星的两极加速度为g，引力常量G，则下列说法正确的是（　　）
A．小行星的质量为
B．小行星的质量为
C．小行星半径为
D．小行星半径为
（多选）研究表明：在太阳系中行星绕太阳的运动轨迹是椭圆。如图为地球绕太阳的运动轨迹，BD是椭圆的长轴，AC是椭圆的短轴，O是椭圆中心，椭圆半长轴为a，地球绕太阳一周的时间为T，万有引力常量为G，忽略其他星体对地球的引力作用。则下列说法正确的是（　　）
A．地球在B点速度小于在D点的速度
B．地球在经过B点时所受的太阳引力等于向心力
C．地球从A运动到B所用时间为tT
D．根据题中条件可知，太阳的质量为M
（多选）一颗人造卫星绕地球做匀速圆周运动，运行周期为T，线速度为v，万有引力引力常量为G，下列说法正确的是（　　）
A．该人造卫星的轨道半径为
B．该人造卫星的轨道半径为
C．地球的质量为
D．地球的质量为
2023年2月10日，远在火星执行全球遥感科学探测任务的“天问一号”火星探测器已经在火星“上岗”满两年。两年来探测器“履职尽责”，获得一手探测数据，取得丰硕科研成果。设火星为质量均匀分布的球体，半径为R。在火星表面h高处由静止释放一可视为质点的小物体，测出物体落地时间为t。忽略火星自转。不计火星表面气体阻力，引力常量为G，依据题中信息，火星密度为（　　）
A． B． C． D．
假设地球可视为质量均匀分布的球体，地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G，地球的质量为（　　）
A．
B．
C．
D．
中国科学院沈阳自动化研究所主持研制的“海斗一号”在无缆自主模式下刷新了中国下潜深度纪录，最大下潜深度超过了10000米，若把地球看成质量分布均匀的球体，地球的质量为M，半径为R，且质量分布均匀的球壳对壳内任一质点的万有引力为零，忽略地球的自转，当“海斗一号”下潜深度为h时，所处的重力加速度大小g是（　　）
A． B．
C． D．
一质量为m的物块在北极与在赤道上的重力差为ΔF，地球同步卫星运动的周期为T。则可求出地球半径R为（　　）
A． B．
C． D．
2023年10月26日11时14分，搭载神舟十七号载人飞船的长征二号F遥十七运载火箭在酒泉点火发射，17时46分，与空间站组合体完成自主快速交会对接。若地球半径为R，质量为M，引力常量为G，对接前空间站组合体质量为m，距地球表面高度为h，则对接前空间站组合体对地球的万有引力大小是（　　）
A．等于 B．小于
C．等于 D．大于
我国自行研制的“天问1号”火星探测器于2021年5月19日成功着陆火星。设着陆前探测器对火星完成了“绕、着、巡”三项目标考查。探测器经过一系列的制动减速进入火星近地圆轨道绕火星做匀速圆周运动，之后再经过制动在火星表面着陆。着陆后，探测器上的科研装置，将一个小球从离地面h的高度由静止释放，做自由落体运动，测得小球经过时间t落地。已知引力常量为G，火星的半径为R，求：
（1）火星表面重力加速度；
（2）火星的质量M及平均密度ρ。
2025年1月7日，我国在西昌卫星发射中心使用长征三号乙运载火箭，成功将实践二十五卫星发射升空，卫星顺利进入预定轨道，发射任务获得圆满成功。已知二十五号卫星的离地高度为h，地球的半径为R，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，忽略地球自转的影响，求：
（1）地球的密度；
（2）二十五号卫星的线速度大小。
中国载人登月工程规划在2030年前后实现航天员登月。设想在2029年4月27日，中国宇航员登上月球。由于月球表面无空气，也就是没有空气阻力。宇航员在月球表面借助智能机器人完成这样一个实验：沿水平方向将一个质量m＝0.30kg的小球以某一初速度从P点水平抛出，恰好从光滑圆弧轨道ABC的A点的切线方向进入圆弧轨道（进入圆弧时无机械能损失）。已知圆弧轨道的半径R＝0.40m，θ＝45°，P点与A点的水平距离（DA间距）d＝0.60m，小球到达A点时的速度vAm/s。已知万有引力常量为G，月球的半径R月约为1.8×106m，不考虑月球的自转。解答下列问题：（计算结果保留两位有效数字）
（1）求月球表面的重力加速度g月（可用分数表示）；
（2）估算月球的第一宇宙速度v1；
（3）求小球到达圆弧轨道最低点B时对轨道的压力FN。
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